河南省郑州市2026-2027学年高二上学期第一次（10月）月考数学自编模拟基础卷

2026-2027学年高二上学期第一次月考（10月） 数 学 基 础 卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版选修第一章+第二章2.3节 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量 ，则（　　） A． B．5 C． D．4 【答案】A 【详解】向量 ，则. 2．在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以. 3．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 4．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 5．在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，利用平面的法向量与直线的方向向量的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量， 若，则，所以，解得，所以充分性不成立； 反之：若，可得，此时， 可得与不垂直，所以与不平行，所以必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件. 6．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量法求线面角即可. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则. 7．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 8．已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由和结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量，则， 取，点到平面的距离． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于直线：，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 【答案】AC 【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可. 【详解】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 10．下面四个结论中，正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．已知，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故D错误. 11．已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 【答案】AD 【分析】对于A，直接代入可得定点坐标；对于B，根据两直线垂直列出方程即可求出；对于C，先根据两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式即可求解；对于D，根据满足条件的直线是两条角平分线即可判断． 【详解】对于A，将代入的方程，解得， 所以恒过定点，故A正确； 对于B，由得，解得，故B错误； 对于C，由得，解得，此时 所以与的距离，故C错误； 对于D，如图所示，设分别是直线上的一点， 则满足条件的直线为或其补角的角平分线，共2条，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 9．关于直线：，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 【答案】AC 【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可. 【详解】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 10．下面四个结论中，正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．已知，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故D错误. 11．已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 【答案】AD 【分析】对于A，直接代入可得定点坐标；对于B，根据两直线垂直列出方程即可求出；对于C，先根据两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式即可求解；对于D，根据满足条件的直线是两条角平分线即可判断． 【详解】对于A，将代入的方程，解得， 所以恒过定点，故A正确； 对于B，由得，解得，故B错误； 对于C，由得，解得，此时 所以与的距离，故C错误； 对于D，如图所示，设分别是直线上的一点， 则满足条件的直线为或其补角的角平分线，共2条，故D正确． 三、填空题 12．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 【答案】 【详解】因为， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 13．已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 14．在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 【答案】 ； ． 【分析】（1）设，求出线段的中点坐标，根据题意列方程组求出a、b，求得直线的方程； （2）根据题意利用基本不等式求出面积的最小值时对应的点A、B的坐标，即可求出直线的方程； 【详解】（1）设，则线段的中点为； 所以，且， 分别化为：, 解得； 所以直线的方程为：，整理得； （2）设，，而， 又P在直线上，，即， ，当且仅当时等号成立， 此时直线的方程为，即． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分） （1）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标． （2）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，求的值． 【答案】（1）或； （2）或 【分析】（1）利用点在直线上设坐标，代入点到直线距离公式，解绝对值方程得两点坐标； （2）直接套用平行直线距离公式，去绝对值求出参数的值. 【详解】（1）依题意，在直线上，设点的坐标为， 点到直线的距离为，，， 所以或，解得或，所以点的坐标为或. （2）因为两条平行直线和之间的距离等于2， 所以有或， 即或. 16． (15分） 在直三棱柱中，分别为线段，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) 由已知，两两垂直，以为原点，正方向所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 已知分别为线段，的中点， 则，所以. 易得为平面的一个法向量. 因为，所以， 又平面，所以平面. (2) (3). 【分析】（1）由题意，以为原点，建立空间直角坐标系，证明垂直于平面的法向量，即可得证平面； （2）使用向量夹角公式即可求得异面直线与所成角的余弦值； （3）先求平面的法向量，结合（1）中的法向量，使用向量夹角公式即可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知， 所以， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. （3）设平面的一个法向量为， 由（1）（2）知， 则，令，得. 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 17．(15分） 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； (2) (3) 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【详解】（1）略 （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 18．(17分） 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）作出直线与平面所成角，解直角三角形即可得答案. （2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设线段上存在，根据向量的距离公式，求得得到的坐标，进而得的值． 【详解】（1）作，垂足为E，连接， 因为侧面底面，侧面底面，故底面， 底面，则， 则即为直线与平面所成角， ，故，故， 则, 又，故， 故. （2）因为侧面底面，侧面底面，， 底面，故侧面， 以点A为坐标原点，以分别为轴，以过点A垂直于平面的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图： 则，则，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 结合题意可知平面的法向量可取作， 设锐二面角为，则， （3）设线段上存在，使得它到平面的距离为， 由，可得到平面的距离， 解得或(舍去)，所以，则． 19．(17分） 如图，一个密封长方体形状的容器中盛有水，E为容器上底面内任意一点，在平面内过点E画一条直线l，使得l与保持垂直． (1)为使得，请简要写出作图步骤，并证明所作直线． (2)已知，．若点E在上，且，点M在上，且．现将容器倾斜，此时容器内水面恰好同时经过点和M，且水面与直线l平行．设水面与平面的交线为m，交线m与长方形的边界交于N，G两点．求三棱锥的体积． 【答案】(1)如图，连接，在平面内过点E作直线l垂直于（或作直线），l即为所求直线．        证明：在长方体中，可得平面， 因为平面，所以．           又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以． (2)2 【分析】（1）连接，在平面内过点E作直线l垂直于，即可得到l即为所求直线；根据题意，证得和，得到平面，即可证得； （2）由点M在上，令，得到平面即为平面，法一：以D为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和，利用向量的距离公式，求得点到平面的距离，进而求得三棱锥的体积；法二：证得平面， 得到点到平面的距离等于点到平面的距离，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：记水面所在的平面为平面， 因为E是上的点，且，所以直线l为的中位线所在的直线， 因为点M在上，且，令， 则有，故平面即为平面， 法一：延长交延长线于点P，连接，， 故直线即为平面与侧面的交线m， 由，，可得，， 由，，可得，， 以D为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，， 可得，，   设平面的法向量为，则， 令，可得，所以，                 因为， 设点到平面的距离为，则， 又因为，所以， 所以， 故三棱锥的体积．         法二：因为，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以 . ， 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 2026-2027学年高二上学期第一次月考（10月） 数 学 基 础 卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版选修第一章+第二章2.3节 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量 ，则（　　） A． B．5 C． D．4 2．在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 3．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于直线：，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 10．下面四个结论中，正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．已知，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 13．已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 14．在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标． （2）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，求的值． 16．（15分） 在直三棱柱中，分别为线段，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)求平面与平面夹角的余弦值. 17． （15分） 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 18． （17分） 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．（17分） 如图，一个密封长方体形状的容器中盛有水，E为容器上底面内任意一点，在平面内过点E画一条直线l，使得l与保持垂直． (1)为使得，请简要写出作图步骤，并证明所作直线． (2)已知，．若点E在上，且，点M在上，且．现将容器倾斜，此时容器内水面恰好同时经过点和M，且水面与直线l平行．设水面与平面的交线为m，交线m与长方形的边界交于N，G两点．求三棱锥的体积． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $