精品解析：辽宁沈阳市第一二六中学2026-2027学年度上学期九年级数学学科作业反思调研一

2026-2027学年度上学期 九年级数学学科作业反思调研一 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 5. 若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，垂直平分，垂足为，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同但比它大的矩形，则至多要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 9. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，对角线和交于点F，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，则_____． 12. 已知，则的值为________． 13. 新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 14. 若m，n是一元二次方程的实数根，则代数式________． 15. 如图，在中，，，是边上一点，将沿翻折得到，交于点，若，求的值__________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 按要求解下列一元二次方程： （1）；（配方法） （2）．（公式法） 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）当取满足条件的最大的负整数时，求方程的根 18. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19. 如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为________m，的取值范围是________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为？ （3）亮亮说：“矩形花园的面积可以为．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由． 20. 如图，为直角三角形，，，．在矩形中，，，且点，，，在同一条直线上，点与点重合．将以的速度沿向右平移，当点与点重合时停止移动．设平移的时间为，与矩形重合的面积为． （1）的长为__________； （2）求当时，与的函数关系式； （3）当时，__________． 21. 项目式学习主题：一元二次方程的几何解法 项目背景 某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．下面分别以解即的做法为例，分别展示． 材料一 赵爽发现结构，可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个长都是，宽都是的相同矩形，构造成图1形状的大正方形． 材料二 阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和2个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形． 问题解决 任务一 材料一中，大正方形面积可以表示为（_____）（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于_____，故可得到方程（_____）______， 任务二 材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程化为（______）_____； 任务三 请通过以上述其中一种构造图形的方法来解一元二次方程方程． 你选择的是______构图法（填写①或②，①为赵爽构图法，②为阿尔•花拉子米构图法），在图中标注出相关线段的长；请在已经画好的图形上进行补充，并根据所画图形，求出方程的一个正数解．（注：①赵爽构图法中已经画好了一个矩形，②阿尔•花拉子米构图法中已经画好了一个正方形，需要写出必要的推算过程） 22. 如图，在中，，点在边上移动，过点作交于点，过点作交延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）已知平分，． ①如图2，若，求的长__________． ②如图3，过点作于点，连接．若，直接写出的面积_______． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数与一次函数组成新函数． （1）如图（1），当，函数与轴交于、，与轴交于点． ①求证：； ②点在线段上，纵坐标为，若点到直线的距离为，则点坐标________． （2）如图（2），当，函数，且，过作轴，，过作轴平行线交直线于，以、为邻边构造矩形，若函数与矩形只有2个交点时，直接写出的取值范围________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期 九年级数学学科作业反思调研一 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于A选项，∵当时，方程二次项系数为0， ∴不是一元二次方程． 对于B选项，∵方程的未知数为， ∴不是关于的方程． 对于C选项，整理得， ∵仅含未知数，的最高次数为2，二次项系数不为0， ∴是关于的一元二次方程． 对于D选项，整理得， ∵当时，二次项系数为0，方程为一元一次方程， ∴不一定是一元二次方程． 2. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程整理为一般形式，再计算判别式的值，根据判别式即可判断根的情况． 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式得 ． ∵ ， ∴ 该一元二次方程没有实数根． 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据矩形、正方形的判定、平行四边形、矩形的性质判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形，故本选项说法是假命题，不符合题意； C、平行四边形的对角线不一定平分对角，故本选项说法是假命题，不符合题意； D、矩形的对角线相等且互相平分，是真命题，符合题意； 故选：D． 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】结合一元二次方程的定义和根的判别式求解，一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有实数根要求判别式，联立不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴二次项系数，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式，即 解得， 综上，k的取值范围是且． 5. 若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得 ， 对比，可得． 6. 如图，在菱形中，垂直平分，垂足为，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质和线段垂直平分线的性质，得到是等边三角形，利用勾股定理，在中，解得的长，即可得到菱形的面积． 【详解】解：在菱形中，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在中，， ∴菱形的面积． 7. 某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x， ∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 又∵2、3月的总营业额为1000万元， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系是解决问题的关键． 8. 现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同但比它大的矩形，则至多要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】如果与它形状一样且比它大，所以宽变成3张，长变成张，一共使用了18张正方形的纸，这样所用正方形纸片数量最多，由此得出答案即可． 【详解】解：∵正方形纸片大小相同， ∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的3倍， ∴需要正方形的纸片是（张）． 9. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【详解】解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 10. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，对角线和交于点F，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得且，进而证得，利用相似比求出与的关系；结合的长求出的长；再利用角平分线和平行线的性质证得 为等腰三角形，即，从而得出答案． 【详解】解：四边形 是平行四边形 ， ， ，  ，  设，则，  ，  ，  又， ，解得，  ，  平分，  ，  ，  ，  ，  ． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值．利用分式的性质，将所求表达式拆分为，再代入已知条件进行计算． 【详解】解：由已知 ， 则 ． 故答案为：． 12. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将看作整体，利用换元法结合平方差公式化简方程，根据平方的非负性舍去不符合条件的根即可得到结果． 【详解】解：设， ∵任何数的平方都是非负数， ∴， 将代入原方程得：， 根据平方差公式展开得：，整理得：， 解得或， ∵， ∴舍去，因此． 13. 新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 【答案】12或20 【解析】 【分析】设每件童装降价元，分别表示出降价后每件的盈利和每天的总销售量，根据总盈利等于每件盈利乘以销售量列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元， ∵ 降价后每件盈利为元，每降价元多售出件， 因此降价元后每天多售出件，总销售量为件， 根据总盈利为元，列方程得：， 解得，，两个解均符合实际意义， 因此每件童装应降价12元或20元． 14. 若m，n是一元二次方程的实数根，则代数式________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再通过对完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实数根， ∴，， ∴． 15. 如图，在中，，，是边上一点，将沿翻折得到，交于点，若，求的值__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由得，则，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立直角坐标系，由折叠的对称性得，，利用勾股定理结合中点坐标公式解出点E的坐标，再联立直线解析式求出点F的坐标，最后利用点A、F、B共线，把线段比化为横坐标差的绝对值之比求解即可． 【详解】解：设，由得，则， 如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立直角坐标系，则，，，，设直线与交于点， 沿翻折得，点关于直线的对称点为， ，垂足为点， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 设直线与交点为， ，， 在中，， ， 化简得，即， 因式分解得， 解得或（舍去）， ， ， 设点关于直线的对称点为， 点是的中点， ，， ， 设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 联立直线和得，解得， ， ， ，，共线， ． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 按要求解下列一元二次方程： （1）；（配方法） （2）．（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，然后利用公式法，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）当取满足条件的最大的负整数时，求方程的根 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法． 根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：，解不等式求出的取值范围； 由可知：，满足条件的最大的负整数是，可得方程为，利用求根公式解方程即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由可知：， 满足条件的最大的负整数是， 可得：， 其中，，， ， ， 方程的解为：，． 18. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等角对等边的性质，得出，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设，由勾股定理可得，从而列方程求出，再利用勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：，即， ． 19. 如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为________m，的取值范围是________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为？ （3）亮亮说：“矩形花园的面积可以为．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 解：亮亮的说法不正确，理由如下： 根据题意得，即， ， 该方程无实数根， 矩形花园的面积不可以为，即亮亮的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）根据题意列代数式，再结合旧围墙的长度列不等式求解； （2）根据矩形花园的面积为列一元二次方程，取范围内的解即可； （3）根据矩形花园面积列一元二次方程，再结合根的判别式确定方程无解，即可得解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理得， 解得（舍），， 答：当时，矩形花园的面积为； 【小问3详解】 略 20. 如图，为直角三角形，，，．在矩形中，，，且点，，，在同一条直线上，点与点重合．将以的速度沿向右平移，当点与点重合时停止移动．设平移的时间为，与矩形重合的面积为． （1）的长为__________； （2）求当时，与的函数关系式； （3）当时，__________． 【答案】（1） （2） （3）或7 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）根据题意得到重叠部分为梯形，利用平移性质和直角三角形的性质求得梯形的面积即可解答； （3）分为当时，当时，当时三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，点B在上运动时间为， ∵在矩形中，， ∴点A在直线上运动， ∴当时，如备用图（1），重叠部分为梯形， 由题意，， ， 根据平移性质得，则，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即与的函数关系式为； 【小问3详解】 解：当时，由得， 解得，（舍去）； 当时，重叠部分为，不符合题意； 当时，如图备用图（2），重叠部分为， 由题意，，，， ∴ ∴， ∴， 当时，由得，（舍去）， 综上，当时，或． 21. 项目式学习主题：一元二次方程的几何解法 项目背景 某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．下面分别以解即的做法为例，分别展示． 材料一 赵爽发现结构，可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个长都是，宽都是的相同矩形，构造成图1形状的大正方形． 材料二 阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和2个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形． 问题解决 任务一 材料一中，大正方形面积可以表示为（_____）（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于_____，故可得到方程（_____）______， 任务二 材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程化为（______）_____； 任务三 请通过以上述其中一种构造图形的方法来解一元二次方程方程． 你选择的是______构图法（填写①或②，①为赵爽构图法，②为阿尔•花拉子米构图法），在图中标注出相关线段的长；请在已经画好的图形上进行补充，并根据所画图形，求出方程的一个正数解．（注：①赵爽构图法中已经画好了一个矩形，②阿尔•花拉子米构图法中已经画好了一个正方形，需要写出必要的推算过程） 【答案】任务一：，， 任务二： 任务三：选择①， 赵爽构图法：解一元二次方程，即， 可以看成是一个长为，宽为x，面积是55的矩形，用4个相同的矩形构造如下图的大正方形， 解得（舍）. 则正数解是5； 选择②， 阿尔花粒子构图法：解一元二次方程，即， 可以看成是一个长为，宽为x，面积是55的矩形，剪去两个相邻的长，宽都分别3和x的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，如下图： ， 解得（舍）， 则正数解是5． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于任务一，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积列出方程； 对于任务二，大正方形的面积等于2个长方形的面积加上两个正方形的面积列出方程； 对于任务三，根据以上两个任务解答，再求出解. 【详解】解：任务一：材料一中，大正方形可以表示为；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得到方程； 故答案为：，，； 任务二：材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程为； 故答案为：； 任务三：略 22. 如图，在中，，点在边上移动，过点作交于点，过点作交延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）已知平分，． ①如图2，若，求的长__________． ②如图3，过点作于点，连接．若，直接写出的面积_______． 【答案】（1）证明：∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①；②30 【解析】 【分析】（1）先由同角的余角相等得到，再由等腰三角形得到，等量代换即可得证； （2）①过点A作于点H，过点E作于点N，先证得，由全等性质得到相关边与角度的相等关系，在中，解直角三角形得出相关边的关系，进而由平行线的性质得出，可设，则，，表示出相应线段长度，由列方程求出k，即可得到答案； ②先证得，再由平行线分线段成比例得到，从而得到相关线段关系及，设，表示出相关线段，再结合，可得，即可得到，在中，由勾股定理列方程求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①过点A作于点H，过点E作于点N，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， 由（1）得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示： ∵， ∴， 由（1）得：，由（2）①得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数与一次函数组成新函数． （1）如图（1），当，函数与轴交于、，与轴交于点． ①求证：； ②点在线段上，纵坐标为，若点到直线的距离为，则点坐标________． （2）如图（2），当，函数，且，过作轴，，过作轴平行线交直线于，以、为邻边构造矩形，若函数与矩形只有2个交点时，直接写出的取值范围________． 【答案】（1）解：①当时，， 当时，或， 解得：或， ∴点， ∴，即为等腰直角三角形， ∴； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据已知条件通过一次函数与坐标轴的交点求出点A和点B的坐标，从而得出是等腰直角三角形，进而推出结论； ②在线段上取点P，过点P作交于点D，过点P作交y轴于点K，连接，根据已知条件利用平行线的性质，待定系数法求一次函数解析式求出点K的坐标表达式，再利用等面积法列出方程求得的值，从而求出点P的坐标； （2）根据已知条件结合图象，利用矩形的性质分析讨论矩形与一次函数y的临界点，从而得出一元一次不等式组求解出a的取值范围． 【小问1详解】 解：①略 ②如图，过点P作交于点D，过点P作交y轴于点K，连接， ∵，， ∴可设直线的解析式为， ∵点在线段上，纵坐标为，， ∴，解得， ∴点， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴点，即， 在中，， ∵点到直线的距离为，即，且， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，设与的交点为Q， ∵轴，， ∴， ∵以、为邻边构造矩形，函数与矩形只有2个交点， ∴点B必为矩形边上的交点， ∵， ∴x的取值关于y轴对称， 此时分情况讨论矩形与一次函数y的临界点情况： ①当矩形与线段有交点时，即点F在线段上， 令，代入得， ∴； ②当矩形与线段有交点时，即点Q在线段上， 令，代入得， ∴点， 要使一次函数y与矩形只有2个交点， 则需满足线段与矩形无交点，矩形与线段有两个交点， ∴， ∴a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $