精品解析：山西长治市襄垣县第一中学校2024-2025学年高二第一学期期中考试数学试卷

2024-2025学年山西省长治市襄垣一中高二 第一学期期中考试数学 1.在答题卡指定区域用‌0.5毫米黑色字迹签字笔‌清晰填写姓名、准考证号、考场号等，严禁超出边框或字迹潦草 . 2.将本人条形码平整粘贴在答题卡“贴条形码区”，不得折叠、破损或覆盖定位点，若条形码损坏需立即举手更换 . 一、选择题（每题5分，共40分） 1. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从使用该产品的用户中随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A. 对该公司产品满意度评分低于60分的用户比例估计为35% B. 对该公司产品满意度评分不低于70分的用户比例估计为40% C. 估计该公司用户对产品的满意度评分的平均值不超过60分 D. 估计该公司有一半以上的用户，对产品的满意度评分介于50分至80分之间 4. 某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数与众数的和等于中位数的两倍，则丢失数据的所有可能值的和为（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 32 5. 已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 6. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是山西省运城市某高校两名篮球队员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，下列结论中错误的是（ ） A. 第3天至第10天两名篮球队员综合得分均不低于80分 B. 第2天至第7天篮球队员的得分逐日提高 C. 第2天至第3天篮球队员的得分增量大于运动员的得分增量 D. A篮球队员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. 在中，角的对边分别是，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 10. 下列有关说法正确的是（ ） A. 的展开式中含项的二项式系数为20 B. 事件为必然事件，则事件A、B是互为对立事件 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则 11. 已知直线，和平面，，则下列命题中真命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 某企业到大学招聘，小张，小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张，小李签约的概率都是，小王签约的概率是人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是_________. 13. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 14. 已知是方程组的解，则方程组的解是______． 四、解答题（共77分） 15. 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； （2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 16. 已知平面向量，． （1）求的值； （2）若向量与夹角为，求实数λ的值． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，且的面积等于，求的周长． 18. 已知平面向量，的夹角为，且，，． （1）若，求； （2）若，求实数． 19. 在中，角所对边分别为，且满足. （1）求角A的大小； （2）若D是线段的中点，且，，求； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山西省长治市襄垣一中高二 第一学期期中考试数学 1.在答题卡指定区域用‌0.5毫米黑色字迹签字笔‌清晰填写姓名、准考证号、考场号等，严禁超出边框或字迹潦草 . 2.将本人条形码平整粘贴在答题卡“贴条形码区”，不得折叠、破损或覆盖定位点，若条形码损坏需立即举手更换 . 一、选择题（每题5分，共40分） 1. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确； 对于C，根据面面垂直的性质定理可知C正确； 对于D，若，则或与相交，故D错误． 2. 在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理得到，由正弦定理和得，求出，进而得到，在中，由正弦定理得到答案. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 其中，， 所以，， 故， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 故， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 故选：A 3. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从使用该产品的用户中随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A. 对该公司产品满意度评分低于60分的用户比例估计为35% B. 对该公司产品满意度评分不低于70分的用户比例估计为40% C. 估计该公司用户对产品的满意度评分的平均值不超过60分 D. 估计该公司有一半以上的用户，对产品的满意度评分介于50分至80分之间 【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图计算频率逐项判断A，B，D即可，计算平均数判断C即可. 【详解】对于A，对该公司产品满意度评分低于60分的用户比例估计为： ，故A正确； 对于B，对该公司产品满意度评分不低于70分的用户比例估计为： ，故B正确； 对于C，估计该公司用户对产品的满意度评分的平均值为： ，故C错误； 对于D，对产品的满意度评分介于50分至80分之间的用户比例为： ， 估计该公司有一半以上的用户，对产品的满意度评分介于50分至80分之间，故D正确. 故选：C. 4. 某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数与众数的和等于中位数的两倍，则丢失数据的所有可能值的和为（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件确定众数，设出这个数字，表示出平均数，分类讨论求出所有可能的取值即可. 【详解】设这个数字为，则平均数，众数为8， 若，则中位数为8，此时，解得，舍去； 若，则中位数为，此时，解得； 若，则中位数为10，此时，解得， 所有可能的取值为9和23，其和为32. 5. 已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的表面积为，母线长为，由求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为， 因为圆锥的表面积为，母线长为， 所以， 即 ， 解得 或 （舍去） 故选：A 6. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为． 设，则， 由，解得或， ∴，． 又为双曲线的左顶点，则， ∴，，， 在中，，由余弦定理得， 即， 即， 则，所以，则， 即，所以 ∴． 故选：C. 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 7. 已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得, 则，其虚部为2. 8. 如图是山西省运城市某高校两名篮球队员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，下列结论中错误的是（ ） A. 第3天至第10天两名篮球队员综合得分均不低于80分 B. 第2天至第7天篮球队员的得分逐日提高 C. 第2天至第3天篮球队员的得分增量大于运动员的得分增量 D. A篮球队员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】对于A，由图象可得，第3天至第10天两名篮球队员综合得分均不低于80分，故A正确； 对于B，由图象可得，第2天至第7天B篮球队员的得分逐日提高，故B正确； 对于C，第2天至第3天篮球队员的得分增量为篮球队员的得分增量小于2，故C正确； 对于D，由图象可得，在第1天至第3天的得分中，篮球队员的最小得分为78，最高得分为80， 在第2天至第4天的得分中，最小得分为78，最高得分高于80， 所以第2天至第4天的得分比第1天至第3天的得分更分散， 所以篮球队员第1天至第3天的得分方差小于第2天至第4天的得分的方差，故D错误. 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. 在中，角的对边分别是，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由余弦定理得：，（负值舍掉），A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由正弦定理得：，C错误； 对于D，由余弦定理得：，，D正确. 10. 下列有关说法正确的是（ ） A. 的展开式中含项的二项式系数为20 B. 事件为必然事件，则事件A、B是互为对立事件 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A二项式定理写出展开式通项，即可确定项的二项式系数；B根据及对立事件的性质判断；C利用正态分布的性质、对称性判断；D求出、，应用条件概率公式即可求. 【详解】A：二项式展开式为，故时二项式系数为，错误； B：为必然事件，则，仅当时事件A、B是互为对立事件，错误； C：由服从正态分布，故，根据及正态分布的对称性知，正确； D：由题设，，而，正确. 故选：CD 11. 已知直线，和平面，，则下列命题中真命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由直线与平面的位置关系可得与平面，的位置关系还有其他情况满足题意，所以排除A、C选项，B、D选项可以用直线的方向向量和平面的法向量的角度来说明直线与平面的位置关系. 【详解】若，，与的位置关系可以是平行，相交或在面内，所以A选项错误； 若，则的方向向量是的法向量，因为，的方向向量与相同，故，所以B选项正确； 若，，与的位置关系可以是平行或在面内，所以C选项错误； 若，则的方向向量与的法向量平行，因为，的法向量与的法向量垂直， 所以与的法向量垂直，故或，又因为，则，所以D选项正确. 故选：BD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 某企业到大学招聘，小张，小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张，小李签约的概率都是，小王签约的概率是人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件及相互独立事件的概率乘法公式，求出概率即可. 【详解】由事件“3人中至少有1人签约该企业”的对立事件是“3人均未签约”， 由题意可知小张，小李未签约的概率是，小王未签约的概率是， 因为相互独立，所以三人均未签约的概率是， 所以3人中至少有1人签约该企业的概率是. 13. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举. 14. 已知是方程组的解，则方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个方程组之间的关系，观察可得出方程组的解. 【详解】由题意，代入方程组可得， 所以当时，代入方程组， 可得，成立， 所以方程组的解是， 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； （2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 【答案】（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为； （2）甲分厂加工件产品的总利润为元， 所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件； 乙分厂加工件产品的总利润为元， 所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件． 故厂家选择甲分厂承接加工任务． 【解析】 【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出； （2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择． 【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为； （2）略 【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题． 16. 已知平面向量，． （1）求的值； （2）若向量与夹角为，求实数λ的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用向量的模的公式求解；（2）利用数量积公式求解. 【小问1详解】 因为，，所以 ； 【小问2详解】 因为，，所以， ， ，； 因为向量与夹角为， ， 所以，即，所以， 解得或 所以实数λ的值是或. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，且的面积等于，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以，即，， 因为，所以，得，即. 【小问2详解】 因为，所以，所以 由余弦定理得，， 因为，，所以，所以的周长为. 18. 已知平面向量，的夹角为，且，，． （1）若，求； （2）若，求实数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的模长公式计算即可； （2）由向量的数量积公式列方程求解即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以. 【小问2详解】 当时，， 解得． 19. 在中，角所对边分别为，且满足. （1）求角A的大小； （2）若D是线段的中点，且，，求； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求出角； （2）把中线长转化为中线向量，再利用向量运算结合余弦定理即可求出面积； （3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变形，利用锐角三角形确定角的范围，问题即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得:， 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，，，代入可得:， 因为为线段的中点，所以， 则，即， 由上面两式相减可得:，解得:， 所以； 【小问3详解】 由正弦定理得:，所以，， 即 ， 因为为锐角三角形，所以，解得:， 则，所以，即， 因为，所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $