微专题 函数及其表示11大题型（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

微专题 函数及其表示 【题型1 函数的概念】 规律与方法 函数的四个特征： 1.非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. 2.任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. 3.单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. 4.方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 1.（2025·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 2．设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　） A．      B．  C．   D． 3.下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 函数的定义域】 规律与方法 函数的定义域 (写成集合或区间的形式) (1)分式 ； (2)偶次根式：； (3)x0： (4)对数函数：； (5)三角函数 1.（25-26高一上·广西玉林·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 3.若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 4.（26-27高一上·湖北·开学考试）要使分式有意义，则的取值范围为___. 【题型3 同一函数的判断】 规律与方法 函数的三要素 1.定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2.值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). 3.对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 同一函数：定义域、对应关系一样就保证一样。 1.（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2.下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3.（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型4 抽象函数的定义域】 规律与方法 1.若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. 2.若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 1.（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【题型5 函数解析式的求解：配凑法、换元法】 规律与方法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. 1.（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 2.若函数，则（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 函数解析式：待定系数法 】 规律与方法 函数解析式的四种求法 待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. 1.（26-27高一上·甘肃白银·开学考试）已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 2.已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 3.设二次函数满足，且过（0，1）为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 【题型7 函数解析式的求解：方程组法】 规律与方法 方程思想：已知关于f(x)与 1.（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 2.（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 3.已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．677 B．1354 C．2027 D．4054 【题型8 分段函数求值】 规律与方法 分段函数求值：分类讨论 1.（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 2.（25-26高一上·四川 ·期中）已知函数，则__________. 3.（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【题型9 分段函数解不等式】 规律与方法 解题方法：先分类讨论、每一段求交集，最后求并集。 1.（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【题型10 求函数值域】 规律与方法 求函数值域的方法 1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． 2、图象法：作出函数图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合． 3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围. 4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数， 形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法 6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如： 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。另外，此种形式还可使用分离常数法解法。 1．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数，的值域是___________. 2.（多选 25-26高一上·安徽合肥·期末）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 4.（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型11 分段函数的值域问题】 规律与方法 分段函数求最值（值域）：图象法 1.（25-26高一上·上海虹口·期末）函数的值域为___________． 2.（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 3.（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 4.（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 函数及其表示 【题型1 函数的概念】 规律与方法 函数的四个特征： 1.非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. 2.任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. 3.单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. 4.方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 1.（2025·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】D 【解题思路】根据函数的定义判断可得出结论. 【解答过程】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意， 对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义； 对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义. 故选：D． 2．设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　） A．      B．  C．   D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义分别检验各选项即可判断． 【详解】对于A：由图象可知定义域不是，不满足； 对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，满足； 对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，不满足； 对于D： 时，有两个值与之对应，由函数定义可知D不满足． 故选：B． 3.下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】观察所给的四个选项是否符合函数的概念，自变量到因变量对应关系允许“一对一”、“多对一”不允许“一对多”；自变量元素不允许“剩余”即可判断. 【解答过程】A选项：当x为负数时，B中没有元素与之对应，故A选项不正确； B选项：当x为零时，B中没有元素与之对应，故B选项不正确； C选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C选项不正确； D选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D选项正确． 故选：D. 【题型2 函数的定义域】 规律与方法 函数的定义域 (写成集合或区间的形式) (1)分式 ； (2)偶次根式：； (3)x0： (4)对数函数：； (5)三角函数 1.（25-26高一上·广西玉林·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为 2．（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【答案】C 【详解】由题意知，， 又恒成立， 所以函数的定义域为. 3.若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】函数 的定义域为，则对任意恒成立， 当时，不是恒成立， 当时，则,解得：， 所以实数的取值范围是. 4.（26-27高一上·湖北·开学考试）要使分式有意义，则的取值范围为___. 【答案】且 【知识点】具体函数的定义域 【分析】0的0次幂没有意义，偶次根号下被开方数为非负数，分母不能是0. 【详解】 【题型3 同一函数的判断】 规律与方法 函数的三要素 1.定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2.值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). 3.对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 同一函数：定义域、对应关系一样就保证一样。 1.（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等、求分段函数解析式或求函数的值 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 2.下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等、求分段函数解析式或求函数的值 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是，去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 3.（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】根据同一函数需同时满足定义域相同、对应法则相同的判定准则，逐一分析各选项的两组函数即可得出结论. 【详解】选项A：与的定义域均为，但对应法则不同，故不是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 选项C：与的定义域均为，对应法则也完全一致，故是同一函数. 选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 【题型4 抽象函数的定义域】 规律与方法 1.若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. 2.若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 1.（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 2.（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 3.（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 【题型5 函数解析式的求解：配凑法、换元法】 规律与方法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. 1.（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 2.若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】直接通过配凑法即可得结果. 【详解】， ， 所以. 3.已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 【题型6 函数解析式：待定系数法 】 规律与方法 函数解析式的四种求法 待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. 1.（26-27高一上·甘肃白银·开学考试）已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】根据待定系数法计算求解即可. 【详解】由题意可设， 因为满足， 所以， 即，解得， 所以. 2.已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式、已知函数类型求解析式 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 3.设二次函数满足，且过（0，1）为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】根据题意设二次函数的解析式，由得，由得以及，即可得出解析式. 【详解】设. 由， 得得①. 设的根为， 则， 所以②， 又由已知得③， 由①②③解得， 所以. 【题型7 函数解析式的求解：方程组法】 规律与方法 方程思想：已知关于f(x)与 1.（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 2.（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【知识点】已知f（g（x））求解析式、已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 3.已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．677 B．1354 C．2027 D．4054 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式 【分析】由x、y任意性得到，进而推出是常函数且设，再结合可得即可求. 【详解】由、xyx、y任意性可得， 当，时，，故是常函数， 所以当时，，其中c为常数， 由，得，解得，所以， 所以. 【题型8 分段函数求值】 规律与方法 分段函数求值：分类讨论 1.（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求分段函数值、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 2.（25-26高一上·四川 ·期中）已知函数，则__________. 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】求分段函数值、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数的性质求解即可. 【详解】. 3.（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 【题型9 分段函数解不等式】 规律与方法 解题方法：先分类讨论、每一段求交集，最后求并集。 1.（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】解分段函数不等式、分段函数的性质及应用 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 2.（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、解分段函数不等式、分段函数的性质及应用 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 3.已知函数，若，求实数的取值范围． 【答案】. 【难度】0.7 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【详解】由，得或或， 解得或或或， 所以实数的取值范围是. 【题型10 求函数值域】 规律与方法 求函数值域的方法 1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． 2、图象法：作出函数图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合． 3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围. 4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数， 形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法 6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如： 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。另外，此种形式还可使用分离常数法解法。 1．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数，的值域是___________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据自变量取值代入计算即可得出结果. 【详解】将分别代入计算可得. 所以函数的值域为. 故答案为： 2.（多选 25-26高一上·安徽合肥·期末）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】具体函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD 3.（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【难度】0.82 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 4.（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． 【题型11 分段函数的值域问题】 规律与方法 分段函数求最值（值域）：图象法 1.（25-26高一上·上海虹口·期末）函数的值域为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】分别求出分段函数和时的函数值的取值范围，取并集可得答案. 【详解】由于函数，当时，,当时，， 所以函数的值域为 故答案为： 2.（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】①分别根据反比例函数和二次函数的性质求出两段函数的值域即可；②作出函数的函数图象，根据函数图象再结合函数的值域列出不等式组，即可得解. 【详解】若，则， 当时，，则， 当时，， 综上，若，则的值域为； 如图，作出函数的函数图象， 令，解得或， 由图可知，要使函数的值域为， 则，解得， 所以若的值域为，则实数m的取值范围是. 故答案为：；. 3.（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数、求二次函数的值域或最值 【分析】由题意，函数最小值在上取得，所以需要分类求出最小值，并且不大于的下界值，即可解不等式得解. 【详解】如图，    当时，在上能取到最小值， 当时，在上能取到最小值， 当时，， 所以函数存在最小值时，需满足当时，，即； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 4.（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $