专题13.2 与三角形有关的线段 培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形的三边关系、稳定性、中线、角平分线及高五大核心知识点，从概念定义到性质特征再到实际应用，构建递进式学习支架，涵盖三边判定、取值范围、跨学科应用等关键内容。 资料以分层题型设计为特色，基础题型结合生活实例培养数学眼光，培优题型通过分类讨论提升数学思维，压轴题型以新定义探究强化数学语言表达，课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺。

专题13.2 与三角形有关的线段 知识点1：三角形的三边关系 　　1. 核心定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，理论依据为两点之间，线段最短。 　　2. 快速判定方法：判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短线段的和大于最长线段即可，无需逐一验证三组关系。 　　3. 第三边取值范围：已知三角形两边长为，则第三边的取值范围为。 　　4. 拓展应用：可用于化简含三角形边长的绝对值式子、求解等腰三角形边长与周长、证明线段不等关系。 知识点2：三角形的稳定性 　　1. 性质定义：三角形的三条边长确定后，三角形的形状、大小唯一确定，这是三角形特有的几何性质。 　　2. 对比特性：四边形、五边形等多边形不具有稳定性，边长确定后形状可随意改变。 　　3. 生活应用：广泛用于建筑支架、起重机、钢架桥、窗户固定支架等，通过构造三角形结构稳固物体。 知识点3：三角形的中线 　　1. 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 　　2. 核心特征： 　　（1）任意三角形有三条中线，均在三角形内部，且交于一点，该点称为三角形的重心； 　　（2）一条中线将三角形分成面积相等、周长不等的两个小三角形； 　　（3）删除超纲内容：重心线段比例拓展性质（本节不涉及） 知识点4：三角形的角平分线 　　1. 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 　　2. 核心特征： 　　（1）三角形的角平分线是线段，区别于角的平分线（射线）； 　　（2）任意三角形有三条角平分线，均在三角形内部，且交于三角形内一点； 　　（3）可平分对应内角，是角度计算、平行证明的核心工具。 知识点5：三角形的高 　　1. 定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。 　　2. 高的位置分类（核心对比）： 三角形类型 高的位置分布 高线交点位置 锐角三角形 三条高全部在三角形内部 三角形内部 直角三角形 两条直角边互为高，第三条高在内部 直角顶点 钝角三角形 钝角对应的高在内部，另外两条高在三角形外部 三角形外部 　　3. 核心用途：利用等面积法求三角形边长、高线长度，是几何计算核心方法。 【基础必考题型】 【题型1】三角形三边能否构成判定 1.核心知识点 掌握三角形三边关系核心定理，运用“短边之和大于长边”的快速判定方法，结合生活实物情境辨析能否围成三角形。 2.解题方法技巧 （1）提取题干实物对应的线段长度，筛选出最长线段； （2）直接计算两条较短线段的和，与最长线段对比，满足大于关系即可构成三角形； （3）排除“两边和等于、小于第三边”的无效情况。 【例题1】.（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】三角形中，任意两边之和大于第三边，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为、、的三条线段能组成三角形，故此选项符合题意； B、∵， ∴长为、、的三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴长为、、的三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为、、的三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意． 【变式题1-1】.（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，8，7 【答案】D 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以均不能围成三角形，选项D中，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·江苏连云港·开学考试）把25厘米长的吸管剪成3段，能围成三角形，如果每段都是整厘米数，有( )种不同的分法． 【答案】16 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可． 【详解】解：满足条件的三角形边长组合有： ，，，，，， ，，，，， ，，， ，， 共有种． 【变式题1-3】.（26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试）给出四组线段：①、、；②三边之比为；③、、；④、、；其中能组成三角形的有_________． 【答案】①②④ 【分析】根据三角形三边关系，只需判断每组中较短两条线段的和是否大于最长线段，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：①对于线段、、，且，较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， ②三边比为，设三边长分别为、、（），较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， ③对于线段、、，较短两边的和为， ∵， ∴不满足三边关系，不能组成三角形， ④对于线段、、，且，较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， 综上所述：能组成三角形的是①②④． 【题型2】第三边取值范围与整数解探究 1.核心知识点 熟练运用三角形第三边取值范围公式，结合整数、偶数、奇数等限定条件，求解第三边的可能取值，夯实三边关系基础应用。 2.解题方法技巧 （1）根据已知两边，列出第三边的取值不等式； （2）结合题干限定条件（整数、偶数、最值等）筛选有效取值； （3）取值后反向验证三边关系，避免出现无效解。 【例题2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 【答案】三角形的稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：∵用木条固定长方形门框，可得到， ∴这种做法的根据是三角形的稳定性． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形的稳定性． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图是厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【详解】解：厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·山西长治·期末）滨河公园的网红桥是座斜拉桥，斜拉桥是由拉索、主梁和塔柱形成的三角形结构，这样设计是利用了（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】A 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形等其他多边形不具备稳定性，桥梁搭建三角形结构设计是利用了三角形的稳定性． 【题型3】三角形稳定性跨学科应用辨析 1.核心知识点 区分三角形与多边形的稳定性差异，结合工程、建筑、生活科技情境，解释稳定性的实际应用原理，体现跨学科素养。 2.解题方法技巧 （1）明确只有三角形具有稳定性，四边形及以上多边形需构造三角形才能稳固； （2）分析生活实物结构，判断是否利用三角形结构固定形状； （3）能规范用“三角形具有稳定性”解答实际应用题。 【例题3】.（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4， ∴x的取值范围是， 即． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 【变式题3-2】.（2026·河北沧州·三模）已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，找出范围内符合条件的正整数，统计其个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，，， ，即， 为正整数， 可以为、、、、，共个． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，为估计池塘两岸间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”求解． 【详解】解：由题意知，点组成为角形， ∴， ∵， ∴， 只有不在范围内． 【题型4】三角形三种重要线段的概念辨析 1.核心知识点 精准区分三角形中线、角平分线、高线的定义、图形特征，辨析线段与射线的区别，能在任意三角形中识别三种线段。 2.解题方法技巧 （1）中线：连接顶点+对边中点，平分边长、平分面积； （2）角平分线：平分内角，端点为顶点和对边上一点； （3）高线：顶点向对边作垂线，与对边垂直，夹角为90°。 【例题4】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【详解】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）已知在三角形中，一条中线将三角形分成两个三角形，这两个三角形一定具备的性质是（     ） A．全等 B．周长相等 C．面积相等 D．形状相同 【答案】C 【分析】由三角形中线得等底，结合公共高，利用面积公式判断． 【详解】解：如图 设是的边上的中线， 则； 设点A到的距离为h，则，， ∴， 即两个三角形面积相等． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角， 垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【详解】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 【培优高频题型】 【题型5】等腰三角形边长与周长分类计算 1.核心知识点 结合等腰三角形两边相等的特征，分类讨论腰长与底边长，结合三边关系取舍解，规避漏解、错解问题，是高频考点题型。 2.解题方法技巧 （1）分两种情况讨论：已知边长为腰长、已知边长为底边长； （2）每种情况必须验证三边关系，不满足的直接舍去； （3）周长计算后核对边长合理性，杜绝两边和小于第三边的错误组合。 【例题5】.（25-26八年级上·吉林通化·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 【答案】 或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论：当为腰长时，当为底边长时，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长是时， 等腰三角形底边长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ； 当等腰三角形的底边长是时， 等腰三角形腰长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ， 等腰三角形的“优美比” 或． 故答案为 或 ． 【变式题5-1】.（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长度求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若为腰长，为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，验证三边关系后，根据“和谐比”的定义计算即可． 【详解】解：等腰的周长为，一边长为， ∴分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ， ∴满足三角形三边关系， 依题意，和谐比； 当为底边长时，腰长为， ， ∴满足三角形三边关系， 依题意，和谐比； 综上：等腰的“和谐比”为或， 【变式题5-3】.（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. 【题型6】利用三边关系化简绝对值式子 1.核心知识点 借助三角形三边关系判断边长代数式的正负性，结合绝对值的性质化简式子，融合代数与几何知识。 2.解题方法技巧 （1）根据“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”，判断绝对值内式子正负； （2）正数绝对值为本身，负数绝对值为相反数，去绝对值符号； （3）合并同类项，化简得出最简结果。 【例题6】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为的三边，化简：． 【答案】2b 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合绝对值的意义，化简计算即可，正确的运算是解题的关键． 【详解】的三边长分别是， ，， ． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江西赣州·期中）已知，，是的三边， (1)比较大小：_______0，_______0，_______0．（填入“、或”号） (2)化简． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握绝对值的化简方法是解决本题的关键． （1）由三角形的三边关系即可求解； （2）根据（1）进行化简即可． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系得，，，， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得， ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽·期末）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【答案】(1)； (2)周长的最大值是17，最小值是13 【分析】本题主要考查三角形三边的关系，利用三角形三边的关系判断参数的取值范围是解题的关键． （1）首先利用三角形三边的关系判断绝对值里的代数式的正负，再去掉绝对值，合并同类项化简后得到最简结果； （2）首先根据三角形的三边关系确定第三边的参数取值范围，结合整数的条件求周长的最小值和最大值． 【详解】（1）解：①∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵c为整数， ∴当时，的周长为最大，即为； 当时，的周长为最小，即为； 综上所述，周长的最大值是17，最小值是13． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·四川南充·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，满足，试判断的形状 ． (2)化简：； 【答案】(1)等边三角形 (2) 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，三角形三边关系，等边三角形定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据绝对值和平方的非负性得到，进而推出，即可判断的形状； （2）根据三角形三边关系得到，再结合绝对值性质进行化简，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 整理得， ， 即为等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）解：的三边长分别为a，b，c， ， 则 ． 【题型7】中线相关的周长与面积计算 1.核心知识点 利用中线平分边长、平分三角形面积的核心性质，求解小三角形周长差、面积，掌握重心的基础面积规律。 2.解题方法技巧 （1）中线等分对边，故两个小三角形周长差等于非公共边的边长差； （2）多次作中线，面积依次减半，可逐层推导嵌套小三角形面积； （3）重心将中线分为2:1两段，可用于进阶面积计算。 【例题7】.（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 【答案】8 【分析】由是的中线可得，由是的中线可得，结合已知条件即可求解． 【详解】解：是的中线 ， ， 是的中线 ， ， ． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到与的周长之差为，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴与的周长之差为 ； ∵，， ∴周长之差为. 【变式题7-2】.（26-27八年级上·河北衡水·开学考试）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 【答案】1 【分析】根据三角形的中点平分三角形的面积得到的面积是的面积的一半，即为．再根据点F是的中点即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半．则的面积是的面积的一半，即为． ∵点F是的中点， ∴阴影部分的面积是的面积的一半，即为． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 【压轴素养题型】 【题型8】探究式线段不等关系证明 1.核心知识点 构造辅助三角形，利用三边关系，证明三角形内、外点对应的线段不等关系，培养几何推理素养。 2.解题方法技巧 （1）通过延长线段作辅助线，将分散的线段集中在多个三角形中； （2）列出多个三角形的三边不等式，通过不等式相加、变形推导结论； （3）规范几何推理语言，步步有据完成证明。 【例题8】.（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，点为的平分线上的一点，过点作交于点，交于点，连接，若．求证：平分． 【答案】 证明：为的平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴平分． 【分析】本题考查角平分线证明，涉及角平分线定义、平行线性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记角平分线的定义是解决问题的关键． 先由角平分线的定义及平行线性质得到，结合题意，等量代换得到，由等边对等角，结合平行线性质得到，进而由角平分线定义判定即可得证． 【详解】略． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1) 证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； (2) 证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． (4)（拓展创新） 如图4，是内任意一点．我们定义比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．利用第二问的结论或方法，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； (3) 证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即； (4) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边之间的关系是解题的关键． （1）根据题意，利用三角形的三边关系及不等式的基本性质即可求解； （2）延长交于点，利用三角形的三边关系及同向不等式相加，即可得出结论； （3）延长交于点，延长交于点，利用三角形的三边关系及同向不等式相加，即可得出结论； （4）利用（2）的结论和三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 （4）解：由（2）得，， ， ， ∴， ∴， 即； 在中，； 在中，； 在中，； ∴， ∴， 即； 综上，， 故答案为：． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．    【答案】直接应用： 由三角形三边关系得， ， ∴， 即； 深化应用：如图，延长交于点D， ∵①，②， ∴得， ∴， 即； 拓展应用： 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理： 直接应用：根据三角形三边关系得到，在不等式两边都加上即可得到结论； 深化应用：延长交于点D，根据三角形三边关系得到①，②， 利用即可推出； 拓展应用：根据三角形三边关系得到，，，将三个关系式相加并整理，结合三角形的周长即可得到答案． 【详解】解：[直接应用]：略 [深化应用]：略 [拓展应用]：在中，， 同理，，， 得，， ∴, 得， ∵点是内的任意一点，当点无限接近三角形的某一顶点时，就无限接近三角形的周长，但始终小于三角形的周长， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型9】角平分线+平行线素养综合模型 1.核心知识点 融合三角形角平分线性质、平行线的性质与判定，形成经典几何模型，求解角度、证明线段、角的关系。 2.解题方法技巧 （1）牢记“角平分线+平行线=等腰三角形”核心模型； （2）通过角的等量代换，推导内错角、同位角相等，判定平行； （3）层层推导角度关系，规范逻辑推理步骤。 【例题9】.（25-26七年级下·北京·期中）完成下面的证明： 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：，， ，（ ① ）． ． ② ③ （ ④ ）． （ ⑤ ）． ， 又， ∠ ⑥ ⑦ ． 平分（角平分线定义）． 【答案】垂直的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；3； 【分析】根据垂线的定义，可得，从而得到，进而得到，，即可解答． 【详解】略 【变式题9-1】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，已知直线，点、分别为直线、上的点，点是平面内任意一点，连接、．（在证明过程中不能直接用三角形内角和） 【探索发现】： (1)如图1，当时，_____度． 【深入探究】： (2)如图2点、分别是直线上的点，且，直线，交于点，“优胜小组”探究与之间的数量关系，发现，请证明这个结论． (3)如图3，在（2）的探究基础上，“智胜小组”过点作射线交延长线于点，使平分，已知，，请帮助“智胜小组”求是多少度？ 【答案】(1)60 (2) 证明：， ， 又， ， ， 即， ， ， ． (3) 【分析】（1）过点F作平行于的直线，利用平行线的内错角相等，将和转化为同一个角的两部分． （2）利用推出，再结合得到，从而证明． （3）设，利用角平分线、平行线的性质分别用x表示和，代入求出x，再过点H作平行线求出． 【详解】（1）解：过点F作， ， ， ，， ． （2）略 （3）解：设， 平分， ， ， ， ， ， 由(2)知， ， ， ， 过点F作， 又∵， ∴， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点H作， ，， ， ， ， ∵， ， ． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，是的角平分线，在上取点，使． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】本题主要考查角平分线性质，三角形内角和定理，平行线的性质定理； （1）根据角平分线性质得到，根据，得到，求出，即可证出结论； （2）根据三角形内角和定理得到，根据，得到，根据角平分线得到，推出，即可求出． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）在学习完三角形的中线相关性质后，某数学兴趣小组进行了进一步的探究学习． 资料1 三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分． 资料2 如下图，在四边形中，对角线与交于点O，若，则． 探究1 如图1，过边上任意一点D作一条直线，使其平分的面积． 思路：如图2，连接，过点A作交的延长线于点E，连接交于点G，取中点F，连接，则即为所求直线． 探究2 如下图，过四边形的顶点A作一条直线，使其平分四边形的面积． 问题1 根据探究1中给的思路证明平分的面积． 问题2 请完成探究2，并说明理由． 【答案】 问题1：证明：， ， ， 即， 为的中点， ， 平分的面积． 问题2：如图2，连接，过点B作交的延长线于点E，取中点F，作直线，则即为所求直线． 证明：， ， ， 即， 为的中点， ， 平分四边形的面积． 【分析】本题考查了三角形中线的性质，平行线的性质及三角形的面积，添加平行线，构造等积变形的图形是关键． （1）根据资料2可知，所以，再根据三角形中线的性质，即可证明结论； （2）连接，过点B作交的延长线于点E，取中点F，作直线，根据资料2可知，所以，再根据三角形中线的性质，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【题型10】新定义三角形创新探究题 1.核心知识点 结合题干自定义“比高三角形”“不均衡三角形”等新概念，迁移本节三边关系、高线、面积知识解决陌生问题，培养创新解题素养。 2.解题方法技巧 （1）精读题干新定义，拆解核心限定条件，转化为课本基础知识点； （2）结合三边关系、高线比值、面积公式逐一验证条件； （3）分类讨论所有符合条件的情况，不重不漏求解。 【例题10】.（25-26七年级下·山东日照·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 【答案】D 【分析】先根据三边关系确定第三边的取值范围，再分情况讨论符合“倍长”定义的边长，舍去不能构成三角形的情况即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三条边的长为， 根据三角形三边关系，得， ， 若第三条边是已知边的2倍： 当，满足，符合题意； 当，，不满足三边关系，舍去； 若已知边中有一条是第三条边的2倍： 当，得，不满足，不能构成三角形，舍去； 当，得，满足，符合题意； 综上，第三条边的长为或． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，求的周长． 【答案】15 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系；利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 本题分两种情况讨论：腰是底的2倍；底是腰的2倍，再利用三角形三边关系（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）进行检验即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当腰是底的2倍时，底边为， ∵， ∴可以构成三角形， 此时的周长为； 当底是腰的2倍时，底边为， ∵， ∴不能构成三角形． 综上所述，的周长为15． 故答案为：15． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）［定义］若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边长为6，8，10的三角形是“好运三角形”． (1)［概念运用］在中，，若为“好运三角形”，求的长； (2)［变式运用］已知的周长为长为偶数，求出的范围，判断是不是“好运三角形”？ 【答案】(1)4 (2) 是“好运三角形”，理由如下： 已知的周长为16，， 设为偶数），则， 依题意得： 解得， 的长为偶数， ， ， ， 是“好运三角形”． 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设（为偶数），则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）解：略． 【变式题10-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 和等高三角形的性质可求得； （3）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 ，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ， ， ∴； （2）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴； （3）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴． 易错点 1、忽略三角形三边关系的任意性，仅验证两组边长，或误判“两边和等于第三边”可构成三角形。 2、混淆三角形角平分线（线段）与角平分线（射线）、三角形的高（线段）与垂线（直线）的概念，概念辨析出错。 3、等腰三角形计算未分类讨论，或分类后未验证三边关系，出现漏解、错解。 4、钝角三角形高线位置判断错误，误将外部高线判定为三角形内部线段，导致计算失误。 5、误用中线性质，混淆“中线平分面积”与“中线平分周长”，错误认为中线分割的两个三角形周长相等。 重点 1、熟练掌握三角形三边关系，能快速判定线段能否构成三角形、求解第三边范围、化简绝对值式子。 2、精准掌握中线、角平分线、高线的定义与核心性质，能识别、绘制三种重要线段。 3、掌握三角形稳定性的实际应用，能结合生活、工程情境解答应用题。 4、熟练运用中线面积性质、等面积法完成几何计算，掌握等腰三角形周长、边长的分类计算方法。 难点 1、钝角三角形高线的位置识别与相关角度、边长计算，容易遗漏外部高线的情况。 2、三角形内部、外部点的线段不等关系证明，辅助线构造思路难以掌握，几何推理逻辑不清晰。 3、等面积法模型的灵活运用，无法快速转化线段和差、边长与高线的数量关系。 4、新定义、探究式综合题型，难以将陌生情境转化为基础知识点，综合运用能力不足。 5、“角平分线+平行线”复合模型的综合推理，多知识点融合应用容易思路混乱。 【对应练习题】 一、单选题 1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 2．已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据面积求出，再分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，解得， 分两种情况： 当点在线段上时，如图所示： 则； 当点在线段的延长线上时，如图所示： ； 综上所述，的长为或． 3．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分3cm的边为腰、底两种情况讨论，验证能否构成三角形后确定底长. 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ∵， ∴无法构成三角形，此情况舍去. 当为底边长时，腰长为. ∵， ∴可构成三角形，此情况成立，故该等腰三角形的底长为． 二、填空题 4．如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】6 【分析】根据三角形的中线等分面积得到，即可求解． 【详解】解：∵点，，分别是，，的中点， ∴ ∵ ∴阴影部分的面积之和． 5．如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 【答案】6 【分析】连接，根据，得到，设，则，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为6． 6．如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 【答案】10 【分析】连接，设、，根据四边形的面积得到，利用和等高求出，同理求出和利用的面积列出方程，求出的面积，从而求出边上的高即可． 【详解】解：连接， 、， ， 解得：， ， ， ， 设、， 四边形的面积为7， ，即， 、和等高， ， ， 和同高、， ， ， ， 和同高、， ， 和同高、， ， ， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， 中边上的高为：． 三、解答题 7．已知在中，，，边为最长边且为整数，求的周长． 【答案】或 【分析】根据三角形三边关系求出的范围，结合边为最长边且为整数求出的值，从而求出的周长． 【详解】解：，， ，即， 边为最长边且为整数， ， 或8， 当时，的周长为， 当时，的周长为， 综上所述，的周长为16或17． 8．如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 【答案】40 【分析】根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形的中线的性质求解即可． 【详解】解：是的高，，， ， 是的中线， ． 【点睛】 9．图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． 【分析】（1）根据网格特征，找出中点，连接即可； （2）根据网格特征，在上找出格点，连接，使即可； 【详解】（1）解：略 （2）解：略 10．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.2 与三角形有关的线段 知识点1：三角形的三边关系 　　1. 核心定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，理论依据为两点之间，线段最短。 　　2. 快速判定方法：判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短线段的和大于最长线段即可，无需逐一验证三组关系。 　　3. 第三边取值范围：已知三角形两边长为，则第三边的取值范围为。 　　4. 拓展应用：可用于化简含三角形边长的绝对值式子、求解等腰三角形边长与周长、证明线段不等关系。 知识点2：三角形的稳定性 　　1. 性质定义：三角形的三条边长确定后，三角形的形状、大小唯一确定，这是三角形特有的几何性质。 　　2. 对比特性：四边形、五边形等多边形不具有稳定性，边长确定后形状可随意改变。 　　3. 生活应用：广泛用于建筑支架、起重机、钢架桥、窗户固定支架等，通过构造三角形结构稳固物体。 知识点3：三角形的中线 　　1. 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 　　2. 核心特征： 　　（1）任意三角形有三条中线，均在三角形内部，且交于一点，该点称为三角形的重心； 　　（2）一条中线将三角形分成面积相等、周长不等的两个小三角形； 　　（3）删除超纲内容：重心线段比例拓展性质（本节不涉及） 知识点4：三角形的角平分线 　　1. 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 　　2. 核心特征： 　　（1）三角形的角平分线是线段，区别于角的平分线（射线）； 　　（2）任意三角形有三条角平分线，均在三角形内部，且交于三角形内一点； 　　（3）可平分对应内角，是角度计算、平行证明的核心工具。 知识点5：三角形的高 　　1. 定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。 　　2. 高的位置分类（核心对比）： 三角形类型 高的位置分布 高线交点位置 锐角三角形 三条高全部在三角形内部 三角形内部 直角三角形 两条直角边互为高，第三条高在内部 直角顶点 钝角三角形 钝角对应的高在内部，另外两条高在三角形外部 三角形外部 　　3. 核心用途：利用等面积法求三角形边长、高线长度，是几何计算核心方法。 【基础必考题型】 【题型1】三角形三边能否构成判定 1.核心知识点 掌握三角形三边关系核心定理，运用“短边之和大于长边”的快速判定方法，结合生活实物情境辨析能否围成三角形。 2.解题方法技巧 （1）提取题干实物对应的线段长度，筛选出最长线段； （2）直接计算两条较短线段的和，与最长线段对比，满足大于关系即可构成三角形； （3）排除“两边和等于、小于第三边”的无效情况。 【例题1】.（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式题1-1】.（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，8，7 【变式题1-2】.（25-26七年级上·江苏连云港·开学考试）把25厘米长的吸管剪成3段，能围成三角形，如果每段都是整厘米数，有( )种不同的分法． 【变式题1-3】.（26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试）给出四组线段：①、、；②三边之比为；③、、；④、、；其中能组成三角形的有_________． 【题型2】第三边取值范围与整数解探究 1.核心知识点 熟练运用三角形第三边取值范围公式，结合整数、偶数、奇数等限定条件，求解第三边的可能取值，夯实三边关系基础应用。 2.解题方法技巧 （1）根据已知两边，列出第三边的取值不等式； （2）结合题干限定条件（整数、偶数、最值等）筛选有效取值； （3）取值后反向验证三边关系，避免出现无效解。 【例题2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【变式题2-2】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图是厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【变式题2-3】.（25-26七年级下·山西长治·期末）滨河公园的网红桥是座斜拉桥，斜拉桥是由拉索、主梁和塔柱形成的三角形结构，这样设计是利用了（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【题型3】三角形稳定性跨学科应用辨析 1.核心知识点 区分三角形与多边形的稳定性差异，结合工程、建筑、生活科技情境，解释稳定性的实际应用原理，体现跨学科素养。 2.解题方法技巧 （1）明确只有三角形具有稳定性，四边形及以上多边形需构造三角形才能稳固； （2）分析生活实物结构，判断是否利用三角形结构固定形状； （3）能规范用“三角形具有稳定性”解答实际应用题。 【例题3】.（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【变式题3-2】.（2026·河北沧州·三模）已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，为估计池塘两岸间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 【题型4】三角形三种重要线段的概念辨析 1.核心知识点 精准区分三角形中线、角平分线、高线的定义、图形特征，辨析线段与射线的区别，能在任意三角形中识别三种线段。 2.解题方法技巧 （1）中线：连接顶点+对边中点，平分边长、平分面积； （2）角平分线：平分内角，端点为顶点和对边上一点； （3）高线：顶点向对边作垂线，与对边垂直，夹角为90°。 【例题4】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式题4-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）已知在三角形中，一条中线将三角形分成两个三角形，这两个三角形一定具备的性质是（     ） A．全等 B．周长相等 C．面积相等 D．形状相同 【变式题4-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【培优高频题型】 【题型5】等腰三角形边长与周长分类计算 1.核心知识点 结合等腰三角形两边相等的特征，分类讨论腰长与底边长，结合三边关系取舍解，规避漏解、错解问题，是高频考点题型。 2.解题方法技巧 （1）分两种情况讨论：已知边长为腰长、已知边长为底边长； （2）每种情况必须验证三边关系，不满足的直接舍去； （3）周长计算后核对边长合理性，杜绝两边和小于第三边的错误组合。 【例题5】.（25-26八年级上·吉林通化·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 【变式题5-1】.（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 【变式题5-2】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式题5-3】.（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【题型6】利用三边关系化简绝对值式子 1.核心知识点 借助三角形三边关系判断边长代数式的正负性，结合绝对值的性质化简式子，融合代数与几何知识。 2.解题方法技巧 （1）根据“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”，判断绝对值内式子正负； （2）正数绝对值为本身，负数绝对值为相反数，去绝对值符号； （3）合并同类项，化简得出最简结果。 【例题6】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为的三边，化简：． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江西赣州·期中）已知，，是的三边， (1)比较大小：_______0，_______0，_______0．（填入“、或”号） (2)化简． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽·期末）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·四川南充·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，满足，试判断的形状 ． (2)化简：； 【题型7】中线相关的周长与面积计算 1.核心知识点 利用中线平分边长、平分三角形面积的核心性质，求解小三角形周长差、面积，掌握重心的基础面积规律。 2.解题方法技巧 （1）中线等分对边，故两个小三角形周长差等于非公共边的边长差； （2）多次作中线，面积依次减半，可逐层推导嵌套小三角形面积； （3）重心将中线分为2:1两段，可用于进阶面积计算。 【例题7】.（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（26-27八年级上·河北衡水·开学考试）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【压轴素养题型】 【题型8】探究式线段不等关系证明 1.核心知识点 构造辅助三角形，利用三边关系，证明三角形内、外点对应的线段不等关系，培养几何推理素养。 2.解题方法技巧 （1）通过延长线段作辅助线，将分散的线段集中在多个三角形中； （2）列出多个三角形的三边不等式，通过不等式相加、变形推导结论； （3）规范几何推理语言，步步有据完成证明。 【例题8】.（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，点为的平分线上的一点，过点作交于点，交于点，连接，若．求证：平分． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． (4)（拓展创新） 如图4，是内任意一点．我们定义比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．利用第二问的结论或方法，直接写出的取值范围是______． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．    【题型9】角平分线+平行线素养综合模型 1.核心知识点 融合三角形角平分线性质、平行线的性质与判定，形成经典几何模型，求解角度、证明线段、角的关系。 2.解题方法技巧 （1）牢记“角平分线+平行线=等腰三角形”核心模型； （2）通过角的等量代换，推导内错角、同位角相等，判定平行； （3）层层推导角度关系，规范逻辑推理步骤。 【例题9】.（25-26七年级下·北京·期中）完成下面的证明： 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：，， ，（ ① ）． ． ② ③ （ ④ ）． （ ⑤ ）． ， 又， ∠ ⑥ ⑦ ． 平分（角平分线定义）． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，已知直线，点、分别为直线、上的点，点是平面内任意一点，连接、．（在证明过程中不能直接用三角形内角和） 【探索发现】： (1)如图1，当时，_____度． 【深入探究】： (2)如图2点、分别是直线上的点，且，直线，交于点，“优胜小组”探究与之间的数量关系，发现，请证明这个结论． (3)如图3，在（2）的探究基础上，“智胜小组”过点作射线交延长线于点，使平分，已知，，请帮助“智胜小组”求是多少度？ 【变式题9-2】.（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，是的角平分线，在上取点，使． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）在学习完三角形的中线相关性质后，某数学兴趣小组进行了进一步的探究学习． 资料1 三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分． 资料2 如下图，在四边形中，对角线与交于点O，若，则． 探究1 如图1，过边上任意一点D作一条直线，使其平分的面积． 思路：如图2，连接，过点A作交的延长线于点E，连接交于点G，取中点F，连接，则即为所求直线． 探究2 如下图，过四边形的顶点A作一条直线，使其平分四边形的面积． 问题1 根据探究1中给的思路证明平分的面积． 问题2 请完成探究2，并说明理由． 【题型10】新定义三角形创新探究题 1.核心知识点 结合题干自定义“比高三角形”“不均衡三角形”等新概念，迁移本节三边关系、高线、面积知识解决陌生问题，培养创新解题素养。 2.解题方法技巧 （1）精读题干新定义，拆解核心限定条件，转化为课本基础知识点； （2）结合三边关系、高线比值、面积公式逐一验证条件； （3）分类讨论所有符合条件的情况，不重不漏求解。 【例题10】.（25-26七年级下·山东日照·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 【变式题10-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，求的周长． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）［定义］若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边长为6，8，10的三角形是“好运三角形”． (1)［概念运用］在中，，若为“好运三角形”，求的长； (2)［变式运用］已知的周长为长为偶数，求出的范围，判断是不是“好运三角形”？ 【变式题10-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 易错点 1、忽略三角形三边关系的任意性，仅验证两组边长，或误判“两边和等于第三边”可构成三角形。 2、混淆三角形角平分线（线段）与角平分线（射线）、三角形的高（线段）与垂线（直线）的概念，概念辨析出错。 3、等腰三角形计算未分类讨论，或分类后未验证三边关系，出现漏解、错解。 4、钝角三角形高线位置判断错误，误将外部高线判定为三角形内部线段，导致计算失误。 5、误用中线性质，混淆“中线平分面积”与“中线平分周长”，错误认为中线分割的两个三角形周长相等。 重点 1、熟练掌握三角形三边关系，能快速判定线段能否构成三角形、求解第三边范围、化简绝对值式子。 2、精准掌握中线、角平分线、高线的定义与核心性质，能识别、绘制三种重要线段。 3、掌握三角形稳定性的实际应用，能结合生活、工程情境解答应用题。 4、熟练运用中线面积性质、等面积法完成几何计算，掌握等腰三角形周长、边长的分类计算方法。 难点 1、钝角三角形高线的位置识别与相关角度、边长计算，容易遗漏外部高线的情况。 2、三角形内部、外部点的线段不等关系证明，辅助线构造思路难以掌握，几何推理逻辑不清晰。 3、等面积法模型的灵活运用，无法快速转化线段和差、边长与高线的数量关系。 4、新定义、探究式综合题型，难以将陌生情境转化为基础知识点，综合运用能力不足。 5、“角平分线+平行线”复合模型的综合推理，多知识点融合应用容易思路混乱。 【对应练习题】 一、单选题 1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 2．已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 3．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 4．如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 5．如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 6．如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 三、解答题 7．已知在中，，，边为最长边且为整数，求的周长． 8．如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 9．图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 10．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $