用基本不等式求最值的类型及方法专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念-类型-应用”为主线，系统构建基本不等式求最值的方法体系，通过分层题型培养逻辑推理与模型构建能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |均值不等式基础|4个公式+注|“一正二定三相等”条件，不等式链|从公式推导到使用条件，建立基础认知| |求和最小值|例1+3练习|凑定积求最值|正向应用均值不等式，培养数学思维| |求积最大值|例2+变式+练习|凑定和求最值|逆向应用，强化数学语言表达| |条件最值|例3-4+5变式|“1”的代换、消元法|结合约束条件，提升问题转化能力| |无条件最值|例5-6+变式|拆项配凑法|深化公式灵活应用，发展创新意识|

用基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的均值不等式 ①当且仅当a = b时，“=”号成立； ②当且仅当a = b时，“=”号成立； ③当且仅当a = b = c时,“=”号成立； ④ ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：。 二、用均值不等式求最值的常见类型 类型一：求几个正数和的最小值。 例1 已知. (1)求的最小值； (2)若，求的最小值. 练习: （1）；（2）；（3）. 类型二：求几个正数积的最大值。 例2、正数满足，则的最大值为 A． B． C．1 D． 变式．（1）已知，求的最大值. 练习．有一圆柱形的无盖杯子，他的内表面积是. (1)试用解析式将杯子的容积表示成底面半径的函数； (2)定理：若，则，当且仅当时等号成立. 阅读下列解题过程：求函数的最大值. 解：，当且仅当，即时等号成立，所以时，的最大值为. 问：当杯子的底面半径为多少时，杯子的容积最大，最大容积是多少？ 类型三：条件最值问题。 例3、已知正数x、y满足，求的最小值。 变式1：若两个正实数x、y满足 ，且不等式有解，则实数m的取值范围是 。 变式2若， ，且，则的最小值为__________． 例4．（1）若正数满足，求的最小值； （2）已知，则的最小值. 变式：已知正数满足. (1)证明：； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【练习】 1、已知正实数满足，则的最小值为________． 2、设正实数 满足的最小值为 ． 3、设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值. 4、已知实数x，y满足，且，则的最小值是 ．. 类型四：无条件最值 例5：设为正实数，则的最小值为 例6已知，求的最小值. 变式：已知，则的最小值为 . 巩固提升： 一、单选题 1．设正数，满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．2 2．下列命题中，真命题的是（   ） A．，都有 B．任意非零实数，，都有 C．，使得 D．函数的最小值为2 3．下列命题为真命题的是（    ） A．任意，若，则 B．任意，若，则 C．若，则 D．函数的最小值为2 4．对任意正实数，，不等式恒成立，则正实数的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．已知实数a，b满足，且，则的最小值为（    ）. A．1 B． C．4 D． 6．已知实数，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7(多选)．．下列说法正确的是（     ） A．已知，则函数 B．已知，则函数的值域为 C．函数的最大值为 D．，使 8(多选)．．设，，则下列结论正确的是（ ） A．不等式恒成立 B．若，，则 C．函数的最大值为 D．若，则的最小值为6 9(多选)．．以下说法正确的有（    ） A．实数是成立的充要条件 B．对恒成立 C．若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值是2 10(多选)．．已知两个正数，，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最大值为 D．的最小值为 11(多选)．．已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 12(多选)．下列说法正确的有（ ） A．函数 的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数满足，则的最小值为3 D．设，，则的最小值为 13(多选)．．下列命题正确的是（    ） A．若，，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．函数的最小值为2 D．若，，，则的最小值是8 14(多选)．．下列不等式正确的是（    ） A．已知为正实数，，则的最小值为 B．有最小值2 C．已知正数满足，则的最大值是1 D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 15(多选)．．已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 16(多选)．．已知实数a，b满足且，则下列说法正确的有（    ） A．若，则对任意实数 B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是1 17(多选)．．已知实数满足且，则下列说法正确的有（   ） A．若，则对任意实数， B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是 18(多选)．．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 19(多选)．．已知，，则下列说法正确的是（    ） A．最小值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 20(多选)．．下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值为0 B．函数的最小值是2 C．若，且，则的最大值是1 D．若，则 三、填空题 21．设正实数满足，且，则的最小值为__________. 22．已知实数，，，则的最小值是______． 23．已知，，给出下列四个不等式： ①；②；③；④.其中正确的不等式有____.（填上所有正确的序号） 四、解答题 24．（1）已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值； （2）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值； （3）已知x＜，求f（x）＝4x－2＋的最大值； 25．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 26．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题： (1)已知正数x，y满足，求的最小值.甲给出的解法是：由，得，则，所以的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法； (2)结合上述问题（1）的结构形式，试求的最小值. 27．已知实数a，b满足，，且. (1)求的最小值； (2)若不等式恒成立，求实数x的取值范围. ( - 2 - ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 用基本不等式求最值的类型及方法 均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式 ①当且仅当a = b时，“=”号成立； ②当且仅当a = b时，“=”号成立； ③当且仅当a = b = c时,“=”号成立； ④ ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：。 二、函数图象及性质 (1)函数图象如图： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：，；单调递减区间：，. 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型一：求几个正数和的最小值。 例1 已知. (1)求的最小值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)4； (2)8. 【分析】（1）由基本不等式求解最小值即可； （2）基本不等式中的代换，求解最小值即可. 【详解】（1）因为， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为4. （2）因为， 所以 . 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8. 练习 （1）；（2）；（3）. 【答案】（1）3；（2）；（3）10. 【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不等式（1,、2）或利用函数单调性求最值. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值；即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=”即y的最小值为10 【点睛】：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 类型二：求几个正数积的最大值。 例2、正数满足，则的最大值为 A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】，最大值为 变式．（1）已知，求的最大值. 【详解】（1），， 所以，当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 练习．有一圆柱形的无盖杯子，他的内表面积是. (1)试用解析式将杯子的容积表示成底面半径的函数； (2)定理：若，则，当且仅当时等号成立. 阅读下列解题过程：求函数的最大值. 解：，当且仅当，即时等号成立，所以时，的最大值为. 问：当杯子的底面半径为多少时，杯子的容积最大，最大容积是多少？ 【答案】(1) (2)杯子的底面半径为时，最大容积是 【分析】(1)根据圆柱的表面积公式和体积公式求解； (2)根据题设所给不等式即可求解. 【详解】（1）设杯子的高为，因为内表面积是， 所以，所以， 所以，根据实际意义，，所以， 所以函数关系为； （2），   ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 所以杯子的底面半径为时，最大容积是. 类型三：条件最值问题。 例3、已知正数x、y满足，求的最小值。 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用、消元法及基本不等式、二元柯西不等式分别求出最小值. 解法1：利用均值不等式 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是18. 解法2：消元法 由，得，由，得，而，则， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是18. 解法3：用柯西不等式法 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是18. 变式1：若两个正实数x、y满足 ，且不等式有解，则实数m的取值范围是 。 解析：由题意可得，左边乘以可得：，化简可得： ，很明显中积为定值，根据积定和最小的法则可得：，当且仅当时取等号。故而可得。不等式有解，亦即，亦即，解得或者，故而可得。 变式2若， ，且，则的最小值为__________． 解析：由，化简题干条件可得乘以所求内容可得：，化简后可得： ，很明显中二者积为定值，根据积定和最小法则可得，当且仅当，亦即时取等号。此时可得。 例4．（1）若正数满足，求的最小值； （2）已知，则的最小值. 【答案】（1）5；（2）4. 【分析】（1）利用“1”的妙用求出最小值作答. （2）利用均值不等式建立不等关系，再解一元二次不等式作答. 【详解】（1）正数x，y满足，即， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值5. （2），而，当且仅当时取等号， 因此，即， 化为，解得，由解得， 所以当时，取得最小值4. 变式．已知正数满足. (1)证明：；(2)求的最小值；(3)求的最小值. 【答案】(1)证明:因为正数，则，即， 等号成立时； (2) (3) 【分析】（1）直接利用基本不等式证明即可； （2）将替换为，再结合基本不等式即可； （3）先通分，再利用化简，结合基本不等式即可. 【详解】（1）略； （2）因，则， 则，等号成立时， 故的最小值为； （3）因，则， 则， 等号成立时或，则的最小值为. 【练习】 1、已知正实数x,y满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】正实数x，y满足，则：， 则：， 故的最小值为． 2、设正实数 满足的最小值为 ． 【答案】1 【解析】， ． 当且仅当即时取得等号． 3、设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值. 【答案】 【解析】因为，所以 所以 当且仅当，即时取等号， 当时，； 当时，； 所以的最小值为，此时 又，所以，即 4、已知实数x，y满足，且，则的最小值是 ． 【分析】将凑出的形式（本质是换元法），即可使用均值不等式或者柯西不等式求出最小值： 【解析】 即， 取等条件： 或者直接换元：令，可得，即 . 类型四：无条件最值 例5 设x,y为正实数，则的最小值为 【答案】3 【解析一】配凑 ， 当且仅当时，即取等号. 例6已知，求的最小值. 【解析】. 取等条件： 变式：已知，则的最小值为 . 【解析】 拆开运用基本不等式： 或用柯西不等式：， 于是 取等条件：. 巩固提升 一、单选题 1．设正数，满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】由条件可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得． 【详解】解：因为正数，满足，， 所以，，， 所以 ． 当且仅当，即有，时取等号， 所以的最小值为． 故选：A． 2．下列命题中，真命题的是（   ） A．，都有 B．任意非零实数，，都有 C．，使得 D．函数的最小值为2 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式、方程的根、基本不等式和命题的真假分析运算即可得解. 【详解】解：对于选项A，∵，， 当时，，即当时，， ∴，不恒成立，故A错误； 对于选项B，当非零实数，异号时，，不满足，故B错误； 对于选项C，取，有，故C正确； 对于选项D，函数，但是等号 成立的条件是，即，而，所以等号不成立， 所以函数的最小值不是2，故D错误； 故选：C. 3．下列命题为真命题的是（    ） A．任意，若，则 B．任意，若，则 C．若，则 D．函数的最小值为2 【答案】B 【分析】根据不等式的性质、函数的单调性逐一排除，可得答案． 【详解】对于A， 当，则所以是假命题； 对于B， 由不等式的基本性质，若，则是真命题； 对于C， 若，则所以是假命题； 对于D， 函数， 令，则，在是单调递增函数，所以在有最小值，所以，所以是假命题， 故选：B. 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性、不等式的性质等知识点，基础题． 4．对任意正实数，，不等式恒成立，则正实数的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，利用基本不等式，得到关于m的不等式，即可求出正实数的最小值. 【详解】对任意正实数，，不等式恒成立， 即恒成立. 因为，所以， 解得：或（不合题意，舍去）， 即正实数m的最小值为4. 故选：B 5．已知实数a，b满足，且，则的最小值为（    ）. A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】对已知等式进行变形，然后利用基本不等式进行求解即可. 【详解】由， ， 当且仅当时取等号，即时取等号， 故选：C 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出定值 6．已知实数，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用“1”的代换凑配出定值，然后由基本不等式得最小值． 【详解】 ， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为.故选：D 二、多选题 7(多选)．下列说法正确的是（     ） A．已知，则函数 B．已知，则函数的值域为 C．函数的最大值为 D．，使 【答案】AB 【分析】A利用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条件判断；B根据对勾函数的单调性求值域判断；C将代入求值判断；D由恒成立判断. 【详解】对A：由，则， 当且仅当时等号成立，对； 对B：由在上递增，则值域为，对； 对C：由，显然最大值不为，错； 对D：由恒成立，原命题不成立，错. 故选：AB 8(多选)．．设，，则下列结论正确的是（ ） A．不等式恒成立 B．若，，则 C．函数的最大值为 D．若，则的最小值为6 【答案】ABC 【分析】由基本不等式即可判定A正确；根据不等式的性质，利用作差法，可判定B正确；化简，结合基本不等式，可判定C正确；由，可判定D不正确． 【详解】因为，， 由于，当且仅当时，等号成立， 故恒成立，所以A正确； 对于B，由， 因，，则，， 故，即得，故B正确； 因为，所以，当且仅当时取等号， 又由， 即函数的最大值为，所以C正确； 因为，则， 可得 ，所以D不正确． 故选：ABC． 9(多选)．．以下说法正确的有（    ） A．实数是成立的充要条件 B．对恒成立 C．若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值是2 【答案】BC 【分析】A将代入判断；B展开不等式右侧，结合基本不等式判断不等关系；C问题化为，利用基本不等式求最大值即可得参数范围；D基本不等式求最小值，注意等号是否能够成立即可. 【详解】A：当时成立，但不成立，错； B：有，当且仅当时等号成立，对； C：由题意在上恒成立，只需即可， 而，当且仅当时等号成立，故， 所以，对； D：， 而，即，故等号不成立，错. 故选：BC 10(多选)．．已知两个正数，，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】根据已知条件，利用基本不等式分析判断选项A、B、C，利用基本不等式结合二次函数性质判断选项D． 【详解】， ，即，当且仅当时取等号， 的最大值为，故A正确； ， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，又， ，即，当且仅当时取等号， 的最大值为，故C错误； ，， ， 二次函数开口向上，对称轴为，， 当时函数取得最小值，最小值为，故D错误． 故选：AB． 11(多选)．．已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】利用已知条件、基本不等式可判断A，B，C选项，D选项举反例可得答案. 【详解】对于A，，， ，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，由不等式，可得， 即，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，由， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，由，可取， 则，故D错误. 故选：AB. 12(多选)．下列说法正确的有（ ） A．函数 的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数满足，则的最小值为3 D．设，，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用对勾函数的性质可判断A；利用配凑法可判断B；将已知变形为，妙用“1”可判断C；将已知变形为，然后根据“1”的妙用可判断D. 【详解】对A，令，则， 因为在上单调递增，所以，A错误； 对B，， 当且仅当，即时，等号成立，所以B正确； 对C，由得， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对D，由得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以D正确. 故选：BCD 13(多选)．．下列命题正确的是（    ） A．若，，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．函数的最小值为2 D．若，，，则的最小值是8 【答案】BD 【分析】举例说明判断A；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断B；由基本不等式取等号条件判断C；利用基本不等式求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，，而，A错误； 对于B，正数满足，则，， ，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，函数，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不成立，C错误； 对于D，，由，得， 解得，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 14(多选)．．下列不等式正确的是（    ） A．已知为正实数，，则的最小值为 B．有最小值2 C．已知正数满足，则的最大值是1 D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断A，B，C；对于D，由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值即可判断. 【详解】解：对于A， 当且仅当时，等号成立，∴A正确； 对于B． 当且仅当，即时，不合题意，不能取等号，∴B错误； 对于C．，当且仅当时，等号成立，∴C正确； 对于D．恒成立，即恒成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立，，D正确. 故选：ACD. 15(多选)．．已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】 由已知结合二次不等式与二次方程的关系可得，然后结合基本不等式的乘“1”法可判断C，利用向量的性质可求解B，根据二次函数的性质可判断D． 【详解】因为关于的不等式，的解集为, 所以，所以，， 所以，A错误； 因为，，所以，当且仅当时取等号，故，由于设，由于，故，当且仅当时等号成立，故B正确； ，当且仅当，即时取等号，C正确； ，当且仅当时取等号，故最小值为，D错误． 故选：BC． 16(多选)．．已知实数a，b满足且，则下列说法正确的有（    ） A．若，则对任意实数 B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是1 【答案】BC 【分析】应用特殊值判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由且求最小值判断D. 【详解】A：当，此时，错； B：由，则，即，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：由，则，故， 当时，取得最小值，错误. 故选：BC 17(多选)．．已知实数满足且，则下列说法正确的有（   ） A．若，则对任意实数， B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】应用特殊值判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由且求最小值判断D. 【详解】A：当，此时，错； B：由，则，即，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：由，则，故， 当时，取得最小值，对； 故选：BCD 18(多选)．．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可. 【详解】解：对于A，因为，， 则，即，故A正确； 对于B：因为，则，于是有，故B正确； 对于C，时，取，则，即不成立，故C不正确； 对于D，因为，，则，当且仅当，且，即时，取等号．故D正确． 故选：ABD. 19(多选)．．已知，，则下列说法正确的是（    ） A．最小值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】BC 【分析】选项A. 设，求出导数，得出单调性，可判断；选项B. 先将展开先利用均值不等式放缩再配方，然后利用均值不等式可判断；选项C由得，代入由均值不等式可判断；选项D. 由两边同时乘以结合均值不等式可得答案. 【详解】对于A，设，则， 当时，；当时，， 故，而不为定值，故A错误. 对于B， ， 当且仅当即时取等号，故B正确. 对于C，由得，由，所以， ， 当且仅当时取等号，故C正确. 对于D，由得， 则， 解得，故D错误. 故选: BC. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值. 20(多选)．．下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值为0 B．函数的最小值是2 C．若，且，则的最大值是1 D．若，则 【答案】AD 【分析】利用基本不等式判断各选项． 【详解】对于A选项，由可知，，当且仅当时取等号，故A正确． 对于B选项，，时取等号，因为，等号不成立，故B错误． 对于C选项，由．当且仅当时，取得最大值，故C错误； 对于D选项，因为，所以，当且仅当即时，等号成立，放D正确． 故选：AD 三、填空题 21．设正实数满足，且，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】化简，利用基本不等式得可得答案. 【详解】， 由于是正实数，且， 所以 ， 当且仅当，即，所以时等号成立， 则的最小值为2， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则最小值为. 故答案为：. 22．已知实数，，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】先利用基本不等式求得的最小值，进而求得的最小值，即可得到答案. 【详解】由题意，设， 又由， 当且仅当时，即时等号成立， 即的最小值为，所以的最小值是. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 23．已知，，给出下列四个不等式： ①；②；③；④.其中正确的不等式有____.（填上所有正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】利用基本不等式比较各项不等式左右两边的大小关系，注意等号成立的条件. 【详解】∵a>0，b>0， ∴①a+b+≥2≥2=2，当且仅当a=b=时取等号，正确； ②(a+b)()≥4·=4，当且仅当a=b时取等号，正确； ③∵≥，而a2+b2≥=(a+b)·≥(a+b)， ∴≥a+b，当且仅当a=b时取等号，正确； ④a+=(a+4)+-4≥2-4=-2，当且仅当a+4=，即(a+4)2=1时等号成立，而a>0，则(a+4)2≠1， ∴不能取等号，显然存在a=，有a+<a+，不正确. 故答案为：①②③ 四、解答题 24．（1）已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值； （2）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值； （3）已知x＜，求f（x）＝4x－2＋的最大值； 【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为 【详解】试题分析： （1）根据基本不等式的性质可知，进而求得的最大值． （2）将方程变形为代入可得然后利用基本不等式求解． （3）先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值和此时x的取值即可 试题解析： （1） , 当且仅当,时取等号， 故的最大值为 （2） ， 当且仅当即时取等号故答案为 （3） 当且仅当,即时,上式成立,故当时, 函数的最大值为. 考点：基本不等式 （2），，且满足，若恒成立，求k的取值范围. （3）在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题： ①已知正数x，y满足，求的最小值.甲给出的解法是：由，得则，所以的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法； ②结合上述问题（1）的结构形式，试求（）的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）①甲的解法错误. 原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的情况不能同时成立. 正确解法：， 当且仅当，即时，取等号. ②. 【分析】（1）配凑利用基本不等式求解； （2）利用“1”的代换结合基本不等式求解； （3）令，，可得，再利用基本不等式求解. （2），， ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为4， 又恒成立，则，解得， 所以的取值范围为. （3）①略 ②令，，则，， 所以， 当且仅当，即，，取等号， 所以当时，的最小值为. 25．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号），所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 26．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题： (1)已知正数x，y满足，求的最小值.甲给出的解法是：由，得，则，所以的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法； (2)结合上述问题（1）的结构形式，试求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由两次基本不等式取等号的情况不能同时成立可判断； （2）令，，可得，利用再利用基本不等式求解. 【详解】（1）甲的解法错误. 原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的情况不能同时成立. 正确解法： ， 当且仅当时等号成立. （2）（2）令，，则，，， 所以，当且仅当，即等号成立， 所以当时，的最小值为. 27．已知实数a，b满足，，且. (1)求的最小值； (2)若不等式恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：把变为，使用基本不等式求解即可； 解法二：把变形得，利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可； （2）把不等式恒成立转化为不等式恒成立，利用基本不等式求解最值，从而，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）解法一：因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 解法二：由，，且，得， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. （2）由可得， 由（1）可得， 所以要使不等式恒成立，只需， 即，解得， 所以实数x的取值范围为. - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $