第6讲：等式性质与不等式性质【六大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版）

**基本信息** 以“方法-知识-题型”三维架构系统整合等式与不等式性质，通过作差法、作商法等核心方法实现性质应用的阶梯式突破，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|4个核心知识点|基本事实为比较大小依据，等式性质迁移至不等式性质，重要不等式拓展应用|从实数大小比较基本事实出发，通过类比等式性质构建不等式性质体系，形成“概念-性质-应用”逻辑链| |题型|6类题型（含例+变式）|作差法（差与0比较）、作商法（商与1比较）、性质综合应用（判断/求范围/证明）|按“判断正误-比较大小-性质应用”梯度设计，覆盖性质直接应用到综合证明，典例含糖水不等式等实际情境|

第6讲：等式性质与不等式性质 题型一、由已知条件判断不等式是否正确 2 题型二、作差法比较大小 3 题型三、作商法比较大小 4 题型四、利用性质比较大小 5 题型五：利用不等式的性质求范围 7 题型六、利用不等式的性质判断或证明 8 知识点一：基本事实：两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二：重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 题型一、由已知条件判断不等式是否正确 【例1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】举反例逐一判断三个不等式，已知仅给出条件，没有限定的正负性： ①：取，，满足，但，，此时，故①不恒成立； ②：取，，满足，但，，此时，故②不恒成立； ③：取，，满足，此时，，，即， 故③也不恒成立； 三个不等式都无法在的条件下保证成立，成立的个数为. 【变式1】．（25-26高二下·山东泰安·期末）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】当时，满足，但，选项错误； 若，则，又，则，选项错误； 若，则，，但不能推出，选项错误； 由得，若，则，，选项正确. 【变式2】．（25-26高一上·湖北孝感·期末）下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 题型二、作差法比较大小 【例2】．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试比较的大小. 【答案】 【详解】因为， 所以. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以，所以， 即，所以，又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【变式2】．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），理由： 由， ， 作差得 . 因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. （2），理由： 作差得 . 因 ，，故 ，，又 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号. 题型三、作商法比较大小 【例3】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课后作业）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由如下： ， 由于，且 所以，即， 因此. (2)，理由如下： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【变式2】．（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以 （2）当时，因为，所以 题型四、利用性质比较大小 【例4】．（25-26高一下·贵州·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】D 【详解】对于A，取，满足，，则，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，因为且，所以，，即，两边同时乘以， 则，故D正确. 【变式1】．（25-26高一下·浙江·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若,则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】选项A：. 又，即，即，错误. 选项B：当时，满足，，错误. 选项C：当时，，错误. 选项D：， 代入，原式.正确. 【变式2】（25-26高一上·陕西安康·期末）若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质计算判断ABC；利用赋值法判断D. 【详解】因为，所以，所以，即，故A错误； 因为，由A知，所以，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； 当，可得， ，此时，故D错误. 故选：B. 题型五：利用不等式的性质求范围 【例5】．（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1），， ，， . （2），， ，， . （3），， ， . 【变式1】．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的范围，再结合不等式性质可求的范围. 【详解】因为，所以， 当时，，即， 当时，，即， 综上可知， 故选：B. 【变式2】．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意设， 则，解得，所以， 因为，， 所以，即， 即的范围是． 故选：C 题型六、利用不等式的性质判断或证明 【例6】．（24-25高一上·四川成都·阶段检测）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1) 证明：， 因为，所以， 所以，即． (2) 证明：因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又，， 所以， 所以原不等式成立． 【变式1】．（24-25高一上·北京西城·阶段检测）设，求证. 【答案】 证明：由，因为，可得， 所以，即，所以. 【变式2】．（25-26高一上·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 【答案】(1) 不等式为或； 证明如下：，因为， 故，故. (2)由（1）中不等式可知，， 故， 两边开方得： 一、单选题 1．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 2．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）“”是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：若，取，，则不满足，所以充分性不成立； 必要性：若，则，，， 原不等式两边同时乘得，，则必要性成立，所以仅C选项正确. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为,所以,因为,所以,所以,所以. 5．（25-26高二下·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 6．（2026·北京·高考真题）为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 【答案】B 【分析】设出高一、高二选择甲、乙基地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， 高二学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数：，选择甲基地的学生人数：，选择乙基地的学生人数：， ∵高一学生人数多于高二学生人数，选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数，故B正确，A，C，D均无法判断. 二、多选题 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关于不等关系的说法正确的是（　　） A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为 C．不等式的含义是指x不小于2 D．若或之中有一个成立，则成立 【答案】ACD 【详解】A选项，“限高4.5米”，即车载货物高度h（米）满足，A正确； B选项，用不等式表示“a与b的差是非负数”为，B错误； C选项，不等式的含义是指x大于2或等于2，即x不小于2，C正确； D选项，若或之中有一个成立，则成立，D正确 8．（25-26高一下·湖北荆门·期末）已知，，为实数，则（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，都大于，则 D．若，，，则 【答案】AD 【分析】根据不等式性质、作差法比较大小及基本不等式的应用逐一分析 【详解】对于A，因为，所以，故，可得，A对； 对于B，举特殊值，取，，则，与结论矛盾，B错； 对于C，作差得，若，则，反之，，C错； 对于D，根据基本不等式，当且仅当，即时，取等号，D对 9．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，，得，则，故A正确； 对于B，由，，得，则，故B正确； 对于C，由，，得，则，故C错误； 对于D，由，，得，，则，故D正确. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，不等式两边同除以，可得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C不正确； 对于D，令， 则，解得，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故D不正确. 三、填空题 11．（26-27高一上·全国·课后作业）若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 【答案】①③④ 【详解】因为，，所以，，所以，故①成立； 取，，，，代入②，可知②不成立； 因为，由不等式的可加性知，所以③成立； 由知，，由不等式的可加性知，所以④成立． 12．（26-27高一上·全国·课后作业）设，，则p与的大小为　________　． 【答案】p≥4q 【详解】因为， ， 则 , 故,当且仅当时取等号． 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）给出下列结论：①若，则；②若，则； ③若，，则；④若，，则.其中正确的结论的序号是________. 【答案】② 【详解】对于①，由，若，则，故①错误； 对于②，由可知，故， 将原不等式两边同乘以，则得，故②正确； 对于③；若取，显然满足，，但，则③错误； 对于④，若取，显然满足，，但，故④错误. 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______． 【答案】9 【分析】令，根据的定义，通过配凑系数法，结合条件，求得的最小值； 【详解】令，则． 为非负实数，且， ，． 且当时， 的最小值为9. 四、解答题 15．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小. 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 16．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，，； （2），． 17．（2025高一·上海·专题练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：之间的大小关系，并说明理由； 【答案】(1)不是，理由如下： 由于，即，不满足“下位序列”的概念，所以不是“下位序列”. (2)，理由如下： 均为正数，由是的“下位序列”，得，即， 则，即， ，即， 所以. 18．（25-26高一上·上海宝山·期中）对于四个正数､､､，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于､､､，试问是否为的“下位序列”； (2)设､､､均为正数，且是的“下位序列”，试判断､､之间的大小关系； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值. 【答案】(1)不是； (2) (3). 【详解】（1）由，，，不满足“下位序列”的概念， 所以不是“下位序列”； （2）由是的“下位序列”，得， 则，即，同理，即，所以； （3）由已知得， 又，，均为正整数，则，即， 则，又对集合内的每个均成立，则， 所以正整数的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲：等式性质与不等式性质 题型一、由已知条件判断不等式是否正确 2 题型二、作差法比较大小 2 题型三、作商法比较大小 3 题型四、利用性质比较大小 3 题型五：利用不等式的性质求范围 4 题型六、利用不等式的性质判断或证明 4 知识点一：基本事实：两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二：重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 题型一、由已知条件判断不等式是否正确 【例1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二下·山东泰安·期末）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【变式2】．（25-26高一上·湖北孝感·期末）下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 题型二、作差法比较大小 【例2】．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试比较的大小. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求证:. 【变式2】．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 题型三、作商法比较大小 【例3】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，试比较和的大小. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课后作业）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【变式2】．（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 题型四、利用性质比较大小 【例4】．（25-26高一下·贵州·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【变式1】．（25-26高一下·浙江·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若,则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（25-26高一上·陕西安康·期末）若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五：利用不等式的性质求范围 【例5】．（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 【变式1】．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 题型六、利用不等式的性质判断或证明 【例6】．（24-25高一上·四川成都·阶段检测）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【变式1】．（24-25高一上·北京西城·阶段检测）设，求证. 【变式2】．（25-26高一上·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 一、单选题 1．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）“”是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 4．（26-27高一上·全国·课后作业）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．（2026·北京·高考真题）为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 二、多选题 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关于不等关系的说法正确的是（　　） A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为 C．不等式的含义是指x不小于2 D．若或之中有一个成立，则成立 8．（25-26高一下·湖北荆门·期末）已知，，为实数，则（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，都大于，则 D．若，，，则 9．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三·全国·一轮复习）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 三、填空题 11．（26-27高一上·全国·课后作业）若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 12．（26-27高一上·全国·课后作业）设，，则p与的大小为　________　． 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）给出下列结论：①若，则；②若，则； ③若，，则；④若，，则.其中正确的结论的序号是________. 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______． 四、解答题 15．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 16．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 17．（2025高一·上海·专题练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：之间的大小关系，并说明理由； 18．（25-26高一上·上海宝山·期中）对于四个正数､､､，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于､､､，试问是否为的“下位序列”； (2)设､､､均为正数，且是的“下位序列”，试判断､､之间的大小关系； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $