专题07 函数单调性与最值高频考点精练【8大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题07 函数单调性与最值高频考点精练 8大考点汇总 考点一　定义法判断或证明函数单调性 考点二　求函数单调区间 考点三　复合函数单调区间 考点四　根据函数的单调性求参数 考点五　根据函数的单调性解不等式 考点六　根据单调性求最值或值域 考点七　根据函数的最值（值域）求参数 考点八　函数不等式恒成立、能成立问题 题型突破 考点一　定义法判断或证明函数单调性 1．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)证明：设， 则， 因为，， 所以，即在上单调递减， 又，，故值域为. 【分析】（1）根据换元法计算求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明单调性，进而可得值域. 【详解】（1）由，令，则， 则有，即； （2）略 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 【分析】（1）将已知两点坐标代入解析式后求解； （2）根据单调性的定义证明：任取，且，利用作差法证明. 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2）略 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）利用单调性定义证明函数在上的单调性并求其最值． 【答案】函数在上是减函数，最大值是5，最小值是4. 【详解】任取，且， 则， 由于，则，即， 于是，即，故在上单调递减， 从而最大值是，最小值是. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 考点二　求函数单调区间 5．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 函数的单调递增区间为. 【分析】（1）根据分段函数计算函数值； （2）先画出函数图象，再根据函数图象判断函数的单调递增区间. 【详解】（1）； （2） 由图象知函数的单调递增区间为. 6．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.值域为. 【分析】（1）解析式化为，直接画出图形即可； （2）由分段函数的性质结合二次函数的性质可得. 【详解】（1）因为，画出其大致图象如下， （2）， 由图象可知：的单调递增区间是，，单调递减区间为， 值域为. 7．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 8．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 考点三　复合函数单调区间 9．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）函数的单调减区间是_____． 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 10．（25-26高二下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为______． 【答案】， 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 故答案为：， 11．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 12．（25-26高一上·湖南·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解在内的单调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案. 【详解】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求. 故选：B 考点四　根据函数的单调性求参数 13．（25-26高一上·贵州安顺·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解即可. 【详解】当时，函数单调递增可得，解得， 当时，函数单调递增可得，解得， 同时需满足，解得. 综上，. 故选：D 14．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用单调性定义及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】因为在区间内任意实数，都有， 设，则， 所以函数 在 上单调递减， 令， 根据复合函数的单调性即外层函数单调递增， 则需满足：（1） 在 上恒成立； （2） 在 上单调递减. 二次函数 开口向下，对称轴为 ， 为使 在 上单调递减，只需； 同时， 在 上恒成立， 由于 时 在 上递减，最小值在 处取得， 故需 ，解得 ， 综上， 的取值范围为 . 故答案为： 15．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知在上为严格减函数，并且函数值不恒为负，求的取值范围. 【答案】 【分析】先将函数进行变形，根据题中两个条件分别求得参数范围，最后求交集即为答案. 【详解】将函数进行变形，其单调性由分式决定， 该分式严格递减当且仅当分子，即， 因为分母在恒成立，故函数值符号由分子决定， 由函数值不恒为负，即存在使得成立， 当时，，满足条件， 当时，需存在使，即，解得， 综上，不恒为负的条件为， 联立两个条件，的取值范围为. 16．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数． (1)若，求函数在区间的值域； (2)若函数在上为增函数，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）可以去掉绝对值符号，转化为分段二次函数，利用闭区间上求最值的方法，可以求得函数在区间的值域； （2）先去掉绝对值符号，转化为分段的二次函数，利用配方法与函数的单调性可以求得的取值范围． 【详解】（1）， ， 在上递增，在上递减，在上递增． ，，，， 的值域为， （2）, 因为在上为增函数，所以，解得， 在上为增函数，的取值范围. 考点五　根据函数的单调性解不等式 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的减函数，且，求的取值范围. 【答案】 【分析】结合函数定义域与减函数性质列不等式组，取交集即可. 【详解】∵ 是定义在上的减函数，且， ∴，解得. ∴的取值范围是. 18．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，得在上单调递增，从而有，解出不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以两边同时除以，得到， 又，则在上单调递增，又，则， 由，得到， 即或，所以， 则，解得，又或， 所以或，故D正确. 故选：D. 19．（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件构造函数，并判断该函数的单调性，然后将不等式变形，根据单调性求出结果. 【详解】依题意，，，都有， 令，当时，， 则在定义域内单调递增， 又，则， 又，变形得，即， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 20．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【分析】将原函数整理成分段函数，分析分段的单调性，根据函数单调性求解集. 【详解】由题知时，，则在上单调递增，时，，则在上单调递减； ①当，即时，可知 ， 因为自变量时，在上单调递减， 则，原不等式无解； ②当时，即时，可知， 因为自变量时，在上单调递增， 因此，即原不等式恒成立，其解集为； ③当且时，即时， 由可得，解得，故， 综上所述，关于的不等式的解集为， 故答案为：. 考点六　根据单调性求最值或值域 21．（2026·山东济南·模拟预测）已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【详解】令，整理得一元二次方程，解得或. 当或时，，因此； 当时，，因此. 求分段函数的最大值： 时，； 时，是递减函数，； 时，是递增函数，. 综上，当时的最大值为3. 22．（2026高一上·全国·专题练习）设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不等式代入，化简得到，则需满足即可求的取值范围；（2）去掉绝对值把函数写成分段二次函数，分别求出两段的对称轴，依据正负判断对称轴是否落在对应定义域，求出每一段的局部最小值，再比较两段得到整个函数的最小值。 【详解】（1）因为函数，所以， 故，所以，解得. （2）当时，， 所以，如图所示： 当时，，所以，如图所示： 综上所述：. 23．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算； （2）分、、三种情况讨论； （3）根据分段函数的单调性求最值. 【详解】（1）由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； （2）对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则； （3）由（2）可知，当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为. 24．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数在上单调递减，所以，即，所以值域为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （3）函数在在上单调递增， 所以，即，所以值域为. 考点七　根据函数的最值（值域）求参数 25．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 26．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）（多选）定义 ，若函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．若直线与的图象有2个交点，则 C．在区间上单调递增 D．在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 【答案】ACD 【分析】由题可得，代入求值判断A；结合图象可直观判断C，数形结合法判断BD. 【详解】注意到或，. 则，即. A选项，，故A正确. B选项，画出函数的图象，如图： 由图可知：若直线与的图象有2个交点，则或，故B错误； C选项，由图可知，函数在和上单调递增，在上单调递减，故C正确； D选项，令，解得；令，解得， 由图象可知：当时，取到最大值为， 当时，取到最小值为，故D正确. 故选：ACD 27．（26-27高一上·全国·课后作业）若函数在上的最大值是5，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】令，则，原函数变为，由绝对值的几何意义，讨论和时函数最值可得. 【详解】令，则，． 当时，由绝对值的几何意义可知，此时数轴上的点到点的距离最大， 即当时取到最大值，最大值为， 当时，由绝对值的几何意义可知，此时数轴上的点到点的距离最大， 即当时取到最大值，最大值为，与矛盾， 综上可得的取值范围为． 28．（25-26高一上·北京·期中）已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得函数的对称轴，然后分，以及讨论，结合二次函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）方程有两个实根，， 由韦达定理可得， 又， 即， 化简可得，解得或， 当时，原方程为，有两实根，满足题意； 当时，原方程为，即， 其中，即方程无实根，故舍去； 所以. （2）因为， 其图像开口向下，对称轴为， 当时，即时， 函数在上单调递减，则， 即，满足； 当时，即时， 函数在上单调递增，则，即，不满足，故舍去； 当时，即时， 函数在处取得最大值， 即， 即，解得， 且，则； 综上所述，或. 考点八　函数不等式恒成立、能成立问题 29．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)若函数的值域为，求实数的值； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)单调减区间为，单调增区间为，值域为 (3) 【详解】（1）当时，函数在上为单调增函数，此时函数的值域不是，故不成立，则 由已知得在上是减函数，在上是增函数 ∴函数的值域为 ∵函数的值域为， ，即 （2） ∴令，，则， 由已知得当，即时，函数单调递减，则单调减区间为 当，即时，函数单调递增，则单调增区间为 ，，， 函数的值域为 （3）为减函数，， ∵对任意，总存在，使得成立， ∴函数的值域为函数值域的子集 ，解得，即的取值集合为 30．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数， (1)当时，求的最小值； (2)欲使恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)最小值为1 (2) 【分析】（1）去绝对值，求导确定单调性即可求解； （2）将问题转换成转化为在时恒成立.再结合，和，讨论即可. 【详解】（1）， 因为时，是增函数，所以， 因为时，是减函数，所以， 所以，最小值为1. （2）转化为在时恒成立. ①当即时，不等式可转化为或，从而或， 而在上是递增的，值域是，故满足的不存在； 又在上也是递增的，且时，最小值为2，故； ②当时，即时，不等式对于恒成立. 综上所述：. 31．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】先根据参数分类求出函数在上的最大值，再由在上单调递增，求出其最大值，结合题意，可得，分别求解不等式即得参数的范围. 【详解】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 32．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （2）变形，令，将其看作关于的一次函数，，使得，从而得到不等式，求出答案 【详解】（1） 当时，，符合题意； 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故； 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故， 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，， ，令， 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或， 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数单调性与最值高频考点精练 8大考点汇总 考点一　定义法判断或证明函数单调性 考点二　求函数单调区间 考点三　复合函数单调区间 考点四　根据函数的单调性求参数 考点五　根据函数的单调性解不等式 考点六　根据单调性求最值或值域 考点七　根据函数的最值（值域）求参数 考点八　函数不等式恒成立、能成立问题 题型突破 考点一　定义法判断或证明函数单调性 1．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）利用单调性定义证明函数在上的单调性并求其最值． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 考点二　求函数单调区间 5．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 6．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 7．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 8．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 考点三　复合函数单调区间 9．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）函数的单调减区间是_____． 10．（25-26高二下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为______． 11．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·湖南·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 考点四　根据函数的单调性求参数 13．（25-26高一上·贵州安顺·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为___________． 15．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知在上为严格减函数，并且函数值不恒为负，求的取值范围. 16．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数． (1)若，求函数在区间的值域； (2)若函数在上为增函数，求的取值范围． 考点五　根据函数的单调性解不等式 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的减函数，且，求的取值范围. 18．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为______. 考点六　根据单调性求最值或值域 21．（2026·山东济南·模拟预测）已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 22．（2026高一上·全国·专题练习）设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 23．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 24．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 考点七　根据函数的最值（值域）求参数 25．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）（多选）定义 ，若函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．若直线与的图象有2个交点，则 C．在区间上单调递增 D．在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 27．（26-27高一上·全国·课后作业）若函数在上的最大值是5，求实数的取值范围． 28．（25-26高一上·北京·期中）已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 考点八　函数不等式恒成立、能成立问题 29．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)若函数的值域为，求实数的值； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值集合． 30．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数， (1)当时，求的最小值； (2)欲使恒成立，求的取值范围. 31．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 32．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $