专题13.1 三角形的概念（培优讲义） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“三角形的概念”核心知识点，系统梳理三角形的定义、表示法、内角与外角概念，以及按角（锐角、直角、钝角）和按边（不等边、等腰、等边）的分类标准，构建从基础概念到识别、个数问题、等腰三角形定义等题型的学习支架。 该资料以“探究式学习”为亮点，如通过木棒搭等腰三角形的问题链，引导学生从特殊到一般抽象规律，培养创新意识与推理能力。题型设计含例与变式训练，课后检测结合复盘笔记，助力学生用数学语言表达与查漏补缺，课中辅助教师分层教学，课后强化知识应用。

简一数理 初中专题讲义 专题13.1 三角形的概念 （新教材人教版） 2 4 5 7 9 11 16 31 定 义 示例剖析 三角形的定义： 由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性. 表示法及读法： 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”．的三边有时也用a，b，c表示． 顶点A的对边a（BC） 顶点B的对边b（AC） 顶点C的对边c（AB） 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ，，是的内角 三角形的外角： 三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角. 如图，，，是的外角. 三角形的分类： 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）． 锐角三角形 直角三角形 锐角三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 【题型1 三角形的有关概念】 【例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1-1】在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 【变式1-2】如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：选项A、三角形是由三条不在同一直线的线段首尾顺次连接组成的图形，则 A错误； 选项B、根据三角形内角和定理得，三角形的内角和为，外角和为，则 B错误； 选项C、锐角三角形的每个内角小于，每个外角内角，则三个外角都是钝角，C正确； 选项D、直角三角形有两条直角边作为高，还有从直角顶点向斜边所作的高，有三条高，则D错误； 故选：C． 【题型2 三角形的识别】 【例2】下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义. 根据三角形的定义进行判断即可. 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形， 所以选项C符合题意. 故选： C． 【变式2-1】如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下．请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形状，是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形，解题的关键是熟练掌握三角形的分类；根据三角形的分类即可得到正确的结论 【详解】解：由图可知：三角尺露出的角是钝角， 故该三角形是钝角三角形， 故选D 【变式2-2】图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以为边的三角形有：、、，共个． 故选：C ． 【变式2-3】图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 由D、E、C三点分别与端点相连，可构成3个三角形， 【详解】解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个． 故选：B． 【题型3 三角形的个数问题】 【例3】如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 【变式3-1】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键． 三角形的三个顶点不能共线，因此从直线a和直线b中交叉选取三点，分①从选个、选 个；②从选 个、选个两种情况，计算可组成的三角形数量． 【详解】解：可以组成的三角形有: ，，，，，，，，，共9个． 故选：D． 【变式3-2】请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．由三角形的概念，数的时候要注意按照一定的规律，不重不漏． 【详解】解：有，，，，，共5个三角形． 故答案为：A． 【变式3-3】如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键； 根据三角形的特征即可求解； 【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个； 故选：C 【题型4 三角形的分类】 【例4】在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 【变式4-1】如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 【变式4-2】如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 【变式4-3】如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键． 先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答． 【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个． 故选D． 【题型5 等腰三角形的定义】 【例5】一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长度求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若为腰长，为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 【变式5-1】下列说法正确的是（    ） A．不相交的两直线一定是平行线 B．两条平行线被第三条直线所截，形成的一对同旁内角的平分线互相垂直 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．等腰三角形的对称轴是顶角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了两条直线的位置关系，平行线的性质，平行公理及等腰三角形的性质，根据以上以上知识点逐项判断即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：、在同一平面内，不相交的两直线一定是平行线，该选项说法错误，不合题意； 、两条平行线被第三条直线所截，形成的一对同旁内角的平分线互相垂直，该选项说法正确，符合题意； 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项说法错误，不合题意； 、等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，点，点，若点在轴上，且为等腰三角形，则点的个数有（   ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图：    当时，点满足题意； 当时，点满足题意； 当时，点满足题意； 综上：点的个数有4个； 故选B． 【变式5-3】如图， 在中，． 若某个三角形与能拼成一个等腰三角形 （无重叠），则拼成的等腰三角形有（      ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 分以为腰，为腰两种情况求解即可． 【详解】解：分以为腰，为腰两种情况；如图， ∴拼成的等腰三角形有5种， 故选：B． 【探究式学习】 1．综合与实践 【问题提出】用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ 【问题探究】不妨假设能搭成种不同的等腰三角形，为探究与之间的关系，我们可以先从特殊人手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论． 【探究一】 （1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形． 所以，当时，． （2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形． 所以，当时，． （3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 所以，当时，． （4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 所以，当时，． 综上所述，可得： 表① 3 4 5 6 1 0 1 1 【探究二】 （1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ （仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中） （2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （只需把结果填在表②中） 表② 7 8 9 10 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究， 【问题解决】（3）用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设分别等于，，，，其中是正整数，把结果填在表③中） 表③ 【问题应用】（4）用2023根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？写出解答过程． 【答案】（1）2种；（2）见解析；（3），，，；（4）506种 【分析】（1）根据等腰三角形的定义分别例举即可得结论； （2）仿照探究一中的方法，将木棒分成相等的两部分和另一部分，利用三角形成立的条件进行判断即可； （3）从两个表格中总结出规律填表即可 （4）用2023和4的倍数关系，结合问题解决中的规律即可解答． 【详解】解：（1）用7根相同的木棒搭一个三角形， 即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 此时，能搭成2种等腰三角形， 当时，． （2） 7 8 9 10 2 1 2 2 （3）由规律可知， （4）， 用2023根相同的木棒搭一个三角形，能搭成506种不同的等腰三角形． 【点睛】本题考查的是基本作图及等腰三角形，解题的关键是掌握等腰三角形的性质及三角形成立的条件． 2．问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶 点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： 探究一：以的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把分割成3个互不重叠的小三角形． 探究二：以的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： 一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在的内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在上，如图③．显然，不管哪种情况，都可把分割成5个互不重叠的小三角形． 探究三：以的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图． 探究四：以的三个顶点和它内部的m个点，共个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形． 探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共个点为顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形． 问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶点，可把原n边形分割成 个互不重叠的小三角形． 实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？(要求列式计算) 【答案】 探究三： 7，分割示意图如下（答案不唯一）： 探究四：； 探究拓展；； 问题解决：； 实际应用：4030 【分析】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键． 探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可． 探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出个点分割的部分数即可． 探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解． 问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解． 实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解． 【详解】解：探究三：略 探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，， 三角形内部2个点时，共分割成5部分，， 三角形内部3个点时，共分割成7部分，， …， 所以，三角形内部有m个点时，共分割成部分． 探究拓展：四边形的4个顶点和它内部的m个点， 则分割成的不重叠的三角形的个数为：=． 问题解决：=． 实际应用：把，代入上述代数式，得． 【课后检测】 1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，的长为半径画圆，以B为圆心，的长为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与x轴的交点即为C点的位置． 【详解】解：∵， ∴； 如图所示，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点，可构成等腰， 以点B为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点，可构成等腰， 作线段的垂直平分线与x轴交于点（与原点重合），可构成等腰， 综上所述，一共有4个点C满足题意， 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．7个 D．确定不下来 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分别以为腰的三角形，以为腰的三角形和以为腰的三角形分别进行分析即可，正确理解等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知：以为腰的三角形有个，轴正半轴上的点不能成立，因为此时三点共线，不能构成三角形； 以为腰的三角形有个； 以为腰的三角形有个． 则点的个数是． 故选：C． 4．聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角，据此求解． 【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； 是直角时，有1种选法； （种） 连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 故答案为：C 5．如图，已知，，，点与坐标系原点重合，若点在坐标轴上，且是等腰三角形，则点的坐标可能有（  ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，坐标与图形，根据题意画出图形即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在轴上共有个这样的点，图中实心点，在​轴上共有​个这样的​点，图中实心点，    ∴共有个， 故选：． 6．如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有A、B、C、D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　　） A．A、B、C三点在一条直线上 B．连接、，则是直角三角形 C．连接， D．连接、，则 【答案】D 【分析】本题考查了直线、三角形的分类、平移的性质，垂直的定义，理解网格的特点，掌握相关知识点是解题关键． 【详解】解：A、连接并延长，点不在直线上，即A、B、C三点不在一条直线上，结论错误，不符合题意； B、连接、，取格点，，而，即是钝角三角形，结论错误，不符合题意； C、连接，将点向上平移三个单位，再将点向上平移三个单位，点不在直线上，即不平行，结论错误，不符合题意； D、由网格可知，，结论正确，符合题意； 故选：D． 7．同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（      ）． A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形按角分类的方法．根据图示，露出的角是一个锐角，被遮住的两个角可能有两个锐角，有一个直角或钝角，据此解答． 【详解】解：如上图中被信封遮住的可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 8．将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，结合等腰直角三角形的性质是解题的关键．根据平行线的性质，即可得出，再根据等腰直角三角形中，，即可得到． 【详解】解：如图， 直尺的对边平行，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故选：D． 9．如图，在的正方形网格中，点、都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以、为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点，即可得到点的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有6个． 故选：． 10．如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标规律探索、等腰直角三角形的性质，仔细观察图形，找到点的坐标变化规律是解答的关键．先确定出在x轴的负半轴上，再写成、、、…的坐标，从而得到点的坐标的变化规律，然后即可求解． 【详解】解：由题意，∵， ∴在x轴的负半轴上， ∵，，，，…， ∴的横坐标为，即， 故选：A． 11．如图所示，图中共有三角形______个． 【答案】5/五 【详解】解：图中有：，，，，，共个． 12．如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 【答案】65 【详解】解：如图， ∵平行于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 13．定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和“优美比”的定义，分为腰和为底边两种情况讨论，分别计算腰长与底边长的比值即可． 【详解】解：根据题意得，等腰三角形的周长为，． 当为腰时，另一腰也为，底边长为， ∴优美比腰长/底边长． 当为底边时，腰长为， ∴优美比腰长/底边长． 故答案为：或． 14．如图，已知四点． (1)画直线，射线，线段，；（不需写作图过程） (2)求作点，使的值最小；（不需写作图过程） (3)在（）的条件下，若，，，则______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】（）根据直线、射线、线段和角的定义画出图形即可； （）根据两点之间，线段最短，可知点为的交点时的值最小，即可求解； （）由三角形的面积公式可得，即得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线、射线、线段、即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个“内点”，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形“内点”的个数m之间存在怎样的数量关系． 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形()时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中___________，___________． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系为___________． (2)根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形()时，写出m，t之间满足的等量关系___________． (3)若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数． 【答案】(1)，； (2) (3)这个多边形“内点”的个数为 【分析】本题考查了多边形的三角剖分规律探究，解题的关键是通过特殊情形归纳出一般数量关系，再结合多边形边数与内点个数推导“网眼”数的公式． （1） 当时，观察内点个数与网眼数的对应关系：时，时，时，归纳得； （2） 当时，同理归纳得； （3） 由一般规律，结合，代入化简得． 【详解】（1）解：观察图形，网眼个数如下： 当时，，即； 当时，，即； …… 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得． 故答案为：，；． （2）解：如图，当时， 取，得； 取，得； 取，得； …… 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得． 故答案为：． （3）解：由多边形三角剖分的一般规律，得． 已知，代入得， 化简得， 解得． 答：这个多边形“内点”的个数为． 16．如图，在长方形中，，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当、两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长； (2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值（两个答案即可）； (4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查长方形的性质、列代数式、一元一次方程等知识点，解答本题的关键是熟练掌握长方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）分和根据路程=速度×时间可求出的长即可得出的长； （2）建立平面直角坐标系，得长方形顶点坐标，根据中点坐标公式可得结论； （3）分和列方程求解即可； （4）根据题意得，结合的情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在上，，则； 当时，点P在上，， 综上， （2）解：∵在长方形中，，， ∴设， ∵点在上运动，， ∴， ∴点的坐标为 ∵点在上运动，则， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得； （3）解：①时，当点P在上时，， 解得； ②当时，， 解得； 综上，可取或； （4）解：∵是点关于点的中心对称点， ∴点是的中点， ∴， 又 ， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，点P在上，， ， ∴， 解得； 综上，t的值为或． 17．如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】(1)， (2)当秒时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出； （2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解． 【详解】（1）解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动， ∴，， ∴， （2）解：若为等腰直角三角形，则，且， ∴， 解得， 此时，满足条件． 故当秒时，为等腰直角三角形． 【复盘笔记】 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题13.1 三角形的概念 （新教材人教版） 3 4 4 5 6 7 10 16 定 义 示例剖析 三角形的定义： 由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性. 表示法及读法： 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”．的三边有时也用a，b，c表示． 顶点A的对边a（BC） 顶点B的对边b（AC） 顶点C的对边c（AB） 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ，，是的内角 三角形的外角： 三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角. 如图，，，是的外角. 三角形的分类： 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）． 锐角三角形 直角三角形 锐角三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 【题型1 三角形的有关概念】 【例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【变式1-3】下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 【题型2 三角形的识别】 【例2】下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下．请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形状，是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式2-2】图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-3】图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型3 三角形的个数问题】 【例3】如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-1】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【变式3-2】请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-3】如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型4 三角形的分类】 【例4】在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【变式4-1】如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【变式4-2】如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【变式4-3】如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型5 等腰三角形的定义】 【例5】一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 【变式5-1】下列说法正确的是（    ） A．不相交的两直线一定是平行线 B．两条平行线被第三条直线所截，形成的一对同旁内角的平分线互相垂直 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．等腰三角形的对称轴是顶角平分线 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，点，点，若点在轴上，且为等腰三角形，则点的个数有（   ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式5-3】如图， 在中，． 若某个三角形与能拼成一个等腰三角形 （无重叠），则拼成的等腰三角形有（      ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【探究式学习】 1．综合与实践 【问题提出】用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ 【问题探究】不妨假设能搭成种不同的等腰三角形，为探究与之间的关系，我们可以先从特殊人手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论． 【探究一】 （1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形． 所以，当时，． （2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形． 所以，当时，． （3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 所以，当时，． （4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 所以，当时，． 综上所述，可得： 表① 3 4 5 6 1 0 1 1 【探究二】 （1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ （仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中） （2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （只需把结果填在表②中） 表② 7 8 9 10 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究， 【问题解决】（3）用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设分别等于，，，，其中是正整数，把结果填在表③中） 表③ 【问题应用】（4）用2023根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？写出解答过程． 2．问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶 点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： 探究一：以的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把分割成3个互不重叠的小三角形． 探究二：以的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： 一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在的内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在上，如图③．显然，不管哪种情况，都可把分割成5个互不重叠的小三角形． 探究三：以的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图． 探究四：以的三个顶点和它内部的m个点，共个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形． 探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共个点为顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形． 问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶点，可把原n边形分割成 个互不重叠的小三角形． 实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？(要求列式计算) 【课后检测】 1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．7个 D．确定不下来 4．聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 5．如图，已知，，，点与坐标系原点重合，若点在坐标轴上，且是等腰三角形，则点的坐标可能有（  ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有A、B、C、D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　　） A．A、B、C三点在一条直线上 B．连接、，则是直角三角形 C．连接， D．连接、，则 7．同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（      ）． A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 8．将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在的正方形网格中，点、都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，图中共有三角形______个． 12．如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 13．定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 14．如图，已知四点． (1)画直线，射线，线段，；（不需写作图过程） (2)求作点，使的值最小；（不需写作图过程） (3)在（）的条件下，若，，，则______． 15．“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个“内点”，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形“内点”的个数m之间存在怎样的数量关系． 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形()时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中___________，___________． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系为___________． (2)根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形()时，写出m，t之间满足的等量关系___________． (3)若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数． 16．如图，在长方形中，，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当、两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长； (2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值（两个答案即可）； (4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． 17．如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【复盘笔记】 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $