第06讲 拓展一集合与常用逻辑用语中的参数问题（10类热点题型）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语参数问题，通过10类题型系统覆盖元素关系、集合运算及逻辑用语，构建从概念到应用的递进训练，培养抽象能力与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |元素与集合关系|2典3变|元素归属求参数|从元素基本属性切入，建立集合概念与参数关联| |元素互异性|2典3变|含参集合互异性检验|深化集合特性，培养严谨思维| |元素个数|2典3变|方程解个数与参数|连接集合与方程，体现数学建模| |集合相等|2典3变|元素对应关系求参|强化相等充要条件，发展推理能力| |包含关系|2典3变|子集关系参数范围（高频）|构建集合间关系逻辑推理框架| |交集/并集/补集|各2典3变|运算结果逆向求参|完善集合运算体系，提升转化能力| |充分必要性|2典3变|逻辑条件参数范围|连接集合与逻辑，发展理性思维| |量词命题|2典3变|全/存在命题真假求参|深化逻辑用语应用，提升数学眼光|

第06讲 拓展一集合与常用逻辑用语中的参数问题 题型01 根据元素与集合的关系求参数 【典例1】（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（   ） A．1 B． C． D．与a的取值有关 【典例2】（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为_________. 【变式1】（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·四川·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 【变式3】（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知全集，集合，若，则________. 题型02利用集合元素的互异性求参数 【典例1】（多选）（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【典例2】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，则实数的取值集合为___________. 【变式1】（24-25高三上·上海·阶段检测）设，若集合中的最大元素为3，则______． 【变式2】（24-25高一上·河南商丘·期中）已知，则___________. 【变式3】（第1课时课中集合的概念与表示（完成））若，求的取值范围． 题型03根据集合中元素的个数求参数 【典例1】（2025高一上·北京海淀·专题练习）已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【典例2】（23-24高一上·广东梅州·期中）若集合的所有子集个数是，则的值是_____ 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【变式2】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 【变式3】（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 题型04根据两个集合相等求参数 【典例1】（2026年高一数学秋季开学分班�学情自测卷（北师大版必修一预备知识：集合与常用逻辑用语 不等式））设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测）若集合A中有三个元素1，，a，集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则的值为________． 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2026高三下·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 题型05根据集合的包含关系求参数（高频+重点） 【典例1】（25-26高一上·上海金山·期末）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【典例2】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式1】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【变式2】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 【变式3】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 题型06根据交集结果求参数 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 【典例2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 【变式1】（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【变式2】（25-26高一上·上海·阶段检测）设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 【变式3】（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）已知集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 题型07 根据并集结果求参数 【典例1】（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知，集合，. (1)若，求，； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【典例2】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式2】（25-26高一上·北京·期中）已知集合． (1)若，且，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 【变式3】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，对应的m的取值构成集合A，集合． (1)求集合A； (2)若，求a的取值范围． 题型08根据补集结果求参数 【典例1】（24-25高一上·河南周口·阶段检测）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【典例2】（24-25高一上·湖北宜昌·期中）已知全集，集合． (1)若且，求实数的值； (2)设集合，若的真子集共有3个，求实数的值． 【变式1】（25-26高二·全国·学业考试模拟）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【变式2】（23-24高一上·浙江金华·阶段检测）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【变式3】（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 题型09 根据充分性或必要性求参数 【典例1】（25-26高二下·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 【变式1】已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式2】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式3】已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件. 题型10根据全称（存在）量词命题的真假求参数 【典例1】（25-26高一下·四川内江·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【变式1】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 【变式3】（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 拓展一集合与常用逻辑用语中的参数问题 题型01 根据元素与集合的关系求参数 【典例1】（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（   ） A．1 B． C． D．与a的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 易知为四个各不相同的实数，所以集合. 因此集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 【典例2】（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为_________. 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 【变式1】（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据且，建立不等式求解即可. 【详解】因为集合，而且 且，解得. 故选：B 【变式2】（25-26高一上·四川·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据，得到，求解即可. 【详解】若，则满足该不等式，代入得， 则，则， 故答案为：. 【变式3】（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知全集，集合，若，则________. 【答案】2 【分析】由元素与集合的关系得到，是3，4，5中的两个数，再分类讨论计算即可. 【详解】因为，所以，是3，4，5中的两个数. 当时，得. 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 故答案为：2 题型02利用集合元素的互异性求参数 【典例1】（多选）（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 【典例2】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，则实数的取值集合为___________. 【答案】 【分析】根据3是集合的元素进行分类讨论，注意验证集合的元素是否互异可得. 【详解】由，所以 ①当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. ②当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. 综上可知，实数的取值集合为， 故答案为： 【变式1】（24-25高三上·上海·阶段检测）设，若集合中的最大元素为3，则______． 【答案】1 【分析】先根据元素在集合内，再分分别检验是否符合题意. 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 【变式2】（24-25高一上·河南商丘·期中）已知，则___________. 【答案】 【分析】分别解方程和求得的值，再结合元素互异性即可求解. 【详解】因为，所以或， 解得：或， 当时，，不满足元素的互异性，所以不成立， 当时，集合为，所以符合题意， 故答案为：. 【变式3】（第1课时课中集合的概念与表示（完成））若，求的取值范围． 【答案】 【分析】由集合的特性列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】 ，得 综上，且 即的取值范围为 题型03根据集合中元素的个数求参数 【典例1】（2025高一上·北京海淀·专题练习）已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【详解】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 故选：D 【典例2】（23-24高一上·广东梅州·期中）若集合的所有子集个数是，则的值是_____ 【答案】或 【分析】首先将题目等价转换为方程只有一个解，从而对分类讨论即可求解. 【详解】由题意只含有一个元素，当且仅当方程只有一个解， 情形一：当时，方程变为了，此时方程只有一个解满足题意； 情形二：当时，若一元二次方程只有一个解， 则只能， 解得. 综上所述，满足题意的的值是或. 故答案为：或. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 【变式2】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 【答案】4 【分析】集合只有1个元素，即方程只有1个解，分一元一次、一元二次方程进行讨论即可. 【详解】当时，只有1个解，符合题意； 当时，对于一元二次方程只有1解，则，解得. 综上实数的所有可能值的和为， 故答案为：4. 【变式3】（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 题型04根据两个集合相等求参数 【典例1】（2026年高一数学秋季开学分班�学情自测卷（北师大版必修一预备知识：集合与常用逻辑用语 不等式））设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 【典例2】（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测）若集合A中有三个元素1，，a，集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则的值为________． 【答案】2 【详解】由题意可知，即集合与集合的元素完全相同，因为，所以； 又集合的元素为，若，则无意义，因此， 故仅能，即； 将代入，得， 此时集合，集合， 由元素对应相等可得，. 因此. 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，所以， 当时，则，所以，得， 此时； 当时，则，所以，所以，所以，则， 此时， 综上所述，实数的取值集合为. 故选：B. 【变式2】（2026高三下·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【分析】根据集合相等的定义求得后可得结论． 【详解】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 题型05根据集合的包含关系求参数（高频+重点） 【典例1】（25-26高一上·上海金山·期末）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简集合，再根据得出再列出关于实数m的不等式组，解出即可； （2）分和两种情况讨论，根据列出关于实数m的不等式组，解出即可. 【详解】（1）不等式，变形为，通分得：，等价于，解得， 故集合.因为，根据集合的性质可知：,所以，解得：， 所以实数m的取值范围是. （2）当时，，因为，所以，解得， 当时，且，所以，此时不等式组无解. 综上，实数m的取值范围是. 【典例2】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 【变式1】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)1536 (2)或 【分析】（1）由题知，进而根据集合中的每个元素包含它的子集个数为计算求解即可； （2）分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）解：当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． 【变式2】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)，，，. (3) 【分析】（1）由，可求得，即可求解； （2）由，即可求出相应的子集； （3）由，结合（2）分别对进行讨论，从而求解. 【详解】（1）由，所以，得， 则，解得或， 所以. （2）由， 所以集合的子集为：，，，. （3）由，由集合的子集为：，，，. 当时，即，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上：实数的取值范围为. 【变式3】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，代入即可求得a值. （2）由题意，分别讨论、、和四种情况，分别求得a值，分析即可得答案. 【详解】（1）由，代入可得，解得. （2）由，解得或4，即集合， 因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，不成立； 当时，，解得. 综上，实数a的取值为范围为或， 题型06根据交集结果求参数 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 【答案】或 【分析】化简集合，根据交集的概念可知，通过讨论集合是否为空集即可求解. 【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 【典例2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）将问题转化为，即可对讨论求解， （2）对分空集和非空集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】（1）若选，则, 若②，则， 若选③，则， 因此不论选哪一个条件，都需要满足， 接下来求解， 若时，则，解得， 若时，则，解得， 综上可得， （2）当时， 若时，则，解得， 若时，或，解得， 综上可得或. 【变式1】（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 【变式2】（25-26高一上·上海·阶段检测）设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据条件得，即可求解； （2）根据条件得，再对进行讨论，即可求解. 【详解】（1）由，得到或，所以    ， 故集合的所有子集为. （2）因为，则，又， 方程，， 若，即，方程无解，此时，满足题意； 若，即，由，即，解得， 此时，满足题意； 若，即，要使，则方程的解集为或， 则，解得， 综上所述，或. 【变式3】（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）已知集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定时集合的范围，求出其补集后与求交集； （2）将转化为，通过集合端点的包含关系列不等式组求解. 【详解】（1）当时，，则， 又，故. （2）由，得到，需满足，，且， 解得，，， 综合得，故的取值范围是. 题型07 根据并集结果求参数 【典例1】（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知，集合，. (1)若，求，； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在，或0 【分析】（1）当时，可得集合A、B，根据交集、并集运算的定义，即可得答案. （2）当时，分析可得不符合题意，则，由题意，可得，分别讨论和两种情况，根据集合的性质，即可求得答案. 【详解】（1）当时，集合，集合， 则，. （2）当时，集合，集合，不合题意，舍去， 当时，集合，集合， 因为，所以，又，只需， 情况①，，符合题意； 情况②，解得（1舍去），此时，符合题意， 综上可得或0. 【典例2】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用集合的运算即可求出答案； （2）由得到，分为和两种情况分别求的范围，即可求出答案. 【详解】（1）当时，， 所以， 又因为或， 所以. （2）因为，所以， 当，即时，，符合题意， 当，即时， 若，则，解得， 综上，的取值范围为. 【变式1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1), (2) 【详解】（1）当时，， 所以， 又， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，解得， 综上，实数a的取值范围. 【变式2】（25-26高一上·北京·期中）已知集合． (1)若，且，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由题设是的两个根，利用韦达定理及已知条件求参数值，注意验证，即可得； （2）由题设求出集合且，结合集合中的不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设是的两个根，则， 由， 则，可得或， 又，则，显然或均满足， 综上，或； （2）由题设，， 又，即，故. 【变式3】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，对应的m的取值构成集合A，集合． (1)求集合A； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程求解； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为有两个不等的实根， 所以，解得，所以． （2）由题得， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得． 综上所述，a的取值范围是． 题型08根据补集结果求参数 【典例1】（24-25高一上·河南周口·阶段检测）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）求得集合，得到或，结合并集的运算，即可求额吉；或. （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合集合的运算法则，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合，或， 可得或，则或. （2）解：由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 【典例2】（24-25高一上·湖北宜昌·期中）已知全集，集合． (1)若且，求实数的值； (2)设集合，若的真子集共有3个，求实数的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先化简集合，得到，根据可得到的值，并用进行检验即可； （2）分和两种情况进行分类讨论，即可得到答案 【详解】（1）由题意，，所以， 若，则或，解得或， 又，所以； （2）因为， 当时，，此时集合共有1个真子集，不符合题意； 当即时，，此时集合共有3个真子集，符合题意， 综上所述， 【变式1】（25-26高二·全国·学业考试模拟）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 【变式2】（23-24高一上·浙江金华·阶段检测）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分类讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. （2）由条件知，讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. 【详解】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是； 【变式3】（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由已知结合集合补集的运算即可求解； (2)由，则，然后对是否为空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）， . （2）由得，， 当时，由，可得，即； 当时，由，且， 可得，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 题型09 根据充分性或必要性求参数 【典例1】（25-26高二下·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得集合和，再由“”是“”的充分条件，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得，所以， 由不等式，可得，所以集合． 又因为“”是“”的充分条件，可得， 则满足，即，解得或， 所以实数的取值范围是． 【变式1】已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先根据必要不充分条件得到Ü，然后根据集合间的关系求解的取值范围 【详解】或，. 又是的必要不充分条件，是的真子集. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． 【变式2】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为集合的子集关系，再结合集合的子集关系，分类讨论，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式3】已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】不存在 【详解】∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 题型10根据全称（存在）量词命题的真假求参数 【典例1】（25-26高一下·四川内江·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 【典例2】（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 【变式1】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原命题为真，利用存在性成立列不等式求解即可． 【详解】由于“，使得” 是真命题， 可得，使得成立， ，即， 故选：C 【变式2】（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】因为，所以， 又命题“，”为假命题， 即，即． 【变式3】（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，结合二次函数的图像与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由命题“，使得”是假命题， 可得命题的否定：“，使得”是真命题， 设，则在上恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $