专题2.2 基本不等式 重难点题型精练【6大题型+专题训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.2 基本不等式-重难点题型精练 题型01 对基本不等式的理解 题型02 直接利用均值不等式求最值 题型03 利用“1”的妙用求最值 题型04 利用配凑法求最值 题型05 利用消元法求最值 题型06 利用换元法求最值 题型07 二次与二次(或一次)的商式的最值 题型08 对勾函数求最值 题型09 基本不等式的恒成立求参数问题 题型10 利用基本不等式证明不等关系 题型11 基本不等式的实际问题的应用 题型01 对基本不等式的理解 1．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 题型02 直接利用均值不等式求最值 5．（25-26高二下·福建福州·期末）设，为正数，且，则的最大值为__________． 6．（25-26高一上·江苏南通·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 8．（25-26高二下·宁夏银川·期末）设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 题型03 利用“1”的妙用求最值 9．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知正实数，满足，则的最小值是_____. 11．（25-26高一上·贵州毕节·期末）若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 12．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型04 利用配凑法求最值 13．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 14．（25-26高三上·河南·阶段检测）设a，b为正数，且，则的最小值为______． 15．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）已知在处取得最小值，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 16．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 题型05 利用消元法求最值 17．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．13 C． D．15 18．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，且，则的最小值是____________． 19．（2026·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 题型06 利用换元法求最值 21．（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 22．（2026·陕西汉中·一模）已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 23．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则的最小值为______. 24．（25-26高一上·浙江·期中）已知实数，满足，，，则的最小值是__________. 题型07 二次与二次(或一次)的商式的最值 25．（25-26高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为______． 26．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 27．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知，求的最小值 28．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 题型08 对勾函数求最值 29．（25-26高一上·浙江·开学考试）（多选）下列选项错误的是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 30．（25-26高一上·全国·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 31．（25-26高三上·重庆九龙坡·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则的最大值为4 B．，，则的最小值是4 C．当时，有最大值 D．的最小值为 32．（25-26高一下·云南普洱·阶段检测）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．以上都不对 题型09 基本不等式的恒成立求参数问题 33．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·贵州·阶段检测）已知且，若恒成立，则的最大值为______． 36．（25-26高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 题型10 利用基本不等式证明不等关系 37．（26-27高一上·全国·课后作业），求证：.（已知） 38．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 39．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，，，，求证： (1)； (2)． 40．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知正数，，满足：，求证：． 题型11 基本不等式的实际问题的应用 41．（25-26高一上·上海·期中）2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： (1)设长为，用表示，并求出的取值范围； (2)如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 42．（25-26高一上·山东·阶段检测）中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额） 43．（25-26高一上·河南·阶段检测）宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：；对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. (1)求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围. 44．（25-26高一上·广西河池·期中）完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 1．（2026高三·全国·专题练习）设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 7．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知，，且，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 8．（25-26高一上·云南大理·期末）已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 9．（25-26高一上·浙江·期末）若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 11．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选）已知，，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，则 12．（25-26高二下·山东泰安·期末）（多选）下列选项正确的是（   ） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为3 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 13．（25-26高二下·山西运城·期末）（多选）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 14．（26-27高三上·天津·开学考试）若，且，则的最小值为___________． 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 16．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 基本不等式-重难点题型精练 题型01 对基本不等式的理解 题型02 直接利用均值不等式求最值 题型03 利用“1”的妙用求最值 题型04 利用配凑法求最值 题型05 利用消元法求最值 题型06 利用换元法求最值 题型07 二次与二次(或一次)的商式的最值 题型08 对勾函数求最值 题型09 基本不等式的恒成立求参数问题 题型10 利用基本不等式证明不等关系 题型11 基本不等式的实际问题的应用 题型01 对基本不等式的理解 1．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表示出，，进而结合勾股定理可得，进而判断即可. 【详解】， ， 而， 则由，可得，当且仅当时等号成立. 故选：A. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有， 展开整理得，移项后可得， 由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数， 若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误； 若都为正数，则可得，故D错误. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，不成立，故A错误， 对于B，，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，当时，不成立，故C错误， 对于D，当时，不成立，故D错误. 4．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 题型02 直接利用均值不等式求最值 5．（25-26高二下·福建福州·期末）设，为正数，且，则的最大值为__________． 【答案】/0.25 【详解】（当且仅当时，取等号），所以的最大值为 6．（25-26高一上·江苏南通·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求最值. 【详解】因为正数a，b满足，所以， 即，当且仅当时取“＝”，所以的最大值为. 故选： 7．（25-26高二下·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，等号成立时， 故的最小值为 8．（25-26高二下·宁夏银川·期末）设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由基本不等式求解最小值. 【详解】，当且仅当，即（因为）时取等号， 所以的最小值为. 题型03 利用“1”的妙用求最值 9．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取. ∴的最小值为. 10．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知正实数，满足，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】利用代换法，结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，上式取等号， 则的最小值是, 故答案为： 11．（25-26高一上·贵州毕节·期末）若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】由正数，且，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 故选：B 12．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用均值不等式“1”的代换，求得最小值. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为. 故选：C. 题型04 利用配凑法求最值 13．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用，结合基本不等式求解. 【详解】因，，满足，则， 于是 ，当且仅当时，即，等号成立， 故的最小值是. 故选：C 14．（25-26高三上·河南·阶段检测）设a，b为正数，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】通过基本不等式“1”妙用求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 15．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）已知在处取得最小值，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【详解】， 当且仅当时等号成立， 因为， 所以解得时等号成立，取最小值，即. 16．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）最小值4，此时；（2）；（3） 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可． （2）通过变形构造和定的情形，结合基本不等式求解即可． （3）通过变形构造积定的情形，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数在时取得最小值4. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以函数的最大值为. （3）因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 题型05 利用消元法求最值 17．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．13 C． D．15 【答案】B 【分析】根据基本不等式的性质，以及换元法求出结果即可. 【详解】由可得， 因为，所以，即， 代入得， 根据基本不等式性质得， 当且仅当，即时等式成立，所以的最小值是. 故选：B. 18．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，且，则的最小值是____________． 【答案】 【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时，取等号． 19．（2026·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式可得最值. 【详解】根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 20．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由得，利用基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意得且所以 所以 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为 故选：C. 题型06 利用换元法求最值 21．（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用基本不等式将等式变形化简，解不等式即可得出结果. 【详解】由可得， 因为实数，，所以， 因此可得，即， 解得或（舍）， 当且仅当时，即时，等号成立, 所以的最小值为6. 22．（2026·陕西汉中·一模）已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 【答案】B 【分析】根据基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 23．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则的最小值为______. 【答案】4 【分析】由题巧设，将题中复杂的二元问题巧妙进行了换元和消元成一元问题，即将所求因式变形为，再使用基本不等式即可求解. 【详解】令， 则 ， 所以， 因此当且仅当，即时，取得最小值为4. 故答案为：4. 24．（25-26高一上·浙江·期中）已知实数，满足，，，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】利用基本不等式将题设方程转化成不等式，求出的范围，即得的最小值. 【详解】由，可得，当且仅当时取等号， 即， 设，则得，解得或， 因，故得，即， 由解得， 即当，时，取得最小值为. 故答案为：. 题型07 二次与二次(或一次)的商式的最值 25．（25-26高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为______． 【答案】 【分析】化简函数解析式为，结合基本不等式可求得函数的值域. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为. 故答案为：. 26．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当， 即时，等号成立，故的最大值为． （2）因为，所以． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数取得最小值. 27．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知，求的最小值 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 28．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1）3；（2）9． 【分析】（1）依题意可得，则，利用基本不等式计算可得； （2）令，则，利用基本不等式计算可得； 【详解】（1）∵，，且，所以， 则， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为3． （2）因为，所以，令，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以函数的最小值为． 题型08 对勾函数求最值 29．（25-26高一上·浙江·开学考试）（多选）下列选项错误的是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】AB选项可举出反例；C选项，由基本不等式进行求解，但等号取不到；D选项，换元后，由对勾函数性质进行求解 【详解】A选项，若，此时，A错误； B选项，若，此时，B错误； C选项，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 但无解，故等号取不到，C错误； D选项，令，则， 故， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，D正确. 故选：ABC 30．（25-26高一上·全国·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合对勾函数的性质即可求解. 【详解】根据对勾函数的性质，当时，函数为增函数，故当时，有最小值， 故选：B. 31．（25-26高三上·重庆九龙坡·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则的最大值为4 B．，，则的最小值是4 C．当时，有最大值 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】直接使用基本不等式可判断A；妙用“1”可判断B；变形为使用基本不等式可判断C；变形为，利用对勾函数性质可判断D. 【详解】对于A中：由， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，所以A不正确； 对于B中：满足，可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以B正确； 对于C中：当，可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以C正确； 对于D中：由， 令，则， 由对勾函数性质可知，当时，y有最小值，所以D正确. 故选：BCD 32．（25-26高一下·云南普洱·阶段检测）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．以上都不对 【答案】B 【分析】令，则，然后根据对勾函数的单调性可得答案. 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 所以当时取得最小值， 故选：B 题型09 基本不等式的恒成立求参数问题 33．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 34．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据基本不等式“1”的代换求出，进而得到，进而求解即可. 【详解】因为，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立，可得，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：D． 35．（25-26高一上·贵州·阶段检测）已知且，若恒成立，则的最大值为______． 【答案】 【分析】利用结合基本不等式即可求解. 【详解】因为且，所以， ， 当且仅当，即时取等号， 因为恒成立，所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 36．（25-26高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【分析】化简可得恒成立，再根据基本不等式求解的最小值即可. 【详解】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9. 故选：D 题型10 利用基本不等式证明不等关系 37．（26-27高一上·全国·课后作业），求证：.（已知） 【答案】由题意，， 则， 累加可得：， 除以2可得：. 当且仅当时，等号成立. 【详解】略 38．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明： 由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； (2)证明： ， 因为，所以，所以， 所以，即. 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）略； （2）略. 39．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，，，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1) ，当，即时取等， ． (2) ，当，即时取等， ． 【分析】（1）由柯西不等式，利用即可证明； （2）由柯西不等式，利用即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 40．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知正数，，满足：，求证：． 【答案】证明：． 根据柯西不等式，有 ， ，当且仅当时，等号成立． 【分析】利用，然后应用基本不等式可得所求最大值． 【详解】略. 题型11 基本不等式的实际问题的应用 41．（25-26高一上·上海·期中）2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： (1)设长为，用表示，并求出的取值范围； (2)如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】(1)， (2)当的长为m时，总造价最低，为59000元 【分析】（1）根据题中条件，结合十字形区域面积为，可得，整理可得解析式，根据，，可求得x的范围，即可得答案. （2）分别求出各个区域的面积及造价，可得总造价的表达式，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）因为十字形区域面积为， 所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 所以，. （2）四个矩形地砖面积，造价； 四个三角形草坪面积； 造价； 正方形花坛面积，造价； 总造价， 化简得， 因为， 当且仅当（在范围中）时取等号，此时元． 综上，当的长为时，总造价最低，为59000元． 42．（25-26高一上·山东·阶段检测）中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额） 【答案】(1)，（，且），从第3年开始盈利 (2)方案①比较合理，理由如下：       当且仅当，即时等号成立，    故第7年，年平均盈利额达到最大值，      工厂共获利万元； 由， 当时，，                故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 因为两个方案中盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短， 故方案①比较合理. 【分析】（1）首先确定维修费用：代入首年费用求，再构建盈利函数，盈利 = 总收入 - 总支出，最后求开始盈利年份，解，最后答案取整数。 （2）方案①：用基本不等式解得最大值，方案②：用二次函数顶点在求最大值,然后两个比较求出最合理的方案. 【详解】（1）由题意可得，，代入得，解得， 所以 所以，（，且） 令，解得， 因为，所以， 故从第3年开始盈利. （2）方案①比较合理，理由略. 43．（25-26高一上·河南·阶段检测）宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：；对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. (1)求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围. 【答案】(1)的最大值为，相应月研发经费万元； (2) 【分析】（1）由基本不等式得到，并求出此时月研发经费万元； （2）由题意得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时月研发经费万元. （2）由题意得，， 整理可得，解得， 故月研发经费的取值范围为. 44．（25-26高一上·广西河池·期中）完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32. (2)当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 【分析】(1)是考查基本不等式应用中，两个正数的积为定值时，求两个正数和的最小值； (2)是考查基本不等式应用中，两个正数的和为定值时，求两个正数积的最大值. 【详解】（1）设矩形花园的长为，宽为 由题意可知：（面积） 由得 ∴当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32m. （2）已知（周长），矩形花园的面积为 由 当且仅当时．上式等号成立 ∴当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 1．（2026高三·全国·专题练习）设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，即； ，得，即，故A正确； 对于B，，由均值不等式得，即，，故B正确； 对于C、D ，，由均值不等式得，； ，即，故C错误，D正确. 2．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，都是正数， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 4．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 5．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用可得，结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】因为a，b均为正数，且，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6. 6．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 7．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知，，且，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】∵ ，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 又，代入上述不等式可得 设（），整理得， ∵ ，∴解得，当且仅当时等号成立，故的最小值为6. 8．（25-26高一上·云南大理·期末）已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据基本不等式计算求解最值. 【详解】由得，， ， 当且仅当时，即或（舍去）时，等号成立； 的最大值为， 故选:A. 9．（25-26高一上·浙江·期末）若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，结合基本不等式可得，，进而可得最小值. 【详解】因为正实数a，b满足，则， 又因为，即， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 所以的最小值为. 故选：A. 10．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】换元，利用对勾函数的单调性求出最小值. 【详解】令，则， 而函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值. 故选：D 11．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选）已知，，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，则 【答案】CD 【分析】取值计算判断AB；C选项，通过拼凑，用“1的整体代换”结合均值不等式即可求最值；D选项，通过对进行平方，结合与均值不等式即可进行证明. 【详解】对于A：令，此时，不满足，故A错误； 对于B：令，满足，，而，此时，不满足，故B错误； 对于C：由，得，又，，所以，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 此时取到最小值为，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即，故D正确. 12．（25-26高二下·山东泰安·期末）（多选）下列选项正确的是（   ） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为3 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 【答案】ACD 【分析】使用基本不等式求解. 【详解】由得，当且仅当时取等号，选项A正确； 令，，则，当且仅当， 即时取等号，因为，故的最小值不是3，选项B错误； 由，得，则， 当时，取最大值为，选项C正确； 因为正数，满足，则， 当且仅当，即①时取等号， 因为，所以，即， 又因为，所以②， 由①②得，，即，均为定值，选项D正确. 13．（25-26高二下·山西运城·期末）（多选）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 14．（26-27高三上·天津·开学考试）若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】换元可得，，利用基本不等式“1”的妙用进行求解 【详解】令，则，， 则， 其中， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式”1”的代换，可得的最小值，根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. 16．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $