微专题 函数的单调性8大题型（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

微专题 函数的单调性 【题型1 函数的单调性的判断：图像法】 规律与方法 1.常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 2.分段函数：含有绝对值的问题大多采用图象法。 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 3.（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【题型2 函数的单调性的判断：定义法】 规律与方法 设函数的定义域为 ，区间，如果当时，都有： ①或上单调递增； ②或上单调递减； 等价变形： ，，，在区间上是增函数. ，，，在区间上是减函数. 定义法步骤 1.取值 2.作差 3.变形 4.定号 5.下结论 1.（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 2.（2025高一·全国·专题练习）判断函数的单调性并证明． 3.（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数满足，，，且当时． (1)求的值；(2)证明：，；(3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 【题型3 函数的单调性的判断：复合函数】 规律与方法 复合函数判断：（1）分解成基本函数 （2）同增异减 1.（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 3.（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用函数的单调性比大小】 规律与方法 1. 先判断单调区间 2.把数字变到同一单调区间，再比较大小。 1.（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2.已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·海南海口·月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型5 利用函数的单调性解不等式】 规律与方法 1.设函数的定义域为 ，区间， ①若单调递增，由得 ②若单调递减，由得 2.勿忘定义域。 1，（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的减函数，且，求的取值范围. 3.（25-26高一上·安徽芜湖·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型6 利用函数的单调性求参数】 规律与方法 1.利用常见函数的单调性求参数（一次、二次、反比例函数），需要注意定义域。 2.分段函数的单调性：每一段都要单调，还要注意衔接点。 1.（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数在［2，4］上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B．[8，16] C． D． 2.（2026高三·全国·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 3.已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 利用函数的单调性求最值】 规律与方法 1. 先判断函数的单调性。 2. 若函数在[a,b]单调，则函数最值就是端点函数值。 1.（26-27高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值和最小值分别是________. 2.（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知方程的两根分别为，，，若对于，都有恒成立，则实数的取值范围是______. 【题型8 对勾函数函数的单调性 】 规律与方法 对勾函数在区间和上单调递减，在和上单调递增， 1. （25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 2. （25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间是__________. 3.（2026高三·全国·专题练习）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数在上单调，则a的取值范围为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 函数的单调性 【题型1 函数的单调性的判断：图像法】 规律与方法 1.常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 2.分段函数：含有绝对值的问题大多采用图象法。 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 2.（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据一次函数、二次函数、绝对值函数、分式型函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为中的系数为， 所以该函数是实数集的减函数，不符合题意； B：，该函数的对称轴为， 因此当时该函数是增函数，显然不成立，不符合题意； C：当时，，此时该函数单调递减，不符合题意； D：当时，单调递增，符合题意， 故选：D 3.（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、求函数的单调区间 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 【题型2 函数的单调性的判断：定义法】 规律与方法 设函数的定义域为 ，区间，如果当时，都有： ①或上单调递增； ②或上单调递减； 等价变形： ，，，在区间上是增函数. ，，，在区间上是减函数. 定义法步骤 1.取值 2.作差 3.变形 4.定号 5.下结论 1.（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【难度】0.76 【知识点】求解析式中的参数值、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）将已知两点坐标代入解析式后求解； （2）根据单调性的定义证明：任取，且，利用作差法证明. 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. (2)证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 2.（2025高一·全国·专题练习）判断函数的单调性并证明． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为，证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，分别在和上证明即可求解. 【详解】对任意，． 因为，所以，． 对任意，有， 从而，即； 对任意，有， 从而，即． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 3.（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 【难度】0.61 【知识点】函数新定义、求函数值、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据赋值法代入求解即可. （2）结合已知条件，分情况证明即可. （3）根据单调性的定义判断证明即可. 【详解】（1）将，代入得， 即， 因为当时，，所以， 所以．     (2)证明：①当时，显然，有，符合题意； ②当时，令，则，所以， 因为，所以，所以， 所以当时，，此时，符合题意； ③当时，则，，符合题意． 综上所述，，． (3)单调递增.     证明：设任意，，且， 则 ， 由（2）可知，对，， 又，得， 所以，即， 所以函数在上单调递增． 【题型3 函数的单调性的判断：复合函数】 规律与方法 复合函数判断：（1）分解成基本函数 （2）同增异减 1.（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、复合函数的单调性 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 2.（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 3.（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、判断二次函数的单调性和求解单调区间、复合函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】由题知，当时，或， 所以可得，即， 所以. 【题型4 利用函数的单调性比大小】 规律与方法 1. 先判断单调区间 2.把数字变到同一单调区间，再比较大小。 1.（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】比较函数值的大小关系 【详解】因为在上单调递减，且， 所以. 2.已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 3.（24-25高一上·海南海口·月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在区间上单调递增，所以在单调递减， 因为， 所以，即， 故选：C. 【题型5 利用函数的单调性解不等式】 规律与方法 1.设函数的定义域为 ，区间， ①若单调递增，由得 ②若单调递减，由得 2.勿忘定义域。 1，（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 2.（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的减函数，且，求的取值范围. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、抽象函数的定义域 【分析】结合函数定义域与减函数性质列不等式组，取交集即可. 【详解】∵ 是定义在上的减函数，且， ∴解得. ∴的取值范围是. 3.（25-26高一上·安徽芜湖·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件构造新函数，判断新函数的单调性，由新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 令， 因为对，且，有， 所以有，所以函数是上的增函数， 由， 故选：C 【题型6 利用函数的单调性求参数】 规律与方法 1.利用常见函数的单调性求参数（一次、二次、反比例函数），需要注意定义域。 2.分段函数的单调性：每一段都要单调，还要注意衔接点。 1.（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数在［2，4］上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B．[8，16] C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质列不等式求解. 【详解】函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为. 因为该函数在 上单调，因此，需满足：或， 解得：或 . 故选：D 2.（2026高三·全国·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据函数f(x)是R上的增函数，由求解. 【详解】因为函数满足对任意x1≠x2，都有>0成立， 所以函数f(x)是R上的增函数， 所以，解得. 故的取值范围是. 3.已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定函数的单调性，则可将转化为，解不等式可得答案. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，且在上单调递增， ∵， ∴，解得或. 故选：C. 【题型7 利用函数的单调性求最值】 规律与方法 1. 先判断函数的单调性。 2. 若函数在[a,b]单调，则函数最值就是端点函数值。 1.（26-27高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值和最小值分别是________. 【答案】，1 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】对分式函数分离常数，判断区间上单调性，再代入区间端点求得最值. 【详解】， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，. 2.（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性求解. 【详解】由得，所以的定义域为． 因为与在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以，即函数的值域为. 故选：A. 3.（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知方程的两根分别为，，，若对于，都有恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.54 【知识点】根据函数的单调性求参数值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】先由方程有两个不等实根通过判别式求得的上限，再利用韦达定理表示，求出在上的最小值，结合恒成立条件列不等式求得a的下限，合并得到取值范围。 【详解】由方程有两个不等实根，，由判别式可得，解得， 根据韦达定理，得到， 所以， 因为在上单调递增， 所以，所以， 即，解得， 所以. 【题型8 对勾函数函数的单调性 】 规律与方法 对勾函数在区间和上单调递减，在和上单调递增， 1.（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 【答案】 6 【难度】0.82 【知识点】基本不等式求和的最小值、求函数的单调区间 【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6． 2．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、求函数的单调区间 【分析】根据对勾函数的单调性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以对勾函数的单调递增区间是. 故答案为： 3.（2026高三·全国·专题练习）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数在上单调，则a的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.78 【知识点】求函数的单调区间、根据函数的单调性求参数值 【详解】易知函数在区间和上单调递减，在和上单调递增， 从而当函数在上单调递减时，，则，得， 当函数在上单调递增时，，则，得， 综上，a的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $