专题04 圆、直线与圆的位置关系（期中真题汇编，陕晋青宁专用）高二数学上学期

专题04 圆、直线与圆的位置关系 2大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【分析】 判断出圆心的轨迹，从而求得圆心到原点的距离的最小值. 【详解】 依题意，半径为2的圆经过点， 所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以圆心到原点的距离的最小值为. 故选：B 2．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）圆心为，半径为3的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据圆的标准方程易得. 【详解】 圆心为，半径为3的圆的方程为. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）圆心在轴上，半径为1 ，且过点 的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设圆心坐标为 ，则有，求得，即可得解. 【详解】 解：设圆心坐标为 ，则由题意知 ，解得， 故圆的方程为. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）方程表示圆，则的取值范围是（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据圆的一般方程的定义计算判断. 【详解】 因为方程表示圆， 则或. 故选：A. 5．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由点在圆外以及方程表示圆得到不等式组，解不等式组即可. 【详解】 由点在圆外知，即，解得， 又为圆，则， 解得，故. 故选：D. 6．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据已知条件得出圆心到轴的距离等于半径，再利用圆心坐标和半径得出圆的方程，最后对比判断选项即可． 【详解】 圆心坐标为，且圆与轴相切， 圆的半径等于圆心到轴的距离， 圆的方程为：，故D正确． 故选：D． 7．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）已知圆的方程为，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据圆的一般式方程满足的条件列不等式求解即可. 【详解】 由题意得，解得. 故选：D. 8．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）（多选）已知圆，则下列结论正确的有（       ） A. 的取值范围为 B. 若，则点在圆内 C. 若，则直线与圆相离 D. 若，圆关于直线对称的圆的方程为 【答案】ABD 【分析】 A：化简得到圆的标准方程，根据半径大于求解结果；B：根据与半径的大小关系作出判断；C：根据圆心到直线的距离与半径的关系作出判断；D：先判断点的位置，然后可求圆的方程. 【详解】 ，圆心，半径， 对于A：因为，所以，故正确； 对于B：因为，， 所以，所以点在圆内，故正确； 对于C：当时，，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，故错误； 对于D：因为在直线上，所以圆关于的对称圆即为圆， 所以圆的方程为，故正确； 故选：ABD. 9．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出已知圆的圆心关于直线的对称点，即为对称圆的圆心，从而得到答案． 【详解】 圆的圆心为，半径为1， 设所求圆的圆心为， 则与关于直线对称， 故 ， 则所求圆的圆心为，半径为1， 所以所求圆的方程为． 故选：A 10．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）（多选）如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（       ） A. 关于轴对称 B. 上的点到原点的距离最小值 C. 与轴围成的图形的面积等于 D. 截直线所得弦长为 【答案】ABD 【分析】 根据圆的性质，结合图象，可得AB的正误；根据圆的标准方程以及弦长公式，可得CD的正误. 【详解】 对于A：由图可知，曲线关于轴对称，A选项正确； 对于B：明显是，到原点的距离最小，最小值为，所以B正确； 对于C：，，所在的圆的方程分别为，，. 曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个圆，其面积为，故C错误； 对于D：由对称性知：Ω截直线所得弦长可由所在的圆截得的弦长加上一个矩形的长2， 而所在的圆的方程为，圆心， 圆心到直线的距离，截得的弦长为，则所求弦长为，故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）（多选）平面直角坐标系中，、，动点满足，记点的轨迹为曲线，在第一象限内任取曲线上点，记直线的倾斜角为，斜率为，下列选项正确的有（     ） A. 曲线经过点 B. 曲线是中心对称图形 C. 的最大值为 D. 为定值 【答案】ABD 【分析】 设点，根据题意求出点的轨迹方程，利用点与曲线的位置关系可判断A选项；利用曲线的对称性可判断B选项；设，则直线的方程为，与直线方程与曲线方程联立，可求出的取值范围，可判断C选项；由三角函数的定义结合曲线方程可判断D选项. 【详解】 设点，则， 整理可得，即， 即曲线的方程为. 对于A选项，因为，即曲线经过点，A对； 对于B选项，在曲线上取点，则点关于原点的对称点为， 则， 所以，曲线关于原点中心对称，B对； 对于C选项，令，则直线的方程为， 联立 可得， 可得，则，解得， 所以，没有最大值，C错； 对于D选项，由题意可知，且， 则为定值，D对. 故选：ABD. 【点睛】 关键点点睛：解本题的关键在于求出曲线的方程，结合曲线方程与对称性进行判断. 12．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）（多选）已知曲线，则 A. 曲线C关于y轴对称 B. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 C. 曲线所围成的图形的面积为 D. 当点在曲线C上时， 【答案】ABD 【分析】 根据给定的曲线方程，利用关于对称特征判断A；利用基本不等式求解判断BD；作出曲线求出图形面积判断C. 【详解】 对于A，曲线C上任意点，则成立， 即点在曲线上，因此曲线C关于y轴对称，A正确； 对于B，令是曲线C上任意一点，则， 由， 当且仅当时取等号，解得，即， 因此曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，B正确； 对于C，当时，，其对应的图形以为圆心，为半径的圆在第一象限的半圆部分，该半圆面积为，而曲线关于坐标轴对称， 曲线对应的图形如下：        曲线围成的图形的面积由边长为的正方形和4个半径为的半圆组成， 因此曲线围成的图形的面积为，C错误； 对于D，由选项B得，则，而， 因此，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 13．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得，由此即可得解. 【详解】 设点关于直线的对称点为， 则 ，解得 ，所以， 则， 当且仅当、、、四点共线（点在、两点之间）时，取等号， 所以的最小值为.    故选：C. 【点睛】 结论点睛：若点是半径为的圆外的一点，则点到圆的上一点的距离的取值范围是. 14．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】 因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 15．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. (1) 小问详解： 线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由 ，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 16．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】 由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 17．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 判断出两圆外离，根据求解即可. 【详解】 因为，， 所以， 所以圆与圆外离，    所以. 故答案为： 18．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且与轴相切，则圆的标准方程可以为　　　　　　　　　　　　．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】(答案不唯一) 【分析】 利用标准方程确定圆心和半径即可 【详解】 设圆的标准方程为， 因圆的圆心在轴上，且与轴相切，则， 则圆的方程为，故任取实数即可，现取， 故答案为：(答案不唯一). 19．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知圆的半径为. （1）求； （2）若为圆上的一个动点，，求的取值范围； （3）若过点的直线与圆交于两点，且，求的方程. 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）将圆的一般方程化为标准方程，根据半径的值求出； （2）先求出圆心与点的距离，再结合圆的半径得到的取值范围； （3）分直线斜率存在和不存在两种情况，根据弦长公式求出直线方程. (1) 小问详解： 由， 得，则，得； (2) 小问详解： 由题意得，得，则在圆外， 所以.故的取值范围为； (3) 小问详解： 设到的距离为.由，得. 当的斜率不存在时，，符合题意； 当的斜率存在时，设，即. 由，得， 所以的方程为. 故的方程为或； 20．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）已知圆的圆心在直线上. （1）求； （2）过的直线与相交于. （i）求的一般式方程； （ii）记为圆上一点，求的最大值. 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）由圆的标准方程得圆心坐标，再结合条件，即可求解； （2）（i）先求出，进而可得直线的斜率，再利用点斜式得直线方程，再化成一般式，即可求解；（ii）利用圆的性质即可求解. (1) 小问详解： 因为圆的圆心为，半径为， 由题有，解得，所以的值为. (2) 小问详解： （i）由（1）知，所以，又在直线上， 所以，得到，则直线的斜率为，所以的方程为， 其一般式方程为. （ii）由（1）知圆，圆心为，半径为， 所以的最大值为， 即的最大值为. 21．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程. （2）若直线的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹. 【答案】（1）     （2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程是      【分析】 （1）由于圆上的弦的垂直平分线经过圆心，从而利用两直线的交点求出圆心，进而求出半径；（2）设，进而利用是线段中点表示出的坐标，再利用在圆上求出满足的方程，进而判断点的轨迹. (1) 小问详解： 线段AB的中点D的坐标为，直线AB的斜率为. 所以线段AB的垂直平分线的斜率为， 所以线段AB的垂直平分线的方程为，即. 圆心在线段的垂直平分线上，也在直线上，故 ，解得 . 故圆心的坐标为. 圆的半径 所以圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 设，由于是线段的中点，且. 所以. 又由于点在圆上，故. 化简得M点的轨迹方程为： 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 22．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）已知方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由曲线表示圆可得，从而可求出的取值范围. 【详解】 因为方程表示的曲线是一个圆， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 23．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 令，应用两点距离公式列方程求P轨迹，结合已知圆的方程求出点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】 设，依题意，， 即， 整理得， 与对照得 ，解得 ， 因此； 由，得在圆内， 在圆外， 于是，当且仅当共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为 A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【详解】分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R，可得出AB，求出AB的长，圆心到直线y=﹣x+a的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到实数a的值． 详解：∵OA⊥OB，OA=OB， ∴△AOB为等腰直角三角形， 又圆心坐标为（0，0），半径R=2， ∴AB=. ∴圆心到直线y=﹣x+a的距离d=AB==， ∴|a|=2， ∴a=±2． 故答案为C． 点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理. 2．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）直线与圆交于M，N两点，若，则k的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求得圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式求解. 【详解】 由题意可得圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离为：， 由圆的弦长公式：， 得， 解得. 故选：C 3．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）要使圆心距为8的一大一小两个圆相内切，只需要令（     ） A. 大圆的半径为8 B. 大圆与小圆的半径之差为8 C. 小圆的半径为8 D. 大圆与小圆的半径之和为8 【答案】B 【分析】 根据题意，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】 设圆圆的半径分别为和，且，则， 如图所示，若两圆相内切，则满足，即大圆与小圆的半径之差为. 故选：B. 4．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）圆与的公切线的条数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 根据圆与圆的位置关系即可判断公切线的条数. 【详解】 由题意得圆的标准方程为，圆心为，半径； 圆的标准方程为，圆心为，半径． 因为， 所以，得到圆与圆相交，有2条公切线． 故选：B 5．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（       ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交 【答案】C 【分析】 先根据点在圆内，得到，再计算圆心到直线的距离为d，并与半径作比较，即可得到答案． 【详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为M在圆内，且不为圆心，则， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与该圆的位置关系为相离. 故选：C． 6．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）（多选）已知点是圆上的一个动点，过原点的动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最大值为6 【答案】ABD 【分析】 对于AB，结合两点之间的距离可知，，，算出即可；对于CD，结合直线与圆的位置关系可知，当直线过圆心时，最大，当时，最小． 【详解】 对于AB，由题意知，则点在圆内，    所以，故AB正确； 对于CD，    当直线过圆心时，，当时，，故C错误，D正确． 故选：ABD． 7．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）圆与圆的位置关系为（       ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 【答案】A 【分析】 根据两圆圆心距等于半径和判定两圆外切. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以，所以两圆外切． 故选：A． 8．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知圆与圆外切，则（       ） A. 5 B. 7 C. 11 D. 13 【答案】D 【分析】 利用两圆外切建立方程即可求解. 【详解】 圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为两圆外切，所以，即，解得. 故选：D. 9．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）（多选）若曲线是由方程和共同构成，则下列结论不正确的是（    ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 若点在曲线上，则的取值区间是 C. 若与直线有公共点，则 D. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为2 【答案】ABC 【分析】 根据曲线的方程可得曲线的图形，利用图形的对称性，即可结合选项逐一求解. 【详解】 由，，得或， 当时，，，是圆心为，半径为1的半圆， 同理可得的其他部分，分别为圆心为半径为1的半圆，圆心为半径为1的半圆，圆心为半径为1的半圆； 作曲线的图形如下图： 图中虚线部分是边长为2的正方形； 对于A，图形的面积，错误； 对于B，由图可知的取值范围是,，错误； 对于C,根据曲线的对称性可知，当直线与相切时，此时 或（舍去）， 故要使曲线与直线有公共点，则，C错误， 对于D，覆盖住曲线的圆的半径的最小值显然是2，正确； 故选：ABC． 10．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知圆的标准方程为，直线的方程为，若直线和圆有公共点，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据圆心到直线的距离小于等于半径列式求解即可. 【详解】 圆心到直线：的距离，因为直线和圆有公共点，所以解得． 故选：B 11．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（       ） A. 两圆相交 B. 直线的方程为 C. 两圆有两条公切线 D. 线段的长为 【答案】ACD 【分析】 对于AC，由两圆圆心距与两圆半径关系可得两圆位置关系；对于B，两圆方程相减可得直线的方程；对于D，由B分析可得到直线的距离，据此可得线段长度. 【详解】 对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确. 故选：ACD 12．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求得圆心到直线的距离，结合条件可得，即可求解. 【详解】 由题意知到的距离， 要使圆上仅有个点到的距离为1，则，解得， 故选：A. 13．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）圆与圆的公切线的条数为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【分析】 根据两个圆的位置关系直接判断可得. 【详解】 由题意得，圆的半径为，圆的半径为3，圆心. 因为，所以圆与圆外离，所以圆与圆的公切线的条数为4. 故选：A. 14．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知，以下结论正确的有（       ） ① ②的最大值为26 ③的最大值是 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【分析】 先把代数问题转化为几何问题，再借数形结合思想，可求解并作出判断. 【详解】 由， 因为可看成圆上的动点与定点的斜率， 再结合图形可得： 设过点的切线， 由相切可得：，解得：或， 所以由图可得斜率范围，即，故① 正确； 因为，所以， 而，所以，故② 正确； 因为，所以 ， 而可看成圆上的动点与两定点的距离之差， 如图： 由，当且仅当三点共线且在延长线上时取等号， 所以的最大值是,故③ 正确； 故选：D 15．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）（多选）已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（       ） A. 圆与圆相交 B. 圆关于直线对称 C. 若点是圆上一点，则的最大值是 D. 若点是圆上一点，则的最小值是 【答案】BCD 【分析】 由对称后圆的方程得到圆心，即可求得圆的方程.由两圆圆心距与半径作比较，判断A；判断圆心是否在直线上，判断B；表示圆上点与原点连线的斜率，设为，将点代入圆的方程，结合根与系数的关系，判断C；表示圆上点到直线距离的倍，由圆与直线的距离关系，判断D. 【详解】 因为圆关于直线对称的圆方程为， 故圆的圆心为，半径为2，即圆的方程为 对于A，圆化为标准形式为， 圆心为，半径两圆圆心距为，故两圆相离，A错误； 对于B，将圆心代入直线，得，直线过圆心， 故圆关于直线对称，B正确； 对于C，表示圆上点与原点连线的斜率，设为，即， 代入圆方程得：，整理得， 所以，解得， 故的最大值为，C正确； 对于D，表示圆上点到直线距离的倍， 因为圆心到直线的距离， 圆上点到直线的最小距离为， 故的最小值为，D正确． 故选：BCD. 16．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）（多选）已知圆与圆，下列选项正确的有（       ） A. 若，则两圆外切 B. 若，则直线为两圆的一条公切线 C. 若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D. 若，则两圆公共弦的长度为 【答案】BD 【分析】 利用圆与圆的位置关系可判断A选项；利用直线与圆的位置关系可判断B选项；将两圆方程相减可判断C选项；利用勾股定理可判断D选项. 【详解】 圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若两圆外切，则，解得，A错； 对于B选项，若，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 故当时，则直线为两圆的一条公切线，B对； 对于C选项，若，因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故当时，两圆公共弦所在直线的方程为，C错； 对于D选项，当时，圆心到直线的距离为， 此时两圆的公共弦长度为，D对. 故选：BD. 17．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（     ） A. 2 B.  C. 3 D.  【答案】A 【分析】 由为正三角形，得到圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】 圆C：， 即，圆心为，半径， 因为圆与：相交于两点，且为正三角形， 所以圆心到直线的距离，， 则，解得. 故选：A 18．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦长为（       ） A.  B.  C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 把两个圆的方程相减可得相交弦所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长. 【详解】 圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为， 由于圆的圆心到直线的距离为1，且圆的半径为2， 故公共弦的长为， 故选：B. 【点睛】 本题考查两圆的位置关系，相交弦所在的直线方程，弦长，重点考查计算能力，属于基础题型. 19．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先确定曲线所表示的图形，再根据数形结合得出实数的取值范围. 【详解】 直线恒过点， 由可得，等式两边平方得， 曲线表示圆的上半圆，作出示意图如下： 当直线与半圆相切时，即直线与半圆相切时， 有，解得， 当直线过时，，解得， 要想曲线与直线有个相异交点， 数形结合得到：实数的取值范围是. 故选：D. 20．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（     ）． A. 3 B. 5 C.  D.  【答案】B 【分析】 求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案 【详解】 圆的圆心为，半径，则 圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为， 故选：B 21．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）已知圆与圆恰有两条公切线，则实数b的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. 【详解】 由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则， 因此，即，解得， 故选：C 22．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】 圆的圆心是，半径， 而圆上恰有两个点到直线的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 23．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（     ） A. 曲线所围成图形的周长是 B. 曲线所围成图形的面积是 C. 曲线上任意两点间距离的最大值为 D. 直线与曲线一定有两个交点 【答案】BC 【分析】 分类讨论去掉绝对值，作出曲线的图形，结合图形特点可求答案. 【详解】 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 其图象如图，    曲线所围成图形的周长为四个半径相同的半圆的周长之和，，A错误； 曲线所围成图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和， ，B正确； 曲线上任意两点间距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，此时最大值为，C正确； 恒过定点，而恰好在曲线上， 当直线与曲线在处相切时，不可能有两个公共点，D错误. 故选：BC 24．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）若点在圆上，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 的几何意义是点与两点连线的斜率，利用直线与圆相切，列出方程，即可求解． 【详解】 由题意，圆，可得圆心，半径为1， 因为的几何意义是点与两点连线的斜率，设，即， 当直线与圆相切时， 则满足圆心到切线的距离等于半径，即，解得， 又由点在圆上， 所以. 故选：B. 25．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用两点间距离公式由得到点的轨迹方程，再利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得. 【详解】 设点， 因为，所以， 整理得点的轨迹方程为， 根据题意可得直线与点的轨迹有公共点， 所以，即，解得． 故选：D． 26．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）（多选）已知两圆和，则下列结论正确的是（     ） A. 当时，，外切 B. 当时，，相交 C. 当时，，内切 D. 不存在实数使得，相离 【答案】ABC 【分析】 先计算圆心距，利用圆心距和半径的关系逐项判断即可求解. 【详解】 由题意有：， 所以，，， 当时，，所以，外切，故A正确； 当时，，所以，所以，相交，故B正确； 当时，，所以，内切，故C正确； 当时，即时，，外离，当时，即时，，内含，故D错误. 故选：ABC. 27．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（       ） A. 直线恒过定点 B. 当直线与圆相切时，切线方程是 C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 D. 圆上的一点到直线的最大距离是 【答案】ABD 【分析】 将直线方程整理为，由 ，可得直线恒过的定点的坐标，判断出A的对错；由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，可得参数a的值，即求出直线的方程，判断出B的对错；当时，可得直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，可得圆上有四个点到直线的距离为，判断出C的对错；直线恒过的定点，当时，则圆心C到直线l的距离最大，且最大值为，进而可得圆上的点到直线的距离的最大值为，可判断出D的对错. 【详解】 对于A，将直线转化为， 由 ，解得 ，直线恒过定点，A正确； 对于B，圆，可得圆心，半径， 由直线与圆相切，可得圆心C到直线l的距离， 即，解得， 故切线方程为，即，B正确； 对于C，当时，直线， 点到此直线距离为， 因此圆上恰有四个点到直线的距离等于，C错误； 对于D，因为直线恒过定点，可得， 当时，圆心C到直线l的距离最大，且最大值为， 所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确. 故选：ABD. 28．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先确定两圆的位置关系，再由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【详解】 由，所以圆心，半径； 由，所以圆心，半径. 所以，且，所以两圆相交. 所以两圆公共弦所在的直线方程为：， 即，就是. 故选：B 29．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）（多选）已知圆，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（       ） A. 圆关于轴对称的圆的方程为 B. 若反射光线与圆相切于点，与轴相交于点，则 C. 若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为 D. 若反射光线与圆交于两点，则面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】 由对称的性质直接求解判断A；由题意反射光线所在的直线过点，利用对称性及圆的性质求得，进而可得判断B；由题意可知入射光线所在的直线过点和，即可求出直线方程判断C；设，表示出弦长和弦心距，进而表示出面积，最后利用正弦函数性质求解最大值判断D. 【详解】 对于A，由圆的方程可得，故圆心，半径， ∴圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为1， ∴所求圆的方程为，即，故A正确； 对于B，反射光线经过点关于轴的对称点，，，故，故B不正确； 对于C，反射光线平分圆的周长，∴反射光线经过圆心， ∴入射光线所在直线经过点， ∴入射光线所在直线方程为：，即，故C正确； 对于D，设， 则圆心到直线的距离， ． 则当时，面积的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 30．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）在平面直角坐标系中，直线与分别切于点，与轴分别交于点.若的周长为，则满足题意的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 通过切线长定理转化边长可得的周长为，利用两点间距离公式可得点坐标. 【详解】 如图，连接，则. 由题意得，圆心，圆与轴相切于点. ∵与分别切于点，∴， ∴的周长为： ， ∴，即， 代入选项可得点的坐标为. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是利用切线长定理转化边长，借助勾股定理建立关于的等量关系，代入选项可求出点坐标. 31．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知集合与满足，则的取值范围是　　　　　　　 【答案】 【分析】 分别求出两圆的圆心坐标与半径，由，可得，即两圆内切或内含，通过半径关系即可求得答案． 【详解】 解：方程表示以为圆心，的圆， 表示以为圆心，的圆， 则集合表示以为圆心，的圆形区域内点的集合（包含边界）， 集合表示以为圆心，的圆形区域内点的集合（包含边界）， 因为，所以圆与圆内切或内含， 所以且，解得，即. 故答案为： 32．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用数形结合，可得斜率最小值时满足直线与圆相切，从而可计算结果. 【详解】 把看成动点到定点所在直线的斜率，如图： 当直线与半圆相切时，斜率最小， 设直线方程为：， 此时由圆心到直线的距离等于半径可得：，解得：或（舍去）， 所以的最小值为. 故答案为： 33．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）若圆与圆外切，则值为　　　　　　　　； 【答案】4 【分析】 根据两圆外切列方程，解方程即可. 【详解】 圆即，圆心为，半径为且， 圆即，圆心为，半径为4， 因为两圆外切，所以，解得. 故答案为：4. 34．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）已知圆：，点是圆上一动点，点，点是线段的中点. （1）求点的轨迹方程； （2）已知过点的直线与曲线相交，被曲线截得的弦长为2，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）先设线段中点为，点，然后利用相关点法求解即可；（2）先讨论直线斜率不存在，然后斜率存在利用截距式计算弦长等于，求解即可. (1) 小问详解： 设线段中点为，点，由， ∴，，        又因为点在圆上， ∴ ∴， 即点的轨迹方程为：. (2) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，由 ，得，或， 即直线与圆相交所得弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由于圆到的距离，所以，解得， 所以，即， 综上所述，直线的方程为或. 35．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）直线与圆：交于，两点，若，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设出，坐标，根据数量积关系与勾股定理即可求解. 【详解】 设、，线段的中点坐标为， 则， 且 ∴， 即. ∵，两点在圆上， ∴，， 又∵， ∴. ∴. 故答案为：. 36．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知直线与圆相交于两点，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求圆心到直线的距离，然后利用公式求解即可. 【详解】 由圆的圆心到直线的距离为： ， 又圆的半径为：， 所以. 故答案为： 37．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）若，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】 因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 38．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为　　　　　　　　　　． 【答案】或 【详解】由题知:圆心（2，3）,半径为2.  因为直线被圆截得的弦长为,  所以圆心到直线的距离为 ,   由,  得 或 39．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）圆与圆公切线的条数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定，得到圆与圆相交，进而得到答案. 【详解】 由圆，即，可得圆心，半径为， 又由圆，即，可得圆心，半径为， 因为，可得， 即，所以圆与圆相交，所以两圆有2条公切线. 故答案为：. 40．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）已知圆，点，且直线l经过点P. （1）若l与C相切，求l的方程； （2）若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径得到方程，求出直线方程； （2）写出直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，即可求出弦长. (1) 小问详解： 的圆心为，半径为5， 过的直线斜率不存在时，直线为， 此时到直线的距离为，故与圆相交，不合题意， 过的直线斜率存在时，设为，即， 由题意得，解得， 此时直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为； (2) 小问详解： l的倾斜角为，故斜率为， 故直线l的方程为，即， 圆心到直线的距离， 故l被圆C截得的弦长为. 41．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知圆，点. （1）求过点P的圆C的切线l的方程； （2）若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解； （2）直线斜率不存在时，直线方程为：，圆心到直线的距离为，直线被截的弦长为判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，再由直线被截的弦长为求解. (1) 小问详解： 解：当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即； (2) 小问详解： 当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，则直线被截的弦长为，成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离为：， 直线被截的弦长为，解得， 所以直线方程为：， 即， 综上：直线方程为：或 42．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线与圆的位置关系，结合圆切线的性质以及勾股定理，可得答案. 【详解】 由题意，得圆C：的圆心到直线l：的距离， 所以l与圆C相离，如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，即， 此时，所以，故的最大值为.    故答案为：. 43．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意可得最小时，直线，求得直线的方程，联立方程组求得，进而求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减可求得直线的方程. 【详解】 取最小值四边形面积最小直线， 此时直线方程为，与直线联立求出点， 以为直径的圆的方程为，又圆， 两圆方程左右两边相减可得直线的方程为. 故答案为：. 44．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知圆过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点的直线与圆相切，求的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设出圆的标准方程，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，分直线的斜率不存在和存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. (1) 小问详解： 解：设圆的方程为， 根据题意，可得 ，解得， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 45．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）已知圆，圆. （1）若与相交，求的取值范围； （2）若与存在公共弦，且圆心到公共弦所在直线的距离为，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据条件，先求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系，即可求解； （2）先求出两圆的公共弦，再利用点到直线的距离公式，即可求解. (1) 小问详解： 因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为与相交，则，又， 所以 ，解得， 所以的取值范围为. (2) 小问详解： 由和，作差得到， 所以两圆公共弦方程为， 由题有，整理得到，解得，又， 所以. 46．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）已知圆：与圆：交于，两点，若，则　　　　　　. 【答案】1 【分析】 将两圆的方程作差可得两圆的相交弦的直线方程，设圆心到直线的距离为，利用垂径定理得，又两圆半径相等得，即可得解. 【详解】 已知圆：的圆心为，半径为1， 与圆：的圆心为，半径为1， 将两个圆作差可得相交弦的直线方程为， 即，即， 设圆心到直线的距离为，因为，所以，解得， 又两圆半径相等，所以公共弦所在的直线为的垂直平分线，所以. 故答案为： 47．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知圆的方程为，其中. （1）若圆和圆的公共弦长为，求的值； （2）若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可； （2）记点、，分析可知圆心为直线和线段垂直平分线的交点，联立这两条直线的方程，可得出圆心的坐标，进而可得出圆的半径，即可得出圆的方程. (1) 小问详解： 因为圆的方程为，则，解得， 将两圆方程作差可得，即为两圆相交弦所在直线的方程， 圆的圆心为，半径为， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得或. (2) 小问详解： 由题意可知，点在圆上，则，解得， 故圆的方程为，其标准方程为，    记点、， 由圆的几何性质可知，圆心在直线上， 且，所以直线的方程为，即， 因为圆过点、两点，所以圆心在线段的垂直平分线上， 线段的中点为，， 故线段的垂直平分线的方程为，即， 联立 ，解得 ，即圆心， 所以，圆的半径为， 故圆的方程为. 48．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 【答案】（1）     （2）①；②或.      【分析】 （1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案. （2）① 根据弦长公式，建立方程，求出参数；② 根据切线方程的求法，可得答案. (1) 小问详解： （方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. (2) 小问详解： ① 由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. ② 当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 49．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知的内角平分线与轴相交于点． （1）求的外接圆的方程； （2）求点的坐标； （3）若为的外接圆劣弧上一动点，的内角平分线与直线相交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，当时，判断点与经过三点的圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）点在经过三点的圆上，理由如下： 由题意可知直线的斜率存在，故设直线的直线方程为， 联立直线与圆的方程 ， 可得 注意到两点是直线与圆的交点，所以 ，故． 联立直线与的内角平分线方程 ， 可得． 此时， ． 此时，点，点点满足在劣弧上． 设经过三点的圆的方程为， 则 ，解得 ． 所以，经过三点的圆的方程为． 将点代入圆的方程成立，所以点在经过三点的圆上. 【分析】 （1）根据直角三角形的性质即可求解圆心和半径，从而得解； （2）根据等面积法或者利用角平分线的性质可得，即可求解长度得斜率，进而可求解直线方程，得解； （3）联立方程可得，，根据可得，即可求解点的坐标，由点的坐标求解圆的方程，即可判定. (1) 小问详解： 易知为为直角的直角三角形，故外接圆的圆心为斜边边的中点，半径为，所以外接圆的方程为． (2) 小问详解： 设的内角平分线交于点，根据角平分线性质定理，可知，（利用可得） 由结合，,所以 所以，的内角平分线方程为，令，即可得点坐标． (3) 小问详解： 略 50．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）已知圆，圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）设圆的圆心坐标，半径，由题意列关于，，的方程组，求出圆的方程； （2）由弦长求出圆心到直线的距离，分直线斜率存在和斜率不存在两种情况求出直线方程. (1) 小问详解： 圆的圆心，半径为3， 设圆的圆心坐标为，半径， ∴ ，解得 ， ∴圆的的方程为. (2) 小问详解： 若直线斜率不存在，此时：， 由 ，解得 ， 此时弦长为，符合题意， 若直线的斜率存在，设：， ∵直线被圆截得的弦长为， ∴圆心到直线的距离， 因为：，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上：直线的方程为或. 51．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）已知是直线上任意一点，则的最小值为　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】 设，当圆与直线相切时，最小，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 设，则表示圆心为原点，半径为的圆， 当圆与直线相切时，最小， 由点到直线的距离公式有：， 所以的最小值为， 故答案为：. 52．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中，，且． （1）求点的轨迹方程； （2）过作直线交（1）于，两点，且，求直线的方程； 【答案】（1）     （2），或      【分析】 （1）设，由，结合两点间的距离公式化简后可得答案； （2）由（1）知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，利用圆的垂径定理可得圆心到直线的距离，讨论直线斜率是否存在后可求出直线的方程． (1) 小问详解： 设，由， 得， 整理得，，即， 则点的轨迹方程为． (2) 小问详解： 由（1）知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 设圆心到直线的距离为，由； 当直线斜率不存在时，直线方程为，得，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即； 则，解得 所以直线方程为，即； 综上所述，直线方程为，或 53．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知以点C （t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点． （1）求证：△AOB的面积为定值； （2）设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程； （3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标． 【答案】（1）为定值． （2）圆C的方程为 （3）的最小值为，交点P的坐标为 【详解】试题分析：（1）第一步，先设圆的标准方程，并分别求出点,的坐标，用坐标表示,,再表示面积，即是定值；（2）根据条件，，所以取的中点,可证,,∴C，H，O三点共线，那么根据直线的斜率求参数，再写出方程；（3）求折线最短距离问题，第一步，先做点关于直线的对称点，将折线距离转化为求与圆上点的最短距离问题，再求直线与直线的交点． 试题解析：（1）证明 由题设知，圆C的方程为（x－t）2＋ ＝t2＋ ，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A（2t,0）；当x＝0时，y＝0或，则B，∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值． （2）解：∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C，H，O三点共线，则直线OC的斜率k＝ ＝＝，∴t＝2或t＝－2． ∴圆心为C（2,1）或（－2，－1），∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5或（x＋2）2＋（y＋1）2＝5，由于当圆方程为（x＋2）2＋（y＋1）2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5． （3）解：点B（0,2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′（－4，－2），则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝． 所以|PB|＋|PQ|的最小值为，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为． 考点：1．圆的方程；2．与圆由关的最值，定值问题． 54．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可. 【详解】 易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 55．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）已知圆的半径为2，圆心在射线上，点在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）请判断圆与圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；     （2） 圆与圆外切， 由（1）知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心，半径， ， 所以圆与圆外切.      【分析】 （1）设出圆心坐标，利用两点间距离公式求出圆心坐标即可. （2）求出两圆圆心距，进而判断两圆位置关系. (1) 小问详解： 由圆的圆心在射线上，设圆心的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，则，则， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 略 56．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）已知圆C经过原点和点，且圆心在轴上. （1）求圆C的方程： （2）若直线l交圆于，两点，且三等分圆周，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求线段的垂直平分线，与轴相交得圆心，为半径，可确定圆的方程. （2）根据条件确定的长，转化为两圆的公共弦所在直线方程求解. (1) 小问详解： 线段的垂直平分线方程为： . 与轴的交点为，即为所求圆的圆心，圆的半径为. 所以方程为：. (2) 小问详解： 因为三等分圆周，所以为的内接等边三角形， 所以. 以为圆心，为半径的圆的方程为. 所以直线的方程为：， 即. 57．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即，        半径，        所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件；        当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得，        此时切线的方程为：， 即，        综上所述：过的切线方程为或. (3) 小问详解： 圆心到直线的距离为，        所以弦长. 58．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设点、，根据中点坐标公式化简得出 ，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. (1) 小问详解： 设点、， 因为点是线段的中点，则 ，所以 ， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 59．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）已知圆C：，过点作直线l交圆C于A，B两点. （1）当直线l的倾斜角为时，求弦AB的长； （2）若直线l被圆C截得的弦长，求以线段AB为直径的圆的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解． （2）先确定点P与AB间的关系，再求出半径长，即可求解． (1) 小问详解： 圆C的方程可化为，圆心为，半径为 因为直线l的倾斜角为且过， 所以直线l的方程为，即 圆心到直线的距离， 所以弦 (2) 小问详解： 由于， 而弦心距， ，所以P是AB的中点， 则以线段AB为直径的圆圆心是，半径为 故以线段AB为直径的圆的方程为 60．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）设为曲线不过原点的部分曲线. （1）求与轴，轴的交点坐标； （2）求围成的图形面积； （3）若直线与有且仅有两个公共点，求的取值范围. 【答案】（1）与轴的交点为，与轴的交点为     （2）     （3）      【分析】 （1）根据曲线方程，令和，得到相应的方程求解即可； （2）分当，，和四种情况，得出曲线围成的图形，从而将问题转化成个半圆的面积及个直角三角形的面积和，即可求解； （3）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可求解. (1) 小问详解： 令，得到，当时，，解得（舍）或， 当时，，解得，所以与轴的交点坐标； 令，得到，当时，，解得（舍）或， 当时，，解得，所以与轴的交点坐标， 所以与轴的交点为，与轴的交点为； (2) 小问详解： 当时，由得到， 即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 所以曲线围成的图象如图所示，由（1）知， 又直线的方程为，易知直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 所以曲线围成的图形面积为个半圆的面积及个直角三角形的面积和， 即 ； (3) 小问详解： 当直线与圆相切时，得到， 解得或，所以直线与圆相切时，切点为， 当直线与圆相切时，得到， 解得或（舍）， 当直线与圆相切时，得到， 解得或，所以直线与圆相切时，切点为， 当直线与圆相切时，得到， 解得（舍）或， 又曲线不过原点，由图知，要使直线与有且仅有两个公共点，则， 所以的取值范围为. 61．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．已知圆，圆，且． （1）判断圆与圆的位置关系； （2）若直线与圆交于两点，圆与轴交于两点．求证：直线与的交点在定直线上． 【答案】（1）相交     （2） 由（1）得圆， 由 得 ， 直线的方程为，直线的方程为， ， ， 直线与的交点在定直线上． 【分析】 （1）利用圆的标准方程得出圆心坐标及半径，结合新定义判断关系即可； （2）根据（1）的结论得出坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理得出相应坐标关系式，并含参表示两直线与的方程，作商计算交点横坐标即可. (1) 小问详解： 易得圆的标准方程为，其半径， ， 或（舍去），圆的圆心为，半径为， ， 圆与圆相交； (2) 小问详解： 略 62．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）已知，，，直线的方程为，圆过，，三个点. （1）求圆的方程； （2）设点是直线上的任意一点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是4，求的值； （3）设直线与圆相交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，若，求的值. 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）分析可知圆心为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点，求对应的中垂线方程，进而可得圆心和半径； （2）根据题意结合切线性质分析可得，即圆心到直线的距离，代入运算即可； （3）设，，联立方程可得，，利用韦达定理可得，即可得结果. (1) 小问详解： 因为圆过，，三个点， 可知圆心为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， 且线段的垂直平分线的方程为， 可得，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 联立方程组 ，解得 ， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 因为，解得， 当且仅当时，取到最小值， 即圆心到直线：的距离，解得或， 所以的值为或. (3) 小问详解： 若，则直线：， 联立方程 ，消去y可得， 则， 设，， 则，， 可得， 所以. 63．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）已知圆，直线． （1）求证：对任意，直线与圆总有两个不同的交点； （2）设直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； （3）是否存在实数，使得直线截圆所得的弦最长或最短？ 【答案】（1） 证法1：联立直线与圆的方程 得， 整理得， ， 直线与圆总有两个不同的交点． 证法2： 圆，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为：， 又，， 直线与圆总有两个不同的交点．     （2）或     （3）存在实数使得所得的弦最长，不存在实数使得所得的弦最短      【分析】 （1）证法1：联立直线与圆的方程，得出判别式大于0，从而证明结论；证法2：利用点到直线的距离公式求出圆心到半径的距离，利用得出直线与圆的位置关系证明结论； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合勾股定理构造方程求出，进而求出直线方程； （3）先求出直线恒过定点，再利用过定点的直线与圆的位置关系讨论求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设圆心到直线的距离为，则， 如下图所示，，取中点， 则，，    ，， ，即，解得， 直线的方程为或． (3) 小问详解： 存在实数使得直线截圆所得的弦最长，不存在实数使截圆所得的弦最短．理由如下：， 由 ，解得 ， 直线过定点，如下图所示：    当直线过圆心时，直线截圆所得的弦最长， 此时，直线的方程为， 存在实数使得直线截圆所得的弦最长； 当直线时，直线截圆所得的弦最短，设直线的斜率为，则， ，， 直线的斜率不存在，故不存在实数使截圆所得的弦最短． 存在实数使得直线截圆所得的弦最长，不存在实数使截圆所得的弦最短． 64．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1）     （2）     （3） 设直线的方程为， 由 得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令 ，解得 ，即直线过定点． 【分析】 （1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组 ，解得 ，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆、直线与圆的位置关系 2大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 2．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）圆心为，半径为3的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）圆心在轴上，半径为1 ，且过点 的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）方程表示圆，则的取值范围是（          ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）已知圆的方程为，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）（多选）已知圆，则下列结论正确的有（       ） A. 的取值范围为 B. 若，则点在圆内 C. 若，则直线与圆相离 D. 若，圆关于直线对称的圆的方程为 9．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）（多选）如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（       ） A. 关于轴对称 B. 上的点到原点的距离最小值 C. 与轴围成的图形的面积等于 D. 截直线所得弦长为 11．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）（多选）平面直角坐标系中，、，动点满足，记点的轨迹为曲线，在第一象限内任取曲线上点，记直线的倾斜角为，斜率为，下列选项正确的有（     ） A. 曲线经过点 B. 曲线是中心对称图形 C. 的最大值为 D. 为定值 12．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）（多选）已知曲线，则 A. 曲线C关于y轴对称 B. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 C. 曲线所围成的图形的面积为 D. 当点在曲线C上时， 13．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为　　　　　. 15．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求过原点且与圆相切的直线方程. 16．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 17．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且与轴相切，则圆的标准方程可以为　　　　　　　　　　　　．（写出满足条件的一个答案即可） 19．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知圆的半径为. （1）求； （2）若为圆上的一个动点，，求的取值范围； （3）若过点的直线与圆交于两点，且，求的方程. 20．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）已知圆的圆心在直线上. （1）求； （2）过的直线与相交于. （i）求的一般式方程； （ii）记为圆上一点，求的最大值. 21．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程. （2）若直线的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹. 22．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）已知方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是　　　　　　　　． 23．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为　　　　　　． 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为 A.  B.  C. 或 D. 或 2．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）直线与圆交于M，N两点，若，则k的值为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）要使圆心距为8的一大一小两个圆相内切，只需要令（     ） A. 大圆的半径为8 B. 大圆与小圆的半径之差为8 C. 小圆的半径为8 D. 大圆与小圆的半径之和为8 4．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）圆与的公切线的条数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（       ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交 6．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）（多选）已知点是圆上的一个动点，过原点的动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最大值为6 7．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）圆与圆的位置关系为（       ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 8．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知圆与圆外切，则（       ） A. 5 B. 7 C. 11 D. 13 9．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）（多选）若曲线是由方程和共同构成，则下列结论不正确的是（    ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 若点在曲线上，则的取值区间是 C. 若与直线有公共点，则 D. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为2 10．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知圆的标准方程为，直线的方程为，若直线和圆有公共点，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（       ） A. 两圆相交 B. 直线的方程为 C. 两圆有两条公切线 D. 线段的长为 12．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）圆与圆的公切线的条数为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 14．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知，以下结论正确的有（       ） ① ②的最大值为26 ③的最大值是 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 15．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）（多选）已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（       ） A. 圆与圆相交 B. 圆关于直线对称 C. 若点是圆上一点，则的最大值是 D. 若点是圆上一点，则的最小值是 16．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）（多选）已知圆与圆，下列选项正确的有（       ） A. 若，则两圆外切 B. 若，则直线为两圆的一条公切线 C. 若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D. 若，则两圆公共弦的长度为 17．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（     ） A. 2 B.  C. 3 D.  18．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦长为（       ） A.  B.  C. 2 D. 1 19．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（       ）． A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（     ）． A. 3 B. 5 C.  D.  21．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）已知圆与圆恰有两条公切线，则实数b的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（     ） A. 曲线所围成图形的周长是 B. 曲线所围成图形的面积是 C. 曲线上任意两点间距离的最大值为 D. 直线与曲线一定有两个交点 24．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）若点在圆上，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）（多选）已知两圆和，则下列结论正确的是（     ） A. 当时，，外切 B. 当时，，相交 C. 当时，，内切 D. 不存在实数使得，相离 27．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（       ） A. 直线恒过定点 B. 当直线与圆相切时，切线方程是 C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 D. 圆上的一点到直线的最大距离是 28．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线方程是（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）（多选）已知圆，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（       ） A. 圆关于轴对称的圆的方程为 B. 若反射光线与圆相切于点，与轴相交于点，则 C. 若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为 D. 若反射光线与圆交于两点，则面积的最大值为 30．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）在平面直角坐标系中，直线与分别切于点，与轴分别交于点.若的周长为，则满足题意的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知集合与满足，则的取值范围是　　　　　　　 32．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为　　　　　　　　　　　. 33．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）若圆与圆外切，则值为　　　　　　　　； 34．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）已知圆：，点是圆上一动点，点，点是线段的中点. （1）求点的轨迹方程； （2）已知过点的直线与曲线相交，被曲线截得的弦长为2，求直线的方程. 35．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）直线与圆：交于，两点，若，则　　　　　　　　. 36．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知直线与圆相交于两点，则　　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）若，则　　　　　　　　． 38．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为　　　　　　　　　　． 39．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）圆与圆公切线的条数为　　　　　　． 40．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）已知圆，点，且直线l经过点P. （1）若l与C相切，求l的方程； （2）若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 41．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知圆，点. （1）求过点P的圆C的切线l的方程； （2）若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程. 42．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为　　　　　　. 43．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为　　　　　　. 44．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知圆过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点的直线与圆相切，求的方程. 45．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）已知圆，圆. （1）若与相交，求的取值范围； （2）若与存在公共弦，且圆心到公共弦所在直线的距离为，求的值. 46．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）已知圆：与圆：交于，两点，若，则　　　　　　. 47．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知圆的方程为，其中. （1）若圆和圆的公共弦长为，求的值； （2）若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程. 48．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 49．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知的内角平分线与轴相交于点． （1）求的外接圆的方程； （2）求点的坐标； （3）若为的外接圆劣弧上一动点，的内角平分线与直线相交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，当时，判断点与经过三点的圆的位置关系，并说明理由． 50．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）已知圆，圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 51．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）已知是直线上任意一点，则的最小值为　　　　　　　　. 52．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中，，且． （1）求点的轨迹方程； （2）过作直线交（1）于，两点，且，求直线的方程； 53．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知以点C （t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点． （1）求证：△AOB的面积为定值； （2）设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程； （3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标． 54．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　. 55．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）已知圆的半径为2，圆心在射线上，点在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）请判断圆与圆的位置关系，并说明理由． 56．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）已知圆C经过原点和点，且圆心在轴上. （1）求圆C的方程： （2）若直线l交圆于，两点，且三等分圆周，求直线的方程. 57．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 58．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 59．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）已知圆C：，过点作直线l交圆C于A，B两点. （1）当直线l的倾斜角为时，求弦AB的长； （2）若直线l被圆C截得的弦长，求以线段AB为直径的圆的方程. 60．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）设为曲线不过原点的部分曲线. （1）求与轴，轴的交点坐标； （2）求围成的图形面积； （3）若直线与有且仅有两个公共点，求的取值范围. 61．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．已知圆，圆，且． （1）判断圆与圆的位置关系； （2）若直线与圆交于两点，圆与轴交于两点．求证：直线与的交点在定直线上． 62．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）已知，，，直线的方程为，圆过，，三个点. （1）求圆的方程； （2）设点是直线上的任意一点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是4，求的值； （3）设直线与圆相交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，若，求的值. 63．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）已知圆，直线． （1）求证：对任意，直线与圆总有两个不同的交点； （2）设直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； （3）是否存在实数，使得直线截圆所得的弦最长或最短？ 64．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆、直线与圆的位置关系 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．B 2．C 3．A 4．A 5．D 6．D 7．D 8．ABD 9．A 10．ABD 11．ABD 12．ABD 13．C 14．【答案】 【分析】 根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】 因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 15．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. (1) 小问详解： 线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由 ，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 16．【答案】 【分析】 由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】 由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 17．【答案】 【分析】 判断出两圆外离，根据求解即可. 【详解】 因为，， 所以， 所以圆与圆外离，    所以. 故答案为： 18．【答案】(答案不唯一) 【分析】 利用标准方程确定圆心和半径即可 【详解】 设圆的标准方程为， 因圆的圆心在轴上，且与轴相切，则， 则圆的方程为，故任取实数即可，现取， 故答案为：(答案不唯一). 19．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）将圆的一般方程化为标准方程，根据半径的值求出； （2）先求出圆心与点的距离，再结合圆的半径得到的取值范围； （3）分直线斜率存在和不存在两种情况，根据弦长公式求出直线方程. (1) 小问详解： 由， 得，则，得； (2) 小问详解： 由题意得，得，则在圆外， 所以.故的取值范围为； (3) 小问详解： 设到的距离为.由，得. 当的斜率不存在时，，符合题意； 当的斜率存在时，设，即. 由，得， 所以的方程为. 故的方程为或； 20．【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）由圆的标准方程得圆心坐标，再结合条件，即可求解； （2）（i）先求出，进而可得直线的斜率，再利用点斜式得直线方程，再化成一般式，即可求解；（ii）利用圆的性质即可求解. (1) 小问详解： 因为圆的圆心为，半径为， 由题有，解得，所以的值为. (2) 小问详解： （i）由（1）知，所以，又在直线上， 所以，得到，则直线的斜率为，所以的方程为， 其一般式方程为. （ii）由（1）知圆，圆心为，半径为， 所以的最大值为， 即的最大值为. 21．【答案】（1）     （2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程是      【分析】 （1）由于圆上的弦的垂直平分线经过圆心，从而利用两直线的交点求出圆心，进而求出半径；（2）设，进而利用是线段中点表示出的坐标，再利用在圆上求出满足的方程，进而判断点的轨迹. (1) 小问详解： 线段AB的中点D的坐标为，直线AB的斜率为. 所以线段AB的垂直平分线的斜率为， 所以线段AB的垂直平分线的方程为，即. 圆心在线段的垂直平分线上，也在直线上，故 ，解得 . 故圆心的坐标为. 圆的半径 所以圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 设，由于是线段的中点，且. 所以. 又由于点在圆上，故. 化简得M点的轨迹方程为： 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 22．【答案】 【分析】 由曲线表示圆可得，从而可求出的取值范围. 【详解】 因为方程表示的曲线是一个圆， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 23．【答案】 【分析】 令，应用两点距离公式列方程求P轨迹，结合已知圆的方程求出点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】 设，依题意，， 即， 整理得， 与对照得 ，解得 ， 因此； 由，得在圆内， 在圆外， 于是，当且仅当共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．ABD 7．A 8．D 9．ABC 10．B 11．ACD 12．A 13．A 14．D 15．BCD 16．BD 17．A 18．B 19．D 20．B 21．C 22．D 23．BC 24．B 25．D 26．ABC 27．ABD 28．B 29．ACD 30．A 31．【答案】 【分析】 分别求出两圆的圆心坐标与半径，由，可得，即两圆内切或内含，通过半径关系即可求得答案． 【详解】 解：方程表示以为圆心，的圆， 表示以为圆心，的圆， 则集合表示以为圆心，的圆形区域内点的集合（包含边界）， 集合表示以为圆心，的圆形区域内点的集合（包含边界）， 因为，所以圆与圆内切或内含， 所以且，解得，即. 故答案为： 32．【答案】 【分析】 利用数形结合，可得斜率最小值时满足直线与圆相切，从而可计算结果. 【详解】 把看成动点到定点所在直线的斜率，如图： 当直线与半圆相切时，斜率最小， 设直线方程为：， 此时由圆心到直线的距离等于半径可得：，解得：或（舍去）， 所以的最小值为. 故答案为： 33．【答案】4 【分析】 根据两圆外切列方程，解方程即可. 【详解】 圆即，圆心为，半径为且， 圆即，圆心为，半径为4， 因为两圆外切，所以，解得. 故答案为：4. 34．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）先设线段中点为，点，然后利用相关点法求解即可；（2）先讨论直线斜率不存在，然后斜率存在利用截距式计算弦长等于，求解即可. (1) 小问详解： 设线段中点为，点，由， ∴，，        又因为点在圆上， ∴ ∴， 即点的轨迹方程为：. (2) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，由 ，得，或， 即直线与圆相交所得弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由于圆到的距离，所以，解得， 所以，即， 综上所述，直线的方程为或. 35．【答案】 【分析】 设出，坐标，根据数量积关系与勾股定理即可求解. 【详解】 设、，线段的中点坐标为， 则， 且 ∴， 即. ∵，两点在圆上， ∴，， 又∵， ∴. ∴. 故答案为：. 36．【答案】 【分析】 先求圆心到直线的距离，然后利用公式求解即可. 【详解】 由圆的圆心到直线的距离为： ， 又圆的半径为：， 所以. 故答案为： 37．【答案】 【分析】 根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】 因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 38．【答案】或 【详解】由题知:圆心（2，3）,半径为2.  因为直线被圆截得的弦长为,  所以圆心到直线的距离为 ,   由,  得 或 39．【答案】 【分析】 根据题意，分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定，得到圆与圆相交，进而得到答案. 【详解】 由圆，即，可得圆心，半径为， 又由圆，即，可得圆心，半径为， 因为，可得， 即，所以圆与圆相交，所以两圆有2条公切线. 故答案为：. 40．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径得到方程，求出直线方程； （2）写出直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，即可求出弦长. (1) 小问详解： 的圆心为，半径为5， 过的直线斜率不存在时，直线为， 此时到直线的距离为，故与圆相交，不合题意， 过的直线斜率存在时，设为，即， 由题意得，解得， 此时直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为； (2) 小问详解： l的倾斜角为，故斜率为， 故直线l的方程为，即， 圆心到直线的距离， 故l被圆C截得的弦长为. 41．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解； （2）直线斜率不存在时，直线方程为：，圆心到直线的距离为，直线被截的弦长为判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，再由直线被截的弦长为求解. (1) 小问详解： 解：当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即； (2) 小问详解： 当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，则直线被截的弦长为，成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离为：， 直线被截的弦长为，解得， 所以直线方程为：， 即， 综上：直线方程为：或 42．【答案】 【分析】 根据直线与圆的位置关系，结合圆切线的性质以及勾股定理，可得答案. 【详解】 由题意，得圆C：的圆心到直线l：的距离， 所以l与圆C相离，如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，即， 此时，所以，故的最大值为.    故答案为：. 43．【答案】 【分析】 由题意可得最小时，直线，求得直线的方程，联立方程组求得，进而求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减可求得直线的方程. 【详解】 取最小值四边形面积最小直线， 此时直线方程为，与直线联立求出点， 以为直径的圆的方程为，又圆， 两圆方程左右两边相减可得直线的方程为. 故答案为：. 44．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设出圆的标准方程，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，分直线的斜率不存在和存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. (1) 小问详解： 解：设圆的方程为， 根据题意，可得 ，解得， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 45．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据条件，先求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系，即可求解； （2）先求出两圆的公共弦，再利用点到直线的距离公式，即可求解. (1) 小问详解： 因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为与相交，则，又， 所以 ，解得， 所以的取值范围为. (2) 小问详解： 由和，作差得到， 所以两圆公共弦方程为， 由题有，整理得到，解得，又， 所以. 46．【答案】1 【分析】 将两圆的方程作差可得两圆的相交弦的直线方程，设圆心到直线的距离为，利用垂径定理得，又两圆半径相等得，即可得解. 【详解】 已知圆：的圆心为，半径为1， 与圆：的圆心为，半径为1， 将两个圆作差可得相交弦的直线方程为， 即，即， 设圆心到直线的距离为，因为，所以，解得， 又两圆半径相等，所以公共弦所在的直线为的垂直平分线，所以. 故答案为： 47．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可； （2）记点、，分析可知圆心为直线和线段垂直平分线的交点，联立这两条直线的方程，可得出圆心的坐标，进而可得出圆的半径，即可得出圆的方程. (1) 小问详解： 因为圆的方程为，则，解得， 将两圆方程作差可得，即为两圆相交弦所在直线的方程， 圆的圆心为，半径为， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得或. (2) 小问详解： 由题意可知，点在圆上，则，解得， 故圆的方程为，其标准方程为，    记点、， 由圆的几何性质可知，圆心在直线上， 且，所以直线的方程为，即， 因为圆过点、两点，所以圆心在线段的垂直平分线上， 线段的中点为，， 故线段的垂直平分线的方程为，即， 联立 ，解得 ，即圆心， 所以，圆的半径为， 故圆的方程为. 48．【答案】（1）     （2）①；②或.      【分析】 （1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案. （2）① 根据弦长公式，建立方程，求出参数；② 根据切线方程的求法，可得答案. (1) 小问详解： （方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. (2) 小问详解： ① 由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. ② 当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 49．【答案】（1）     （2）     （3）点在经过三点的圆上，理由如下： 由题意可知直线的斜率存在，故设直线的直线方程为， 联立直线与圆的方程 ， 可得 注意到两点是直线与圆的交点，所以 ，故． 联立直线与的内角平分线方程 ， 可得． 此时， ． 此时，点，点点满足在劣弧上． 设经过三点的圆的方程为， 则 ，解得 ． 所以，经过三点的圆的方程为． 将点代入圆的方程成立，所以点在经过三点的圆上. 【分析】 （1）根据直角三角形的性质即可求解圆心和半径，从而得解； （2）根据等面积法或者利用角平分线的性质可得，即可求解长度得斜率，进而可求解直线方程，得解； （3）联立方程可得，，根据可得，即可求解点的坐标，由点的坐标求解圆的方程，即可判定. (1) 小问详解： 易知为为直角的直角三角形，故外接圆的圆心为斜边边的中点，半径为，所以外接圆的方程为． (2) 小问详解： 设的内角平分线交于点，根据角平分线性质定理，可知，（利用可得） 由结合，,所以 所以，的内角平分线方程为，令，即可得点坐标． (3) 小问详解： 略 50．【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）设圆的圆心坐标，半径，由题意列关于，，的方程组，求出圆的方程； （2）由弦长求出圆心到直线的距离，分直线斜率存在和斜率不存在两种情况求出直线方程. (1) 小问详解： 圆的圆心，半径为3， 设圆的圆心坐标为，半径， ∴ ，解得 ， ∴圆的的方程为. (2) 小问详解： 若直线斜率不存在，此时：， 由 ，解得 ， 此时弦长为，符合题意， 若直线的斜率存在，设：， ∵直线被圆截得的弦长为， ∴圆心到直线的距离， 因为：，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上：直线的方程为或. 51．【答案】1 【分析】 设，当圆与直线相切时，最小，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 设，则表示圆心为原点，半径为的圆， 当圆与直线相切时，最小， 由点到直线的距离公式有：， 所以的最小值为， 故答案为：. 52．【答案】（1）     （2），或      【分析】 （1）设，由，结合两点间的距离公式化简后可得答案； （2）由（1）知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，利用圆的垂径定理可得圆心到直线的距离，讨论直线斜率是否存在后可求出直线的方程． (1) 小问详解： 设，由， 得， 整理得，，即， 则点的轨迹方程为． (2) 小问详解： 由（1）知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 设圆心到直线的距离为，由； 当直线斜率不存在时，直线方程为，得，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即； 则，解得 所以直线方程为，即； 综上所述，直线方程为，或 53．【答案】（1）为定值． （2）圆C的方程为 （3）的最小值为，交点P的坐标为 【详解】试题分析：（1）第一步，先设圆的标准方程，并分别求出点,的坐标，用坐标表示,,再表示面积，即是定值；（2）根据条件，，所以取的中点,可证,,∴C，H，O三点共线，那么根据直线的斜率求参数，再写出方程；（3）求折线最短距离问题，第一步，先做点关于直线的对称点，将折线距离转化为求与圆上点的最短距离问题，再求直线与直线的交点． 试题解析：（1）证明 由题设知，圆C的方程为（x－t）2＋ ＝t2＋ ，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A（2t,0）；当x＝0时，y＝0或，则B，∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值． （2）解：∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C，H，O三点共线，则直线OC的斜率k＝ ＝＝，∴t＝2或t＝－2． ∴圆心为C（2,1）或（－2，－1），∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5或（x＋2）2＋（y＋1）2＝5，由于当圆方程为（x＋2）2＋（y＋1）2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5． （3）解：点B（0,2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′（－4，－2），则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝． 所以|PB|＋|PQ|的最小值为，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为． 考点：1．圆的方程；2．与圆由关的最值，定值问题． 54．【答案】或 【分析】 直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可. 【详解】 易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 55．【答案】（1）；     （2） 圆与圆外切， 由（1）知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心，半径， ， 所以圆与圆外切.      【分析】 （1）设出圆心坐标，利用两点间距离公式求出圆心坐标即可. （2）求出两圆圆心距，进而判断两圆位置关系. (1) 小问详解： 由圆的圆心在射线上，设圆心的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，则，则， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 略 56．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求线段的垂直平分线，与轴相交得圆心，为半径，可确定圆的方程. （2）根据条件确定的长，转化为两圆的公共弦所在直线方程求解. (1) 小问详解： 线段的垂直平分线方程为： . 与轴的交点为，即为所求圆的圆心，圆的半径为. 所以方程为：. (2) 小问详解： 因为三等分圆周，所以为的内接等边三角形， 所以. 以为圆心，为半径的圆的方程为. 所以直线的方程为：， 即. 57．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即，        半径，        所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件；        当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得，        此时切线的方程为：， 即，        综上所述：过的切线方程为或. (3) 小问详解： 圆心到直线的距离为，        所以弦长. 58．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设点、，根据中点坐标公式化简得出 ，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. (1) 小问详解： 设点、， 因为点是线段的中点，则 ，所以 ， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 59．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解． （2）先确定点P与AB间的关系，再求出半径长，即可求解． (1) 小问详解： 圆C的方程可化为，圆心为，半径为 因为直线l的倾斜角为且过， 所以直线l的方程为，即 圆心到直线的距离， 所以弦 (2) 小问详解： 由于， 而弦心距， ，所以P是AB的中点， 则以线段AB为直径的圆圆心是，半径为 故以线段AB为直径的圆的方程为 60．【答案】（1）与轴的交点为，与轴的交点为     （2）     （3）      【分析】 （1）根据曲线方程，令和，得到相应的方程求解即可； （2）分当，，和四种情况，得出曲线围成的图形，从而将问题转化成个半圆的面积及个直角三角形的面积和，即可求解； （3）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可求解. (1) 小问详解： 令，得到，当时，，解得（舍）或， 当时，，解得，所以与轴的交点坐标； 令，得到，当时，，解得（舍）或， 当时，，解得，所以与轴的交点坐标， 所以与轴的交点为，与轴的交点为； (2) 小问详解： 当时，由得到， 即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 当时，由得到，即， 其图象在以为圆心，半径为的圆上， 所以曲线围成的图象如图所示，由（1）知， 又直线的方程为，易知直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 直线的方程为，易知在直线上， 所以曲线围成的图形面积为个半圆的面积及个直角三角形的面积和， 即 ； (3) 小问详解： 当直线与圆相切时，得到， 解得或，所以直线与圆相切时，切点为， 当直线与圆相切时，得到， 解得或（舍）， 当直线与圆相切时，得到， 解得或，所以直线与圆相切时，切点为， 当直线与圆相切时，得到， 解得（舍）或， 又曲线不过原点，由图知，要使直线与有且仅有两个公共点，则， 所以的取值范围为. 61．【答案】（1）相交     （2） 由（1）得圆， 由 得 ， 直线的方程为，直线的方程为， ， ， 直线与的交点在定直线上． 【分析】 （1）利用圆的标准方程得出圆心坐标及半径，结合新定义判断关系即可； （2）根据（1）的结论得出坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理得出相应坐标关系式，并含参表示两直线与的方程，作商计算交点横坐标即可. (1) 小问详解： 易得圆的标准方程为，其半径， ， 或（舍去），圆的圆心为，半径为， ， 圆与圆相交； (2) 小问详解： 略 62．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）分析可知圆心为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点，求对应的中垂线方程，进而可得圆心和半径； （2）根据题意结合切线性质分析可得，即圆心到直线的距离，代入运算即可； （3）设，，联立方程可得，，利用韦达定理可得，即可得结果. (1) 小问详解： 因为圆过，，三个点， 可知圆心为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， 且线段的垂直平分线的方程为， 可得，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 联立方程组 ，解得 ， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 因为，解得， 当且仅当时，取到最小值， 即圆心到直线：的距离，解得或， 所以的值为或. (3) 小问详解： 若，则直线：， 联立方程 ，消去y可得， 则， 设，， 则，， 可得， 所以. 63．【答案】（1） 证法1：联立直线与圆的方程 得， 整理得， ， 直线与圆总有两个不同的交点． 证法2： 圆，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为：， 又，， 直线与圆总有两个不同的交点．     （2）或     （3）存在实数使得所得的弦最长，不存在实数使得所得的弦最短      【分析】 （1）证法1：联立直线与圆的方程，得出判别式大于0，从而证明结论；证法2：利用点到直线的距离公式求出圆心到半径的距离，利用得出直线与圆的位置关系证明结论； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合勾股定理构造方程求出，进而求出直线方程； （3）先求出直线恒过定点，再利用过定点的直线与圆的位置关系讨论求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设圆心到直线的距离为，则， 如下图所示，，取中点， 则，，    ，， ，即，解得， 直线的方程为或． (3) 小问详解： 存在实数使得直线截圆所得的弦最长，不存在实数使截圆所得的弦最短．理由如下：， 由 ，解得 ， 直线过定点，如下图所示：    当直线过圆心时，直线截圆所得的弦最长， 此时，直线的方程为， 存在实数使得直线截圆所得的弦最长； 当直线时，直线截圆所得的弦最短，设直线的斜率为，则， ，， 直线的斜率不存在，故不存在实数使截圆所得的弦最短． 存在实数使得直线截圆所得的弦最长，不存在实数使截圆所得的弦最短． 64．【答案】（1）     （2）     （3） 设直线的方程为， 由 得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令 ，解得 ，即直线过定点． 【分析】 （1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组 ，解得 ，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $