2026-2027学年江苏省高二上学期数学第一次月考仿真模拟练习卷

**基本信息** 这份高二数学月考试卷聚焦直线与圆知识，通过基础辨析、几何应用及创新情境题，分层考察解析几何核心素养，适配阶段性学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|倾斜角、圆的方程、位置关系、充要条件|第3题结合逻辑推理判断两直线平行条件，第8题动点距离最小值体现几何直观| |填空题|3题/15分|平行线距离、弦长范围、轨迹方程|第14题中点轨迹与圆上点距离综合，考察转化思想| |解答题|5题/77分|直线方程、圆的对称、公切线、新定义|第19题“黄金点”“钻石点”新定义问题，考察数学抽象与模型构建，呼应高考创新命题趋势|

参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A C B B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．/ 13． 14．7 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由直线可得斜率为 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得， 即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或． 16．（15分） 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即； （2）表示与点连线的斜率， 又是直线l在部分上的动点，如下图示：    则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为. （3）点关于对称后为在直线上， 则，即， 所以直线l关于点对称的直线方程为. 17．（15分） 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 18．（17分） 【详解】解：（1）直线l的方程整理为：，              令，解得， 故直线l所过定点A的坐标为； （2）由直线l被圆C所截得的弦长为，可知圆心C到直线l的距离为，又由点到直线的距离公式可知， 解得，即， 故实数m的值为或1； （3）设点P的坐标为，轴上的点D的坐标为，由不同于点知， 由，，可得， 若为一常数，必有，解得：或（舍去）， 时，为一常数，此时， 故满足条件的点D的坐标为. 19．（17分） 【详解】（1）因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 （2）（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得①， 由可得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度高二上学期第一次月考 数 学 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【分析】由直线方程求出直线的斜率即可得解. 【详解】设直线的倾斜角为， 由可得， 所以直线的斜率， 所以， 故选：A 2．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 3．设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线的位置关系并验证求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 4．已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 5．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可. 【详解】设，，由中点坐标公式得， 所以，故， 因为A在圆上运动， 所以， 化简得，故B正确. 故选：B 6．已知两条直线的斜率分别为，设的夹角（锐角）为，，则直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知直线的斜率，由已知的公式即可求夹角的大小. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 满足，则，所以锐角为. 故选：B 7．过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程和曲线方程，判断面积最大时的情况，进而列出直线满足的条件，列出方程，求出参数即可. 【详解】由，则，，即， 所以曲线，是以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，如图.    可知，因为， 则当面积取最大值时，，即， 半圆的圆心为，半径，此时， 所以圆心到直线的距离为. 设直线的斜率为，则直线的方程为，， 圆心到直线的距离， 解得，因为，所以. 故选：C. 8．已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】依题意，设点，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式表示的几何意义将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和最小问题解决. 【详解】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为， 且，则点的坐标为， 则， 记， 则可将理解为点到的距离之和， 即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值. 如图，作出点关于直线的对称点,则， 连接，交直线于点,则即的最小值， 且, 故的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若两直线与平行，则实数的值为1 C．若，则直线不经过第二象限 D．点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 【答案】AC 【分析】A选项，将直线变形为点斜式，求出所过定点；B选项，根据两直线平行，得到方程，求出实数的值，检验后得到答案；C选项，直线变形为斜截式，得到斜率与与轴截距，得到C正确；D选项，求出过定点，画出图象，数形结合得到实数的取值范围. 【详解】A选项，， 故直线恒过定点，A正确； B选项，两直线与平行，则， 解得或， 当时，两直线与满足要求， 当时，两直线与满足要求， 综上，或，B错误； C选项，若，则直线变形为， 直线斜率，与轴截距为 直线经过一，三，四象限，不经过第二象限，C正确； D选项，直线，直线经过定点， 画出坐标系，如下：    其中，， 则要想直线与线段相交，则直线斜率或， 解得或，D错误. 故选：AC 10．已知圆，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点. B．当时，圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1. C．圆与曲线恰有三条公切线，则. D．当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点. 【答案】BCD 【分析】应用定点判断A，根据点到直线距离判断B,根据切线个数判断C选项，应用切点弦过点判断D. 【详解】对于选项，，整理得：， 所以，解得，所以直线恒过定点，故错误； 对于选项，当时，直线为，则圆心到直线的距离为，而圆的半径为2， 所以圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1，故正确； 对于选项，当时，曲线为为， 整理得：，则圆心为，半径为3；圆的圆心，半径为2； ∴两圆的圆心距为，所以两圆外切，故两圆恰有3条公切线，故选项正确； 对于选项，当时，直线的方程为，设， 则以为直径的圆的方程为，即 ∵圆，∴两圆的公共弦的方程为， 整理得：∴，解得： ∴直线经过点.故选项正确. 故选:. 11．已知曲线的方程为：，下列结论正确的为（   ） A．曲线关于坐标轴对称 B．曲线围成的图形面积大于48 C．曲线上任意两点的距离不超过 D．若，为曲线与轴的交点，点在曲线上，则的面积最大为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件利用方程的特征，将分别换成可判断A正确，画出图象，分别求出四边形面积和半圆面积可得B错误，由数形结合并利用圆的对称性可知C正确，再根据圆上点到直线距离的最值问题可判断D正确. 【详解】在中，由，得或，由，得或， 则直线与坐标轴有5个公共点， 当时，曲线：是直线右侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线右侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线左侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线左侧半圆，圆心，半径，    对于A，将表达式中替换成，可得，即，因此曲线关于轴对称； 同理将表达式中替换成也满足表达式，即曲线关于轴对称； 综上可知曲线关于坐标轴对称,A正确； 对于B，曲线围成的图形面积，B错误； 对于C，曲线上的任意点到原点距离的最大值为， 因此曲线在圆及内部，则曲线上任意两点的距离不超过，C正确； 对于D，点到轴距离最大值为，而，则的最大面积为，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知直线与直线平行，则与之间的距离为______ 【答案】/ 【分析】利用两直线平行的条件及两直线平行间的距离公式即可求解. 【详解】由. 所以直线： 所以与之间的距离： 故答案为： 13．已知直线与圆交于两点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出直线恒过的定点，当直线经过圆心时，取得最大值，当直线时，取得最小值，即可求出答案. 【详解】由可得：， 令， 则直线过定点，圆的圆心，半径． 当直线经过圆心时，， 当直线时，． 综上，的取值范围是． 故答案为：. 14．在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上任一点，点为的中点，若点满足，则线段长度的最大值为______. 【答案】7 【分析】相关点法求出点的轨迹方程，得到点在以为圆心，1为半径的圆上，直接法得到点在圆上，数形结合得到当点时，取得最大值，最大值为7. 【详解】设，由于，点为的中点，故的坐标为， 将其代入中得，，化简得， 即点在以为圆心，1为半径的圆上， 设，则，整理得， 故点在圆上， 画出两圆，可以看出当点时，取得最大值，为7. 故答案为：7 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解， （2）联立直线与的方程，可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解． 【详解】（1）由直线可得斜率为 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得， 即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或． 16．已知直线l过点，且直线l的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线l的方程（一般式表示）； (2)若点在直线l上，且，求的取值范围； (3)求直线l关于点对称的直线方程（一般式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先得到已知直线的斜率，则斜角为，继而得到所求直线倾斜角为，再由点斜式求出直线方程即可； （2）根据几何意义表示与点连线的斜率，结合图象求出范围即可； （3）由点关于对称后为在直线上，再代入求解即可． 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即； （2）表示与点连线的斜率， 又是直线l在部分上的动点，如下图示：    则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为. （3）点关于对称后为在直线上， 则，即， 所以直线l关于点对称的直线方程为. 17．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 18．已知圆：，直线：（）． （1）求直线所过定点A的坐标； （2）若直线被圆所截得的弦长为，求实数的值； （3）若点的坐标为，在轴上存在点（不同于点）满足：对于圆上任意一点，都有为一常数，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）或1；（3）. 【分析】（1）先将方程整理成，令含参数m的式子为0即解得定点； （2）先利用圆中弦长与半径，求得圆心到弦所在直线的距离，再结合点到直线的距离公式即求得参数m； （3）先设点的坐标，结合题意计算，满足其为定值则需对应系数成比例，即求得参数n，进而验证，即得结果. 【详解】解：（1）直线l的方程整理为：，              令，解得， 故直线l所过定点A的坐标为； （2）由直线l被圆C所截得的弦长为，可知圆心C到直线l的距离为，又由点到直线的距离公式可知， 解得，即， 故实数m的值为或1； （3）设点P的坐标为，轴上的点D的坐标为，由不同于点知， 由，，可得， 若为一常数，必有，解得：或（舍去）， 时，为一常数，此时， 故满足条件的点D的坐标为. 19．定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” (1)求点P所在曲线的方程. (2)已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）存在， 【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程； （2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解； （ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解. 【详解】（1）因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 （2）（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得①， 由可得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度高二上学期第一次月考 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版选择性必须第一册1-~2章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知两条直线的斜率分别为，设的夹角（锐角）为，，则直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 8．已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若两直线与平行，则实数的值为1 C．若，则直线不经过第二象限 D．点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 10．已知圆，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点. B．当时，圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1. C．圆与曲线恰有三条公切线，则. D．当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点. 11．已知曲线的方程为：，下列结论正确的为（   ） A．曲线关于坐标轴对称 B．曲线围成的图形面积大于48 C．曲线上任意两点的距离不超过 D．若，为曲线与轴的交点，点在曲线上，则的面积最大为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知直线与直线平行，则与之间的距离为______ 13．已知直线与圆交于两点，则的取值范围是__________． 14．在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上任一点，点为的中点，若点满足，则线段长度的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 16．已知直线l过点，且直线l的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线l的方程（一般式表示）； (2)若点在直线l上，且，求的取值范围； (3)求直线l关于点对称的直线方程（一般式表示）． 17．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 18．已知圆：，直线：（）． （1）求直线所过定点A的坐标； （2）若直线被圆所截得的弦长为，求实数的值； （3）若点的坐标为，在轴上存在点（不同于点）满足：对于圆上任意一点，都有为一常数，求所有满足条件的点的坐标． 19．定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” (1)求点P所在曲线的方程. (2)已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $