第1讲： 全等三角形性质及其判定【十一大题型+题型精讲+高分演练】-2026-2027 学年人教版数学八年级上册高分突破：考点精讲・题型专练・培优拓思

第1讲：全等三角形性质及其判定 【考点归纳】 模型归纳 题型一：全等图像的识别… .3 题型二：全等三角形的性质.… ,4 题型三：SSS证明三角形全等问题… 6 题型四：SAS证明三角形全等问题.。 .7 题型五：ASA(AAS)证明三角形全等问题. 8 题型六：“HL”证明三角形全等问题 ..10 题型七：添加一个条件证明全等问题.。 .11 题型八：灵活选取判定定理证明全等三角形.. …..13 题型九：全等三角形的辅助线之倍长中线模型… 16 题型十：全等三角形的辅助线之垂线模型 ..…22 题型十一：全等三角形的辅助线之旋转模型. 30 知识梳理 知识点一、全等三角形的性质 全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，符号用二表示。 性质 说明 对应边相等 重合后对应边长完全相同 对应角相等 对应角的大小完全相同 对应线段相等 对应的高、中线、角平分线分别相等 周长与面积相 等 周长相等、面积相等 周长相等、面积相等的两个三角形不一定全等！只能由全等推出等周长 △易错提醒 等面积，反过来不成立。 知识点二、全等三角形的五大判定定理 判定 条件 适用范围 SSS(边边边) 三边对应相等 任意三角形 SAS(边角边) 两边及其夹角对应相等 任意三角形，必须是夹角 ASA(角边角) 两角及其夹边对应相等 任意三角形 AAS(角角边) 两角及其中一角的对边对应相等 任意三角形 HL(斜边直角边) 斜边+一条直角边对应相等 仅限直角三角形 知识点三、绝对不能判定全等的情况（高频陷阱） 陷阱 原因 AAA(三角对应相等) 只能证明相似，大小可以不同，不能全等 SSA(边边角) 除直角三角形的HL外，一律不能判定全等 题型精讲 题型一：全等图像的识别 【例1】.(25-26八年级上：黑龙江哈尔滨·期末)下列图形是全等图形的是() 凸 【答案】B 【详解】解：选项A、C、D中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B中的两个图形可以重合，是 全等图形： 故选：B 【变式1】.(25-26八年级上·安徽毫州阶段检测)下列各选项中的两个图形属于全等形的是() 、D (8 【答案】D 【详解】解：A:两个图形不能完全重合，不全等，故该选项不合题意： B:两个图形不能完全重合，不全等，故该选项不合题意： C:两个图形不能完全重合，不全等，故该选项不合题意： D:两个图形可以完全重合，全等，故该选项符合题意. 故选：D 【变式2】.(25-26八年级上·安徽马鞍山阶段检测)下面4组图形中，是全等图形的一组是() B n 【答案】B 【详解】解：A、两个图形的大小不同，不是全等图形，不符合题意： B、两个图形的形状、大小都相同，是全等图形，符合题意： C、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意： D、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意： 故选：B 题型二：全等三角形的性质 【例2】.(25-26八年级上·重庆酉阳期末)如图，△ABD≌△EBC,AB=2cm,BC=5cm D E B (I)求DE的长： (2)若A、B、C在一条直线上，求证：DB⊥AC 【答案】(1)3cm 【详解】(1)解：△ABD≌△EBC, ..BE=AB =2cm,BD=BC=5cm, .DE BD-BE=3cm: (2)证明：△ABD≌△EBC,∠ABD=∠EBC,∠ABD+∠EBC=180°，∴∠ABD=∠EBC=90, .DB⊥AC 【变式1】.(25-26七年级下河北张家口期中)如图，己知△ABC2aFDE. C D B (1)若∠A=40°，∠E=52°，求∠ADE的度数： (2)若AF=10,DB=4,求AB的长. 【答案】(1)92°(2)7 【详解】(1)解：：△ABC≌△FDE,∠A=40° ∠F=∠A=40°，：∠E=52°，.∠ADE=∠E+∠F=92°， (2)解：△ABC≌△FDE, .AB=FD, ∴.AB-BD=FD-BD, 即AD=FB, .AF=10,DB=4, .AD+FB=AF-DB=6. 4D=FB=2x6=3, 5 .AB=AD+DB=7. 【变式2】.(25-26八年级上：河南周口·期末)如图，△ABC≌aDEB,点E在边AB上，DE与AC相交于点F. F E (1)若DE=13,BC=7,求线段AE的长： (2)若∠AFE=50°，∠DEB=80°，求∠DBC的度数. 【答案】(1)AE=6:(2)∠DBC=10°」 【详解】(l)解：△ABC≌aDEB, .AB=DE=13,EB=BC=7. .AE=AB-EB=13-7=6: (2)解：∠DEB是△AEF的外角， .∠DEB=∠AFE+∠A, 又∠AFE=50°，∠DEB=80°， ,.∠A=∠DEB-∠AFE=30°， :△ABC≌ADEB」 ∠A=∠D=30°，∠DEB=∠ABC=80°， ∴.∠ACB=180°-∠A-∠ABC=70°=∠DBE, .∠DBC=∠ABC-∠DBE=80°-70°=10°， 题型三：S$证明三角形全等问题 【例3】.(2026云南中考真题)如图，AB=DC,AE=DE,点E是线段BC的中点.求证：△ABE≌aDCE. 【答案】证明：：点E是线段BC的中点， .BE=CE, 6 AB=DC AE=DE 在 令 中， ABE△DCE BE=CE' △ABE≌ADCE(SSS) 【变式1】.(25-26七年级下·广东佛山阶段检测)如图，AB=DF,AC=DE,BE=FC. D (I)证明△ABC≌△DFE (2)若EF=5,BE=3,求EC. 【答案】(1) 证明：：BE=FC,.BE+EC=EC+CF, .BC=EF, AB=DE BC=EF 在 和 中， ABC'△DFE AC=DE'六△ABC≌aDFE(SSS) (2)解：·△MBC≌aDFE(SS) .BC=EF, :EF=5,BE=3, .BC=BE+EC=5. :.EC=BC-BE=5-3=2 【变式2】.(24-25七年级下·上海崇明期中)如图，AB=DE,BC=EF,AF=CD. > (I)求证：△ABC≌aDEF: (2)若∠A=30,∠E=75°，求∠BCF的度数. 【答案】(1) 证明：，AF=CD, AB=DE AC=DF AF-CF=CD-C'即： AC=Dp在 与 中， AABC ADEF BC=EF· △ABC≌ADEF(SSS) (2)解：：△ABC≌△DEF .∠B=∠E=75° ∴.∠BCF=30°+75°=105° 题型四：SAS证明三角形全等问题 【例4】.(2026云南昆明三模)如图，点五、P在4C上.1CD,MB=CD,亿=CF.求证 △ABF≌ACDE B D ABIICD 【答案】证明： AF=CE ∠A=∠C ,即 .在 与 中， AB=CD ∠A=∠CAE=CFAE+EF=CF+EFAF=CE△ABF△CDE △ABF≌ACDE(SAS) 【变式1】.(2026云南昆明·二模)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD,AC=AE,∠BAC=∠DAE 求证：△ABC≌△ADE, 【答案】证明：在△ABC和△ADE中 D AB=AD ∠BAC=∠DAE AC=AE '.△ABC≌△ADE(SAS) 【变式2】.(2026河南周口二模)如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE=DF,AB=CD,AEI‖DF 求证：△AEC≌ADFB E B F D 【详解】证明：AB=CD, .∴AB+BC=CD+BC AC=DB AE DF 即 ∴∠A=∠D, AE=DF ∠A=∠D 在 和 中， △AEC ADFB AC=DB ,∴.△AEC≌ADFB(SAS) 题型五：ASA(AAS)证明三角形全等问题 【例5】.(26-27八年级上·全国课后作业)如图，∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC.求证： 9 △ABC≌ADCB,AB=DC ∠ABC=∠DCB BC=CB 【答案】证明：在 和 中， ABC'ADCB ∠ACB=∠DBC' △ABC≌ADCB(ASA) .AB=DC 【变式1】.(26-27八年级上全国课后作业)如图，∠I=∠2，∠B=∠D.求证：△ABC2△ADC B 【答案】证明：：∠1=∠2， .180°-∠1=180°-∠2 即∠ACB=∠ACD, ∠B=∠D, ∠ACB=∠ACD, 在 和 中， ABC△ADC AC=AC, ,∴△ABC≌△ADC(AAS) 【变式2】.(25-26七年级下宁夏银川期末)已知：如图，点E、F在CD上，DE=CF,AE∥BF A E D B 请从①AC=BD;②∠A=∠B;③AC∥BD这三个选项中，选择一个作为条件，使得△ACE≌△BDF,并说明理 由 解：选择条件是 理由是： 【答案】②∠A=∠B, 理由：，AE∥BF, .∠AEC=∠BFD ..DE=CF, ∴.DF=CE, 在△ACE和ABDF中 ∠AEC=∠BFD CE=DF ∠A=∠B △ACE≌ABDF(AAS) ③AC∥BD. 理由：，AC∥BD, ∠C=∠D ,AE∥BF, .∠AEC=∠BFD. DE=CF ∴.DF=CE, 在△ACE和△BDF中 ∠AEC=∠BFD CE=DF ∠C=∠D △ACE≌ABDF(ASA) 题型六：“L”证明三角形全等问题 【例6】.(26-27八年级上辽宁辽阳开学考试)如图，AB⊥BD,AB‖CD,点B,F,E,D在一条直线上， 且BF=DE,AE=CF,求证：AB=CD, 双 【答案】证明：，BF=DE, ∴BF+EF=DE+EF,即BE=DF, AB⊥BD,ABIICD, AE=CF ∴∠B=∠D=90°，在Rt△ABE和RtACDF中，BE=DF, ∴.Rt△ABE≌RtACDF(HL). .AB=CD 【变式2】.(25-26八年级下陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BCCA的延长 线上，连接DE,若AC=CD,AB=DE.求证：∠B=∠E. B E D 【答案】证明：：∠ACB=90°， .∠DCE=180°-∠ACB=90° 在Rt△ACB和RtADCE中， AC=DC AB=DE .RtAACB≌Rt△DCE(HL) ∴∠B=∠E 【变式2】.(25-26八年级下陕西西安期末)如图，∠ACB=90°，∠DCA=∠ECB,AB=DE,BC=EC.求 12 证：AC=DC. B 【答案】证明：：∠DCA=∠ECB, ∴.∠DCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE,即∠DCE=∠ACB, 又：∠ACB=90°， ∠DCE=90°， :∴△ACB与△DCE均为直角三角形， AB=DE 在Rt△ACB和RtADCE中： BC=EC ,∴.RtAACBS≌RtADCE(HL). .AC=DC 题型七：添加一个条件证明全等问题 【例7】，(26-27八年级上全国阶段检测)如图，己知AB=CD,∠ABC=∠CDA,添加下列条件不能判定 △ABC2△CDA的是() D A.AD=BC B.∠ACB=∠CAD C.AC=CA D.ABIICD 【答案】C 【详解】解：：AB=CD,∠ABC=∠CDA,AD=BC, △MBC≌CDA(SAS),故A能判定△MBC四△CD1,不符合题意： .∠ACB=∠CAD,AB=CD,∠ABC=∠CDA, ,△ABC≌△CDA(AAS) 故B能判定△ABC≌△CDA,不符合题意： 13 :AB‖CD ∴.∠CAB=∠ACD 又：AB=CD,∠ABC=∠CDA, △ABC≌ACDA(ASA) 故D能判定△ABC≌△CDA,不符合题意； 不能判定△ABC≌△CDA的是AC=CA」 【变式1】，(25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测)如图所示，己知∠I=∠2，则不一定能使△ABD2△ACD的条件 是() C A.BD=CD B.∠B=∠C C.AB=AC D.AD平分∠BAC 【答案】C 【详解】解：A、添加BD=CD可利用SAS定理判定△ABD≌aACD,故此选项不合题意： B、添加∠B=∠C可利用AAS定理判定△ABD≌aACD,故此选项不合题意： C、添加AB=AC不能判定△ABD≌aACD,故此选项符合题意； D、添加AD平分∠BAC,则∠BAD=∠CAD 可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD,故此选项不合题意. 【变式2】，(25-26七年级下四川达州期末)如图，己知OA=OB,添加下列条件，不能使△AOC≌aBOD的是 () D B A.OC=OD B.∠OCA=∠ODB C.AC=BD D.∠A=∠B 【答案】C 14 【详解】解：已知OA=OB,且∠AOC=∠BOD :选项A中OC=OD,∴根据SAS可判定△AOC≌aBOD,不符合题意： ~选项B中∠OCA=∠ODB,∴根据AAS可判定△AOC≌aBOD,不符合题意： ~选项C中AC=BD,此时为边边角(SSA),不能判定△AOC≌aBOD,符合题意： ~选项D中∠A=∠B,∴根据ASA可判定△AOC≌aBOD,不符合题意. 题型八：灵活选取判定定理证明全等三角形 【例8】.(25-26八年级上全国单元复习)如图，在△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB=50°.点0在△ABC 内，连接OB,OC,且∠BAC的平分线交C0的延长线于点D,连接BD,∠OBC=10,∠OCB=30°.求证： OB=AC, D 【答案】 证明：由题意，得∠BAD=∠CAD=180°-2×50° =40° 2 ∠0CB=30°，∠ACB=50°， ∴.∠ACD=20° (AB=AC, ∠BAD=∠CAD, 在 和 中， ABD△ACD AD=AD, △ABD≌△ACD(SAS)' ∴.∠ABD=∠ACD=20°，∠OBD=∠ABC-∠ABD-∠OBC=20°，.∠ABD=∠OBD, .∠BOD=∠OBC+∠OCB=10°+30°=40°， ∴.∠BOD=∠BAD ∠BOD=∠BAD, ∠OBD=∠ABD, 在 和 中， △BOD ABAD BD=BD, :.ABODSABAD(AAS)':.OB=AB :.OB=AC 【变式1】.(25-26八年级上：江苏南京阶段检测)图，AD,AD分别是△ABC和△AB'C中BC,B'C'边上的 中线。 15 D D (1)若AD=A'D',AB=B,BC=B'C.求证：△ABC≌△A'B'C'. 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格. AD是△ABC的中线 ①▲ ③▲ AD是△ABC的中线 ②▲ BD=B'D △ABD≌△A'B'D BC=B'C' AB=AB' ④▲ △ABC≌△A'B'C (2)若将(I)中的条件改为“AD=AD',AB=ANB，AC=C”,判断△ABC与△A'B'C'是否仍然全等，并说 明理由。 【答案】(I)①DB=DC,②DB'=D'C',③AD=A'D',④∠B=∠B (2) 证明：△ABC≌△AB'C,理由如下： 延长AD,截AD=DE,连接BE,延长A'D',截AD'=DE,连接B'E, :AD,AD'分别是△ABC和△AB'C的中线， .DB=DC,D'B'=D'C', AD=DE ∠CDA=∠BDE 在 和 中， △ADC AEDB DC=BD '△ADC≌AEDB(SAS)' 同理可证，△AD'C'≌△E'D'B .BE=AC,B'E'=AC,∠E=∠CAD,∠E=LCAD', AD-AD AC-AC AE-4E,BE-BEAB=AB △ABE≌△A'B'E'(SSS) ∴.∠BAE=∠BAE',∠E=∠E', .∠CAD=∠C'A'D', 16 .∠BAE+LCAD=∠B'A'E+LCA'D',即∠BAC=∠BAC, 又AC=A'C,AB=AB, 、△ABC≌△A'B'C'(SAS) B D D E 【详解】(1)解：，AD,AD'分别是△ABC和△AB'C的中线， .DB=DC,D'B'=D'C, .BC=B'C", .DB=D'B', 又AD=AD',AB=AB, .△ABD≌AA'B'D'(SSS) ∠B=∠B' 又：AB=AB,BC=B'C, 、△ABC≌AA'B'C'(SAS) 故答案为：①DB=DC,②DB=D'C,③AD=AD',④∠B=∠B 【变式2】.(2026八年级上·全国·专题练习)已知，在△ABC中，AH⊥BC于点H,∠HAB=∠HAC, B CB∈ H D 图1 图2 (I)如图1，求证：△ABH≌△ACH: 17 (2)如图2，点D为△ABC外一点，AD⊥BD,若BC平分∠ABD,求证：AD⊥AC. 【答案】(I)证明：AH⊥BC,∴∠AHB=∠AHC=90°， 又，AH=AH,∠HAB=∠HAC, △ABH≌△ACH(ASA) (2)证明：AD⊥BD,.∠ADB=90°，△ABH≌△ACH, .∠ABC=∠ACB :BC平分∠ABD,∠ABC=∠DBC,∠ACB=∠DBC,ACI BD,∠DAC=∠ADB=90°， .AD⊥AC. 题型九：全等三角形的辅助线之倍长中线模型 【例9】.(26-27七年级上·全国阶段检测)根据要求完成以下问题： (1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=12,AC=8,求BC边上 的中线AD的取值范围。 D 图1 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2)， M 图2 ①延长AD到M,使得DM=AD; ②连接BM,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中： ③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB-BM<AM<AB+BM,从而得到AD的取值范围是 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系. (2)请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明. (3)深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE,AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，请直接利用(2)的结 论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明. 18 E A B D C 图3 【详解】(1)解：如图，延长AD到点M,使DM=AD,连接BM, A D C M :AD是BC边上的中线， BD=CD ∠BDM=∠CDA 、在 和 。中， BD=CD AMDB'△ADC DM=DA,·AMDB≌*ADC(SAS)' .'BM=AC=8. 在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM, ∴.12-8<AM<12+8,即4<2AD<20, .2<AD<10 (2)AC∥BM且AC=BM,证明：由(I)知，△MDB≌aADC,.∠M=∠CAD,AC=BM,.AC∥BM; (3)EF=2AD, A 证明：如图，延长到，使得 ，连接 D AD M DM=AD BM M 由(2)知：AC∥BM,AC=BM,.∠BAC+∠ABM=180°， :∠BAE=∠FAC=90°，∴.∠BAC+∠EAF=360°-∠BAE-∠FAC=180°， 9 ∴∠ABM=∠EAF,:AC=AF,.BM=AF, AB=EA ∠ABM=∠EAF 在 和 中， △ABM AEAF BM=AF 4BMEAF (SAS)AM=EF AM=2ADEF-24D 【变式1】.(25-26八年级上内蒙古赤峰期中)解决下列问题： A 图1 图2 图3 (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1， AD是△ABC的中线，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.利用全等将边AC转化到BE.在这个过程中小曲 同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 一，另外他还得到了AC和BE的位置关系是 一；若 AB=8,AC=6,他还求出了AD的取值范围为 (2)问题解决：如图2，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB,点在BC的延长线上，QC=AB,求证： A0=2AD (3)问题拓展：如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段CB上，连接AD,EA⊥AD, ∠ACE=∠ABD.若点F为CD中点，AF交BE于点G,请直接写出BE和AF的数量关系. 【详解】(I)解：，AD是△ABC的中线，.BD=CD, AD=ED ∠ADC=∠EDB 和 中， △ADC AEDB BD=CD AMDC≌AEDB(SMS）,∠CMD=∠E,MC∥BE, A4DCEDBBE4C=6:AD-DE-7AEAE-2AD ,在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, .8-6<2AD<8+6. 1<AD<7: (2)证明：如图所示，延长AD至点E,使DE=AD, 20 A 图2 同(1)可得△ACD≌△EBD 、AC=EB,∠ACD=∠EBD AC∥BE, .∠BAC+∠ABE=180°， :∠ACB+∠AC9=180°，∠BAC=∠ACB,∠ABE=∠AC9, AC=BE ∠ACQ=∠AB 和 中， △ABE△QCA OC=AB ，·AABE≌A△OCA(SAS) .AO=AE=2AD (3)解：如图所示，延长AF至点H,使FH=AF, A E G B 图3 由(1)可得△ADF≌△HCF, :.AD=CH,∠DAF=∠CHF, .AD∥CH :∠BAC=90°，EA⊥AD, .∠DAE=90° .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=LCAE, 在△ABD和△ACE中， 21 ∠ACE=∠ABD ∠BAD=∠CAE AB=AC :△ABD≌△ACE(AAS) .AD =AE, .CH=AE. 设∠BAD=∠CAE=a, ∴.∠DAC=90°-a, .AD∥CH, BA=AC ∠BAE=∠ACH '∠ACH+∠DAC=180'÷∠ACH=90+a=∠BAC+∠CMB=∠BAE ，在 和 中， △BAE△ACH AE=CH △BAE≌△ACH(SAS) ∴.BE=AH=2AF 【变式2】.(25-26七年级下山东枣庄期末)【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△ABC中，若AB=10,AC=6,，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了 如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考： 图① 图② (I)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求 证的结论集中到同一个三角形之中. 【灵活运用】 22 (3)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,AE=EF.若EF=6,EC=4,求线段BF的长. 【详解】(1)解：：AD是BC边上的中线， .CD=BD. CD=BD ∠CDA=∠BDE 在 和 中， ADCEDB AD=DE· .△ADC≌aEDB(SAS) (2)解：AB-BE<AE<AB+BE,即I0-6<AE<10+6, 4<AE<16. AD-4E 21 2<AD<8: (3)解：延长AD到M,使AD=DM,连接BM,如图2所示： B D 图2 .AE=EF,EF=6, .AC=AE+EC=6+4=10, ,AD是△ABC的中线， .CD=BD. ,在△ADC和△MDB中， CD=BD ∠ADC=∠MDB AD=DM △ADC≌MDB(SAS). ∴.BM=AC,∠CAD=∠M, AE=EF, .∠CAD=∠AFE, 23 .∠AFE=∠BFD, .∠BFD=∠CAD=∠M, .BF=BM=AC, 即BF=10. 题型十：全等三角形的辅助线之垂线模型 【例10】.(26-27八年级上福建福州开学考试)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线I经过 点C,过A作AD⊥I,垂足为D,过B作BE⊥I,垂足为E, E 图1 图2 (I)求证：△ADC≌△CEB (2)如图2，延长AD至F,连接CF,过点C作CG⊥CF,且CG=CF,连接BG交直线I于点H,连接EG SACD=SECG ①求证： ②若AF=12,求CH的长. 【答案】(1)证明：如图1， B D 图1 .AD⊥1，BE⊥1， ∴.∠ADC=∠CEB=90°、 24 I∠CAD=LBCE ∠ADC=∠CEB ∠4CB=90e'∠CAD=∠BCE=90-∠ACD' 在和n中， △ADC ACEB AC=CB .△ADC≌△CEB(AAS) (2)①证明：如图2， 图2 过G作GL⊥1于L, .AD⊥I, .∠FDC=∠CLG=90°. .∠F+∠DCF=90°， 又CF⊥CG, ∴.∠FCG=90°， ∴.∠DCF+∠GCL=90°， .∠F=∠GCL, .CG=CF, △FDC≌aCLG(AAS) .DC=LG, 由(1)得：△ADC≌△CEB(AAS), .AD=CE, -DC-C S.ACD=S.CEG ②如图2， 25 图2 由(1)得：△MDC≌△CEB(AAS),∠ADC=∠CEB=90°， .AD=CE,DC=BE, 由(2)①得：△FDC≌aCLG,∠FDC=∠CLG=90°：.DC=LG,DF=LC, ∴.DC=BE=LG,∠BEH=∠GLH=90°， :∠BE=∠GL,A△BEH≌aGH(MM）,:EH=L. .AF AD+DF,.AF =CE+CL, .AF=CE+CH+LH=CE+CH+EH =CE+EH+CH=2CH, .'AF=2CH, .AF=12, ∴.CH=6 【变式1】，(26-27八年级上浙江宁波开学考试)通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： D B G E D F D B 31 个2 h- H 图1 图2 图3 (I)【模型呈现】如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由 1+∠2=∠2+D=90°，符4=D.又4CB=∠4BD=90 △ABC≌△DAE AC= .又 可以推理得到 进而得到 BC= 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型： 的 (2)[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所 围成的图形的面积. (3)[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与 直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点. 【详解】(1)解：，△ABC≌△DAE. .AC=DE,BC=AE; (2)解：过点E作EP⊥AC于点P,过点B作BG⊥AC于点G,过点D作DH⊥AC于点H, .AE⊥AB, ∠EAB=90°， .∠EAP+∠BAG=90°， .BG⊥AC, .∠AGB=90°， .∠ABG+∠BAG=90°， ∠EAP=∠ABG, :EP⊥AC, .∠EPA=90°， ∠EPA=∠AGB=90°. 又AE=AB, .△EPA≌AAGB(AAS) .EP=AG=6,PA=GB=3, 同理，△BGC≌ACHD, .GB=HC=3,GC=HD=4. ∴.PH=PA+AG+GC+HC=3+6+4+3=16, :.S.m--EPxPA-1x6x3-9. 1 S-4GxBG=×6x3=9,Sx=8G×CG=X3x4=6, 1 2 S.m-CHx DH-x3x4-6.Sm(P)x(4+6)x16-80 S=SBDEPH-SEPA-S,48G-S,8GC-S.CID=80-9-9-6-6=50 27 答：图中实线所围成的图形的面积为50： (3)证明：过点D作DM⊥AG于点M,过点E作EN⊥AG于点N, 由(1)可知，当∠BAD=90°，AB=AD,BC⊥AF,DM⊥AG时， △BFA≌AAMD,∴FA=MD,同理，△CFA≌aANE,FA=NE, .MD=NE. :DM⊥AG,EN⊥AG, ∴.∠DMG=∠ENG=90°， 又.∠DGM=∠EGN. △DMG≌AENG(AAS) .DG=EG 即点G是DE的中点. GN E 图3 【变式2】，(25-26七年级下·江西九江·期末)等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形： 基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图1与图2），一些复杂的问题可以转化 成这样的全等结构进行解决. C F 图1 图2 图3 图4 28 【理解探究】 ()如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点C正好落在直线I上，直线I与直线AB的交点不在边AB 上，分别作BF⊥I于点F,AE⊥I于点E,则线段BF、EF、AE之间的数量关系为 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点C正好落在直线I上，直线I与直线AB的交点在边AB上， 分别作BF⊥I于点F,AE⊥1于点E.请问(1)中结论是否成立？如成立，请你给出证明：若不成立，请说明理 由. 【转化应用】 (3)如图3，△ABC与△BDF均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BFD=90°，且C、F、D在同一直线上，连接AD, S.n=12.BF=4.求 己 AACD (4)在RtAACD中，∠ACD=90°，AC=6,CD=8,AD=10.直线I经过RtAACD的直角顶点C交斜边AD于点E, CE⊥AD,AE:DE=916,动点F在直线I上，动点B在CD所在直线上.若以点B、C、F为顶点的三角形与 △ACE全等（如图4），直接写出所有满足条件的EF的长度值. 【答案】(I)BF+AE=EF (2)解：(I)中结论不成立，应为BF-AE=EF,理由如下： :AE⊥I,BF⊥1， ∠AEC=∠BFC=90°，∴.∠ACE+∠CAE=90°，∠ACB=90°， ∴.∠ACE+∠BCF=90°， .∠CAE=∠BCF. ∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠BCF 在 和 中， △ACE'△CBF AC=CB △ACE≌ACBF(AAS) .AE=CF,CE=BF .BF-AE=CE-CF=EF (3)6 42546 ④)所有满足条件的F的长为5或5或5 【详解】(1)解：：AE⊥1，BF11, .∠AEC=∠BFC=90°， 29 ∴.∠ACE+∠CAE=90°， ,∠ACB=90°， ∠ACE+∠BCF=180°-∠ACB=90°， ∴∠CAE=∠BCF ,在△ACE和△CBF中， ∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠BCF AC=CB △ACE≌ACBF(AAS) .AE=CF,CE=BF .BF+AE=CE+CF=EF (2)略 (3)解：：△ABC与△BDF均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BFD=90°， .AC=BC,DF=BF=4, =1CD.BF=12,BF=4' S.= CD=6, .CF=CD-DF=6-4=2 过点A作AE⊥DC,交DC的延长线于点E,则∠AEC=90°， F D Ey为 图3 ∠BFD=90°， .∠BFC=180°-∠BFD=90°， ∴.∠AEC=∠BFC .∠AEC=90° .∠ACE+∠CAE=90° .∠ACB=90° .∠ACE+∠BCF=180°-∠ACB=90°， 30 ∴.∠CAE=∠BCF. :在△ACE和△CBF中， [∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠BCF AC=CB △ACE≌ACBF(AAS) .AE=CF=2 C.S4D=)CD·AE=×6x2=6 2 (4)解：AE:DE=9:16,AE+DE=AD=10, :E=18 ,DE=32 5 .∠ACD=90°，CE⊥AD. Sm4c-m=40cE,即时*6x8x0cE,R- 1 2 5·“CE1AD,·∠CEA=90, .∠A+∠ACE=90° :∠DCE+∠ACE=∠ACD=90°. ∴.∠A=∠DCE 若以点B、C、F为顶点的三角形与△ACE全等，分以下情况讨论： ①若点B,F均在点C上方， ∠BCF=∠DCE=∠A, ∴，存在△CBF≌△ACE或△CFB≌△ACE, 若aCBF≌aACE,如图， F 则 E D CF-AE- 即-4E-号 若△CFB≌aACE,如图 31 B A D 则CF=AC=6, EF=CF+CE=6+ 454 55· ②若点B,F均在点C下方， ,∠BCF=∠A」 ∴.存在△CBF≌△ACE或△CFB≌△ACE, 若△CBF≌aACE,如图， C D E 则CF=AE= 5, EF=CE-CF=24_186 555· 若△CFB≌aACE,如图 C B D E F 则CF=AC=6, EF=CF-CE=6-24_6 55· 32 42546 综上所述，所有满足条件的EF的长为5或5或5· 题型十一：全等三角形的辅助线之旋转模型 【例11】.(24-25八年级上山东德州期中)已知在△ABC中，AC=BC,在△DEC中.DC=EC, ∠ACB=∠DCE=a,点A、D、E在同一条直线上，AE与BC相交于点F,连接BE. D 图1 图2 (1)如图1，当a=40°时，求∠AEB的度数： (2)如图2，当a=90°时，完成下列问题： ①判断AD与BE的关系： ②若∠CAF=∠BAF,BE=3,求线段AF的长. 【答案】(1)40° (2)①AD=BE,AD⊥BE:②AF=6 【详解】(I)解：∠ACB=∠DCE, ∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD, ∴.∠ACD=∠BCE, DC=EC ∠ACD=∠BCE 和 中， ACDA ACEB AC=BC ∴.△CDA≌△CEB(SAS) ∴.∠CBE=∠CAD. 又：∠CFA=∠EFB,∠AEB+∠EFB+∠CBE=180°，∠ACB+∠AFC+∠CAD=l80°， ∠AEB=∠ACB=a=40°： (2)证明：①：∠ACB=∠DCE, .∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD. ∴.∠ACD=∠BCE. 33 DC=EC ∠ACD=∠BCE 在 和 中， ACDA ACEB AC=BC ∴.△CDA≌△CEB(SAS) .∠CEB=∠CDA,AD=BE, CD=CE,∠DCE=90°， ∠CDE=∠CED=45°， ∠ADC=∠CEB=135°， ∠CED=45°， ∠AEB=90, AD⊥BE, ∴.ADLBE,AD=BE: ②△ACD≌aBCE, :AD=BE=3, :AC=BC,∠ACB=90°」 ∴.∠CAB=∠CBA=45°， ∴.∠CAF=∠BAF=22.5° ∠CDE=45°=∠CAD+∠ACD. .∠ACD=22.5°=∠CAD. ..CD=AD=3 ∠DCF=90°-∠ACD=67.5°，∠AFC=∠ABC+∠BAF=67.5°， ∠DCF=∠DFC, .DF =DC=3. .AF=AD+DF=6 【变式1】.(22-23八年级上黑龙江哈尔滨期末)已知：在△ABC中，AD1BC于点D,AD=BD=CD A A A G E E B 6 D D 图1 图2 图3 34 (1)如图1，∠BAC的度数为. 度 (2)如图2，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF,连接DE、DF,求证：∠AED+∠AFD=180°； (3)如图3，在(2)的条件下，AD交EF于点G,过点C作CH⊥EF于点H,连接DH,点N在CH延长线上， 连接GN、AN,若GN∥DH∥AB,判断线段AN与EG的数量和位置关系，并证明你的结论. 【详解】(I):AD=BD=CD,AD⊥BC .∠BAD=∠CAD=∠B=∠C=45°.∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°，故答案为：90： (2) 证明：：AD⊥BC,AD=BD=CD A 4 5 B C D .∠B=∠1=45°，∠C=∠2=45° .∠1=∠C AE=CF .△AED=△CFD.:∠3=∠5又，∠4+∠5=180°.∠3+∠4=180°即∠AED+∠AFD=180° (3)连接GC,DH、GN与AC分别交于L、K,过H作HM⊥BC于M,HP⊥AD于P, A H G E G B D D M .∠BAC=90°，GN∥DH∥AB ∴.∠BAC=∠NKC=∠HLC=90° AD=BD=CD ∴.∠ADH=∠CDH=45° ∴.HP=HM.CH⊥EF,AD⊥BC:.∠ADC=∠GHC=90°，∠PHG=∠CHM=90-∠GHM △PHG=△MHC(ASA) ∴.HG=HC 35 :∠NGH=∠ACH=90-∠GNH.:△CIHF=aGHN(ASA) ∴.CF=GN.AE=CF.AE=GN.·GN∥AE ∴四边形1EGN是平行四边形：.∠BAG=∠NGA:△MEG兰AGMN(SAS) ∴.AN=EG,∠AGE=∠GAN .AN∥EG .AN=EG,AN∥EG 【变式2】，(24-25八年级上·甘肃临夏期末)综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内 在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地. E B B 图1 图2 【发现问题】 (I)如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,连接BE,CF,延长BE交CF于点 D.则BE与CF的数量关系为： 【类比探究】 (2)如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=120°，连接BE,CF,延长BE, FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由. 【答案】(1)BE=CF: 【详解】解：(1)：∠BAC=∠EAF, .∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE. (AB=AC ∠BAE=∠CAF 即 在 和 中， ∠BAE=∠CAF△ABE'△ACF AE=AF △ABE≌△ACF(SAS) BE=CF,故答案为：BE=CF 36 (2)BE=CF,∠BDC=60° 理由如下：，∠BAC=∠EAF, :.∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF, AB=AC ∠BAE=∠CAF 在 和 中， ABE△ACF AE=AF ÷AMBE≌A4CF(SMS)'六∠AEB=∠AFC'BE=CF :∠EAF=120°，AE=AF,.∠AEF=∠AFE=30° ∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-（∠AFC-30°）=60° 高分精练 一、单选题 1.(26-27八年级上山东聊城开学考试)下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是() 【答案】D 【详解】解：A、两个图形的大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意： B、两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意： D、两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意. 2.(26-27八年级上：广西南宁·开学考试)如图，已知△A0C≌△BOD,点C与点D是对应点，下列结论中错误的 是() C D A.AC=BD B.∠AOC=∠BOD C.A0=DO D.∠A=∠B 【答案】C 37 【详解】解：：△AOC兰△BOD,点C与点D是对应点， ·点A与点B是对应点，点O与点O是对应点， ∴AC=BD,∠AOC=∠BOD,∠A=∠B,AO=BO,CO=DO, ∴选项A、B、D结论正确，选项C结论错误. 3.(2026八年级上江苏·专题练习)如图，两根钢条AA'、BB的中点O连在一起，使AA'、BB可以绕着点O 自由转动，就做成一个测量工具，A'B的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OAB的理由是() B A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边 【答案】A 【详解】解：O是AA、BB的中点， AO=4O ∠AOB=∠A'OB' A0=H0'B0=B0在A01B 和 中， △OA'B' BO=B'O △OAB≌AOA'B'(SAS) 4.(26-27八年级上湖北：阶段检测)如图，AD,BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F.若AD=BD=6, 且△ACD的面积为12，则AF的长度为() D A.1 B.2 C.2.5 D.3 【答案】B 【详解】解：AD,BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F, .∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠BEC=90° .∠BFD+∠DBF=∠AFE+∠CAD. .'∠BFD=∠AFE, 38 [∠DBF=∠CAD BD=AD 在 和 中， ∠DBF=∠CAD △ACD△BFD ∠BDF=∠ADC'·AACD≌ABFD(ASM)' .DF DC, :AD=BD=6,且△ACD的面积为12， XCDx6=12 1 .CD=4, .DF=4, .AF AD-DF=2. 5.(26-27八年级上四川成都开学考试)如图，点E,F在AC上，AD=BC,AD∥BC,下列条件中不能使 △ADF≌△CBE成立是() A.DF=BE B.AE=CF C.BE∥DF D.∠D=∠B 【答案】A 【详解】解：，AD∥BC, ∠A=∠C, 由AD=BC,DF=BE,根据“SSA”不能得出△ADF≌△CBE,故A符合题意： .AE=CF. ∴.AE+EF=CF+EF, 即AF=CE, 由AD=BC,AF=CE,根据“SAS”能得出△ADF≌△CBE,故B不符合题意； BE∥DF, ∴∠AFD=∠CEB 由AD=BC,根据“AAS”能得出△ADF≌△CBE,故C不符合题意： 由AD=BC,∠D=∠B,根据“ASA”能得出△ADF≌△CBE,故D不符合题意， 6.(25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测)如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的 39 四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具，现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求 的模具的是() ① ② ③ ④ A.①③ B.②④ C.①④ D.③④ 【答案】B 【详解】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到与原三角形全等的三角形， 7.(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，∠B=∠C,点D,E,F分别在边BC,AB, AC上，连接DE,DF,且BD=CF,BE=CD,若LEDF=65°，则∠B的度数为() B D C A.50° B.55 C.60° D.65° 【答案】D (BE=CD ∠B=∠C 【详解】解：在 和 中 BDE ACFD中BD=CF∴△BDE≌△CFD(SAS):.∠FDC=∠BED ∴.∠FDC+∠BDE=∠BED+∠BDE, :∠FDC+∠BDE+∠EDF=180° ∴.∠EDF=180°-（∠FDC+∠BDE) 在△BDE中，∠BED+∠BDE+∠B=180°， 40 ∴.∠B=180°-（∠BED+∠BDE) ∴.∠B=∠EDF=65°」 8.(25-26八年级下辽宁沈阳期末)如图，APBC的面积为3Cm,CP平分∠ACB,AP⊥CP于点卫，连接BP, 则△ABC的面积为() B A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【详解】解：如图所示，延长AP交BC于点D. A 夕 D :CP平分∠ACB, ∴.∠ACP=∠DCP. AP⊥CP于点P, .∠CPD=∠CPA, CP=CP △CPD≌aCPA(ASA) ∴PA=PD, :aCPA与aCPD等底同高， S.CPA=S.CPD .△PAB与△PDB等底同高， S.PAB=S.PDB 41 .S,rnc =S.rD+S.cro =3cm2 S.AMBc=SPpB+S.cPp+S.PMB+S.cPA=2×(Sppn+S.am）=2×3=6cm2 二、填空题 9.(26-27八年级上浙江单元测试)如图，AB∥DE、BE=FC.请你添加一个条件 一，使得 △ABC≌ADEF B E 【答案】AB=DE(答案不唯一，如∠A=∠D或∠ACB=∠F等)· 【详解】解：AB∥DE, ∴.∠B=∠DEF. .BE=FC ∴.BE+EC=FC+EC,即BC=EF, 若添加AB=DE, 在△ABC和△DEF中， AB=DE ∠B=∠DEF BC=EF· .∴AABC≌△DEF(SAS) 若添加∠A=∠D, 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D ∠B=∠DEF BC=EF· ,△ABC≌ADEF(AAS) 若添加∠ACB=∠F, 在△ABC和△DEF中， 42 ∠B=∠DEF BC=EF ∠ACB=∠F' ∴.△ABC≌ADEF(ASA) 10.(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，在△ADE与△BCF中，点A、C、D、B在同一条直线上，连 接CE,FD,AE=BF,CE=DF,AD=BC.若∠CDF=55°，则∠ACE的度数为° E D B 【答案】125 【详解】解：AD=BC, ∴AD-CD=BC-CD,即AC=BD, 在△ACE和△BDF中， AE=BF CE=DF AC=BD' :.△ACE≌aBDF(SSS) .∠ACE=∠BDF ∠CDF=55°， .∠BDF=180°-∠CDF=125°， .∠ACE=∠BDF=125° 11,(25-26七年级下陕西西安期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,△ABC的角平分线AD、BE相 交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,则BF的长为 4 D B 43 【答案】5 【详解】解：：∠ACB=90°， 六∠CMB+∠CBA=90,“AD,BE是。MBC的角平分线，∠PMB=)∠CMB,∠PBA=)∠CBA, 2 2 2PMB+∠PBM=CMB+∠CBA=(CMB+∠CB0-=4S°. .∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=135°， .∠BPD=45°， :FP⊥AD, .∠FPD=90°， .∠FPB=∠FPD+∠BPD=90°+45°=135°， ∴.∠APB=∠FPB, :BE平分∠ABC, ∠ABP=∠FBP, 又，PB=PB ,△ABP≌△FBP(ASA) .AB=FB=5 12.(26-27八年级上浙江宁波开学考试)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB,过点B作 BD⊥CD,垂足为点D,连接AD,若AB=3,BC=4,则△ACD的面积为 D B 【答案】3 【详解】解：如图，延长BD交AC于点E, 44 B :CD平分∠ACB,BD⊥CD .∠BCD=∠ECD,∠BDC=∠EDC=90° 又CD=CD 、△BCD≌△ECD(ASA) .DB=DE, .S.m-78.m.8.on-7S.om. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4, 11 SAD=S.M5n+Scm2○ 2 2 三、解答题 13.(26-27八年级上广东汕头阶段检测)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AE=CE, BD=DC,AD与CE相交于点F, D (I)求证：△AEF≌△CEB. (2)求证：AF=2BD 【答案】(I)证明：：AD⊥BC, .∠ADB=90° .∠B+∠BAD=90° :CE⊥AB .∠AEF=∠CEB=90°， ∴.∠B+∠BCE=90° .∠BAD=∠BCE,即∠EAF=∠ECB 45 「∠AEF=∠CEB=90° AE=CE 在 和 中， △AEF△CEB ∠EAF=∠ECB △AEF≌△CEB(ASA) (2)证明：△AEF≌△CEB,.AF=CB.又BD=DC,.CB=2BD,.AF=2BD 14.(26-27九年级上·北京朝阳阶段检测)【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： D 图1 图2 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如 下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考： (I)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 A.SSS 。 B.SAS C.AAS D.HL (2)求得AD的取值范围是 A.6<AD<8B.6≤AD≤8 C.1<AD<7D.I≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的己知条件和所求证 的结论集合到同一个三角形中， 【问题解决】 (3)如图2，AD是△ABC的中线，∠ABD=90°，AB=2,CE⊥BC,CE=4,且∠ADE=90°，求AE的长. 【详解】(1)解：，AD是BC边上的中线， ∴.BD=CD 又∠ADC=∠BDE,DE=AD, 、△ADC≌AEDB(SAS) ∴.由已知和作图能得到△ADC≌aEDB的理由是SAS: 46 (2)解：aADC≌aEDB BE=AC=6' AD-DE-E ∴.AE=2AD, ,在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, .8-6<2AD<8+6, 1<AD<7: (3)解：如图，延长AD,EC交于点F, E 日C B 图2 :CE⊥BC,∠ABD=90°，.∠DCE=∠DCF=90°=∠ABD,:AD是△ABC的中线， :BD=DC,又：∠ADB=∠FDC,:△ABDFCD(ASA）, ∴AD=FD,CF=AB=2, .∠ADE=90°. .AE=EF=EC+CF=4+2=6 15.(26-27八年级上内蒙古·单元测试)解决以下问题 D D E 图1 图2 (I)如图l,CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F,交BD于点G.求证： ①AE=BD: ②AE⊥BD. 47 (2)将(1)中条件“∠ACD=∠BCE=90°”改为“∠ACD=∠BCE=m”,如图2. ①(1)中的结论①_（填“成立”或“不成立”）. ②(1)中的结论②是否仍然成立？若不成立，请求出AE与DB的夹角∠AGD的度数 【答案】(1)①证明： :∠ACD=∠BCE=90°， ∴.∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, AC=DC ∠ACE=∠DCB ACE=2DCB在△ACEC中 即 和 中 CE=CB ,.△ACE≌△DCB(SAS) .AE BD: ②证明：，△ACE≌ADCB, .∠CAE=∠CDB ·∠AFC=∠DFG, .∠DGF=∠ACD=90°， ∴AE⊥BD. (2)①成立，理由如下： :∠ACD=∠BCE=m°， ∴.∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, 即∠ACE=∠DCB AC=DC ∠ACE=∠DCB 在 和 △ACE△DCB CE=CB ，:△ACE2△DCB(SAS)”AE=BD ②不一定成立， △ACE≌△DCB(SAS) 同(1)可得 ∠CDB=∠CAE :∠AFC=∠DFG 48 ∴.∠AGD=∠ACD=m 16.(26-27八年级上吉林长春开学考试)在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上. (I)若∠BDA=∠AEC=∠BAC ①如图1，若AB L AC,则BD与AE的数量关系为 CE与AD的数量关系为 B A E m 图1 ②如图2，猜想BD,CE与DE的数量关系并说明理由. B D y E m 图2 (2)如图3，若∠BDA=∠AEC，DE=9cm,BD=7cm,其余条件不变.点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向 点E运动，同时，点C在射线EF上以xCm/s的速度由点E向点F的方向运动，请直接写出使得△ABD与△ACE 全等时x的值。 BE D-A E m 图3 【详解】(1)解：①AB⊥AC, .∠BDA=∠AEC=LBAC=90°， .∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=90°， .∠ABD=∠CAE, 又AB=AC, ,△ABD≌△CAE(AAS) 0 ∴.BD=AE,CE=AD; ②DE=CE+BD,理由如下： .∠B+∠BDA=∠BAE=∠BAC+∠CAE,∠BDA=∠BAC, ∴.∠B=LCAE, 又：AB=AC，,∠BDA=∠AEC, 、△ABD≌ACAE(AAS) ∴.BD=AE,CE=AD, .DE=DA+AE=CE+BD 28 (2)x=9或x=2 (2)解：设运动时间为s, ,∠BDA=∠AEC, 9 当AABD2AACE时，BD=CE=7cm, AD=AE=IDE=cm 2 2 9 21=3 2’xt=7, 1s9 28 4, 9: 当△ABD≌△CAE时，BD=AE=7Cm,AD=CE, .21=xt, .x=2, 28 综上所述，X=9或x=2 50 第1讲： 全等三角形性质及其判定 【考点归纳】 题型一：全等图像的识别 3 题型二：全等三角形的性质 3 题型三：SSS证明三角形全等问题 4 题型四：SAS证明三角形全等问题 5 题型五：ASA（AAS）证明三角形全等问题 6 题型六：“HL”证明三角形全等问题 6 题型七：添加一个条件证明全等问题 7 题型八：灵活选取判定定理证明全等三角形 8 题型九：全等三角形的辅助线之倍长中线模型 9 题型十：全等三角形的辅助线之垂线模型 11 题型十一：全等三角形的辅助线之旋转模型 14 知识点一、全等三角形的性质 全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，符号用 ≌ 表示。 性质 说明 对应边相等 重合后对应边长完全相同 对应角相等 对应角的大小完全相同 对应线段相等 对应的高、中线、角平分线分别相等 周长与面积相等 周长相等、面积相等 ⚠️ 易错提醒 周长相等、面积相等的两个三角形不一定全等！只能由全等推出等周长等面积，反过来不成立。 知识点二、全等三角形的五大判定定理 判定 条件 适用范围 SSS（边边边） 三边对应相等 任意三角形 SAS（边角边） 两边及其夹角对应相等 任意三角形，必须是夹角 ASA（角边角） 两角及其夹边对应相等 任意三角形 AAS（角角边） 两角及其中一角的对边对应相等 任意三角形 HL（斜边直角边） 斜边 + 一条直角边对应相等 仅限直角三角形 知识点三、绝对不能判定全等的情况（高频陷阱） 陷阱 原因 AAA（三角对应相等） 只能证明相似，大小可以不同，不能全等 SSA（边边角） 除直角三角形的 HL 外，一律不能判定全等 题型一：全等图像的识别 【例1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A．B． C．D． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）下面4组图形中，是全等图形的一组是（   ） A．B．C．D． 题型二：全等三角形的性质 【例2】．（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图，，，． (1)求的长； (2)若、、在一条直线上，求证：． 【变式1】．（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，已知． (1)若，，求的度数； (2)若，，求AB的长． 【变式2】．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 题型三：SSS证明三角形全等问题 【例3】．（2026·云南·中考真题）如图，，，点是线段的中点．求证：． 【变式1】．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 【变式2】．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型四：SAS证明三角形全等问题 【例4】．（2026·云南昆明·三模）如图，点E、F在上，，，．求证． 【变式1】．（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，． 求证：． 【变式2】．（2026·河南周口·二模）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 题型五：ASA（AAS）证明三角形全等问题 【例5】．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【变式1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【变式2】．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 题型六：“HL”证明三角形全等问题 【例6】．（26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试）如图，，，点，，，在一条直线上，且，．求证：． 【变式2】．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D、E分别在的延长线上，连接，若，．求证：． 【变式2】．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，，，，．求证：． 题型七：添加一个条件证明全等问题 【例7】．（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 【变式2】．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 题型八：灵活选取判定定理证明全等三角形 【例8】．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，在中，．点在内，连接，，且的平分线交的延长线于点，连接．求证：． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）图，，分别是和中，边上的中线． (1)若，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)若将（1）中的条件改为“，，”，判断与是否仍然全等，并说明理由． 【变式2】．（2026八年级上·全国·专题练习）已知，在中，于点 ． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为外一点，，若平分，求证：． 题型九：全等三角形的辅助线之倍长中线模型 【例9】．（26-27七年级上·全国·阶段检测）根据要求完成以下问题： (1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长到M，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 【变式1】．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【变式2】．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 题型十：全等三角形的辅助线之垂线模型 【例10】．（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 【变式1】．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【变式2】．（25-26七年级下·江西九江·期末）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】 (3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 题型十一：全等三角形的辅助线之旋转模型 【例11】．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 【变式1】．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在中，于点，． (1)如图1，的度数为________度． (2)如图2，点、分别在、上，且，连接、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，交于点，过点作于点，连接，点在延长线上，连接、，若，判断线段与的数量和位置关系，并证明你的结论． 【变式2】．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 一、单选题 1．（26-27八年级上·山东聊城·开学考试）下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，已知，点与点是对应点，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（     ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 4．（26-27八年级上·湖北·阶段检测）如图，是的高线，与相交于点F．若，且的面积为12，则的长度为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 5．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点，，分别在边，，上，连接，，且，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 9．（26-27八年级上·浙江·单元测试）如图，、．请你添加一个条件________，使得． 10．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，点、、、在同一条直线上，连接，，，，．若，则的度数为_________． 11．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，则的长为________． 12．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为________． 【答案】 三、解答题 13．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，于点，于点，，，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 14．（26-27九年级上·北京朝阳·阶段检测）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________． A．        B．        C．        D． (2)求得的取值范围是________． A．        B． C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 15．（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）解决以下问题 (1)如图，，，，交于点，交于点求证： ① ；② ． (2)将（1）中条件“”改为“”，如图． ①（1）中的结论①____填“成立”或“不成立”． ②（1）中的结论②是否仍然成立若不成立，请求出与的夹角的度数． 16．（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）在中，，，，三点都在直线上． (1)若． ①如图1，若，则与的数量关系为__________，与的数量关系为__________； ②如图2，猜想，与的数量关系并说明理由． (2)如图3，若，，，其余条件不变．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度由点向点的方向运动，请直接写出使得与全等时的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $