专题03 直线的方程（期中真题汇编，陕晋青宁专用）高二数学上学期

专题03 直线的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．A 2．B 3．B 4．D 5．C 6．A 7．C 8．C 9．ABD 10．C 11．C 12．A 13．A 14．D 15．C 16．A 17．C 18．C 19．B 20．【答案】或或 【分析】 利用两直线垂直的充要条件来求解参数即可. 【详解】 由题意得，解得或， 故答案为：或 21．【答案】（1）1；（2）． 【分析】 已知两直线与， （1）的必要不充分条件是，需要检验两直线是否重合； （2），即可得到方程，解得即可． 【详解】 解：（1）直线与直线， 若， ，解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当，，，符合题意， 所以． （2）依题意，若， 所以，解得， 22．【答案】 【分析】 根据斜率公式列式求解即可. 【详解】 根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 23．【答案】2 【分析】 由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】 已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 24．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）利用垂直关系求直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解； （2）利用平行关系设直线方程，利用平行线间距离公式，求直线的方程. (1) 小问详解： 直线的斜率，因为，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程是，即； (2) 小问详解： 设直线， 则直线与直线之间的距离，解得或， 所以直线的方程是或. 25．【答案】 【分析】 由两直线平行，列出方程求解后，再排除两直线重合的情况，即可得答案. 【详解】 由， 得， 解得或， 当时， 与重合，不满足题意； 当时，符合题意. 故答案为： 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据与垂直可求得直线的斜率，设点斜式代入A点坐标即可求解； （2）根据倾斜角为直线倾斜角的，可求得直线的斜率，设点斜式代入B点坐标即可求解． (1) 小问详解： 设过点且与垂直的直线的斜率为，直线的斜率， 由，得，所以，即所求直线的方程为． (2) 小问详解： 直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 又，所以，由题意知所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为，所以，即． 考点02 直线的方程 1．C 2．C 3．BC 4．AC 5．C 6．C 7．ACD 8．A 9．A 10．AD 11．AD 12．BD 13．BD 14．D 15．ACD 16．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查直线的平行、垂直关系以及直线倾斜角的计算，解题的关键在于掌握直线的斜率公式、平行和垂直直线斜率的关系以及倾斜角与斜率的关系. (1) 小问详解： 直线的斜率为； 因为所求直线与平行，所以所求直线的斜率为 因为所求直线过点，所以由点斜式方程得到 所求直线的一般式方程为. (2) 小问详解： 因为所求直线与垂直，所以所求直线的斜率为 因为所求直线过点，所以由点斜式方程得到 所求直线的斜截式方程为. (3) 小问详解： 联立直线方程得到 ，解得 ， 依题意，直线，，的公共交点为， 设的倾斜角为则 ， 因经过点，所以 ， 因为，所以. 17．【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. (1) 小问详解： 直线经过、两点， ， 直线，即：． (2) 小问详解： 由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 18．【答案】 【分析】 将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点. 【详解】 将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为： 19．【答案】或. 【分析】 利用分截距为0和截距不为0，结合待定系数法来求直线方程. 【详解】 当直线过原点时满足题意，此时直线方程为，即， 当直线不过原点时，可设截距式方程为：， 由经过点可得：， 由截距互为相反数可得， 所以，直线方程为：， 故答案为：或. 20．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. （3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. (1) 小问详解： 直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. (2) 小问详解： 依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. (3) 小问详解： 依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 21．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）联立直线方程，求得交点，根据直线平行，建立方程，可得答案； （2）利用截距的定义，分类讨论，建立方程，可得答案. (1) 小问详解： 联立得 ，解得 ，即. 若l与直线平行，则l的斜率， 所以l的方程为，即. (2) 小问详解： 若l经过坐标原点，设l：，代入P点坐标，解得， 所以l的方程为. 若l不经过坐标原点，设l：， 代入P点坐标，得，解得， 所以l的方程为，即. 所以l的方程为或. 22．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）借助斜率与倾斜角的关系求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （2）借助斜率公式求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （3）借助直线平行性质，设出直线后代入点计算即可得. (1) 小问详解： 因为直线过点，斜率， 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； (2) 小问详解： 因为直线经过点和， 所以直线的斜率. 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； (3) 小问详解： 因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线的方程为. 因为直线经过点， 所以，即. 所以直线的方程为. 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，可得出边上的高所在直线的点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）由图可知，所以的平分线所在直线的斜率为，可得到的平分线所在直线的点斜式方程，化为斜截式方程即可. (1) 小问详解： 因为点、，则， 所以，边上的高所在直线的斜率为， 又，所以边上的高所在直线的方程为，即， 即边上的高所在直线的一般式方程为. (2) 小问详解：    如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为， 又，所以的平分线所在直线的方程为，即， 即的平分线所在直线的斜截式方程为. 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出，从而求出边上的高所在直线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程即可； （2）先求出的中点坐标，然后求出边上的中线所在直线的斜率，利用点斜式先表示出直线方程，然后化为一般方程即可. (1) 小问详解： 因为， 所以， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的点斜式方程为， 则其斜截式方程为． (2) 小问详解： 设是边的中点， 则 ，即， 则， 所以边上的中线的方程为，即：， 所以边上的中线的一般式方程为：． 25．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）先求直线的斜率，由求出直线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）由求出的斜率，利用点斜式即可求的方程，利用两平行直线的距离公式即可求解. (1) 小问详解： 由题意有：，∵，∴， 所以直线的方程为，即， (2) 小问详解： 由（1）知，，∴， 所以直线的方程为即， 的方程为，即， 所以与直线之间的距离. 26．【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）联立方程组求得交点坐标，再根据直线平行求得直线斜率，进而由点斜式得直线方程； （2）根据截距是否为0分类讨论，再把点的坐标代入求解即可. (1) 小问详解： 联立 ，得， 因为直线平行于直线，所以直线的斜率为2， 又直线经过交点，所以直线的方程为，即． (2) 小问详解： 由题意，直线经过点且在轴和轴上截距相等， 可分两种情况讨论： ① 截距都为0时，则直线过原点，且过点， 故直线的方程为，即． ② 截距都不为0时，则可设直线的方程为， 由直线过点，得，解得， 故直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或． 27．【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程； （2）由直线在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程. (1) 小问详解： 因为，所以可设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，解得． 所以直线的方程为． (2) 小问详解： 已知直线在两坐标轴上的截距相等， 若直线过原点，设直线的方程为， 因为直线经过点，所以， 此时直线的方程为，即． 若直线不过原点，设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，所以． 此时直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．C 2．D 3．A 4．D 5．B 6．A 7．A 8．A 9．A 10．A 11．A 12．D 13．AC 14．A 15．D 16．D 17．ABD 18．A 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. (1) 小问详解： 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； (2) 小问详解： 当时，：， 联立 ，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 20．【答案】 【分析】 解方程组可得答案. 【详解】 由 得 ， 所以两直线的交点坐标是. 故答案为：. 21．【答案】（1）；（2） . 【分析】 （1）根据关于直线的对称点一定在直线上，即可求得直线的斜率以及方程，与联立即可求得点的坐标； （2）求出点到直线：的距离为三角形的高，利用两点间距离公式计算，再由三角形的面积公式即可求解. 【详解】 （1）因为是的平分线， 所以关于直线的对称点一定在直线上， ，所以直线的方程为：，即， 由 解得： ， 所以； （2）点到直线：的距离为：， ， 所以. 22．【答案】 【分析】 设，，根据向量运算得到 ，代入直线方程化简得到答案. 【详解】 设，，，则， 故 ，点在直线，故， 整理得到. 故答案为：. 【点睛】 本题考查了轨迹方程，意在学生的计算能力和转化能力. 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由中点坐标公式得，再由斜率公式即可求解； （2）由点斜式求出直线的方程，再由点到直线的距离公式求解即可 (1) 小问详解： 因为M为的中点，且， 所以由中点坐标公式得， 又， 所以直线的斜率为； (2) 小问详解： 因为直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以点C到直线的距离为 24．【答案】 【分析】 根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围. 【详解】 根据题意，设直线：，设点 那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，，所以， 当时， ， 所以，即， 因为，所以， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线的方程 3大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知直线斜率为，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案. 【详解】 设倾斜角为，依题意， 由于，所以. 故选：A 2．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）直线yx的倾斜角为（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）． ∴tanθ， ∴θ＝60°， 故选：B． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题． 3．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）过点和点的直线倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【详解】 由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B 4．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（     ） A. 0 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】 设直线的倾斜角是. 直线斜率为， 又， 故选：D. 5．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C. 0 D. 不存在 【答案】C 【分析】 由直线方程即可求解. 【详解】 由方程，可知直线与轴平行， 倾斜角为0， 故选：C 6．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可． 【详解】 直线方程为，即， 由此可知该直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 7．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（       ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 【答案】C 【分析】 利用两点间的斜率公式可求出其斜率为，再由倾斜角与斜率的关即可得出结果. 【详解】 易知两点间的斜率， 设直线倾斜角为，由斜率与倾斜角之间的关系可得， 故该直线的倾斜角为135°. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】 由题可得：，所以直线的倾斜角为：； 故选：C 9．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）（多选）记，直线，，则（     ） A. 当时，点到的距离为 B. 当在上时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【分析】 对A，利用点到直线的距离公式，即可求解；对B，将代入直线，即可求解；对于C和D，利用直线一般式方程垂直和平行的条件，建立方程，即可求解. 【详解】 对于A，当时，，所以点到的距离为，所以A正确， 对于B，因为在上，所以，解得，所以，故正确， 对于C，因为，则，解得，所以C错误， 对于D，因为，由，解得，此时，，满足， 所以当时，，故D正确， 故选：ABD. 10．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求出直线的斜率，进而结合直线倾斜角的取值范围解出直线倾斜角即可. 【详解】 由题意知：，即，则直线的斜率， 所以，又因为，所以. 故选：C. 11．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）经过两点的直线的倾斜角是（       ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】C 【分析】 根据直线的斜率不存在直接求解即可. 【详解】 因为点，所以直线的斜率不存在，即轴， 故直线的倾斜角为． 故选：C． 12．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据直线的斜率确定直线的倾斜角. 【详解】 因为直线的斜率为， 设其倾斜角为，则，且， 所以. 故选：A 13．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据两直线垂直的等价条件得到方程，解出后再结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】 若“直线 与直线 相互垂直”， 则，该方程恒成立，则， 则可以推出，则充分性成立， 无法推出，则必要性不成立， 则“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 14．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）已知两点，则线段AB的垂直平分线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，求出线段的中点坐标及直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】 两点，则线段的中点，直线的斜率为， 所以线段AB的垂直平分线方程为，即. 故选：D 15．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知直线，，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论. 【详解】 当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性； 当时，，，当时，，， 当时，显然，∴，即，∴，∴或， 当时，，，两直线重合，舍去. ∴，满足必要性. ∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 16．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）设，则“直线与直线平行”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 利用直线平行的性质，分别判断充分性和必要性即可. 【详解】 若直线与直线平行，则 ，充分性成立；； 当时，则直线与直线平行， 当时，两直线重合，不满足题意，必要性不成立； 所以直线与直线平行是的充分不必要条件. 故选：A. 17．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可. 【详解】 当时，方程变为，其倾斜角为， 当时，由直线方程可得斜率，且， ，即，又，， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C. 18．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可. 【详解】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件， 故选C. 【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题 19．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析. 【详解】 由题， 如图，由图可知直线斜率. 故选：B 20．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知直线与互相垂直，则实数的值为　　　　　　　　　　　. 【答案】或或 【分析】 利用两直线垂直的充要条件来求解参数即可. 【详解】 由题意得，解得或， 故答案为：或 21．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知直线，与直线． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）1；（2）． 【分析】 已知两直线与， （1）的必要不充分条件是，需要检验两直线是否重合； （2），即可得到方程，解得即可． 【详解】 解：（1）直线与直线， 若， ，解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当，，，符合题意， 所以． （2）依题意，若， 所以，解得， 22．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据斜率公式列式求解即可. 【详解】 根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 23．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）已知直线和互相垂直，则实数　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】 已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 24．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）利用垂直关系求直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解； （2）利用平行关系设直线方程，利用平行线间距离公式，求直线的方程. (1) 小问详解： 直线的斜率，因为，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程是，即； (2) 小问详解： 设直线， 则直线与直线之间的距离，解得或， 所以直线的方程是或. 25．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）若直线与直线平行，则实数　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由两直线平行，列出方程求解后，再排除两直线重合的情况，即可得答案. 【详解】 由， 得， 解得或， 当时， 与重合，不满足题意； 当时，符合题意. 故答案为： 26．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）已知，求： （1）过点且与垂直的直线方程； （2）过点B且倾斜角为直线倾斜角的的直线方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据与垂直可求得直线的斜率，设点斜式代入A点坐标即可求解； （2）根据倾斜角为直线倾斜角的，可求得直线的斜率，设点斜式代入B点坐标即可求解． (1) 小问详解： 设过点且与垂直的直线的斜率为，直线的斜率， 由，得，所以，即所求直线的方程为． (2) 小问详解： 直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 又，所以，由题意知所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为，所以，即． 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将直线方程的一般式转化为斜截式，即可求解. 【详解】 由，得到，所以直线的斜率为， 故选：C. 2．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）如果，，那么直线不通过（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【分析】 结合直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系即可求解． 【详解】 因为，所以，直线可化为，因为，，所以，也即，，所以直线不过第三象限． 故选：C． 3．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）（多选）下列说法错误的是（       ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】BC 【分析】 A将方程化为点斜式即可知所过定点；B令求截距；C由方程确定斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可知倾斜角的大小；D计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断正误. 【详解】 对于A，由直线方程有，故必过，正确； 对于B，令得，故在y轴上的截距为－1，错误； 对于C，由直线方程知，斜率为，则倾斜角为，错误； 对于D，由，的斜率分别为，则有， 故相互垂直，将代入方程，正确． 故选：BC． 4．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）（多选）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（       ）. A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 讨论截距是否为0，应用点斜式、截距式并结合经过的点求直线方程. 【详解】 若截距都为0，则直线为； 若截距不为0，令直线为，则， 所以直线为； 综上，所求直线方程为或. 故选：AC 5．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 把直线方程整理为，根据题意，列出方程组，求解即可. 【详解】 根据题意，把直线方程整理，得， 令 ，解得 ，所以当变动时，所有直线恒过定点. 故选：C 6．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知直线与垂直，则（       ） A. 或2 B.  C.  D. 0 【答案】C 【分析】 由直线与直线垂直时斜率之间的关系即可列出方程求出的值. 【详解】 解：直线与垂直 解得： 故选：C. 7．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）（多选）已知直线的方程为，则下列选项正确的有（     ） A. 直线不经过第二象限 B. 直线的一个方向向量为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线在轴上的截距为3 【答案】ACD 【分析】 先把直线方程化为斜截式，分别求出直线在轴上的截距，判断选项C、D，进而得出直线经过的象限，判断选项A，利用方向向量和斜率的关系判断选项B． 【详解】 直线的方程为，化为斜截式得：， 当时，，即直线在轴上的截距为，故C正确； 当时，，即直线在轴上的截距为3，故D正确； 直线经过第一、三、四象限，故A正确； 直线的方向向量与直线斜率一致，直线斜率为， 直线的一个方向向量为，对应斜率为， 不是直线的方向向量，故B错误． 故选：ACD． 8．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）过点且直线的方向向量为的直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】 由直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 又由直线过点，由点斜式方程得，即. 故选：A. 9．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）已知直线的倾斜角为，则实数（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 将直线方程化为斜截式，根据斜率与倾斜角关系求. 【详解】 直线可化为，可知直线斜率为. 所以，解得. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）（多选）下列说法中正确的是（     ） A. 若直线的斜率，则倾斜角 B. 过点且与直线垂直的直线方程为 C. 过任意两点，的直线都可以用方程表示 D. 直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示 【答案】AD 【分析】 由斜率与倾斜角的关系可判断A，由垂直关系可判断B，由特殊位置可判断C，由一般方程概念可判断D. 【详解】 解析 对于A，由条件可知，又， 当时，， 当时，，A正确； 对于B，直线的斜率为，其垂线的斜率为3， 所以过点且与直线垂直的直线方程为， 即，故B错误； 对于C，当直线垂直于坐标轴时，不能用方程表示，故C错误； 对于D，任何直线的方程都有一般式，故D正确. 故选：AD 11．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）（多选）已知直线，则下列结论正确的是（     ） A. 直线在轴和轴上的截距相等 B. 直线的截距式方程为 C. 直线的斜率为1 D. 是直线的一个方向向量 【答案】AD 【分析】 求出直线在轴和轴上的截距，可判断A；直线的方程化为截距式方程，可判断B；化直线的方程为斜截式方程，求得斜率可判断C；由直线的斜率可知直线的方向向量，可判断D． 【详解】 直线，令，得；令，得， 即直线在轴和轴上的截距相等，均为1，故A正确； 由，可得直线的截距式方程为，故B错误； 由，得，直线的斜率为，故C错误； 直线的斜率为，可知是直线的一个方向向量，故D正确， 故选：AD． 12．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 经过点，倾斜角为的直线方程为 B. “”是“直线与直线平行”的充要条件 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 以，为直径端点的圆的方程为 【答案】BD 【分析】 根据倾斜角与斜率定义可知A错误，由两直线平行的位置关系分类讨论参数取值可知B正确，易知若在坐标轴上的截距都为零时，直线方程为，即可得C错误，设圆上点坐标为，利用向量垂直的坐标表示可知D正确. 【详解】 对于A：若倾斜角，该直线斜率不存在，直线的点斜式方程不适用，所以A错误； 对于B：当时，两直线分别为和，此时两直线平行，即充分性成立； 当两直线平行时可知，解得， 但当时，两直线方程均为，此时两直线重合，因此，即必要性成立；所以B正确； 对于C：若直线在两坐标轴上的截距都为零时，直线方程为， 若直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为，代入点可得； 因此满足题意的直线方程为或；即C错误； 对于D：设圆上任一点的坐标为， 则，易知， 所以， 因此圆的方程为，即D正确. 故选：BD 13．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）（多选）下列说法错误的是（　　） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 【答案】BD 【分析】 计算直线定点得到A正确，计算截距为得到B错误，计算倾斜角得到C正确，举反例得到D错误，得到答案. 【详解】 对选项A：直线必过定点，正确； 对选项B：取得到，故在轴上的截距为，错误； 对选项C：直线的斜率为，， 故，正确； 对选项D：过点，且与坐标轴截距相等，错误； 故选：BD 14．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】 当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 15．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）（多选）已知，，则直线通过（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】ACD 【分析】 将直线方程整理为斜截式，结合其斜截式方程确定直线经过的象限即可. 【详解】 可把直线方程化为， 因为，， 其斜率，直线在轴的截距， 由此可知直线通过第一、三、四象限． 故选：ACD. 16．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知点，直线. （1）求过，且与平行的直线的一般式方程； （2）求过，且与垂直的直线的斜截式方程； （3）已知直线，直线经过点，且，，三线共点，求的倾斜角. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查直线的平行、垂直关系以及直线倾斜角的计算，解题的关键在于掌握直线的斜率公式、平行和垂直直线斜率的关系以及倾斜角与斜率的关系. (1) 小问详解： 直线的斜率为； 因为所求直线与平行，所以所求直线的斜率为 因为所求直线过点，所以由点斜式方程得到 所求直线的一般式方程为. (2) 小问详解： 因为所求直线与垂直，所以所求直线的斜率为 因为所求直线过点，所以由点斜式方程得到 所求直线的斜截式方程为. (3) 小问详解： 联立直线方程得到 ，解得 ， 依题意，直线，，的公共交点为， 设的倾斜角为则 ， 因经过点，所以 ， 因为，所以. 17．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知直线经过、两点． （1）求直线的方程； （2）设直线，若，求实数的值． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. (1) 小问详解： 直线经过、两点， ， 直线，即：． (2) 小问详解： 由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 18．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是　　　　　　. 【答案】 【分析】 将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点. 【详解】 将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为： 19．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）过点且截距互为相反数的直线方程为　　　　　　　　　　　. 【答案】或. 【分析】 利用分截距为0和截距不为0，结合待定系数法来求直线方程. 【详解】 当直线过原点时满足题意，此时直线方程为，即， 当直线不过原点时，可设截距式方程为：， 由经过点可得：， 由截距互为相反数可得， 所以，直线方程为：， 故答案为：或. 20．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. （3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. (1) 小问详解： 直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. (2) 小问详解： 依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. (3) 小问详解： 依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 21．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）设直线与交于点P，已知直线l过点P. （1）若l与直线平行，求l的方程； （2）若l在x轴和y轴上的截距互为相反数，求l的方程. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）联立直线方程，求得交点，根据直线平行，建立方程，可得答案； （2）利用截距的定义，分类讨论，建立方程，可得答案. (1) 小问详解： 联立得 ，解得 ，即. 若l与直线平行，则l的斜率， 所以l的方程为，即. (2) 小问详解： 若l经过坐标原点，设l：，代入P点坐标，解得， 所以l的方程为. 若l不经过坐标原点，设l：， 代入P点坐标，得，解得， 所以l的方程为，即. 所以l的方程为或. 22．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，倾斜角为； （2）经过点和； （3）经过点，且与直线平行. （注意：直线方程化成一般式） 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）借助斜率与倾斜角的关系求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （2）借助斜率公式求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （3）借助直线平行性质，设出直线后代入点计算即可得. (1) 小问详解： 因为直线过点，斜率， 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； (2) 小问详解： 因为直线经过点和， 所以直线的斜率. 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； (3) 小问详解： 因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线的方程为. 因为直线经过点， 所以，即. 所以直线的方程为. 23．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求的平分线所在直线的斜截式方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，可得出边上的高所在直线的点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）由图可知，所以的平分线所在直线的斜率为，可得到的平分线所在直线的点斜式方程，化为斜截式方程即可. (1) 小问详解： 因为点、，则， 所以，边上的高所在直线的斜率为， 又，所以边上的高所在直线的方程为，即， 即边上的高所在直线的一般式方程为. (2) 小问详解：    如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为， 又，所以的平分线所在直线的方程为，即， 即的平分线所在直线的斜截式方程为. 24．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出，从而求出边上的高所在直线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程即可； （2）先求出的中点坐标，然后求出边上的中线所在直线的斜率，利用点斜式先表示出直线方程，然后化为一般方程即可. (1) 小问详解： 因为， 所以， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的点斜式方程为， 则其斜截式方程为． (2) 小问详解： 设是边的中点， 则 ，即， 则， 所以边上的中线的方程为，即：， 所以边上的中线的一般式方程为：． 25．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）已知，，. （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程，并求出与直线之间的距离. 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）先求直线的斜率，由求出直线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）由求出的斜率，利用点斜式即可求的方程，利用两平行直线的距离公式即可求解. (1) 小问详解： 由题意有：，∵，∴， 所以直线的方程为，即， (2) 小问详解： 由（1）知，，∴， 所以直线的方程为即， 的方程为，即， 所以与直线之间的距离. 26．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知直线经过直线与的交点． （1）若直线平行于直线，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）联立方程组求得交点坐标，再根据直线平行求得直线斜率，进而由点斜式得直线方程； （2）根据截距是否为0分类讨论，再把点的坐标代入求解即可. (1) 小问详解： 联立 ，得， 因为直线平行于直线，所以直线的斜率为2， 又直线经过交点，所以直线的方程为，即． (2) 小问详解： 由题意，直线经过点且在轴和轴上截距相等， 可分两种情况讨论： ① 截距都为0时，则直线过原点，且过点， 故直线的方程为，即． ② 截距都不为0时，则可设直线的方程为， 由直线过点，得，解得， 故直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或． 27．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程； （2）由直线在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程. (1) 小问详解： 因为，所以可设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，解得． 所以直线的方程为． (2) 小问详解： 已知直线在两坐标轴上的截距相等， 若直线过原点，设直线的方程为， 因为直线经过点，所以， 此时直线的方程为，即． 若直线不过原点，设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，所以． 此时直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）直线与直线之间的距离是（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】C 【分析】 利用平行线间距离公式即可求解. 【详解】 由平行线间的距离公式可得：， 故选：C 2．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知直线与，则与之间的距离为（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 先通过计算得出两直线的平行关系，再利用两平行直线间的距离公式计算求解． 【详解】 ， 直线， 直线的方程即为，直线的方程为，，设两条平行线间的距离为， ． 故选：D． 3．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）无论为何值，直线过定点（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点. 【详解】 由得：， 由 得 ∴直线恒过定点. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（       ） A.  B.  C.  D. 6 【答案】D 【分析】 根据平行线间距离求值. 【详解】 与间距离， 与间距离， 又由正方形可知， 即， 解得， 故选：D. 5．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）若直线与直线之间的距离为，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 利用平行线间的距离公式求解. 【详解】 由题意知， 又， 解得， 故选：B. 6．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）若直线与直线平行，则与之间的距离是（       ） A. 3 B. 1 C.  D. 4 【答案】A 【分析】 先利用平行直线的判定可求出，再利用平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】 对于 ：斜率 ， 对于 ：，斜率 ， 因为，所以， 即：， 因此， 的方程为：，即， 两条平行直线之间的距离为： . 故选：A 7．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）设直线，为直线上动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用的几何意义，通过数形结合即可得解. 【详解】 表示点到点距离的平方， 该距离的最小值为点到直线的距离，即， 则的最小值为. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题考查点到线的距离公式，利用两点之间距离的几何意义，通过数形结合是解题的关键，属于基础题. 8．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）平行直线与的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先将直线化为，再利用两条平行直线的距离公式即可． 【详解】 直线可化为， 平行直线与间的距离为． 故选：A． 9．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）已知平行直线与之间的距离为，则实数（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【分析】 先根据两直线平行求出参数，然后由平行线之间的距离公式求出参数，最后求出即可. 【详解】 因为与平行，所以，得， 则， 所以，计算得或， 所以或. 故选：A 10．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知实数满足，那么的最小值为 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】 由题意知，表示点到坐标原点的距离， 又原点到直线的距离为， 所以的距离的最小值为，故选A. 11．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）点关于直线的对称点为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设对称点为，由 ，即可求解. 【详解】 设点关于直线的对称点为， 则 ， 解得 ，即. 故选：A 12．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（     ） A. 有最小值 B. 有最大值5 C. 有最小值5 D. 有最大值 【答案】D 【分析】 根据两函数式结构构造动点到定点的距离形式，结合三角形三边关系一一分析选项即可. 【详解】 易知，， 不妨设, 可将看作是，则， 当且仅当三点共线，且在线段上时取得等号，所以A，B错误； 可将看作是，则， 且存在点A使得，即C错误，D正确. 故选：D 13．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 如果，，则直线不通过第二象限 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线关于直线对称 D. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 【答案】AC 【分析】 选项A，通过将直线的一般式转换成斜截式，从斜率和截距考虑直线走向；选项B，通过选取直线上任意两点求出该直线的一个方向向量，再判断题中向量与该方向向量是否共线；选项C，通过考虑两直线与第三直线的垂线的交点，距离第三条直线是否相等来判断第三条直线是否对称轴；选项D，根据判断两直线平行的充要条件进行判断. 【详解】 对于选项A.因为，，故，，均不为0. 直线方程变形得，. 因，所以，又因，所以，即，所以. 因此该直线轴截距小于0，斜率大于0，故不经过第二象限，故选项A正确. 对于选项B.直线，当时，；当时，. 故该直线经过和.因此向量是该直线的一个方向向量. 而向量与向量并不共线，故向量不是该直线的方向向量，故选项B错误. 对于选项C.对于直线，变形得，，与该直线垂直的直线都可以表示为，. 该垂线与直线和直线分别交于和. 而此两交点距离直线的距离均为. 故两直线关于直线对称，选项C正确. 对于选项D.当时，直线与直线平行.因此前者是后者的充分条件. 当直线与直线平行时， ，解得. 因此前者是后者的必要条件. 故“”是“直线与直线平行”的充分必要条件.选项D错误. 故选：AC 14．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）直线与直线相交于点，且对任意实数两条直线分别过定点，，则的最大值为（     ） A. 4 B. 8 C.  D.  【答案】A 【分析】 根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案. 【详解】 直线化为， 当 ，得 ，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当 ，得 ，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足 ,即， , 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，则的最大值为4. 故选：A. 15．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）已知点为直线上一点，则的最小值是（       ） A.  B. 7 C.  D. 5 【答案】D 【分析】 先求出点关于直线的对称点的坐标，然后转化成求两点间的距离求解即可. 【详解】 因为在直线上，设点关于直线的对称点为， 则 解得 故，连接交直线于点， 当在点时，取得最小值，其最小值为. 故选：D. 16．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 化简直线为，求得直线过定点，结合直线与垂直时，点到的距离最大，即可求解． 【详解】 由直线， 化为：， 联立方程组 ， 解得，，即直线过定点， 当直线与垂直时，此时点到的距离最大， 又由，所以点到的距离最大值为． 故选：D． 17．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 直线：在两坐标轴上的截距之和等于 B. 若直线与直线平行，则平行线间的距离是1 C. 当点到直线的距离最大时，的值为1 D. 若直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ABD 【分析】 根据截距的定义即可求解A，根据两直线平行求解的值，进而根据两平行线的距离公式求解B，应用直线的定点结合垂直计算求参判断C，数形结合得出直线与以，为端点的线段有交点时的斜率范围判断D. 【详解】 对于A, 在直线中，令，得，令，得， 故在两坐标轴上的截距之和等于，故A正确， 对于B, 由于直线与直线平行，故， 故，所以两平行线间的距离为，故B正确， 对于C，将直线方程变形为，由 得 ， 则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大， 因为，所以，选项C错误； 对于D，如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点，故选项D正确. 故选：ABD． 18．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（       ） A.  B. 6 C.  D.  【答案】A 【详解】 由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则 ，解得 ，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. 19．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. (1) 小问详解： 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； (2) 小问详解： 当时，：， 联立 ，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 20．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）直线与的交点坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 解方程组可得答案. 【详解】 由 得 ， 所以两直线的交点坐标是. 故答案为：. 21．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）已知中，顶点，，的平分线所在直线的方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2） . 【分析】 （1）根据关于直线的对称点一定在直线上，即可求得直线的斜率以及方程，与联立即可求得点的坐标； （2）求出点到直线：的距离为三角形的高，利用两点间距离公式计算，再由三角形的面积公式即可求解. 【详解】 （1）因为是的平分线， 所以关于直线的对称点一定在直线上， ，所以直线的方程为：，即， 由 解得： ， 所以； （2）点到直线：的距离为：， ， 所以. 22．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知，点在直线上运动，，则点的轨迹方程是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设，，根据向量运算得到 ，代入直线方程化简得到答案. 【详解】 设，，，则， 故 ，点在直线，故， 整理得到. 故答案为：. 【点睛】 本题考查了轨迹方程，意在学生的计算能力和转化能力. 23．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）已知平面直角坐标系中，点. （1）若M为的中点，求直线的斜率； （2）求点C到直线的距离. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由中点坐标公式得，再由斜率公式即可求解； （2）由点斜式求出直线的方程，再由点到直线的距离公式求解即可 (1) 小问详解： 因为M为的中点，且， 所以由中点坐标公式得， 又， 所以直线的斜率为； (2) 小问详解： 因为直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以点C到直线的距离为 24．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知实数，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围. 【详解】 根据题意，设直线：，设点 那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，，所以， 当时， ， 所以，即， 因为，所以， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线的方程 3大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知直线斜率为，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）直线yx的倾斜角为（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）过点和点的直线倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（     ） A. 0 B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C. 0 D. 不存在 6．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（       ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 8．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）（多选）记，直线，，则（     ） A. 当时，点到的距离为 B. 当在上时， C. 当时， D. 当时， 10．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）经过两点的直线的倾斜角是（       ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 12．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）已知两点，则线段AB的垂直平分线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知直线，，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）设，则“直线与直线平行”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 17．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 19．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知直线与互相垂直，则实数的值为　　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知直线，与直线． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 22．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为　　　　　　． 23．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）已知直线和互相垂直，则实数　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 25．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）若直线与直线平行，则实数　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）已知，求： （1）过点且与垂直的直线方程； （2）过点B且倾斜角为直线倾斜角的的直线方程． 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）如果，，那么直线不通过（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）（多选）下列说法错误的是（       ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 4．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）（多选）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（       ）. A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知直线与垂直，则（       ） A. 或2 B.  C.  D. 0 7．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）（多选）已知直线的方程为，则下列选项正确的有（     ） A. 直线不经过第二象限 B. 直线的一个方向向量为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线在轴上的截距为3 8．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）过点且直线的方向向量为的直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）已知直线的倾斜角为，则实数（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）（多选）下列说法中正确的是（     ） A. 若直线的斜率，则倾斜角 B. 过点且与直线垂直的直线方程为 C. 过任意两点，的直线都可以用方程表示 D. 直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示 11．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）（多选）已知直线，则下列结论正确的是（     ） A. 直线在轴和轴上的截距相等 B. 直线的截距式方程为 C. 直线的斜率为1 D. 是直线的一个方向向量 12．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 经过点，倾斜角为的直线方程为 B. “”是“直线与直线平行”的充要条件 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 以，为直径端点的圆的方程为 13．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）（多选）下列说法错误的是（　　） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 14．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 15．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）（多选）已知，，则直线通过（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 16．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知点，直线. （1）求过，且与平行的直线的一般式方程； （2）求过，且与垂直的直线的斜截式方程； （3）已知直线，直线经过点，且，，三线共点，求的倾斜角. 17．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知直线经过、两点． （1）求直线的方程； （2）设直线，若，求实数的值． 18．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）过点且截距互为相反数的直线方程为　　　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 21．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）设直线与交于点P，已知直线l过点P. （1）若l与直线平行，求l的方程； （2）若l在x轴和y轴上的截距互为相反数，求l的方程. 22．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，倾斜角为； （2）经过点和； （3）经过点，且与直线平行. （注意：直线方程化成一般式） 23．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求的平分线所在直线的斜截式方程. 24．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程． 25．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）已知，，. （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程，并求出与直线之间的距离. 26．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知直线经过直线与的交点． （1）若直线平行于直线，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 27．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）直线与直线之间的距离是（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 2．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知直线与，则与之间的距离为（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  3．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）无论为何值，直线过定点（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（       ） A.  B.  C.  D. 6 5．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）若直线与直线之间的距离为，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）若直线与直线平行，则与之间的距离是（       ） A. 3 B. 1 C.  D. 4 7．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）设直线，为直线上动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）平行直线与的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）已知平行直线与之间的距离为，则实数（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知实数满足，那么的最小值为 A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）点关于直线的对称点为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（     ） A. 有最小值 B. 有最大值5 C. 有最小值5 D. 有最大值 13．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 如果，，则直线不通过第二象限 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线关于直线对称 D. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 14．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）直线与直线相交于点，且对任意实数两条直线分别过定点，，则的最大值为（     ） A. 4 B. 8 C.  D.  15．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）已知点为直线上一点，则的最小值是（       ） A.  B. 7 C.  D. 5 16．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 直线：在两坐标轴上的截距之和等于 B. 若直线与直线平行，则平行线间的距离是1 C. 当点到直线的距离最大时，的值为1 D. 若直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 18．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（       ） A.  B. 6 C.  D.  19．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 20．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）直线与的交点坐标是　　　　　　　　． 21．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）已知中，顶点，，的平分线所在直线的方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求的面积. 22．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知，点在直线上运动，，则点的轨迹方程是　　　　　　　． 23．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）已知平面直角坐标系中，点. （1）若M为的中点，求直线的斜率； （2）求点C到直线的距离. 24．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知实数，则的取值范围是　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $