河南省安阳市(文峰区,北关区)2026-2027学年高二上学期阶段考试数学试题

10:51☑ 分72 HN202609 高二数学(A)答案 一、选择题 1.答案B 命题透析本题考查空间直角坐标系中点的坐标的特征， 解析关于Ox平面对称的点的坐标中，纵坐标互为相反数，横坐标和竖坐标相同，故B正确. 2.答案A 命题透析本题考查向量共线。 解析因为向量a,6不共线，所以若向量a+6与a-36共线，则片=3，即k=-子 3.答案C 命题透析本题考查空间线面位置关系的判定， 解析对于A,若a⊥B,m⊥a,则m∥B或mCB,故A错误； 对于B,若m∥a,n⊥m,则n与a的位置关系可能是平行、相交或nCa,故B错误； 对于C,由线面平行的性质定理知，m∥n,故C正确； 对于D,若mCa,nCB,a∥B,则m与n可能平行，也可能异面，故D错误 4.答案B 命题透析本题考查投影向量， 解析向量6在向量a上的投影向员为9。·合3是34=（导一宁） 5.答案A 命题透析本题考查与二面角有关的计算 解析设P,Q在直线1上的射影分别为P',Q',因为P0=Pm+p'可+Q0,Pp'=2,Q'Q=3,(p币，Q=60, 所以1P012=1Pp+1P'Q12+1Q12+2Pp2.p'Q+2p'可.Q+2Pp.Q=22+1p'Q2+32+0+ 0+2×2×3×cos120°=7+1P'Q2,则当1P'Q12=0,即P',Q'重合时，1Pd2取得最小值7，所以PQ=7. 6.答案D 命题透析本题考查正四面体的表面积与体积的计算. 解析设正四面体为A-BCD,并将其补形成正方体（如图），设正方体AEDF-HBGC的棱长为a,则正四面体 A-BCD的按长为,所以m=amrm-4=-4x分×分xd=了2解得a=1,从面正 —1 蠡田扫全 …2。-22-- 10:51☑ 自72 四面体A-BCD的棱长为反，则该正四面体的表面积为4×点×(，2)：=2，。 H 7.答案B 命题透析本题考查解三角形的综合应用， 解析由正弦定理得sinA-sinB=2(sin Acos C+sin Ccos A),又因为A+B+C=T,所以sin(A+C)=sin(T- B)=sinB,故sinA-sinB=2sin(A+C)=2sinB,故sinA=3sinB,易得a=3b.由题知三个内角均为锐角，由余 弦定理，得cosA=+-a>0,代人a=36,得c>86,又sC=+-c>0,所以2<106，因此88< 2bc 2ab 2<10s,令：=层则81<10，于是sG=4-0心兰-子-台的取值范图为0，时） 2ab6621 8.答案C 命题透析本题考查空间向量的数量积运算及最值的求解. 解析设m=a+b+c,由题意，得Id-ml=l.将d拆分为d=m+(d-m),代人所求数量积，得d·（a+b)= [m+(d-m)]·(a+b)=m·(a+b)+(d-m)·（a+b).因为向量a,b,c两两互相垂直，所以任意两个不 同向量的数量积为0，所以m·(a+b)=(a+b+c)·(a+b)=la2+lb12+2a·b+a·c+b·c=1+1+0+ 0+0=2,又(d-m)·(a+b)≤|d-ml·Ia+b1,其中1d-ml=1,且|a+b1=/1a2+1b12+2a·b= √+1+0=√2，因此(d-m)·(a+b)≤1×√2=2，则d·(a+b)≤2+2，当且仅当d-m与a+b同向时取等 号，故最大值为2+√2 二、选择题 9.答案AC 命题透析本题考查复数、共轭复数的概念和运算。 解析对于A,设z=a+bi(a,beR),由lzl=1得a2+b2=1,于是z·2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=1,故A 正确； 对于B,当a=0,b=1时，2=(-i)2=-1,故B错误； 对于C,结合A项可知：+上=：+i=(a+61+(a-bi)=2a,2a是实数，放C正确 对于D,对于方程子+2=0，由求根公式得该方程的根为x:生，计算根的模为 +（± 一2— 餐巴扫描全能王 然病1觉人■直用的日情AP 0-2-。2--小 10:51☑ 。Dg 分72 √2，不满足|z=1,因此z不可能是该方程的根，故D错误. 10.答案AB 命题透析本题考查基底的概念 解析由题知a,b,c不共面. 对于A,假设存在实数x,y,z,使得xa+y(a+b)+z(a+b+c)=0,即(x+y+z)a+(y+z)b+zc=0,则x=y= z=0,即a,a+b,a+b+c不共面，可以构成空间的一个基底，故A正确； 对于B,假设存在实数x,y,z,使得x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=0,即(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c=0,则 x=y=z=0,即a+b,b+c,c+a不共面，可以构成空间的一个基底，故B正确； 对于C,因为(a-b)+(b-c)=-(c-a),所以a-b,b-c,c-a共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D,因为(a+b)-(a-b)=2b=子×3b,所以a+b,a-b,3b共面，不能构成空间的一个基底，故D错误 11.答案ACD 命题透析本题考查圆锥的结构特征和有关表面积、线面角、二面角的计算 解析以底面圆心0为坐标原点，以直线OB、底面内垂直于OB的直线、直线OS分别为x,y,z轴建立如图所 示的空间直角坐标系，则0(0,0,0)，A(-2,0,0),B(2,0,0),S(0,0,2),设C(2cos0,2sin0,0),0∈(0,2m)且0≠ T,由E为SC的中点，得E(cos0,sin0,1). 对于A,易知OA=OB=OC=OS=2,即点O到三棱锥S-ABC的四个顶点的距离相等，故点O即为三棱锥S- ABC外接球的球心，外接球半径为R=2,所以三棱锥S-ABC的外接球的表面积S=4πR=4π×2=16π，为 定值，故A正确. 对于B,若直线OE⊥平面SBC,则OE⊥BC,易知S0⊥BC,S0∩OE=0,所以BC⊥平面SC0,则BC⊥SC,在 △SBC中，由SB=SC,可知BC⊥SC不可能成立，所以不存在点C,使得直线OE⊥平面SBC,故B错误， 对于C,易知平面SAB的一个法向量为n=(0,1,0),直线0E的方向向量为0正=(cos0,sin0,1),设直线0E 与平面SMB所成的角为a,则in&=O座·nL。1sn创 10i1lnl√cos20+sin28+1下-21 -ln,当1sim01=1,即0=受或7时， 对应点C的坐标为(0，±2,0)，符合题意，此时i血取得最大值二=三，故c正确， 2 21 对于D,平面SAB的一个法向量为n=(0,1,0),当∠B0C=60时，不妨设点C的坐标为(1,5,0)，则SB=(2, rm·S3=2x-2z=0, 0,-2),S元=(1，N5,-2);设平面SBC的法向量为m=(x,y,z),则{ 令x=5,得z= m.S元=x+5y-2z=0, ,即平面Sac的=个法向量为m(1,调ca,mh+P+ 气，故平面SsB与平面SBC夹角的余弦值为，故D正舆 一3 巴扫描全能王 然病1觉人群直用的月睡中 --。-。。22--- 10:51⑦ 分72 Q 三、填空题 12.答案0.92 命题透析本题考查相互独立事件的概率计算. 解析因为P(A)=0.8,P(B)=0.6,且A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.6=0.48,所以 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.6-0.48=0.92. 13.答案（填120°也对） 命题透析本题考查空间向量夹角的计算 解析由已知得Ial=√22+12+(-2)2=3，(a+c)·c=a·c+c2=a·c+4=1,所以a·c=-3,cos(a,c〉= 8治-3X2=分，所以(@，e9=票（填120°也对 a·c -3 3 14.答案2 14 命题透析本题考查利用空间向量求点到直线的距离、求三角形面积的最小值 解析以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。 42 D E D C ⊙ x 由棱长为2，得B(2,2,0),D,(0,0,2),E(2,1,2),F(1,2,0).由P为线段BD1上的动点，可设B驴=tBD(tE [0,1]),又BD=(-2,-2,2),得B=(-2L,-2L,2),所以点P的坐标为P(2-2,2-2,2).△PEF的面积 可表示为SAr=·EF·d,其中EF为定值，d为点P到直线EF的距离，因此△PEF的面积最小等价于d最 4 餐巴扫描全能王 额3元人■直用的日mAe 2。-22-- 10:51☑ 0分72 小因为d=耐s(成ò=前√-（励，=励，：(-1,1，-2》，励： 1E2 (-2,1-21,21-2),所以1E2=（-1)2+12+(-2)2=6,1E12=(-2)2+(1-2)2+(24-2)2=122- 12+5,成.成=-21·(-1)+(1-2)1+(24-2)(-2)=5-4，：2-5-42 1E712 6 16-0+25,所以d=√22-12+5-6-0+25=√g2+5,因为0=。(56d-32+5)= 6 6 6 （-+所以4=语所以s=方·球d=宁×6x晋-得 四、解答题 15.命题透析本题考查频数分布表和古典概型的概率计算. 解析(1)各组区间的中点值依次为25,35,45,55,65， 则样本平均数为元=25×4+35x6+45×18+5×14+65x8=48.2(分)， 50 因此估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数为48.2分钟.…(4分) (2)学习时长不足40分钟的学生分布在[20,30)和[30,40)两组，频数分别为4和6，总人数为4+6=10. 按分层随机抽样抽取5人，抽样比为品=之， …(5分) 因此，从[20,30)组抽取4×2=2人.从[30,40)组抽取6×7=3人…（(7分) 记[20,30)组抽取的2人分别为a,b,[30,40)组抽取的3人分别为c,d,e. 从5人中随机抽取2人，试验的样本空间为2=I(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),（b,e),(c,d), (c,e),（d,e)|,共10个样本点.… …（10分) “抽取的2人恰好来自同一学习时长区间”的基本事件=|(a,b),(c,d),(c,e),(d,c)川，共4个样本点。 …(12分) 故所求概率P=告-号 (13分) 16.命题透析本题考查空间向量的应用. 解折(L）由题意知武=花-亦=市+D心-市-b+a-c=之+-6… (5分) (2)因为M为PB的中点，所以=之（市+商）=(a+c.…(6分） 由(1)知ad=b+之a 因为P咏=入P币，所以A成-A币=（市-），则不=入A市+(1-A)A市=Ab+(1-A)c.…(8分) 因为A,M,N,C四点共面，所以存在实数x,y满足A成=xA+yA心， -5 餐巴扫描全能王 然额1觉人■喜用的月睡A中 02。-22-- 10:51☑ 0分72 即Ab+(1-Ac=受(a+e)+y6+20）小整理得b+1-A0c=空7a+b+受c,…（1分) =0, 因为a,b,c不共面，所以入=y, 解得入=y=2,x=-2.… (13分) 1-A=克 当入=2时，P=2P,则点N在PD的延长线上且PW=2PD.…(15分) 17.命题透析本题考查线面垂直的证明和空间向量的应用. 解析如图，连接AC,交BD于点O.以O为坐标原点，OA,OB所在直线分别为x,y轴，过点0且平行于A4,的 直线为z轴，建立空间直角坐标系 由AB=2,∠BAD=60°，得0A=√5,0B=1,又AM1=6,所以A(V5,0,0),B(0,1,0),C(-5,0,0),D(0,-1, 0),4(6,06,c(-5,06).01, …(3分) D 1)--5,1)衣=(-25,0，-6). (5分) 设异面直线AE与A,C所成的角为0， A应.t 2 则cos0= 6- 1A11A,C1 3 11 √3+1+2×2+6 即异面直线AE与A,C所成角的余弦值为 …… 11 (7分) (2)因为A1C=(-25,0,-√6)，DC=(-3,1,6),Di=(0,2,0),…(9分) 所以A,C.DC=(-23,0,-6)·(-√5,1，N6)=(-23)×(-5)+0+(-6)×6=0, A1C.Di=(-25,0,-6)·(0,2,0)=0, (13分) 所以A,C⊥DC1,A,C⊥DB, 6 紧田全任 0.2-22--- 10:52☑ 0○● 0蛤72 又DB∩DC1=D,DB,DC,C平面BDC,所以A,C⊥平面BDC. (15分) 18.命题透析本题考查空间向量的应用. 解析(1)由题意知0，O,分别是AB,AB1的中点，连接OB,OP,如图. 因为P是BC的中点，所以OP∥AC,又ACC平面A,AC,OP平面A1AC,所以OP∥平面A1AC.·(1分)》 由圆台的性质可知，A,B1∥AB,且A1B,=4,A0=4,所以A1B1∥A0,且A1B,=A0,所以四边形A,A0B,是平行 四边形，所以AA1∥0B,又AA1C平面A1AC,0B,￠平面A,AC,所以0B,∥平面A,AC.…(3分) 又OB,∩OP=0,OB,OPC平面OPB,所以平面OPB1∥平面AAC, 又BPC平面OPB,所以B,P∥平面AAC.… …(5分) (2)如图，以0为坐标原点，过点0且垂直于直线AB的直线为x轴，0B,O0,所在直线分别为y,z轴建立空间 直角坐标系，由题意知001=23，则0(0,0,0)，A(0,-4,0),B(0,4,0),C(25,-2,0),B,(0,2,2√5) …（7分) 所以AB=(0,6,25),A元=(25,2,0). n·AB=0,r6y+23z=0, 设平面AB,C的法向量为n=(x,y,z),则 即 n·At=0,25x+2y=0, 令x=1,得y=-√5，z=3,即平面AB,C的一个法向量为n=（1,-3,3). …… (9分) 因为应=(0,8,0)，所以点B到平面AB,C的距离d=应，mL_0x1+8x(-)+0x318V型 √12+(-3)2+32 13 即点B到平面AB,C的距离为3 13 (11分) - A 0 D (3)由(2)知平面AB,C的一个法向量为n=(1,-√5,3)· 易得A4=0B=(0,2,25), rm·At=0,r25a+2b=0, 设平面A1AC的法向量为m=(a,b,c),则 即 m·AM=0,l2b+23c=0, 令a=1,得b=-5,c=1,故平面A1AC的一个法向量为m=(1,-5,1).…(14分) 设平面A,AC与平面AB,C的夹角为0， 1 S扫描全能王 然额3亿人■在用的月睡中 -。-。。22--- 10:52☑ 。Do 0分72 则cos0=ml三 1×1+(-5×(-5)+1×31=7⑤ 1mllm√P+(-5)2+1下×√2+(-5)2+32 65 故平面AAC与平面AB,C夹角的余弦值为7丽 65 (17分) 19.命题透析本题考查新定义及利用空间向量解决线面角、二面角问题 解析(1)由折叠的不变性，折叠前CD⊥AB,故折叠后有CD⊥SD,CD⊥BD, 因为SD∩BD=D,且SD,BDC平面SBD,所以CD⊥平面SBD, 又SBC平面SBD,所以CD⊥SB.… (2分) 因为SC⊥BD,CD⊥BD,且SCnCD=C,SC,CDC平面SCD,得BD⊥平面SCD, 又SDC平面SCD,所以BD⊥SD.…(3分) 又CD⊥SD,BD∩CD=D,BD,CDC平面BCD,所以SD⊥平面BCD, 又BCC平面BCD,所以SD⊥BC. 综上，三组对棱两两垂直，故四面体S-BCD为对垂四面体。…。 …(5分)》 (2)由(1)知DB,DC,DS两两互相垂直.以D为坐标原点，DB,DC,DS所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),S(0,0,1),所以C⑦=(0，-2,0)，S=(2,0,-1),S=(0,2,-1) n·52=0,r2x-2=0, 设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),则 即 n.3t=0,2y-z=0, 令z=2,得x=1,y=1,故n=(1,1,2).…(8分） 设直线CD与平面SBC所成的角为，则ina=n·立- 1-21 =6 Inl1C⑦√I+1+4x26' 故直线CD与平面SBC所成角的正弦值为5 (10分) 0 B (3)说=A得P04x+由器=A,得@(0，) 所以脉-(oa)成=(0 (12分) rt.D=0,r2y+z=0, 设平面DPQ的法向量为t=(x,y,z),则 即 .D=0,2x+az=0, 一8 S扫描全能王 然病1觉人群直用的月睡A中 2。”-。224- 10:52☑ 00 分72 令y=1,得x=入2,2=-2A,故t=(A2,1,-2). (14分) 易知平面DBC的一个法向量为m=(0,0,1): 锐二面角0满足cos9=:ml 1-2A1 2A Itllml √+1+47 +4n+ 2 分子分母同除以A(入>0)，得cos0= V+ 1 4 由基本不等式，得+是2√R无=2，当且仅当2=克即A1时取等号 因此，60s9≤乃6即入=1时，c0s0取得接大值6 3 (17分) 器巴扫描全能王 额觉人群言用的日播Ae -…2。…-22--小 HN202609 A 高二数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，已知点，则点关于平面对称的点的坐标为 A． B． C． D． 2．已知平面向量，不共线，若向量与共线，则实数的值为 A． B． C． D． 3．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 5．已知二面角的大小为60°，点在平面内，点在平面内，且点到直线的距离为2，点到直线的距离为3，则线段长度的最小值为 A． B． C． D． 6．若一个正四面体的体积为，则其表面积为 A． B． C． D． 7．已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数的共轭复数为，若，则 A． B． C．一定是实数 D．可能是方程的根 10．已知是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有 A．，， B．，， C．，， D．，， 11．如图，圆锥的底面圆心为，高，为底面直径，且，点为底面圆周上异于，的动点，为母线的中点，则下列说法正确的是 A．三棱锥的外接球的表面积为定值 B．存在点，使得直线平面 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．若，则平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，，且与相互独立，则________． 13．已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________． 14．在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则面积的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某校为评估高二年级暑期自主学习效果，随机抽取了50名学生，统计其暑期数学每日学习时长（单位：分），将所有数据按，，，，分成5组，整理得到如下频数分布表： 学习时长（分） 频数 4 6 18 14 8 （1）估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）现采用比例分配的分层随机抽样的方法，从学习时长不足40分钟的学生中抽取5人进行学情访谈，再从这5人中随机抽取2人填写学习反馈问卷，求抽取的2人恰好来自同一学习时长区间的概率． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，．设，，． （1）试用基底表示向量． （2）设为的中点，点在直线上，且．若，，，四点共面，求实数的值，并说明此时点的位置． 17．（15分） 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求证：平面． 18．（17分） 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，是下底面圆周上一点，且，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分） 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体．如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $