河南省郑州市2026-2027学年高二上学期10月月考数学模拟拔高卷

2026-2027学年高二上学期第一次月考（10月） 数 学 拔 高 卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版选修第一章+第二章2.3节 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】∵直线的方程为， ∴直线与轴垂直. 因此直线的倾斜角是. 2．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 可得，， 则，， 所以， 所以． 3．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 4．若，，则与同方向的单位向量是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】可知，则， 所以与同方向的单位向量是. 5．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】由两直线的斜率关系判断. 【详解】由题意， 所以，且经过不在的点， 所以. 6．正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段，进而求解即可. 【详解】以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 所以，设点， 所以， 由， 所以，所以， 又，所以， 所以点的轨迹为平面上的线段：，即图中线段， 所以. 7．著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查点关于直线对称、两点间距离的问题，利用数形结合，将函数转化为轴上动点到两定点距离之和，借助将军饮马模型求距离和最小值。 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知 ， 即的最小值为． 8．已知平面四边形中，，，现将沿折起，当二面角的大小在内变化，那么直线与所成角的余弦值的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，分别为中点，确定为二面角的平面角，为直线与所成角或，计算得到答案. 【详解】如图所示：分别为中点，故，， 故为二面角的平面角. ，，故为直线与所成角或. ，，，. ， 故，. 故. ，故. 故. 故选：. 【点睛】本题考查了二面角，异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 10．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（    ） A．存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．当点为线段中点时，平面平面 D．当点与重合时，直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断各选项即可，A选项，计算向量与平面法向量的数量积；B选项，判断直线是否平行于平面；C选项，求出平面的法向量，验证两平面法向量是否垂直；D选项，利用向量夹角公式计算线面角的正弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得， 因为分别是的中点，所以. 设是线段上的动点，， 设，其中，则. 设平面的法向量为，， 由，取，可得. 对于A：因为，又， 所以与平面的法向量不垂直，即与平面相交， 不存在点，使得平面，故A错误； 对于B：因为，又，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C：当为线段中点时，此时， 设平面的法向量为， 由，取，可得， 因为，所以， 即平面平面，故C正确； 对于D：点与重合时，， 设直线与平面所成角为， 则，故D正确. 11．“曼哈顿距离”用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离．下列命题是真命题的是（    ） A．若点，，则的值可能是3 B．若点，，则在轴上存在点，使得 C．若点， ，，则在线段上存在点，使得 D．若点在曲线上，点在直线上，则的值可能为3 【答案】BD 【分析】由题意得到，并利用绝对值的性质化简得到最小值，判断A选项；设得到表达式，令，通过讨论的不同取值，去掉绝对值符号后解得，即可判断B选项；由两点坐标得到线段的直线方程，设点坐标后得到，由参数的取值范围去掉绝对值即可判断C选项；取特殊点，点即可判断D选项. 【详解】由题意可知， ∵，，∴，A选项错误； 设，则， 令，即， 当时，，即， 当时，，无解， 当时，，即， ∴在轴上存在两个不同点，使得，B选项正确； ，∴线段，令， 则，C选项错误； 取，，则，D选项正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，射线分别与轴的正半轴成角，过点作直线分别交于两点，当线段的中点恰好落在直线上时，则直线的方程为___________． 【答案】 【分析】求出射线方程，易得直线斜率不存在时不满足题意；再讨论斜率存在时，设，求得的中点．再结合点在直线上，且三点共线得，最后根据点斜式方程求解即可. 【详解】由题意，可得， 所以直线． 当直线斜率不存在时，，的中点不在上，不满足； 当直线斜率存在时，设， 所以的中点． 由点在直线上，且三点共线得解得 所以．又，所以， 所以，直线的点斜式方程表示为：，即直线的方程为或． 13．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为______ 【答案】 【分析】根据几何体的对称性，建立空间直角坐标系，通过球心到点的距离建立方程即可求解球心坐标，进而求解外接球半径. 【详解】取下底面正方形的中心为坐标原点，建立如图所示坐标系 因为几何体的下底面边长为2，几何体的高为， 因此，，，，，，，， 根据对称性，几何体的外接球球心一定在上底面中心和下底面中心的连线上，即球心一定在轴上， 设球心的坐标为，外接球半径为， 在中， 在中，， 因此，解得， 所以， 故几何体的外接球的表面积. 14．如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 三角形的三个顶点是 (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程； (3)求BC边的垂直平分线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两直线垂直求得边上的高所在直线的斜率，结合高线经过点，由点斜式方程即得； （2）先求出的中点坐标，进而可得BC边上的中线所在直线的斜率，再由点斜式方程即得； （3）利用两直线垂直求得边垂直平分线的斜率，结合的中点，由点斜式方程即得. 【详解】（1）由题意，边所在的直线的斜率， 则边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点， 所以边上的高所在的直线方程为，即. （2）由题意，BC的中点坐标为， 则BC边上的中线所在直线的斜率为， 所以BC边上的中线所在直线的方程为，即. （3）由（1）（2）得，，BC的中点坐标为， 所以边垂直平分线的斜率为， 则边的垂直平分线方程，即. 16．（15分） 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离； 【答案】(1) 由题意知、分别、中点，则得， 因为平面，平面， 所以平面. (2) (3) 【分析】（1）利用线面平行判定定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，然后求出直线的方向向量及平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）利用点到平面距离的向量法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则， 故线与平面所成角的正弦值为.    （3）由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 17．（15分） 已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的斜率为，倾斜角为； (2)证明： 设，直线m与l及x轴的交点分别为，l与y轴交于F点， 易知此时，则，， 显然四边形为直角梯形，其面积为， 所以，故时，恒有，即过定点； (3)不存在，理由如下： 设，则易知， 因为直线AB与相交，所以， 联立直线方程可知：，， ， ， 若存在满足条件的直线，则有， 则，整理得，即，与前提矛盾， 故不存在直线符合题意. 【分析】（1）直接利用直线的法向量、斜率、倾斜角定义计算即可； （2）设直线m方程，计算四边形交点，求其面积结合直线过定点计算即可； （3）设直线方程，联立直线得坐标，由弦长公式、三角形面积公式建立方程组计算参数即可说明. 【详解】（1）易知，其法向量为，则， 所以，即该直线的斜率为，倾斜角为； （2）证明略，过定点； （3）不存在，理由略. 18．（17分） 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； (3) 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，设出动点坐标，求解平面法向量，得到二面角的余弦表达式，结合三角函数有界性求出二面角余弦的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 19．（17分） 如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)已知点为线段上另一动点，过点且与垂直的平面将三棱锥分成左右两部分，设，当为何值时，右侧部分的几何体的体积为？ 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)1 【分析】（1）用余弦定理求角，再用几何关系证明线面垂直即可证明面面垂直； （2）通过画图得到二面角的平面角，利用已知条件即可求解或者建立空间直角坐标系，用向量方法进行坐标运算即可求解； （3）根据题意得出，然后底面积之比以及高之比得出右侧几何体的体积的表达式，从而得到答案. 【详解】（1）在中，， 所以， 过点作于点，连接，则， 因为，，为公共边，所以. 所以，且，又，所以，所以， 又因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）解法一：取中点，由（1）知，，∴. 过作交于，过作交于，则，所以， 所以，为二面角的平面角， 设，由，得， 同理；， 由，得， 在中，，解得， 所以线段上存在一点E，使得二面角的正切值为.， 解法二：设存在满足题意的点，由（1）可知两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，，， ，，， 设，，则， 显然平面的法向量. 设平面的法向量，则， 取，则，，所以， 若二面角的正切值为，则其余弦值为， 则， 整理得，所以，又因为，所以， 所以，即当时，二面角的正切值为. （3）当时，平面截三棱锥所得截面为三角形，右部分的体积最大值为， 当时，平面截三棱锥所得截面为四边形， 设截面与棱的交点分别为，求得 ， 右侧部分的体积， 化简得， 当时，检验符合上方程， 又时，有且只有一个值符合，故， ， 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 2026-2027学年高二上学期第一次月考（10月） 数 学 拔 高 卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版选修第一章+第二章2.3节 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 2．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 4．若，，则与同方向的单位向量是（    ） A． B． C．或 D． 5．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 6．正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 7．著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 8．已知平面四边形中，，，现将沿折起，当二面角的大小在内变化，那么直线与所成角的余弦值的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 10．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（    ） A．存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．当点为线段中点时，平面平面 D．当点与重合时，直线与平面所成角的正弦值为 11．“曼哈顿距离”用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离．下列命题是真命题的是（    ） A．若点，，则的值可能是3 B．若点，，则在轴上存在点，使得 C．若点， ，，则在线段上存在点，使得 D．若点在曲线上，点在直线上，则的值可能为3 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，射线分别与轴的正半轴成角，过点作直线分别交于两点，当线段的中点恰好落在直线上时，则直线的方程为___________． 13．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为______ 14．如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 三角形的三个顶点是 (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程； (3)求BC边的垂直平分线的方程. ( 16．（15分） 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离； 17． （15分） 已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 18． （17分） 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 19．（17分） 如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)已知点为线段上另一动点，过点且与垂直的平面将三棱锥分成左右两部分，设，当为何值时，右侧部分的几何体的体积为？ 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $