专题1.1 集合的概念（专题训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合概念核心素养，以8类题型系统覆盖集合定义、元素特性、表示方法及应用，形成从概念理解到综合应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|5题|考查集合元素确定性|概念生成基础| |同一集合判断|5题|强调元素无序性与相同性|概念辨析深化| |元素特性求参|5题|突出互异性应用|特性应用延伸| |元素与集合关系|5题|判断元素归属|关系认知构建| |关系求参数|6题|结合元素关系解参数|关系应用提升| |元素个数|5题|综合集合元素计数|综合应用强化| |列举法|5题|集合表示方法实践|表示方法掌握| |描述法|4题|抽象集合表示训练|表示方法深化|

专题1.1 集合的概念（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型 1··对集合概念的理解 1 题型 2··判断是否为同一集合 3 题型 3··集合中元素特性的求参问题 5 题型 4··判断元素与集合的关系 7 题型 5··根据元素与集合的关系求参数 8 题型 6··集合中的元素个数问题 10 题型 7··列举法表示集合 12 题型 8··描述法表示集合 13 题型 1··对集合概念的理解 1．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【分析】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 2．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【分析】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 3．下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【分析】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C 4．下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成的集合的是（   ） A．potential B．challenge C．balance D．remind 【答案】D 【分析】利用集合的互异性求解. 【详解】选项A中字母重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项A错误； 选项B中字母和重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项B错误； 选项C中字母重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项C错误； 选项D中字母没有重复，满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项D正确. 故选：D. 5．下列集合表示正确的是（    ） A． B． C． D．是高个子的男生 【答案】A 【分析】根据集合的定义，以及集合中元素的互异性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】根据集合的定义，以及集合中元素的互异性，可得： 对于A，可以表示为一个集合； 对于B，不能表示为一个集合； 对于C，不能表示为一个集合； 对于D，是高个子的男生中的元素不确定，所以不能表示为一个集合. 故选：A. 题型 2··判断是否为同一集合 6．下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 7．下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B 8．下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 9．下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. 10．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 题型 3··集合中元素特性的求参问题 11．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值. 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. 12．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 13．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 14．已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【答案】A 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． 15．已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合元素的互异性可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，则或或， 解得或. 故选：B. 题型 4··判断元素与集合的关系 16．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合A，依次判断各选项. 【详解】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. 17．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 18．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值 【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 19．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 20．已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】集合，共有4个元素，故选B. 题型 5··根据元素与集合的关系求参数 21．若，则（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【详解】若，则，，不符合题意； 若，则（舍去）或，则，符合题意． 故选：A 22．已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【答案】B 【分析】分别令和，求得a值，根据集合的互异性，分析即可得答案. 【详解】因为，当，即时， 集合，不满足互异性，不符合题意， 当时，解得或（舍）， 当时，集合，满足题意. 故选：B 23．设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 24．已知集合，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用元素与集合的关系可求解. 【详解】因为，，所以，解得. 故选：D. 25．若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论参数对应的元素，结合集合元素互异性确定参数取值集合即可. 【详解】当，则，显然集合元素不满足互异性； 当，则，此时集合为，满足； 当，即或，（其中舍）， 若，此时集合为，满足； 若，此时集合为，满足； 综上，的取值集合为. 故选：D 26．已知集合，若，则________ 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 题型 6··集合中的元素个数问题 27．已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由题意得集合，故集合的元素个数为5. 28．已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 29．已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 30．已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 31．已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据方程有两个不等实根可讨论得到结果； （2）根据方程有唯一解或两个相等实根可讨论得到结果. 【详解】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根； 当时，，解得：，不合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为：或. （2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，此时； 综上所述：实数的取值集合为. 题型 7··列举法表示集合 32．集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列举法的知识确定正确答案. 【详解】找条件为大于1且小于等于5的自然数，则符合条件的元素为， 所以列举法表示为. 33．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得，方程组解集为点集，即为. 34．已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据确定出的可取值，然后根据判断出中的元素即可求解出. 【详解】因为，所以， 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，不符合； 所以， 故选：B. 35．方程的解集为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解法求方程的解，再利用列举法写出解集. 【详解】方程可化为， 所以或， 所以方程的解集为， 故选：B. 36．集合，集合A用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解，即可. 【详解】由， 可得， 即，又 所以， 故选：C 题型 8··描述法表示集合 37．在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据坐标轴上的点特征判断选项. 【详解】直角坐标系中，轴上所有点的坐标满足，轴上所有点的坐标满足，原点同时属于两条坐标轴， 因此坐标轴上的点等价于满足“或”的点， 由实数乘法性质，的充要条件为或， 因此坐标轴上的点的集合可表示为，其余选项逐一排除； 选项A：集合中不含原点，原点属于坐标轴上的点，A错误； 选项B：“不同时为0”等价于，不含原点，B错误； 选项C：仅表示y轴上除原点外的点，遗漏x轴上的所有点和原点，C错误. 38．用描述法表示下图所示阴影部分的点（包括边界上的点）的坐标的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可得阴影部分中的取值范围是，的取值范围是，所以阴影部分的点（包括边界上的点）的坐标的集合是. 39．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】应用列举法写出集合，即可得元素个数. 【详解】由集合的描述知. 故选：D 40．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（    ）． A．45 B．53 C．62 D．77 【答案】A 【分析】根据题意作出图示表示集合A、B所表示的点，由数形结合思想可得出表示的点集的横坐标和纵坐标的范围，从而可得出中元素的个数. 【详解】集合A中有5个元素，即5个点，如图中黑点所示． 集合中有25个元素（即25个点）， 即下图中正方形ABCD内部及正方形ABCD边上的整点． 所以或或或0或1或2或3，共7个值； 所以或或或0或1或2或3，共7个值， 所以集合中的元素可看作图中正方形内部及正方形边上除去四个顶点外的整点，共（个）． 故选：A． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合的概念（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型 1··对集合概念的理解 1 题型 2··判断是否为同一集合 2 题型 3··集合中元素特性的求参问题 2 题型 4··判断元素与集合的关系 3 题型 5··根据元素与集合的关系求参数 3 题型 6··集合中的元素个数问题 4 题型 7··列举法表示集合 5 题型 8··描述法表示集合 5 题型 1··对集合概念的理解 1．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 2．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 3．下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 4．下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成的集合的是（   ） A．potential B．challenge C．balance D．remind 5．下列集合表示正确的是（    ） A． B． C． D．是高个子的男生 题型 2··判断是否为同一集合 6．下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 7．下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 8．下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 9．下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 10．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 题型 3··集合中元素特性的求参问题 11．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 12．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 13．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 14．已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 15．已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 题型 4··判断元素与集合的关系 16．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 17．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 18．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 20．已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型 5··根据元素与集合的关系求参数 21．若，则（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 22．已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 23．设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．已知集合，且，，则（   ） A． B． C． D． 25．若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 26．已知集合，若，则________ 题型 6··集合中的元素个数问题 27．已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 28．已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 29．已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 30．已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 31．已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 题型 7··列举法表示集合 32．集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 33．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 34．已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 35．方程的解集为（    ） A．或 B． C． D． 36．集合，集合A用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 题型 8··描述法表示集合 37．在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可以表示为（    ） A． B． C． D． 38．用描述法表示下图所示阴影部分的点（包括边界上的点）的坐标的集合是（    ） A． B． C． D． 39．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 40．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（    ）． A．45 B．53 C．62 D．77 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $