精品解析：河南省新乡市百师联考2026-2027学年高一上学期阶段检测(一)数学试题

2026－2027学年度高一上学期阶段检测（一）数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 6. “”是“命题，为假命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通状况、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取50时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A. 90 B. 96 C. 110 D. 122 8. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 C. 命题，不等式成立，则实数的取值范围为 D. 真包含于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知全集，集合，，则的真子集个数为_____． 13. 为了积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对学生假期玩游戏的时长进行了调查．某班共有人，其中人玩游戏，人玩游戏，人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，则班上这三种游戏都不玩的学生有_____人． 14. 已知对所有正实数，都成立，则实数的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求的值； （2）是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由． 16. （1）设，，均为正实数．证明：成立的充要条件是； （2）已知，求的最大值． 17. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 18. 已知集合，集合，． （1）求集合，； （2）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 19. 设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． （1）当时，写出集合的差倍集； （2）设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度高一上学期阶段检测（一）数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】全称量词改为存在量词，否定结论， 所以命题“，”的否定是“”. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可知， 移项，， ， ， ， 等价于： ， 解得：. 4. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合与元素的关系，结合空集的性质、子集的性质逐一判断即可. 【详解】. A：由上可知该选项结论不正确； B：因为，所以本选项结论不正确； C：因为，所以本选项结论不正确； D：因为空集是任何集合的子集，所以本选项结论正确. 5. 已知，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质，逐一判断选项即可. 【详解】已知条件为，逐一分析选项： 选项A：令，则，，此时，不等式不恒成立； 选项B：取，，， 此时，不等式不恒成立； 选项C：作差：， 由条件得， 因此差值为正，即，该不等式不成立； 选项D：先拆分变形：， 由条件：故；，因此， 两个正数相加结果必大于，即恒成立. 6. “”是“命题，为假命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题与存在命题之间的关系、一元二次不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】因为命题，为假命题， 所以该命题的否定为真命题，即，为真命题， 当时，，该命题为真命题； 当时，则有，所以， 显然当能推出，但是由不一定能推出， 所以“”是“命题，为假命题”的充分不必要条件. 7. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通状况、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取50时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A. 90 B. 96 C. 110 D. 122 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求和的最小值即可. 【详解】将代入，得： . 当且仅当即时取等号. 故选：B 8. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法表示出集合，再利用补集的定义即可判断． 【详解】由题意得 ， ， 所以， 故． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据韦恩图及集合交并补的概念逐一判断即可． 【详解】由图可得，，，，， 故A、B、D正确，C错误． 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，求各式的最值. 【详解】对A，由，所以，即的最大值为，当且仅当时取等号.故A错误； 对B，因为，当且仅当时取等号. 所以，故B正确； 对C，因为，当且仅当即时取等号.故C错误； 对D，因为，当且仅当即时取等号，故D正确. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 C. 命题，不等式成立，则实数的取值范围为 D. 真包含于 【答案】ACD 【解析】 【分析】由范围求出范围，再结合不等式性质计算判断选项A；根据不等式解集由韦达定理得到与关系，代入新不等式，结合，化简得到解集，判断选项B；存在性命题，求函数在区间上最大值，只要最大值大于等于，解绝对值不等式得到范围，判断选项C；先把两个集合统一分母，观察分子整数特征，判断集合间真包含关系，判断选项D． 【详解】已知，则， 又，则，故A正确； 已知一元二次不等式的解集为，则 ，且，即， 代入不等式结合得， 解得或，故B错误； 命题，成立， 在上的值域为， 存在，则，即，故C正确； 集合的分子为全体奇数， 集合的分子为全体整数， 故是的真子集，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知全集，集合，，则的真子集个数为_____． 【答案】7 【解析】 【详解】集合， 集合， ， ， ，里面有3个元素， 集合有个元素，真子集个数公式：， 代入，得. 13. 为了积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对学生假期玩游戏的时长进行了调查．某班共有人，其中人玩游戏，人玩游戏，人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，则班上这三种游戏都不玩的学生有_____人． 【答案】 【解析】 【分析】用集合的容斥原理，设只玩、同时玩、只玩的人数均为，因玩者不玩，故玩的分为只玩与玩，后者为，由玩总人数列方程，解得，再求至少玩一种游戏的人数，最后用总人数减去它，得三种都不玩的人数. 【详解】根据题意，设只玩的人数、同时玩和的人数、只玩的人数均为， 拆分玩的人群：已知玩的人均不玩， 因此玩的7人仅分为两类：只玩的人，同时玩和的人， 利用玩的总人数列方程：玩的12人包含只玩、同时玩、同时玩三类， 代入人数得：，解得， 统计各类玩游戏的人数： 只玩：玩总人数减去同时玩的人数，即； 只玩：；只玩：；同时玩：；同时玩：， 至少玩一种游戏的总人数：， 三种游戏都不玩的人数：班级总人数减去至少玩一种游戏的人数，即. 14. 已知对所有正实数，都成立，则实数的最小值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】利用基本不等式求的最大值，进而得出实数的最小值． 【详解】不等式对所有正实数，都成立， 对所有正实数，都成立， ，当且仅当时等号成立， ，故实数的最小值为9． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求的值； （2）是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据求出，再根据互异性检验； （2）根据求出，再逐一代入求值. 【小问1详解】 由，得或，得或， 当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，满足集合中元素的互异性，符合题意． 所以． 【小问2详解】 由，得，得或， 若，则，因为，所以； 若，则，因为，所以， 所以存在或使得． 16. （1）设，，均为正实数．证明：成立的充要条件是； （2）已知，求的最大值． 【答案】（1）证明：必要性：因为，，均为正实数， 所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号． 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以若，则，必要性成立． 充分性：若， 则，， 所以若，则，充分性成立． 所以成立的充要条件是． （2）1 【解析】 【分析】（1）证明必要性利用三组基本不等式相加，等号同时成立推出；证明充分性直接代入验证等式成立； （2）先对式子变形凑出，由判断为负，提取负号构造正数，再使用基本不等式求最大值． 【详解】（1）略 （2）因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为1． 17. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的包含关系求出； （2）根据列关系式求解或利用结合补集思想求出. 【小问1详解】 由题意，得． “”是“”的充分条件，． 又， ，解得， 实数的取值范围为． 【小问2详解】 方法一：命题“，”是真命题，． 下面讨论的情形： ①当时，，，满足； ②当时，，若，则或，解得或，所以， 当时，，当时，． 综上，命题“，”是真命题时，实数的取值范围为． 方法二：命题“，”是真命题，． ． 即命题“，”是真命题时，实数的取值范围为． 18. 已知集合，集合，． （1）求集合，； （2）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 当时，； 当时，； 当时，． （2）或． 【解析】 【分析】（1）由不等式可得，分类讨论与的关系，即可得到结果 （2）根据实数分类讨论，结合区间左右边界，保证集合中有且仅有一个整数，即可得到结果. 【小问1详解】 由，解得或，所以或． 又， 当时，； 当时，； 当时，． 【小问2详解】 由于，且集合中有且仅有一个整数. 当时，，则，舍； 当时，，此时， 中仅有整数，则，即； 当时，，中仅有整数， 则，即． 综上，实数k的取值范围为或． 19. 设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． （1）当时，写出集合的差倍集； （2）设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； 【答案】（1） （2）2或10 【解析】 【分析】（1）因为要得到差倍集，所以需找出P中所有满足的元素对，代入运算，再将所有运算结果组成集合； （2）因为，所以需先对k的大小进行分类讨论：分、情况；在每种情况下，计算所有对应的，再根据中恰好有两个元素的条件，确定中恰好有两个元素的条件，确定k的取值. 【小问1详解】 根据差倍集的定义， 当，时，； 当，时，； 当，时，． 由集合中元素的互异性，可得． 【小问2详解】 已知，由集合中元素的互异性可知，且． 当时，的可能取值为2或3． 当时，，， ，， 此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，，， ，， 则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，根据， 可得，，． 由于且，所以且，且． 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时， 满足差倍集中恰好有两个元素，故． 综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为2或10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $