辽宁省铁岭市开原市2026-2027学年第一学期九年级数学9月学情自测试卷

九年级数学水平测试 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（ ） A．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 4．关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与轴的交点坐标是 5．关于的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 8．已知点、和都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 9．如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________． 12．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于____________． 13．已知一个直角三角形两直角边长之和为，则这个直角三角形的最大面积为____________． 14．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 15．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 三．解答题（共8道题，共75分） 16．（8分）解方程： （1）； （2）． 17．（8分）已知二次函数（，，是常数，且）的函数值与自变量的部分对应值如表： … 0 2 3 … … 5 0 … （1）该函数图象的对称轴为直线____________； （2）关于的一元二次方程的根是____________； （3）关于的一元二次方程的解集是____________； （4）若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，请直接写出的取值范围____________． 18．（8分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求实数的值． 19．（9分）综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图1）可近似看作抛物线． 建立模型：如图2，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： （1）求抛物线的函数表达式． （2）为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． （3）如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． 20．（9分） 某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长AB为x米，面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由； （3）当x是多少时，矩形花园面积y最大？最大面积是多少？ 21．（8分） 某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 22．（12分）【问题提出】：数学社团开展数学实验活动：在中，，为上的一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为秒，正方形的面积为． 【初步感知】：如图1，当点由点运动到点时： ①当时，____________； ②关于的函数解析式为______________________． 【迁移运用】：当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． 【延伸探究】：若存在三个时刻、、（）对应的正方形的面积均相等． ①____________． ②当时，求正方形的面积． 23．（13分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为，抛物线关于轴对称的抛物线为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图②，点是抛物线在第四象限上的一点，连接，，，．若，求点的坐标； （3）当时抛物线与时抛物线组成新的函数，函数的图象上有不重合的两点和，点P和点的横坐标分别为和，若函数的图象上点和点之间部分（包括点和点）的最大值和最小值均与的取值无关，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $