精品解析：河南省郑州市第五十六高级中学2025-2026学年高二上学期月考2数学试题

郑州市第五十六高级中学2025-2026学年高二上期月考2试卷 数学 （120分钟 150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为， 故，解得. 故该直线的倾斜角为. 故选：D 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简方程为，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】由抛物线，可得抛物线的标准方程为， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B. 3. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. 16 B. C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列基本量方法计算出，再根据等差数列的通项公式可得答案. 【详解】设公差为 ， ，，， 由于  成等比数列，可得：， 即：， 即：， 解得： 或 ， 又因为，所以， 故. 故选：A 4. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 5. 若关于，的方程组无解，则实数为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 6. 曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用导数求解曲线的切线方程，并求解出切线与坐标轴的交点坐标，最后再根据面积公式进行求解即可. 【详解】已知，得：，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 直线与轴交于点，与轴交于点， 因此所求三角形的面积为. 故选：A 7. 已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出点的轨迹方程，然后判断直线恒过定点，把点到直线的距离的最大值转化为圆心到直线的距离与半径之和的最大值即可. 【详解】设，又，得， 即点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 又过定点，又，所以在圆外， 设点到直线的距离为，点在圆上，直线恒过点， 点到直线的距离的最大值，等于圆心到直线的距离与半径之和的最大值， 圆心到直线的距离的最大值为， 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 8. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据题目条件和椭圆的定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求出椭圆离心率. 【详解】设，则，由椭圆的定义，得， 由，得，即， 整理得，解得，则，即点在轴上，    如图，在直角中，， 在中，，化简得， 所以椭圆的离心率. 故选：. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（ ） A. 直线与圆相离 B. 过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C. D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离可判断A；最短的弦长为垂直与该直径的弦长可判断B；当的值最小时，则，可判断C；当时，切线长最小，可判断D． 【详解】A：圆，， 圆心，半径，圆心到直线的距离为 ，直线与圆相离，故A正确； B：设过点的直线方程为， 所以该直线被圆截得最短的弦长为垂直与该直径的弦长， 和圆心的距离为， 最短弦长为，故B错误； C：当的值最小时，则， 的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故C正确； D：从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故D正确. 故选：ACD． 10. 已知双曲线方程为，和分别为双曲线的左焦点和右焦点．设直线：和直线：相交于点Q，且恒有，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 平面上存在定点P，使得为定值 C. 的最大值为64 D. 点Q到直线距离的最大值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可得，所以点Q的轨迹为以为直径的圆，方程为，设点，则，可得其最大值判断A；由圆的性质可判断B，D；利用基本不等式判断C. 【详解】根据题意，双曲线方程，则， 因为恒有，，则有，， 解得，所以：，：， 又，所以， 所以点Q的轨迹为以为直径的圆，方程为， 设点， 则 当，上式取最大值为，所以的最大值为，A正确； 平面上存在定点P（原点O），使得为定值4，B正确； 又因为，所以， 当且仅当点Q为圆与轴的交点时成立，C错误； 点Q到直线距离的最大值为圆的半径4，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：根据题意发现，从而点Q的轨迹为以为直径的圆，方程为是解题关键. 11. 已知数列的前n项和为且则（ ） A. B. C. D. 数列的前n项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定条件求解数列单调性判断A，利用累乘法求出数列通项公式判断B，利用等差数列求和公式结合给定条件判断C，利用裂项相消法求和判断D即可. 【详解】由题意得，且， 可知，则为正项递增数列， 得到，即，故A正确； 由，则时， ， 又符合上式，故， 当时，，故B正确； 由等差数列求和公式得，则，故C错误； 而， 故数列的前n项和为 ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接用向量的方法计算点到线的距离可得结果. 【详解】由，，，所以， ， ，. 所以向量在向量上的投影长度为， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 13. 将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是______. 【答案】1275 【解析】 【分析】根据“拐弯数”找出规律，设数列，，，，……，可推出得数列的递推公式，利用叠加法求解即可. 【详解】设数列，，，，……，故， 利用叠加法：， ， 故. 故答案为：1275. 14. 点为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用化简可知，再利用，即可得到结论. 【详解】由题意，， 又为圆的任意一条直径，则， 由题意得，椭圆的半长轴，半焦距，右焦点为， 圆的圆心为，故点为椭圆的右焦点， 在椭圆中，有，即， 所以，，故的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆经过点，圆心在直线上. （1）求的标准方程； （2）过点作的切线，求的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，求出直线的方程，与联立求出圆心坐标和半径可得答案； （2）当切线的斜率不存在时，得与圆相切；当的斜率存在时，设的方程为，利用点到圆心的距离等于半径可得答案. 【小问1详解】 设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则点坐标为. 因为，所以， 则直线的方程为，即. 由得， 所以圆心的坐标为； 圆的半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为， 等于半径，与圆相切. 当的斜率存在时，设的方程为，即. 则，解得， 所以的方程为. 综上，的方程为或. 16. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求实数的值及在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 【答案】（1）， （2）递增区间为、，的递减区间为 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，结合直线垂直关系列方程求出实数，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数讨论函数的单调性，求出函数单调区间． 【小问1详解】 ，， 求导得，， 在点处的切线与直线垂直， ， 解得， ，切点坐标为， 切线方程为：，即． 【小问2详解】 ，定义域， 求导得，， 令，解得，， 当时，， 当时，， 当时，， 的递增区间为、，的递减区间为． 17. 数列满足，.正项等比数列满足，. （1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） 由题意得，，即，且， 所以是以2为首项，为公差的等差数列， ，. （2） 【解析】 【分析】（1）两边取倒数得到，根据等差数列的定义判断数列为等差数列，利用等差数列通项公式求出数列通项即可进一步求解数列的通项公式； （2）利用等比数列通项公式结合已知条件求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的公比为，，， 则，解得或（舍去）， ，. ，① ，② ①-②，得 ， 所以. 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD. （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为，， 则，即， 所以在中，所以， 因为底面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理求解即可； （2）以为坐标原点，为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. （3）借助空间中点到平面距离公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，平面，所以， 结合（1）可知两两垂直， 以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取，则， 设平面的法向量， 则，取，则， 所以， 由图可知该二面角为钝角，故二面角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离. 19. 若椭圆：（）上的两个点，满足，则称，为该椭圆的一个“共轭点对”，点，互为共轭点．显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点，．已知椭圆：（）的焦距为4，离心率为，记点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）当点坐标为时，求； （3）当直线，斜率存在时，记其斜率分别为，，其中，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用焦距和离心率求出，进而求出椭圆方程； （2）利用共轭点对条件得出共轭点所在直线方程，联立直线与椭圆方程求出点坐标，最后利用两点间距离公式计算求解； （3）设点坐标，结合共轭点定义及斜率公式推出，再利用基本不等式求和的最小值． 【小问1详解】 椭圆：（）的焦距为4，离心率为， ，即，，，， 椭圆方程为：． 【小问2详解】 的共轭点分别记为，， ，， 直线的方程为， 联立，得，， ，， ． 【小问3详解】 点在椭圆上， ，即， 由（1）知，直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，代入，得，即，， ，， ， 当时，，解得，故， 对应共轭点为，，此时，，， ，当且仅当时等号成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市第五十六高级中学2025-2026学年高二上期月考2试卷 数学 （120分钟 150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. 16 B. C. 18 D. 20 4. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 5. 若关于，的方程组无解，则实数为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 1或 6. 曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（ ） A. 直线与圆相离 B. 过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C. D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 10. 已知双曲线方程为，和分别为双曲线的左焦点和右焦点．设直线：和直线：相交于点Q，且恒有，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 平面上存在定点P，使得为定值 C. 的最大值为64 D. 点Q到直线距离的最大值为4 11. 已知数列的前n项和为且则（ ） A. B. C. D. 数列的前n项和为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为______. 13. 将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是______. 14. 点为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆经过点，圆心在直线上. （1）求的标准方程； （2）过点作的切线，求的方程. 16. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求实数的值及在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 17. 数列满足，.正项等比数列满足，. （1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD. （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离. 19. 若椭圆：（）上的两个点，满足，则称，为该椭圆的一个“共轭点对”，点，互为共轭点．显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点，．已知椭圆：（）的焦距为4，离心率为，记点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）当点坐标为时，求； （3）当直线，斜率存在时，记其斜率分别为，，其中，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $