2.1 等式性质与不等式性质（六大题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

**基本信息** 聚焦不等式性质应用，通过六类题型构建从实际问题表征到代数推理证明的完整训练体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用不等式表示不等关系|4题|实际问题不等关系转化|从实际情境抽象不等关系，建立数学模型| |作差法比较代数式的大小|4题|作差变形判断符号|通过代数运算实现大小比较，培养运算能力| |作商法比较代数式的大小|4题|作商变形与1比较|针对正数比较的特殊方法，拓展比较思路| |判断所给不等式是否正确|4题|性质应用辨析|检验对不等式性质的准确理解，强化推理意识| |由性质比较数（式）大小|4题|性质直接应用|运用性质解决具体大小比较问题，提升应用能力| |由性质证明不等式|4题|逻辑推理与论证|综合运用性质进行代数证明，发展理性精神|

2.1 等式性质与不等式性质 题型一 用不等式表示不等关系 1．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 2．下面列出的几种不等关系中，正确的是（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的体重为x，小华的体重为y，则小明比小华轻可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“” 【答案】CD 【分析】根据已知结合不等式与不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，x与2的和是非负数，应表示为“”，故A错误； 对于B，小明比小华轻，应表示为“”，故B错误； 对于C，的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c， 则可表示为“且且”，C正确； 对于D，若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“”，D正确. 故选：CD 3．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组________________. 【答案】 【分析】根据题意列式即可. 【详解】由题意得，即. 故答案为：. 4．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. (1)据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 【答案】(1)三种 (2)安排型货箱30节，型货箱20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货箱的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货箱的运费，得出方案三运费最少. 【详解】（1）设安排两种货箱分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货箱28节，型货箱22节； 方案二，安排型货箱29节，型货箱21节； 方案三，安排型货箱30节，型货箱20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货箱分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货箱分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货箱30节，型货箱20节时，运费最少，为31万元. 题型二 作差法比较代数式的大小 5．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 6．已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】选项A. ，取，则， 则不成立，故选项A错误；     选项B. ，，，，故选项B正确； C.，，， ，，，，，，故选项C错误； D. ， ，，， ，故选项D正确. 7．设，，，，则、的大小关系为______． 【答案】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 8．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 题型三 作商法比较代数式的大小 9．若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【详解】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 10．若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 11．若，则、、、中最小的是__________. 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 12．（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案； （2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论. 【详解】（1），， ，. （2），，又， 又， ， . 题型四 由已知条件判断所给不等式是否正确 13．如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 14．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【分析】使用不等式的性质进行分析. 【详解】对于选项，，因为，所以， 当或时，，则，即， 当时，，，则，选项正确 对于B选项，当为正数，为负数时不成立，选项错误； 对于选项，若，，则，所以，选项正确； 对于D选项，若，，当时，，选项错误. 15．有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中真命题的个数是________ 【答案】 【分析】根据不等式性质分别判断各命题. 【详解】①由，当时，，所以①错误； ②由，即，所以，所以②正确； ③由，当时，，所以③错误； 故答案为：. 16．已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据不等式的性质，可得答案. 【详解】（1）∵，且、，∴，∴ （2）∵，∴，又，∴， ∴，∴， ∵、，∴，由（1）知， ∴，∴. 题型五 由不等式的性质比较数（式）大小 17．已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，满足，，则，故A错误； 对于B，由，得，则，故B正确； 对于C,D，当时，，，故C,D错误. 18．下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 19．已知，，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可. 【详解】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为： 20．从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】①利用分子有理化可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】①， 因为， 所以， 即； . ②， . ③方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. . 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 题型六 由不等式的性质证明不等式 21．若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 【答案】C 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”， 因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立； 因此“”是“”的必要非充分条件. 22．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用不等式的性质可判断AB，应用作差比较法可判断CD. 【详解】A项，由，得，故A错误； B项，由，得，故B正确； C项，由已知，得，， 则，且， 所以， 则，故C正确； D项， 因为，则， 所以， 即，故D错误. 故选：BC. 23．对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是________． 【答案】②④ 【分析】根据不等式的基本性质即可逐一判断. 【详解】对于①∵，∴只有时才成立，∴①不正确； 对于②，；，∴②正确； 对于③，若，如，但，∴③不正确； 对于④，，∴，， 又∵，∴，∴，∴，∴④正确． 故答案为：②④. 24．（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）（i）利用不等式的性质计算即可；（ii）利用待定系数法计算即可. 【详解】（1）证明：因为，所以，利用同向可加性得， 所以，则， 又，所以； （2）（i）因为，， 所以由同向可加性得，则； （ii）设，即， 所以，解得， 则，， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质 题型一 用不等式表示不等关系 1．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 2．下面列出的几种不等关系中，正确的是（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的体重为x，小华的体重为y，则小明比小华轻可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“” 3．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组________________. 4．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. (1)据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 题型二 作差法比较代数式的大小 5．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 6．已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．设，，，，则、的大小关系为______． 8．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 题型三 作商法比较代数式的大小 9．若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 10．若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 11．若，则、、、中最小的是__________. 12．（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 题型四 由已知条件判断所给不等式是否正确 13．如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 14．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 15．有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中真命题的个数是________ 16．已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 题型五 由不等式的性质比较数（式）大小 17．已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 18．下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．已知，，，则与的大小关系为_________. 20．从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 题型六 由不等式的性质证明不等式 21．若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 22．若，则（   ） A． B． C． D． 23．对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是________． 24．（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $