微专题07 函数单调性奇偶性综合专题训练【11大考点】-2026年暑假预习高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数单调性与奇偶性的概念应用及综合拓展，构建从定义证明到参数求解、不等式应用的递进训练体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性证明与判断|4题|定义证明题、单调性判断多选|从定义本质出发，强化代数推理能力| |奇偶性判断与参数|4题|奇偶性判定选择、参数求解填空|结合定义域与解析式特征，培养逻辑推理| |参数与不等式应用|8题|单调性/奇偶性求参数、解不等式|体现性质应用的递进，发展数学思维| |恒成立与分段函数|10题|恒成立/能成立解答题、分段函数值域|综合性质与最值，构建知识内在联系| |抽象函数综合|6题|奇偶性证明、单调性论证解答题|提升抽象思维，深化性质本质理解|

微专题07 函数单调性奇偶性综合 11大考点汇总 考点01 用定义证明函数单调性 考点02 判断函数奇偶性 考点03 根据函数的单调性求参数值 考点04 由奇偶性求参数 考点05 根据分段函数的单调性求参数 考点06 根据函数的单调性解不等式 考点07 由函数奇偶性解不等式 考点08 函数不等式恒成立问题 考点09 函数不等式能成立(有解)问题 考点10 根据分段函数的值域(最值)求参数 考点11 抽象函数中单调性奇偶性的问题 题型专练 考点01 用定义证明函数单调性 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 3．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明:因为函数，且，所以，解得， 故. 任取，且， 则， 因为，所以，则， 所以，即， 故函数在上为增函数. (2)最大值为5，最小值为4 【分析】（1）先由条件求出的值，再利用函数的单调性定义证明； （2）利用函数的单调性计算即得函数在给定区间上的最值. 【详解】（1）略； （2）由（1）知，函数在上为增函数，则其在上为增函数， 则， 故函数在区间上的最大值为5，最小值为4. 4．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1)，. (2)函数在上是减函数，证明见解析 【分析】（1）根据函数经过的点坐标计算即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数. 证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 考点02 判断函数奇偶性 5．（25-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】D 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 6．（25-26高二下·天津·期末）已知函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象关于轴对称 B．在定义域内只有1个零点 C．在为单调增函数 D．的值域为 【答案】C 【分析】A选项，根据函数奇偶性定义进行判断；B选项，解方程得到零点；C选项，举出反例可得C错误；D选项，时，由基本不等式可得范围，结合函数的奇偶性和可得答案. 【详解】A选项，定义域为， 又，故为偶函数，图象关于轴对称，A正确； B选项，令得，解得，在定义域内只有1个零点，B正确； C选项，，，故， 在不为单调增函数，C错误； D选项，当时，，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故，又当时，，故此时， 又因为为偶函数，，综上，的值域为，D正确. 7．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 【答案】CD 【详解】将函数去掉绝对值得， 画出函数的图象，如图，观察图象可知， 函数的图象关于原点对称， 故函数为奇函数，且在上单调递减，在上单调递增，故CD正确． 8．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，且在区间上单调递增，则下列结论中正确的是（   ） A． B．函数是上的增函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】ABC 【详解】对于A，由于函数是定义域为的奇函数，有，令，则，解得，故A正确； 对于B，由于函数是定义域为的奇函数，且在区间上单调递增， 由于奇函数的图象关于原点对称，说明在区间上也单调递增， 又因为，所以函数是上的增函数，故B正确. 对于C，设，，因此是偶函数，故C正确. 对于D，设，则，因此是偶函数，故D错误. 考点03 根据函数的单调性求参数值 9．（25-26高一上·四川内江·期中）（多选）若函数在上是单调递减函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．3 【答案】AB 【分析】根据二次函数的单调性可得，即可求解. 【详解】由于对称轴为，在上是单调递减函数，故， 解得， 故的值可以为，， 故选：AB 10．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 11．（2026高三上·福建厦门·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】从解析式中分离常数，利用反比例函数的性质求解. 【详解】， 由反比例函数性质知当，即时，在单调递增， 又在单调递增，所以，所以. 综上，即实数的取值范围是 故答案为：. 12．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】将表示为分段函数的形式，画出的图象，结合图象以及单调性求得的取值范围. 【详解】由，解得或. 所以， 画出的大致图象如下图所示， 依题意，函数在上单调递增， 则或， 解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 考点04 由奇偶性求参数 13．（2026·山西运城·二模）若为偶函数，则________． 【答案】3 【详解】因为为偶函数，故， 即， 即， 所以，即，所以，则． 14．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 【答案】0 【分析】先由奇函数的定义域特点可得，再由奇函数的定义可得，最后代入，结合奇函数的定义计算可直接得到结果. 【详解】由题可知，所以， 又是奇函数，所以，即， 所以， 所以． 故答案为：0. 15．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______. 【答案】 【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果 【详解】由题意知，（）， 设，则， 因为， 所以为奇函数， 在区间上的最大值与最小值的和为0， 故， 所以. 故答案为： 16．（2026·山东临沂·二模）已知函数，若函数为奇函数，则________． 【答案】 【详解】， 由奇函数性质得二次项系数为0，即，解得， 验证：，为奇函数，故． 考点05 根据分段函数的单调性求参数 17．（25-26高二下·甘肃·期末）已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得： 当时，有， 当时，有， 说明在上严格单调递减. 已知， 可知是一个斜率为的一次函数，在上单调递减， 是一个开口向下的二次函数，对称轴为轴， 在上单调递减，故满足即可实现在上严格单调递减. ，，则， 解得. 18．（25-26高二下·河北衡水·期末）函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用已知结合单调性定义得出单调递减，再应用分段函数单调性列式计算求解. 【详解】设，因为对任意，都有成立， 所以对任意，都有成立， 即对任意，都有成立． 因为， 所以函数，在上单调递减， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 19．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数在上单调递减，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 20．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 考点06 根据函数的单调性解不等式 21．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 22．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选）下列说法正确的有（     ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．若命题“，”是假命题，则的取值范围是 C．若，，，则的最小值为 D．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【分析】求出定义域判断A；转化为该命题的否定是真命题求即可判断B；根据基本不等式（“1” 的代换法）的性质求最值即可判断C；利用函数的单调性列不等式，解不等式即可判断D. 【详解】对于A，依题意，，解得，则函数的定义域为，故A正确. 对于B，若命题“，”是假命题，则其否定“”为真命题， 所以，即的取值范围是，故B正确； 对于C，因为， 则， 当且仅当且 ，即时取等号， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为函数为上的增函数，且， 所以，解得，故D错误. 23．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 24．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1) 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）略 （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 考点07 由函数奇偶性解不等式 25．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得出在上单调递减，再根据单调性及奇偶性解不等式即可． 【详解】因为是偶函数，即关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以， 或，解得或． 26．（2026高三·全国·专题练习）已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】利用偶函数的性质和单调性求解即可. 【详解】因为定义域为，所以和都必须在定义域内： ，解得：. 是偶函数，满足，因此可转化为： , 又因为时为减函数， 所以 则， 所以的取值范围是. 27．（25-26高一下·江西九江·期中）若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，将不等式转化为不等式组，再结合偶函数及函数单调性求解. 【详解】由上的偶函数满足，得， 不等式，化为或， 而函数在区间上单调递减，则或， 解得或，所以原不等式的解集为. 28．（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由条件判断在上单调递减，结合偶函数的性质可得在上单调递增，从而，利用函数单调性得，求解该不等式即得. 【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减， 又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增， 故， 两边取平方得，即，解得或， 故不等式的解集为. 考点08 函数不等式恒成立问题 29．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 30．（25-26高三·全国·一轮复习）设，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】当时，不等式对任意m成立； 当时，不等式恒成立 ， 令，易知该函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故得. 当时，不等式恒成立， 因在上单调递减，则，故得. 综上可得，. 31．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质得出，再根据单调性求得，即可求解的范围． 【详解】，对称轴为，在上单调递增，故， 因为在上单调递增()，所以， 要使恒成立，只需，即的取值范围为． 32．（2026高二下·浙江·学业考试）已知，若不等式恒成立，则m的最小值为________． 【答案】 【分析】以为主元，即恒成立，进行求解． 【详解】以为主元，即恒成立， 即， 设， 因为，所以， 因此需要满足，得， 由，得， 得，故m的最小值为. 考点09 函数不等式能成立(有解)问题 33．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末），使得成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】将不等式变形分离参数，构造函数并分析其单调性，求出函数在区间上的最小值，根据存在性条件确定的取值范围. 【详解】由，，得. 设，，在上单调递减. . 存在使不等式成立，故. 故答案为： 34．（25-26高一上·北京顺义·期中）已知二次函数． (1)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的定义域为，其中常数，求的值域； (3)若函数在区间上单调递减，且对任意的，总有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）由一元二次不等式在实数集上能成立求参数范围； （2）由二次函数的性质求的区间单调性，进而求值域； （3）根据在区间单调性有，由已知问题化为，求参数范围. 【详解】（1）由题意，在上能成立， 所以，可得或； （2）图象的开口向上，对称轴是， 故在上单调递减，而，， 所以的值域为； （3）因为在区间上是减函数，所以， 因此任意的，总有， 而，只需即可， 所以，即，则，解得， 又，因此. 35．（25-26高一上·福建宁德·期中）已知函数． (1)当时，用定义证明在上单调递增； (2)已知，写出在上的单调性（无需证明），若满足，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) 当时，， 任取且， 则， ，， ，即， 在上单调递增． (2)单调递增，或 (3) 【分析】（1）根据函数的性质，利用定义法证明函数单调性； （2）根据函数的性质，利用定义法证明函数单调性，利用函数单调性解抽象不等式求的取值范围； （3）先分析已知条件得出函数值域间的关系，求出的值域，分情况讨论的值域求出的取值范围． 【详解】（1）略 （2）当，任取且， 则， ，， ，即， 当时，在上单调递增； ，且， ， 在上单调递增，，即，解得或． （3）对任意，存在，使得， 在上的值域是在上值域的子集， ，在上单调递增， 当时，的值域为， 当时，在上单调递增，的值域为， ，，解得，，； 当时，，满足题意； 当，且时，， 若，则，，，解得，，； 若，则，， ，解得，，； 若，则，，，解得，不符合题意； 若，则，，，解得，不符合题意． 时，的取值范围为． 综上，的取值范围为． 36．（25-26高一上·天津·期中）已知函数，若，使得，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由题问题转化为存在，使得或，求出最值，得到的取值范围. 【详解】由，，即， ，即或， 即存在，使得或， 令，， 因为与均在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， ， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 37．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）已知函数，，． (1)若，方程有解，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用在上的单调性转化为求函数值域； （2）根据二次函数函数性质可得的最大值，可得，结合存在性问题分析求解即可． 【详解】（1）若，方程有解，即，， 因为函数的图象开口向上，对称轴是直线， 可知在上为减函数，则， 可得，即，所以的取值范围为. （2）若对任意的，总存在，使得， 因为函数的图象开口向上，对称轴是直线， 且，由对称性可知函数有最大值为； 可得在有解，即，即在有解， 可得或，解得或， 可得，所以的取值范围为. 38．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数，其中为非零常数. (1)写出在上的单调区间，； (2)若，求函数的值域； (3)若，对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值. 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，上单调递增. (2) (3) 【分析】本题主要考查函数的单调性、值域以及根据函数最值关系求解参数取值范围等知识点。 （1）根据对勾函数的性质直接得出在上的单调区间， （2）先对进行变形，再利用换元法，结合均值不等式求出换元后变量的取值范围，最后根据二次函数的单调性求出值域， （3）法1：分别求出在上的最小值和在上的最小值，再根据条件建立不等式，分情况讨论求解k的取值范围，进而得到k的最大值. 法2：根据题意将表达式化简，利用参变分离以及函数单调性即可求得实数的最大值. 【详解】（1）任取， 则； ①当时，由得到， 所以在上单调递增； ②当时， （i）当时，，所以在上单调递减； （ii）当时，，所以在上单调递增； 综上所得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，上单调递增. （2）当, 利用基本不等式当时；当时； 因为 所以，其中或者，令， 则转化为求，或者， 当时，函数取到最小值0.值域为. （3）法1：由题意，， 当时，，则，解得； 当时，，则，解得实数不存在； 当时，，则，解得实数不存在. 综上所述，实数的最大值为. 法2：由题意，， 即在有解，分离变量后在有解， 设，则，其中，解得. 综上所述，实数的最大值为. 考点10 根据分段函数的值域(最值)求参数 39．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合二次函数的性质及的最小值列不等式求参数范围. 【详解】因为，函数的对称轴为直线， 当，即时，函数在上为增函数，过定点， 根据题意，有，此时； 当，即时，当时， 由题意得，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 40．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 41．（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数单调递减，. 函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是. 42．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题可知该函数在上的值域包含，对实数的取值进行分类讨论，利用集合的包含关系可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】设， 当时，，即函数在上的值域为， 要使得函数的值域为，则该函数在上的值域包含， 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，， 所以函数在上的值域为， 由题意可得，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 43．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】分三种情况，分析函数的单调性及值域，即可得实数a的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 若，则当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当，即，解得， 即时，函数的值域为； 若，则当时，.此时的值域为，不合题意； 若，则当时，单调递增， 当时，；当时，，故，即. 综上，实数a的取值范围为. 44．（25-26高一上·山东德州·期末）定义，函数，若在区间上的值域为，则的最大值为__________ 【答案】 【分析】根据已知得，画出函数图象，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 当或时，， 当时，， 即，作出的图象如图所示： 当时，，令，解得，令，无解， 当时，，令，解得，令，解得， 当时，，令，解得，令，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 因为，所以的最大值为. 考点11 抽象函数中单调性奇偶性的问题 45．（25-26高一上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 【答案】(1) 根据题意，令得，解得， 令，则，即， 所以函数为奇函数. (2) 任取，且，则， 令，则， 因为时，，所以， 所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，即， 所以为上的增函数. 【分析】（1）先令得，再令即可判断奇偶性； （2）取，且，则，再令，进而根据奇函数性质，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 46．（25-26高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 【答案】(1) 函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数． (2) 由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减． (3) 【分析】（1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数； （2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证； （3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 47．（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的函数.对任意，总有. (1)证明：函数是奇函数； (2)若时，恒成立； ①判断函数在上的单调性，并说明理由； ②解关于的不等式：. 【答案】(1) 由对任意，总有， 令，则，则， 令，，则， 则有，故，则是奇函数. (2)①在上单调递减，理由如下： 设任意，， 则， 又，则，则， 所以函数在上单调递减； ②当或1时，解集为； 当时，解集为； 当或时，解集为 【分析】（1）令得出，再令，，利用奇函数的定义即可得证； （2）①利用定义法即可证明函数单调性；②首先利用函数单调性脱去，把不等式转化为，然后解含参不等式，分或1，，或三种情况即可求解. 【详解】（1）略 （2）①略 ②， 因为在上单调递减， 所以，即，即， 当，即或1时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即或时，解集为. 48．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2) 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; (3) 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 【详解】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2）略 （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 49．（25-26高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2) 函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. (3). 【分析】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【详解】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）略 （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 50．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 【答案】(1)， (2)奇函数 (3) 是上的减函数. 证明：令，则， 则， 由时，， 可得，即有，即，即， 则是上的减函数. 【分析】（1）通过赋值即可求解； （2）令，结合可判断； （3）令，由可判断，即可判断其单调性. 【详解】（1）令，则，即， ， ； （2）令，则，即，可得为奇函数； （3）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题07 函数单调性奇偶性综合 11大考点汇总 考点01 用定义证明函数单调性 考点02 判断函数奇偶性 考点03 根据函数的单调性求参数值 考点04 由奇偶性求参数 考点05 根据分段函数的单调性求参数 考点06 根据函数的单调性解不等式 考点07 由函数奇偶性解不等式 考点08 函数不等式恒成立问题 考点09 函数不等式能成立(有解)问题 考点10 根据分段函数的值域(最值)求参数 考点11 抽象函数中单调性奇偶性的问题 题型专练 考点01 用定义证明函数单调性 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 3．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 4．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 考点02 判断函数奇偶性 5．（25-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 6．（25-26高二下·天津·期末）已知函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象关于轴对称 B．在定义域内只有1个零点 C．在为单调增函数 D．的值域为 7．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 8．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，且在区间上单调递增，则下列结论中正确的是（   ） A． B．函数是上的增函数 C．是偶函数 D．是奇函数 考点03 根据函数的单调性求参数值 9．（25-26高一上·四川内江·期中）（多选）若函数在上是单调递减函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．3 10．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 11．（2026高三上·福建厦门·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 12．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________. 考点04 由奇偶性求参数 13．（2026·山西运城·二模）若为偶函数，则________． 14．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 15．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______. 16．（2026·山东临沂·二模）已知函数，若函数为奇函数，则________． 考点05 根据分段函数的单调性求参数 17．（25-26高二下·甘肃·期末）已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·河北衡水·期末）函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点06 根据函数的单调性解不等式 21．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选）下列说法正确的有（     ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．若命题“，”是假命题，则的取值范围是 C．若，，，则的最小值为 D．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 23．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 考点07 由函数奇偶性解不等式 25．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 26．（2026高三·全国·专题练习）已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 27．（25-26高一下·江西九江·期中）若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 28．（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 考点08 函数不等式恒成立问题 29．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高三·全国·一轮复习）设，恒成立，求实数m的取值范围. 31．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 32．（2026高二下·浙江·学业考试）已知，若不等式恒成立，则m的最小值为________． 考点09 函数不等式能成立(有解)问题 33．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末），使得成立，则实数的取值范围为_______． 34．（25-26高一上·北京顺义·期中）已知二次函数． (1)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的定义域为，其中常数，求的值域； (3)若函数在区间上单调递减，且对任意的，总有恒成立，求实数的取值范围． 35．（25-26高一上·福建宁德·期中）已知函数． (1)当时，用定义证明在上单调递增； (2)已知，写出在上的单调性（无需证明），若满足，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，存在，使得，求的取值范围． 36．（25-26高一上·天津·期中）已知函数，若，使得，则实数的取值范围为_____. 37．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）已知函数，，． (1)若，方程有解，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 38．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数，其中为非零常数. (1)写出在上的单调区间，； (2)若，求函数的值域； (3)若，对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值. 考点10 根据分段函数的值域(最值)求参数 39．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 40．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 41．（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 43．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为______. 44．（25-26高一上·山东德州·期末）定义，函数，若在区间上的值域为，则的最大值为__________ 考点11 抽象函数中单调性奇偶性的问题 45．（25-26高一上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 46．（25-26高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 47．（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的函数.对任意，总有. (1)证明：函数是奇函数； (2)若时，恒成立； ①判断函数在上的单调性，并说明理由； ②解关于的不等式：. 48．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 49．（25-26高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 50．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $