精品解析：湖南省长沙市岳麓区长沙麓山国际实验学校2026-2027学年八年级上学期9月阶段检测数学试题

9月适应性测试 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（    ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 5. 如图，，，则正确的结论是（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 以上说法都正确 6. 如图，线段为某景区缆车的缆绳，是缆绳与水平面的夹角．已知米，，则缆车从位置到位置，垂直上升的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 两个全等的三角形一定关于某直线对称 B. 若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形 C. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D. 到的三个顶点距离相等的点是三个内角平分线的交点 8. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 30 9. 如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点，则阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 10. 如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，若为底边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（ ）． A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为______． 12. 如图，在中，点在线段上，且，若，则_____． 13. 如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是________． 14. 如图，在中，的垂直平分线交边于点E．若，，则____________． 15. 如图，在中，、的平分线交于O点，过O点作交、于点E、F．当，时，的长为___________． 16. 如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则_____． 三、解答题（写出必要的步骤，共九道大题） 17. 如图的顶点坐标分别为，，． （1）将向左平移3个单位长度，画出平移后的； （2）画出关于x轴对称的； （3）在x轴上求作一点P，使得的值最小，并直接写出此时点P的坐标． 18. 如图，，，的垂直平分线交于点，交于点． （1）求的度数； （2）若，的周长为19，求的长． 19. 如图，在中，，于，平分，交于点F，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 20. 如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 21. 如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 22. 上午8时．一条渔船从港口A出发以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海岛C，测得（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 23. 如图，在△ABC的边AB，AC的外侧分别作等边△ABD和等边△ACE，连接DC，BE． （1）求证：DC＝BE； （2）若BD＝3，BC＝4， BD⊥BC于点B，请求出△ABC的面积． 24. 如图1，已知点，点，且x，y满足． （1）求A，B两点的坐标； （2）若点C是第二象限内一点，且，过点B作于点F，求证：； （3）如图2，若点D的坐标为，过点B作，且，连接交y轴于点G，求G点的坐标． 25. 如图1，点在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把沿直线翻折，点A恰好落在x轴上的点B处． （1）若，求点B的坐标； （2）点E为上一点，且，如图2，求的长； （3）如图3，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断，，这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9月适应性测试 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是解题的关键； 根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，即可解答. 【详解】解： 选项中的数学符号是轴对称图形的是，其它的都不是； 故选：D. 2. 点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的特征：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称，横坐标变为相反数，纵坐标不变；掌握这一特征是关键；根据这一特征即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点坐标为， 故选：C． 3. 如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：与关于直线对称， ，，故A、C、D选项正确，不符合题意， 不一定成立，故B选项错误，符合题意． 4. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（    ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点E作，如图所示： 由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，，，则正确的结论是（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 以上说法都正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴垂直平分， 根据现有条件，无法证明垂直平分， 故选A． 6. 如图，线段为某景区缆车的缆绳，是缆绳与水平面的夹角．已知米，，则缆车从位置到位置，垂直上升的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，关键是熟练应用知识点解题． 根据直角三角形的角所对的直角边等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 两个全等的三角形一定关于某直线对称 B. 若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形 C. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D. 到的三个顶点距离相等的点是三个内角平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质及线段的垂直平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两个全等的三角形不一定关于某直线对称，故A选项错误，不符合题意； B、若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形，正确，故B选项正确，符合题意； C、等腰三角形底边的高、中线、顶角的角平分线互相重合，故C选项错误，不符合题意； D、到的三个顶点距离相等到的点是三条边的垂直平分线的交点，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长，即：， ∴的周长． 故选：C． 9. 如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点，则阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，连接、、，由点A，B，C分别是，，的中点得出，，，从而得出，，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、， ， ∵的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 10. 如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，若为底边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（ ）． A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用三角形面积公式求出的长，再根据线段垂直平分线的性质得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当，，三点共线时周长最小，最小值为，由此求解． 【详解】解：连接，，如图， 是等腰三角形，点是底边的中点， ， ，且， ，解得， 是线段的垂直平分线，点在上， ， 的周长， 为定值， 要使的周长最小，只需最小， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 的周长的最小值． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为8，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当腰长为3时，不能构成三角形，不符合题意； ②当腰长为8时，，符合题意，此时周长为； 故答案为：19． 12. 如图，在中，点在线段上，且，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角得出，进而根据三角形的外角性质得出，进而根据等边对等角，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 13. 如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上得到是的垂直平分线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 14. 如图，在中，的垂直平分线交边于点E．若，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含的直角三角形的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得，则可求得的度数，然后由含的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，、的平分线交于O点，过O点作交、于点E、F．当，时，的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到，，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵、的平分线交于O点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：3． 16. 如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形以及等边三角形的性质，解答本题的关键是掌握直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 设，则， ∵，． ∴， ∴，， ∴． 故答案为：5． 三、解答题（写出必要的步骤，共九道大题） 17. 如图的顶点坐标分别为，，． （1）将向左平移3个单位长度，画出平移后的； （2）画出关于x轴对称的； （3）在x轴上求作一点P，使得的值最小，并直接写出此时点P的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求；由图可知， 【解析】 【分析】（1）根据平移规则画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出即可； （3）连接交x轴于点P，根据对称性可知，，进而得到当点在线段上时，的值最小，写出此时P点坐标即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，，，的垂直平分线交于点，交于点． （1）求的度数； （2）若，的周长为19，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，然后由的垂直平分线可得，继而求得的度数，则可求得的度数； （）由是的垂直平分线，，则，，的周长为，从而得，从而求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 垂直平分， ， ， ． 【小问2详解】 解：垂直平分， ，． ， ∴， ， ， ． 19. 如图，在中，，于，平分，交于点F，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明： ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理及角平分线的计算，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出，，确定，再由各角之间的等量代换及等角对等边判断即可． （2）根据邻补角得出，确定，得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20. 如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据直角三角形的性质得出，再根据等边三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵点是边的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴． 21. 如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的长为 （2）的度数为 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后根据的周长为进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵，分别垂直平分和， ，， ． ∵的周长为， ， ； 【小问2详解】 解：在中，， ， ，， ，， ． ， 即的度数为． 22. 上午8时．一条渔船从港口A出发以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海岛C，测得（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】（1）海岛B到海岛C的距离为30海里 （2）救援队先到 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； 【小问2详解】 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为小时，救援队所用时间为小时， ∴救援队先到． 23. 如图，在△ABC的边AB，AC的外侧分别作等边△ABD和等边△ACE，连接DC，BE． （1）求证：DC＝BE； （2）若BD＝3，BC＝4， BD⊥BC于点B，请求出△ABC的面积． 【答案】 （1）证明： ∵等边△ABD和等边△ACE ∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60° ∴∠DAC＝∠EAB ∴△DAC ≌△BAE ∴DC＝BE （2）3 【解析】 【分析】⑴根据等边三角形的性质得AB=AD,AE=AC, ∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC,根据SAS证得 △ABE≌△ADC,得到DC=BE. ⑵过点A作AH⊥BC于H ，BD⊥BC，得到∠ACB=90°-∠ABD=90°-60°=30° 2AH=AB,得出AH,BC已知，根据三角形面积即可求出. 【详解】（1）略 （2） 过点A作AH⊥BC于H ∵BD⊥BC ∴∠DBC＝90° ∵等边△ABD ∴∠DBA=60° ，AB=BD=3 ∴∠ABC＝30° ∵AH⊥BC ∴AH＝ ＝ ∴△ABC的面积＝ 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质全等三角形的判定定理及性质的应用，直角三角形中，30°角对应的边是斜边的一半. 24. 如图1，已知点，点，且x，y满足． （1）求A，B两点的坐标； （2）若点C是第二象限内一点，且，过点B作于点F，求证：； （3）如图2，若点D的坐标为，过点B作，且，连接交y轴于点G，求G点的坐标． 【答案】（1） （2） 证明：如图1，作于， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的非负性，解二元一次方程组即可得解； （2）作于，证明，得到：，再根据等腰直角三角形，得到，进而得到：，即可得证； （3）作轴于，分别证明和，得到：，进而利用求出的长，进而求出的长，即可得解． 【小问1详解】 解：∵． ， 解得：， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，作轴于， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查绝对值的非负性，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的判定和性质等知识点．通过添加辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 25. 如图1，点在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把沿直线翻折，点A恰好落在x轴上的点B处． （1）若，求点B的坐标； （2）点E为上一点，且，如图2，求的长； （3）如图3，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断，，这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】（1） （2）16 （3） 解：； 证明：如图3，在的延长线上取一点N，使， ∵平分，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵ ∴， 在和中 ， ∴， ∴ ∵ ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． （1）根据轴对称的性质，得，可得，求出，即可得出结论； （2）过点D作于M，再证，得出，再证，得，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点N，使，再判断出，进而判断出，得出，，再证，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：， 由轴对称的性质，得 ， ∴， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，过点D作于M， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 又， ， ，， ， ， 又， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $