专题02 空间向量的应用（期中真题汇编，陕晋青宁专用）高二数学上学期

专题02 空间向量的应用 1大高频考点概览 考点01 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（     ） A.  B.  C. 3 D.  3．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）（多选）如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 平面 C. 直线与平面所成的角为45° D. 点与平面的距离为 6．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（     ） A.  B. 4 C.  D. 10 7．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（       ） A. 1 B.  C.  D. 2 9．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（       ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 已知，，为空间的一个基底，若，则也是空间的基底 C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D. 平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为2 10．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）（多选）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（       ） A.  B. 平面 C. 向量与的夹角是60° D. 直线与AC所成角的余弦值为 12．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）（多选）已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（        ） A. 该四面体相对的棱两两垂直 B. 该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心 C. 该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线） D. 该四面体三组对棱平方和相等 13．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）（多选）下列命题为真命题的是（       ） A. 已知向量，则任意向量都不能与构成空间的一个基底 B. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. “存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D. 已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 14．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线的方程为，经过点且一个法向量为的平面的方程为.现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）已知点，，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（     ） A. 1 B.  C.  D. 2 16．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上的一点，为平面外一点，且，则 C. 若平面的法向量为，直线的方向向量为，则 D. 若两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 18．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）（多选）如图，在正方体中，记平面与平面的交线为，则下列结论正确的是（     ） A. 平面 B.  C. 与所成角大小为 D.  20．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）（多选）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是的中点，是上异于的点，.则（     ） A. 平面 B. 平面平面 C. 当是的中点时，与所成的角为 D. 与平面所成的角为定值 21．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）在三棱锥中，，若A，B，C，P都在球的球面上，则球的表面积为（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）（多选）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（       ） A. 若G为线段AE的中点，则平面 B. 多面体的体积为 C.  D. 的最小值为44 23．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）（多选）如图，棱长为2的正方体中，P是线段上的动点包含端点，给出下列四个结论，其中正确的是（       ） A. 三棱锥中，点P到平面的距离为定值 B. 过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C. 直线与平面所成角的正弦值的范围为 D. 当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为 25．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）（多选）已知正方体的棱长为2，E是的中点，点F是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（     ） A. 动点F的轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的取值范围为 C. 当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为 D. 当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 26．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，过作平面，使得，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，.    （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 28．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得到如图（2）所示的四棱锥，点为的中点．    （1）证明：平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 29．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点． （1）求证：平面PBF； （2）若，求直线PC与平面PBF所成角的正弦值． 30．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）如图，在四棱锥中，平面为中点且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 31．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为　　　　　　　． 32．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由． 33．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点E为BC的中点，点P在线段上，则面积的最小值为　　　　　　　　. 34．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）如图，在五面体中，平面平面，，，，F为上一点，且平面 （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 35．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 36．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．    （1）求证：； （2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 37．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 38．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点.    （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 39．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）如图所示，在四面体，平面，D是的中点，是的中点，点在线段上，且.    （1）求证：平面； （2）若，且，求锐二面角的余弦值. 40．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记． （1）用向量表示向量，并求的模长； （2）用向量方法证明：． 41．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）在中，，，，分别是AC，AB上的点，满足，且.将沿DE折起到的位置，使，存在动点使如图所示.    （1）求证：平面BCDE； （2）当时，求二面角的余弦值； （3）设直线BM与平面所成线面角为，求的最大值. 42．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点．    （1）证明：平面； （2）已知异面直线与所成角的余弦值为，（i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 43．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 44．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）如图，已知直三棱柱，，，为的中点.    （1）求点到平面的距离. （2）求二面角的余弦值. 45．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）如图①，在中，，分别为，上的点，，，，．如图②，将沿折起，当平面平面时，点到平面的距离为　　　　　　　　． 46．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）如图，四棱锥中，底面，平行于，，为线段上一点，，为的中点. （1）证明：平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值. 47．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 48．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）如图，在四棱柱中，侧棱底面，.    （1）证明：平面； （2）设点为的中点，点在CE上. （i）判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出此定值：若否，说明理由； （ii）当的面积最小时，求平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值. 49．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）如图，在三棱锥中，，且.    （1）若，证明：平面平面； （2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值. 50．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.    （1）求的长； （2）证明：. 51．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）已知矩形将沿折起到的位置，使得，则平面与平面的夹角的余弦值为　　　　　　　　　　. 52．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，平面与平面的夹角的余弦值为，.    （1）证明：平面平面. （2）求三棱柱的体积. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 53．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 54．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）如图，在三棱台中，平面，.    （1）求的值； （2）若，二面角的大小为，求. 55．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）如图1，在等腰直角中，分别为的中点.将沿向平面上方翻折，得到如图2所示的四棱锥，且.记的中点为，动点在线段上运动.    （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求动点到直线的距离的取值范围. 56．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）如图，已知正方体的棱长为2，点，，，，分别为线段，，，，的中点，连接，，，，，，，则下列正确结论的序号是　　　　　． ①点，，，不在同一个平面内； ②直线，，交于同一点； ③直线与直线所成角的余弦值为． 57．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）在三棱锥中，，平面，点在线段上，且，点在平面内，且满足平面平面，. （1）求证：； （2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积. 58．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）如图，三棱锥的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，两两垂直，，若顶点到平面的距离都为，则顶点到平面的距离为　　　　　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的应用 1大高频考点概览 考点01 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 易知平面的法向量，结合线面夹角可得射影的模长. 【详解】 易知平面的法向量为， 且，， 则， 即直线与平面的夹角的正弦值为，余弦值为， 则， 故选：A. 2．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（     ） A.  B.  C. 3 D.  【答案】D 【分析】 由点到直线的距离的向量公式即可求解． 【详解】 由题意可得与同向的单位向量 点到直线的距离． 故选：D 3．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】 因，，， 设平面的法向量为， 则 ，故可取， 所以点P到平面的距离为； 故选：C 4．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据平面的位置关系可得法向量关系，根据坐标运算可求结果. 【详解】 因为，所以， 所以，所以， 故选：D. 5．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）（多选）如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 平面 C. 直线与平面所成的角为45° D. 点与平面的距离为 【答案】ABD 【分析】 A选项，建立空间直角坐标系，计算出，得到；B选项，证明出四边形为平行四边形，故，从而得到线面平行；C选项，求出平面的法向量，由线面角的求解公式进行求解；D选项，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求出答案. 【详解】 A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故， 故，所以， 故，A正确； B选项，因为，，所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面，故平面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 又，故 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角不为，C错误； D选项，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则 ， 令，则，故， 故点与平面的距离为，D正确. 故选：ABD 6．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（     ） A.  B. 4 C.  D. 10 【答案】B 【分析】 由空间向量平行的坐标表示得结论． 【详解】 因为，所以，所以，解得， 故选：B． 7．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】 设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点， 所以， 因为M为BC中点，N为AD中点， 所以有， ， 根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为， 故选：B 8．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（       ） A. 1 B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 由题设，应用向量法求点到平面的距离即可. 【详解】 由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B 9．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（       ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 已知，，为空间的一个基底，若，则也是空间的基底 C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D. 平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为2 【答案】BCD 【分析】 根据线面垂直、基底、共面、点面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 A选项，虽然，但是无法判断是否在平面外，所以A选项错误. B选项，由于，所以共面， 由于，，为空间的一个基底，即与不共面，也即与不共面， 所以也是空间的基底，所以B选项正确. C选项，由， 得， 所以，所以共面，所以四点共面，所以C选项正确. D选项，，所以到平面的距离是，D选项正确. 故选：BCD 10．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 取中点O，中点，连接，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法求解即可． 【详解】 取中点O，中点，连接， 因为三棱柱为正三棱柱， 所以由正三棱柱性质可得两两相互垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为 则，故A正确. 故选：A 11．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）（多选）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（       ） A.  B. 平面 C. 向量与的夹角是60° D. 直线与AC所成角的余弦值为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可． 【详解】解：对于， ， 所以，选项错误； 对于 ，所以，即， ，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确； 对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误； 对于， 所以， ， 同理，可得 ， 所以，所以选项正确． 故选：AC． 12．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）（多选）已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（        ） A. 该四面体相对的棱两两垂直 B. 该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心 C. 该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线） D. 该四面体三组对棱平方和相等 【答案】ACD 【分析】 设，利用向量法AD选项，用几何法判断BC选项． 【详解】 选项A，如图，四面体中，是所在棱中点，， 设，则 ， ， ，即，所以， 所以 ，即，所以，即，所以，同理，A正确； 选项B，设平面，是垂足，平面，所以， 又，平面，所以平面，而平面，所以，同理，所以是平面垂心，同理可得其它顶点在对面的射影是对面三角形的垂心，B错； 选项C，如上图，平面， 平面，平面，是垂足，先证明相交， 平面，平面，所以，又，平面，所以平面，同理平面， 所以平面和平面重合，即共面，它们必相交，设，下面证明平面， 与证明平面同理可证得平面，又平面，所以，同理由平面可证得，而是平面内两相交直线，所以平面，因此与重合，同理可证平面，C正确； 选项D，由选项A的讨论同理可得， ， ， 所以，同理，D正确． 故选：ACD． 13．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）（多选）下列命题为真命题的是（       ） A. 已知向量，则任意向量都不能与构成空间的一个基底 B. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. “存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D. 已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】ACD 【分析】 A：根据空间的基底的概念作出判断；B：根据直线在平面内和不在平面内讨论；C：根据互相推出关系作出判断；D：先化简得到证明点在面内，再根据重心是中线的交点作出判断. 【详解】 对于A：因为，所以共线，所以任意向量与都共面， 所以任意向量都不能与构成空间的一个基底，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 此时或，所以不一定成立，故B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， 但“与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 例如：当共线但与不共线时，与共面，但不存在实数，使， 所以“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以，所以， 所以共面且有公共点，所以点在平面内； 取中点，则有， 同理取中点，则有， 所以为的重心，故D正确；    故选：ACD. 14．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线的方程为，经过点且一个法向量为的平面的方程为.现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出直线的一个方向向量和平面的一个法向量，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】 直线的方程可化为，所以直线的一个方向向量为， 易知平面的一个法向量为， 所以. 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 15．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）已知点，，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（     ） A. 1 B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 计算，利用空间向量法求距离即可求解. 【详解】 由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B. 16．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】 由题意可知，，两两垂直， 故分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A. 17．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上的一点，为平面外一点，且，则 C. 若平面的法向量为，直线的方向向量为，则 D. 若两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 【答案】BD 【分析】 利用空间基底的含义可判断A的正误，利用四点共面的向量性质可判断B的正误，利用方向向量和法向量的数量积为0判断C的正误，利用两个平面的法向量垂直可判断D的正误. 【详解】 解：对于A，，即共面，故不是空间的一组基底，故错误； 对于B，由点为平面上的一点，为平面外一点知四点共面，故，即，故正确； 对于C，由于，故或，故错误； 对于D，由于， 即，所以，故正确； 故选：BD 18．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题意当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置.此时建立适当的空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，由法向量夹角余弦的坐标公式即可求解. 【详解】 三棱锥的体积与到平面的距离成正比， 故当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置. 点处于半圆弧的正中间位置时，记的中点为，以其为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系. 平面显然有法向量， ， 设为平面的法向量， 则该向量与和均垂直， 所以，从而. 令，解得， 故符合条件， 显然二面角为锐角， 因此所求余弦值为. 故选：D. 19．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）（多选）如图，在正方体中，记平面与平面的交线为，则下列结论正确的是（     ） A. 平面 B.  C. 与所成角大小为 D.  【答案】ACD 【分析】 建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再求出交线的方向向量，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，D，利用线线角的向量求法判断C即可. 【详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系，且设边长为2，        则，，，，，，, 可得，， 设平面的法向量为，得到 ， 令，解得，则， 易得平面的法向量为， 而平面与平面的交线为，可得 ， 设的方向向量为，则 ， 令，解得，，可得， 而，， 设平面的法向量为，则 ， 令，解得，，可得， 对于A，由已知得，且由题意得， 显然不在面内，则平面，故A正确， 对于BD，由,则，,则不成立，成立，故B错误，D正确， 对于C，由题意得，设与所成角为， 则，而，可得，故C正确. 故选：ACD 20．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）（多选）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是的中点，是上异于的点，.则（     ） A. 平面 B. 平面平面 C. 当是的中点时，与所成的角为 D. 与平面所成的角为定值 【答案】AD 【分析】 根据线面平行的判定、面面垂直的判定和性质、异面直线的夹角以及线面夹角的知识逐项计算即可. 【详解】 对于A： 因为矩形，所以， 因为平面，而不在平面内， 所以平面，所以A正确； 对于B： 因为矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，两平面交线为，， 所以与半圆弧所在平面垂直，因为在半圆弧所在平面内， 所以，所以，所以， 假设平面平面，因为平面平面， 设过点作的垂线，记为，则平面， 因为平面，所以，又，所以点与重合， 即，所以. 由前面可知，所以假设不成立， 所以平面不垂直，所以B错误； 对于C： 取的中点为，连接，因为是的中点， 所以， 因为矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，两平面交线为，， 所以平面，又平面， ，所以为等腰直角三角形， 所以. 因为，所以所成的角为所成的角，即，所以C错误； 对于D： 因为矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，两平面交线为，， 所以与半圆弧所在平面垂直，所以与平面所成的角为. 因为在半圆弧所在平面内，所以， 所以在直角中，，所以为定值，所以D正确； 故选：AD. 21．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）在三棱锥中，，若A，B，C，P都在球的球面上，则球的表面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将三棱锥补形成长方体并求出其外接球半径，进而求出球的表面积. 【详解】 在三棱锥中，，则两两垂直， 三棱锥与以为棱的长方体有相同的外接球， 因此球的半径， 所以球的表面积为. 故选：B 22．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）（多选）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（       ） A. 若G为线段AE的中点，则平面 B. 多面体的体积为 C.  D. 的最小值为44 【答案】ACD 【分析】 利用空间向量可判断A,C,D，把多面体分割成两个四棱锥，求出体积可判定B. 【详解】 因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，且两个平面的交线为，， 所以平面；以为原点，分别为轴的正方向，建系如图，     . 对于A，G为线段AE的中点，，; ，设是平面的一个法向量， 则 ， ，令，则，即. 因为，所以，又平面，所以平面，A正确. 对于C，，因为，所以，C正确. 对于D，设，， ， ， 所以当时，取到最小值44，D正确. 对于B，由正方形的性质可得，由题设条件可知平面， 由可得， 所以四棱锥和四棱锥的高均为. 其体积， 所以多面体的体积为，B不正确. 故选：ACD 23．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意画出图像，建立空间直角坐标系，利用向量坐标计算直线与直线所成角的余弦值即可. 【详解】 因为由题意知两两垂直， 故分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， 所以， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A. 24．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）（多选）如图，棱长为2的正方体中，P是线段上的动点包含端点，给出下列四个结论，其中正确的是（       ） A. 三棱锥中，点P到平面的距离为定值 B. 过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C. 直线与平面所成角的正弦值的范围为 D. 当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】AC 【分析】 建立空间直角坐标系，对于A，C，用空间向量求解；对于B，可证明三角形为截面多边形，求其面积即可；对于D，设球心，由求解球心坐标即可． 【详解】 以A为坐标原点，分别以直线AB，AD，为x，y，z轴建系如图： 可得，，，，，， 得到，， 设， 则， ，则， 设面的一个法向量为， 则 ， ， 令，得，，， 对于A：P到平面的距离为，故A正确； 对于B：连接，，四边形为平行四边形， ，又面，面， 面，同理可证面， 又，面面， 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为， 它是边长为的等边三角形，故面积为，故B错误； 对于C：设直线与面所成角为， 则， ，，， 直线与面所成角的正弦值的范围为，故C正确； 对于D：当点P为中点时， 设三棱锥的外接球球心， ， ，解得， 外接球半径R满足：， 三棱锥的外接球表面积为，故D错误． 故选：AC. 25．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）（多选）已知正方体的棱长为2，E是的中点，点F是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（     ） A. 动点F的轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的取值范围为 C. 当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为 D. 当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】 取的中点，连接，可得为的轨迹，求解可判断A；，可得在点M、处，体积最大或最小，求解可判断B；建立空间直角坐标系，直接求出外接球径，即可求出外接球球心，可判断C；外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，求得外接球的表面积可判断D. 【详解】 对于A，取的中点，连接， 所以，又易证，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为棱的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），且平面， 所以为的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A错误； 对于B，，其中为到的距离， 所以最小时，最小，显然在点处时，最小， 此时， 最大时，最大，显然在点处时，最大， 此时，故B正确； 对于C，如图，当三棱锥体积最大时，在处， 如图建立空间直角坐标系，设球心为，外接球的半径为， 易知， 所以①，②， ③，④， 联立① ② ③ ④解得，，所以， 故外接球的表面积为，所以选项C正确；    对于D，因为是直角三角形， 所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上， 设外接球的球心为，由，可得， 所以，解得， 解得，所以外接球的表面积为，故D正确.    故选：BCD 26．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，过作平面，使得，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出相关点的坐标和相关平面的法向量，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 因正方体的棱长为2，由图易得： ，，，，， 而，分别是棱，的中点，可得，， 则，，设平面的法向量为， 依题意在平面上，所以，则， 因为，所以，则， 令，，，故， 而，设直线与平面所成角为， 可得，故C正确. 故选：C 27．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，.    （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 (1)利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值即可； (2)利用空间向量法求点到面的距离即可. (1) 小问详解：    由直三棱柱中，，可如图建立空间直角坐标系， 因为分别是，的中点，， 所以， 即， 所以有， 即异面直线与所成角的余弦值； (2) 小问详解：     设平面的法向量为， 则 令可得：， 所以， 即点到平面的距离为. 28．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得到如图（2）所示的四棱锥，点为的中点．    （1）证明：平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：取中点，连接，如下图所示：    为的中点，， 又四边形为平行四边形， 又平面，平面， 平面．     （2）      【分析】 （1）利用中位线平行和平行四边形对边平行来证明线面平行； （2）利用空间向量法来求两平面夹角余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 以为原点，所在直线分别为轴、轴，过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，    ， 设是平面的一个法向量， 则 令，则， 设是平面的一个法向量， 则 令，则， ， 因此平面与平面夹角的余弦值为． 29．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点． （1）求证：平面PBF； （2）若，求直线PC与平面PBF所成角的正弦值． 【答案】（1） 取PB的中点G，连接EG，GF，如图． 因为E，G是PA，PB的中点，所以，且. 因为，且， 所以，所以四边形EGFD为平行四边形， 所以， 又平面PBF，平面PBF， 所以平面PBF.     （2）      【分析】 （1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则． 所以，，． 设平面PBF的法向量为， 则 ， 则| ， 所以直线PC与平面PBF所成角的正弦值为. 30．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）如图，在四棱锥中，平面为中点且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明： 取中点，连接. 因为中，为中点， 所以且. 又因为且， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）. 【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2） 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系. 设， 所以平面的法向量为设. 又， ，设面的一个法向量为， 则有：， 可求得平面的一个法向量为. 设二面角大小为，则， 所以， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的余弦值问题，考查了数学运算能力和推理论证能力. 31．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值. 【详解】 以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，    则， 所以， 则, 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 32．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为四边形为矩形，平面平面， 平面平面， 所以，则平面， 根据题意可以以为原点，所在直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，易知，， 设平面的法向量 ， 不妨令，则， 又，， 又平面平面．      （2）     （3）存在；2      【分析】 （1）根据条件先判定垂直关系再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可； （2）利用空间向量结合（1）的结论计算面面夹角即可； （3）利用空间向量研究线面夹角计算即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由上可知，设平面的法向量， ，令，则， ， 平面与平面夹角的余弦值为． (3) 小问详解： 设， ， 又平面的法向量， 由直线与平面所成角的余弦值为， ， ，或． 当时，； 当时，． 综上，． 33．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点E为BC的中点，点P在线段上，则面积的最小值为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 建立标点，利用空间向量求点到直线的距离，进而求面积的最小值. 【详解】 如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 可得， 则，， 可得点到直线的距离， 则面积， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为. 故答案为：. 34．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）如图，在五面体中，平面平面，，，，F为上一点，且平面 （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明：平面，平面，， 又平面平面，且平面平面， 平面，，平面， 又平面， ，又，平面， 平面．     （2）      【分析】 （1）利用面面垂直的性质定理证出平面，从而证出，再由线面垂直的性质定理证出，由线面垂直的判定定理可证明； （2）根据五面体的性质结合已知条件，建立空间直角坐标系，得出相关点坐标，设点坐标，得出相关向量坐标，利用已知二面角余弦值，构造方程求出点坐标，进而求出． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 平面，平面，， 又，，，故， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，设点， ， 设为平面的一个法向量， 则 ，令，则，， ， 由（1）知，平面，则是平面的一个法向量， 平面与平面的夹角的余弦值为， ， 化简得，，， 的长为． 35．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析     （2）     （3）      【分析】 （1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. (1) 小问详解： 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； (2) 小问详解： 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有 ， ， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； (3) 小问详解： 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 36．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．    （1）求证：； （2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为，且， 可得，， 又因为，可得， 所以，则， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以；     （2）存在点，此时，理由如下： 因为平面，且平面，所以， 如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系，    可得，，，， 所以，． 设平面的法向量为，则 ， 令，可得，所以， 假设存在点，使得与平面所成角为， 设，（其中），则，， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时．      【分析】 （1）利用余弦定理和勾股定理可证明平面，再由线面垂直的性质即可得； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 37．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为，为的中点， 所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）. 【分析】 （1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．方法二：通过作垂线构造二面角的平面角，再利用体积法求点到面的距离，最终转化为线面角的正弦值.方法三：构造线面角定义所需的垂线，直接求出线面角的正弦值.方法四：先找出点C到平面PAM的垂足T，再利用二面角的平面角关系直接求出垂线长度，最后在直角三角形中计算线面角正弦值. 【详解】 （1）略 （2）［方法一］： 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 ， 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取， 所以 ． 由已知得 ， 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图5，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结， 则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，． 在中，由，得，则． 设点C到平面的距离为h， 由，得，解得， 则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图6，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结，则， 故为二面角的平面角，即． 同方法二可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结． 在中，． 因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为． 在平面内，由，可得平面， 则为直线与平面所成的角． 设，则， 又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］： 如图7，取的中点H，联结，则． 过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）． 连结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角． 在中，，所以． 【详解】【整体点评】 （2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 38．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点.    （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）     （2）      【分析】 建立空间直角坐标系，利用计算距离的方式计算即可. (1) 小问详解： 建立如图所示空间直角坐标系    得,,,, 所以, 所以点到直线的距离为 (2) 小问详解： 设平面的一个法向量为 由（1）可知,, 易知 令，得 所以 所以点到平面的距离为 39．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）如图所示，在四面体，平面，D是的中点，是的中点，点在线段上，且.    （1）求证：平面； （2）若，且，求锐二面角的余弦值. 【答案】（1） 如图，取的中点M，连接.    因为是AD的中点，M是的中点，所以. 又D是SC的中点，所以，所以，由线段成比例的性质可得，. 因，平面，平面，所以平面. 同理，平面，平面，所以平面. 又因，平面，平面， 所以平面平面，而平面，所以平面.     （2）.      【分析】 （1）构造平面，再证明平面平面，进而可得平面； （2）根据题意可建立空间直角坐标系，再用向量计算锐二面角. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因平面，平面，所以，， 且，所以为坐标原点，分别以的方向为轴，建立空间直角坐标系.如图：    设，则，所以，， 因D是的中点，是的中点，所以，. 设平面的法向量为，. 所以 ，得 ，令，则，得. 因平面与坐标平面重合，所以取平面的一个法向量为. 所以锐二面角的余弦值为. 故答案为：. 40．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记． （1）用向量表示向量，并求的模长； （2）用向量方法证明：． 【答案】（1），     （2） 由（1）得， ， ，．      【分析】 （1）根据向量的线性运算表示，然后根据数量积的运算求出，可得； （2）用表示，然后根据数量积的运算证明即可. (1) 小问详解： 由题意得； ， . (2) 小问详解： 略 41．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）在中，，，，分别是AC，AB上的点，满足，且.将沿DE折起到的位置，使，存在动点使如图所示.    （1）求证：平面BCDE； （2）当时，求二面角的余弦值； （3）设直线BM与平面所成线面角为，求的最大值. 【答案】（1） 因为，则， 且，可得， 将沿折起到的位置，始终有，， 因为，平面，所以平面， 由平面，可得， 且，，平面， 所以平面.     （2）      （3）       【分析】 （1）先证平面，可得，进而可得平面； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角； （3）根据题意可得和平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知，，，两两垂直，翻折前，因为，且， 所以，，所以， 翻折后， 由勾股定理得， 所以以为原点，直线，，分别为，，轴建立如下空间直角坐标系，    则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则 ， 令，则，，可得， 设平面的法向量，则 ， 令，则，，可得， 可得， 所以二面角的余弦值为. (3) 小问详解： 由（2）可知，，， 设平面的法向量，则 ， 令，则，，可得， 且， 因为直线与平面线面角为， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 42．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点．    （1）证明：平面； （2）已知异面直线与所成角的余弦值为，（i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 连接，，连接，    因为是中点，点是棱的中点， 则， 因为平面，平面，所以平面．     （2）（i）； （ii）存在，，理由如下： 设线段上存在点，且， 因为， 设，， 因为 ， 又因为， 所以， 所以 所以 ， 当 时， 平面，所以平面， 所以当时，平面；      【分析】 （1）根据中位线得出，从而可得平面； （2）设，根据向量法结合异面直线与所成角的余弦值为得出，进而求所成角的余弦值，最后应用同角三角函数关系计算求解； （3）假设存在点F，设，使平面，计算得出. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）    因为平面，，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 所以，又异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得，故， 所以， 设平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则 ，得 ，取，得． 设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角， 所以，； （ii）略 43．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1） 在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以；      （2）.      【分析】 （1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有 ，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 44．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）如图，已知直三棱柱，，，为的中点.    （1）求点到平面的距离. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标，利用坐标法求点到面的距离即可； （2）利用向量的夹角公式即可求解. (1) 小问详解： 由题意有：， 以为坐标原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以 ，令，得， 所以点到平面的距离为：， 所以点到平面的距离为； (2) 小问详解： 由（1）有平面的一个法向量为， 显然平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的余弦值为. 45．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）如图①，在中，，分别为，上的点，，，，．如图②，将沿折起，当平面平面时，点到平面的距离为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求点面距． 【详解】 由得，所以， 因为平面平面，，平面，平面平面，所以平面， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量是， 则 ，取得， 所以点到平面的距离为， 故答案为： 46．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）如图，四棱锥中，底面，平行于，，为线段上一点，，为的中点. （1）证明：平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）由已知得. 如下图所示，取的中点，连接. 由为中点知，. 又，故，又因为， 所以四边形为平行四边形，于是. 因为平面，平面， 所以平面.     （2）.      【分析】 （1）作的中位线，构造平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理证明平面即可. （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，然后利用向量的夹角公式，求得直线与平面所成角的正弦值. (1) 小问详解： 略. (2) 小问详解： 取的中点E，连结. 由得，从而， 且. 以为坐标原点， 的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意，，，，， ， ，. 设为平面的一个法向量， 则 ，即 ， 可取. 设直线与平面所成角为. 于是. 【详解】【技巧点拨】 （1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证； （2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理． 47．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 【答案】（1）证明：连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面，于是，而，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以      （2）     （3）存在，此时      【分析】 （1）利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证. （2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点到平面的距离. （3）以为原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为，平面的法向量为，求出两个平面的法向量，由即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高， 由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为， 设点到平面的距离为d，由，得， 而，，则的面积， 由，，得，又，，则， 又，，由余弦定理得， 则，的面积， 则，即 ，所以点到平面的距离为. (3) 小问详解：    取的中点为，连接， 因为四边形是菱形，且， 所以，， 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， ，即， 如图，以为原点， 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设，， 所以，可得， ， 设平面的法向量为， 则 ， 可得， ， 设平面的法向量为， 则 ， 可得， 使得平面平面， 则，解得， 故上存在一点，当时，平面平面. 48．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）如图，在四棱柱中，侧棱底面，.    （1）证明：平面； （2）设点为的中点，点在CE上. （i）判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出此定值：若否，说明理由； （ii）当的面积最小时，求平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为底面四边形中，，， 所以四边形为直角梯形，且， 所以，即， 因为侧棱底面，底面，所以， 又，平面，平面.     （2）（i）是定值，定值为 （ii）.      【分析】 （1）利用勾股定理证明，再结合即可证明； （2）（i）连接，证明平面，进而转化为的体积即可判断并求解； （ii）取中点，连接，证明，得是平面与平面夹角所成的二面角的平面角，且，最后在中时最小，并结合对应距离求角度. (1) 小问详解： 略 所以平面. (2) 小问详解： （i）三棱锥的体积为定值，理由如下：    连接，因为侧棱底面， 所以， 又，平面，平面， 所以平面， 在四棱柱中，， 因为，，点为的中点， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为平面， 平面， 所以平面， 所以 所以，三棱锥的体积为定值. （ii）取中点，连接，    因为，为中点， 所以， 在四棱柱中，点为的中点， 所以四边形为平行四边形， 因为侧棱底面， 所以底面， 又底面，底面， 所以 ， ， 又，平面，平面， 所以底面，又底面， 所以 所以，是平面与平面夹角所成的二面角的平面角， 因为， 所以的面积最小时，最小， 在中，最小，则，如下图，    由于，故，， 所以，在中，， 所以，当的面积最小时，求平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值为. 49．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）如图，在三棱锥中，，且.    （1）若，证明：平面平面； （2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值. 【答案】（1） 证明：如图，取中点，连接. 因为， 所以，且， 又， 则, 所以， 所以，即， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面.         （2）      【分析】 （1）取中点，连接，可得，，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）可得平面，从而以为原点，为轴正方向，为轴正方向，在平面内，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知， 易得平面， 因为平面， 所以平面平面， 所以点平面内的投影在上， 所以， 所以为等边三角形， 故.    如图，以为原点，为轴正方向，为轴正方向， 在平面内，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以,, 设平面的一个法向量， 则 ，即 ， 取，解得，所以， 设平面的一个法向量， 则 ，即 ， 取，解得，，所以， 所以， 设二面角的大小为，则. 50．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.    （1）求的长； （2）证明：. 【答案】（1）；     （2） 由（1）知， 在菱形中，， 所以 ， 所以，即.      【分析】 （1）由，根据已知及向量数量积的运算律求向量的模长； （2）由（1）及，应用向量数量积的运算律求，即可证. (1) 小问详解： 以为一个基底， 由题意知， 又， 所以 ， 所以； (2) 小问详解： 略 51．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）已知矩形将沿折起到的位置，使得，则平面与平面的夹角的余弦值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 如图作，垂足为，作，垂足为，分别求出相关边长，由结合向量的数量积的运算律，计算得到，利用空间向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】 如图，作，垂足为，作，垂足为， 因，则， 在中，由三角形面积相等可得， ， 同理可得， ，则. 由图知，，则，因， 则有 解得，故， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 故答案为：. 52．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，平面与平面的夹角的余弦值为，.    （1）证明：平面平面. （2）求三棱柱的体积. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）在正方形中，. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.     （2）     （3）      【分析】 （1）由线面垂直的定理证明平面，由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立恰当的空间直角坐标系，三棱柱的体积转化为，可求结果； （3）根据两平面夹角的计算方法，可求得平面与平面夹角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，. 设，则. 因为，，且， 所以，即. 因为，所以. 设平面的法向量为. 因为，， 所以 ，令，则. 易得平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，， 所以. (3) 小问详解： 解：设平面的法向量为，因为，， 所以 ，令，得. 设平面与平面的夹角为. 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 53．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，连接、， 又是的中点，所以，且， 又，，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面；     （2）；     （3） 设且，则，由（2）可得，，，， 所以， 设平面的法向量为，则 ，即 ， 令，则，，所以平面的法向量为， 又，点到平面的距离为， 所以，即，解得， 所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且.      【分析】 （1）取中点，连接、，可得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面和平面的法向量，再结合面面角的向量求法，即可求解； （3）假设存在点，且，根据空间点到面的距离的向量求法，列出方程，求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面，平面，平面， 所以，， 又，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，，， 令平面的法向量为，则 ，即 ， 令，则，，所以平面的法向量为， 令平面的法向量为，则 ，即 ， 令，则，，所以平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； (3) 小问详解： 略 54．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）如图，在三棱台中，平面，.    （1）求的值； （2）若，二面角的大小为，求. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）取中点，连接，根据条件及面面垂直的性质，可得平面，进而可得，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，设，进而根据条件可设，分别求出平面和平面，根据条件可得，在中，过作于，设，从而可得，再利用平方关系，即可求解. (1) 小问详解： 取中点，连接，因为，则， 因为平面，又平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 则，又由棱台的性质知，所以四边形为平行四边形， 则，所以. (2) 小问详解： 如图，过作，且平面，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以， 过作于，同理可证得平面，所以， 又，所以四边形为平行四边形，则，， 由棱台的性质及（1）知，所以为中点，又，则， 又，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则由 ，取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 由 ，取，则，所以， 由题知，整理得到，得到 在中，过作于，设， 则，得到，又， 所以，整理得到， 解得或（舍），所以. 55．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）如图1，在等腰直角中，分别为的中点.将沿向平面上方翻折，得到如图2所示的四棱锥，且.记的中点为，动点在线段上运动.    （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求动点到直线的距离的取值范围. 【答案】（1） 因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以， 所以在折叠后，，； 以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 为中点，所以，， 设平面的法向量为，又，， 所以 ，即 ，令，则，，所以， 所以，则， 所以平面；     （2）     （3）      【分析】 （1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， ，设平面的法向量为， ，即 ，令，则，，所以， 设平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； (3) 小问详解： 设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即 ， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为． 56．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）如图，已知正方体的棱长为2，点，，，，分别为线段，，，，的中点，连接，，，，，，，则下列正确结论的序号是　　　　　． ①点，，，不在同一个平面内； ②直线，，交于同一点； ③直线与直线所成角的余弦值为． 【答案】 【分析】 连接，则四边形是平行四边形，进而，即可判断① ；连接，延长交于点，延长交于点，则，即可判断② ；取的中点，连接，为直线与所成角的平面角，利用余弦定理解三角形即可判断③. 【详解】 ① 连接，则且， 所以四边形是平行四边形，得， 所以， 所以点在同一个平面内，故① 错误； ② 连接，则且， 所以四点共面，延长交于点， 则； 连接且， 所以四点共面，延长交于点， 则， 所以两点重合，则直线交于同一个点.故② 正确； ③ 取的中点，连接， 则且， 所以四边形为平行四边形，得， 所以为直线与所成角的平面角， 在中，， 由余弦定理得， 即直线与所成角的余弦值为，故③ 正确. 故答案为：② ③ 57．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）在三棱锥中，，平面，点在线段上，且，点在平面内，且满足平面平面，. （1）求证：； （2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 如图所示： 因为，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，且，平面，， 所以平面， 因为平面，所以.     （2）      【分析】 （1）由证得平面，得到，再由平面，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得. （2）以为原点，建立空间直角坐标系,设，由，得到，求得，再求得平面和的法向量和,结合向量的夹角公式，列出方程求得点的坐标，根据棱锥的体积公式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以为原点，以，，所在的直线分别为，，，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 设，因为，所以， 因为，，所以，即， 又由，， 设平面的一个法向量为，则 ， 取，可得，，所以， 又因为为平面的一个法向量，设二面角的平面角为， 则， 因为，解得，（舍去）或，， 所以点或， 所以三棱锥的体积为. 58．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）如图，三棱锥的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，两两垂直，，若顶点到平面的距离都为，则顶点到平面的距离为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 ，取中点，过分别作平面的垂线，通过线线垂直证明线面垂直，然后得到面面垂直，从而证明共面，然后在四边形中利用三角形的边角关系求得到平面的距离. 【详解】 取中点，连接，过分别作平面的垂线，连接，如图，    由题意可知，且，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∵，且，，，则， 在等腰和等边中，，平面，平面， ∴平面， 又∵，，平面，平面， ∴平面， 又平面平面， ∴点共面， ∵，即， ∴点共面， 由题意可知，，，， ， ∴， ∴. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 1．A 2．D 3．C 4．D 5．ABD 6．B 7．B 8．B 9．BCD 10．A 11．AC 12．ACD 13．ACD 14．B 15．B 16．A 17．BD 18．D 19．ACD 20．AD 21．B 22．ACD 23．A 24．AC 25．BCD 26．C 27．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 (1)利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值即可； (2)利用空间向量法求点到面的距离即可. (1) 小问详解：    由直三棱柱中，，可如图建立空间直角坐标系， 因为分别是，的中点，， 所以， 即， 所以有， 即异面直线与所成角的余弦值； (2) 小问详解：     设平面的法向量为， 则 令可得：， 所以， 即点到平面的距离为. 28．【答案】（1） 证明：取中点，连接，如下图所示：    为的中点，， 又四边形为平行四边形， 又平面，平面， 平面．     （2）      【分析】 （1）利用中位线平行和平行四边形对边平行来证明线面平行； （2）利用空间向量法来求两平面夹角余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 以为原点，所在直线分别为轴、轴，过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，    ， 设是平面的一个法向量， 则 令，则， 设是平面的一个法向量， 则 令，则， ， 因此平面与平面夹角的余弦值为． 29．【答案】（1） 取PB的中点G，连接EG，GF，如图． 因为E，G是PA，PB的中点，所以，且. 因为，且， 所以，所以四边形EGFD为平行四边形， 所以， 又平面PBF，平面PBF， 所以平面PBF.     （2）      【分析】 （1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则． 所以，，． 设平面PBF的法向量为， 则 ， 则| ， 所以直线PC与平面PBF所成角的正弦值为. 30．【答案】（1）证明： 取中点，连接. 因为中，为中点， 所以且. 又因为且， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）. 【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2） 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系. 设， 所以平面的法向量为设. 又， ，设面的一个法向量为， 则有：， 可求得平面的一个法向量为. 设二面角大小为，则， 所以， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的余弦值问题，考查了数学运算能力和推理论证能力. 31．【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值. 【详解】 以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，    则， 所以， 则, 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 32．【答案】（1） 因为四边形为矩形，平面平面， 平面平面， 所以，则平面， 根据题意可以以为原点，所在直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，易知，， 设平面的法向量 ， 不妨令，则， 又，， 又平面平面．      （2）     （3）存在；2      【分析】 （1）根据条件先判定垂直关系再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可； （2）利用空间向量结合（1）的结论计算面面夹角即可； （3）利用空间向量研究线面夹角计算即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由上可知，设平面的法向量， ，令，则， ， 平面与平面夹角的余弦值为． (3) 小问详解： 设， ， 又平面的法向量， 由直线与平面所成角的余弦值为， ， ，或． 当时，； 当时，． 综上，． 33．【答案】 【分析】 建立标点，利用空间向量求点到直线的距离，进而求面积的最小值. 【详解】 如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 可得， 则，， 可得点到直线的距离， 则面积， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为. 故答案为：. 34．【答案】（1）证明：平面，平面，， 又平面平面，且平面平面， 平面，，平面， 又平面， ，又，平面， 平面．     （2）      【分析】 （1）利用面面垂直的性质定理证出平面，从而证出，再由线面垂直的性质定理证出，由线面垂直的判定定理可证明； （2）根据五面体的性质结合已知条件，建立空间直角坐标系，得出相关点坐标，设点坐标，得出相关向量坐标，利用已知二面角余弦值，构造方程求出点坐标，进而求出． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 平面，平面，， 又，，，故， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，设点， ， 设为平面的一个法向量， 则 ，令，则，， ， 由（1）知，平面，则是平面的一个法向量， 平面与平面的夹角的余弦值为， ， 化简得，，， 的长为． 35．【答案】（1）证明见解析     （2）     （3）      【分析】 （1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. (1) 小问详解： 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； (2) 小问详解： 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有 ， ， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； (3) 小问详解： 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 36．【答案】（1） 因为，且， 可得，， 又因为，可得， 所以，则， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以；     （2）存在点，此时，理由如下： 因为平面，且平面，所以， 如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系，    可得，，，， 所以，． 设平面的法向量为，则 ， 令，可得，所以， 假设存在点，使得与平面所成角为， 设，（其中），则，， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时．      【分析】 （1）利用余弦定理和勾股定理可证明平面，再由线面垂直的性质即可得； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 37．【答案】（1）因为，为的中点， 所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）. 【分析】 （1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．方法二：通过作垂线构造二面角的平面角，再利用体积法求点到面的距离，最终转化为线面角的正弦值.方法三：构造线面角定义所需的垂线，直接求出线面角的正弦值.方法四：先找出点C到平面PAM的垂足T，再利用二面角的平面角关系直接求出垂线长度，最后在直角三角形中计算线面角正弦值. 【详解】 （1）略 （2）［方法一］： 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 ， 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取， 所以 ． 由已知得 ， 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图5，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结， 则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，． 在中，由，得，则． 设点C到平面的距离为h， 由，得，解得， 则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图6，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结，则， 故为二面角的平面角，即． 同方法二可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结． 在中，． 因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为． 在平面内，由，可得平面， 则为直线与平面所成的角． 设，则， 又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］： 如图7，取的中点H，联结，则． 过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）． 连结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角． 在中，，所以． 【详解】【整体点评】 （2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 38．【答案】（1）     （2）      【分析】 建立空间直角坐标系，利用计算距离的方式计算即可. (1) 小问详解： 建立如图所示空间直角坐标系    得,,,, 所以, 所以点到直线的距离为 (2) 小问详解： 设平面的一个法向量为 由（1）可知,, 易知 令，得 所以 所以点到平面的距离为 39．【答案】（1） 如图，取的中点M，连接.    因为是AD的中点，M是的中点，所以. 又D是SC的中点，所以，所以，由线段成比例的性质可得，. 因，平面，平面，所以平面. 同理，平面，平面，所以平面. 又因，平面，平面， 所以平面平面，而平面，所以平面.     （2）.      【分析】 （1）构造平面，再证明平面平面，进而可得平面； （2）根据题意可建立空间直角坐标系，再用向量计算锐二面角. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因平面，平面，所以，， 且，所以为坐标原点，分别以的方向为轴，建立空间直角坐标系.如图：    设，则，所以，， 因D是的中点，是的中点，所以，. 设平面的法向量为，. 所以 ，得 ，令，则，得. 因平面与坐标平面重合，所以取平面的一个法向量为. 所以锐二面角的余弦值为. 故答案为：. 40．【答案】（1），     （2） 由（1）得， ， ，．      【分析】 （1）根据向量的线性运算表示，然后根据数量积的运算求出，可得； （2）用表示，然后根据数量积的运算证明即可. (1) 小问详解： 由题意得； ， . (2) 小问详解： 略 41．【答案】（1） 因为，则， 且，可得， 将沿折起到的位置，始终有，， 因为，平面，所以平面， 由平面，可得， 且，，平面， 所以平面.     （2）      （3）       【分析】 （1）先证平面，可得，进而可得平面； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角； （3）根据题意可得和平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知，，，两两垂直，翻折前，因为，且， 所以，，所以， 翻折后， 由勾股定理得， 所以以为原点，直线，，分别为，，轴建立如下空间直角坐标系，    则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则 ， 令，则，，可得， 设平面的法向量，则 ， 令，则，，可得， 可得， 所以二面角的余弦值为. (3) 小问详解： 由（2）可知，，， 设平面的法向量，则 ， 令，则，，可得， 且， 因为直线与平面线面角为， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 42．【答案】（1） 连接，，连接，    因为是中点，点是棱的中点， 则， 因为平面，平面，所以平面．     （2）（i）； （ii）存在，，理由如下： 设线段上存在点，且， 因为， 设，， 因为 ， 又因为， 所以， 所以 所以 ， 当 时， 平面，所以平面， 所以当时，平面；      【分析】 （1）根据中位线得出，从而可得平面； （2）设，根据向量法结合异面直线与所成角的余弦值为得出，进而求所成角的余弦值，最后应用同角三角函数关系计算求解； （3）假设存在点F，设，使平面，计算得出. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）    因为平面，，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 所以，又异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得，故， 所以， 设平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则 ，得 ，取，得． 设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角， 所以，； （ii）略 43．【答案】（1） 在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以；      （2）.      【分析】 （1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有 ，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 44．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标，利用坐标法求点到面的距离即可； （2）利用向量的夹角公式即可求解. (1) 小问详解： 由题意有：， 以为坐标原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以 ，令，得， 所以点到平面的距离为：， 所以点到平面的距离为； (2) 小问详解： 由（1）有平面的一个法向量为， 显然平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的余弦值为. 45．【答案】 【分析】 以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求点面距． 【详解】 由得，所以， 因为平面平面，，平面，平面平面，所以平面， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量是， 则 ，取得， 所以点到平面的距离为， 故答案为： 46．【答案】（1）由已知得. 如下图所示，取的中点，连接. 由为中点知，. 又，故，又因为， 所以四边形为平行四边形，于是. 因为平面，平面， 所以平面.     （2）.      【分析】 （1）作的中位线，构造平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理证明平面即可. （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，然后利用向量的夹角公式，求得直线与平面所成角的正弦值. (1) 小问详解： 略. (2) 小问详解： 取的中点E，连结. 由得，从而， 且. 以为坐标原点， 的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意，，，，， ， ，. 设为平面的一个法向量， 则 ，即 ， 可取. 设直线与平面所成角为. 于是. 【详解】【技巧点拨】 （1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证； （2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理． 47．【答案】（1）证明：连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面，于是，而，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以      （2）     （3）存在，此时      【分析】 （1）利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证. （2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点到平面的距离. （3）以为原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为，平面的法向量为，求出两个平面的法向量，由即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高， 由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为， 设点到平面的距离为d，由，得， 而，，则的面积， 由，，得，又，，则， 又，，由余弦定理得， 则，的面积， 则，即 ，所以点到平面的距离为. (3) 小问详解：    取的中点为，连接， 因为四边形是菱形，且， 所以，， 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， ，即， 如图，以为原点， 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设，， 所以，可得， ， 设平面的法向量为， 则 ， 可得， ， 设平面的法向量为， 则 ， 可得， 使得平面平面， 则，解得， 故上存在一点，当时，平面平面. 48．【答案】（1）证明：因为底面四边形中，，， 所以四边形为直角梯形，且， 所以，即， 因为侧棱底面，底面，所以， 又，平面，平面.     （2）（i）是定值，定值为 （ii）.      【分析】 （1）利用勾股定理证明，再结合即可证明； （2）（i）连接，证明平面，进而转化为的体积即可判断并求解； （ii）取中点，连接，证明，得是平面与平面夹角所成的二面角的平面角，且，最后在中时最小，并结合对应距离求角度. (1) 小问详解： 略 所以平面. (2) 小问详解： （i）三棱锥的体积为定值，理由如下：    连接，因为侧棱底面， 所以， 又，平面，平面， 所以平面， 在四棱柱中，， 因为，，点为的中点， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为平面， 平面， 所以平面， 所以 所以，三棱锥的体积为定值. （ii）取中点，连接，    因为，为中点， 所以， 在四棱柱中，点为的中点， 所以四边形为平行四边形， 因为侧棱底面， 所以底面， 又底面，底面， 所以 ， ， 又，平面，平面， 所以底面，又底面， 所以 所以，是平面与平面夹角所成的二面角的平面角， 因为， 所以的面积最小时，最小， 在中，最小，则，如下图，    由于，故，， 所以，在中，， 所以，当的面积最小时，求平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值为. 49．【答案】（1） 证明：如图，取中点，连接. 因为， 所以，且， 又， 则, 所以， 所以，即， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面.         （2）      【分析】 （1）取中点，连接，可得，，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）可得平面，从而以为原点，为轴正方向，为轴正方向，在平面内，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知， 易得平面， 因为平面， 所以平面平面， 所以点平面内的投影在上， 所以， 所以为等边三角形， 故.    如图，以为原点，为轴正方向，为轴正方向， 在平面内，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以,, 设平面的一个法向量， 则 ，即 ， 取，解得，所以， 设平面的一个法向量， 则 ，即 ， 取，解得，，所以， 所以， 设二面角的大小为，则. 50．【答案】（1）；     （2） 由（1）知， 在菱形中，， 所以 ， 所以，即.      【分析】 （1）由，根据已知及向量数量积的运算律求向量的模长； （2）由（1）及，应用向量数量积的运算律求，即可证. (1) 小问详解： 以为一个基底， 由题意知， 又， 所以 ， 所以； (2) 小问详解： 略 51．【答案】 【分析】 如图作，垂足为，作，垂足为，分别求出相关边长，由结合向量的数量积的运算律，计算得到，利用空间向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】 如图，作，垂足为，作，垂足为， 因，则， 在中，由三角形面积相等可得， ， 同理可得， ，则. 由图知，，则，因， 则有 解得，故， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 故答案为：. 52．【答案】（1）在正方形中，. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.     （2）     （3）      【分析】 （1）由线面垂直的定理证明平面，由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立恰当的空间直角坐标系，三棱柱的体积转化为，可求结果； （3）根据两平面夹角的计算方法，可求得平面与平面夹角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，. 设，则. 因为，，且， 所以，即. 因为，所以. 设平面的法向量为. 因为，， 所以 ，令，则. 易得平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，， 所以. (3) 小问详解： 解：设平面的法向量为，因为，， 所以 ，令，得. 设平面与平面的夹角为. 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 53．【答案】（1） 取中点，连接、， 又是的中点，所以，且， 又，，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面；     （2）；     （3） 设且，则，由（2）可得，，，， 所以， 设平面的法向量为，则 ，即 ， 令，则，，所以平面的法向量为， 又，点到平面的距离为， 所以，即，解得， 所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且.      【分析】 （1）取中点，连接、，可得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面和平面的法向量，再结合面面角的向量求法，即可求解； （3）假设存在点，且，根据空间点到面的距离的向量求法，列出方程，求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面，平面，平面， 所以，， 又，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，，， 令平面的法向量为，则 ，即 ， 令，则，，所以平面的法向量为， 令平面的法向量为，则 ，即 ， 令，则，，所以平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； (3) 小问详解： 略 54．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）取中点，连接，根据条件及面面垂直的性质，可得平面，进而可得，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，设，进而根据条件可设，分别求出平面和平面，根据条件可得，在中，过作于，设，从而可得，再利用平方关系，即可求解. (1) 小问详解： 取中点，连接，因为，则， 因为平面，又平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 则，又由棱台的性质知，所以四边形为平行四边形， 则，所以. (2) 小问详解： 如图，过作，且平面，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以， 过作于，同理可证得平面，所以， 又，所以四边形为平行四边形，则，， 由棱台的性质及（1）知，所以为中点，又，则， 又，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则由 ，取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 由 ，取，则，所以， 由题知，整理得到，得到 在中，过作于，设， 则，得到，又， 所以，整理得到， 解得或（舍），所以. 55．【答案】（1） 因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以， 所以在折叠后，，； 以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 为中点，所以，， 设平面的法向量为，又，， 所以 ，即 ，令，则，，所以， 所以，则， 所以平面；     （2）     （3）      【分析】 （1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， ，设平面的法向量为， ，即 ，令，则，，所以， 设平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； (3) 小问详解： 设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即 ， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为． 56．【答案】 【分析】 连接，则四边形是平行四边形，进而，即可判断① ；连接，延长交于点，延长交于点，则，即可判断② ；取的中点，连接，为直线与所成角的平面角，利用余弦定理解三角形即可判断③. 【详解】 ① 连接，则且， 所以四边形是平行四边形，得， 所以， 所以点在同一个平面内，故① 错误； ② 连接，则且， 所以四点共面，延长交于点， 则； 连接且， 所以四点共面，延长交于点， 则， 所以两点重合，则直线交于同一个点.故② 正确； ③ 取的中点，连接， 则且， 所以四边形为平行四边形，得， 所以为直线与所成角的平面角， 在中，， 由余弦定理得， 即直线与所成角的余弦值为，故③ 正确. 故答案为：② ③ 57．【答案】（1） 如图所示： 因为，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，且，平面，， 所以平面， 因为平面，所以.     （2）      【分析】 （1）由证得平面，得到，再由平面，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得. （2）以为原点，建立空间直角坐标系,设，由，得到，求得，再求得平面和的法向量和,结合向量的夹角公式，列出方程求得点的坐标，根据棱锥的体积公式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以为原点，以，，所在的直线分别为，，，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 设，因为，所以， 因为，，所以，即， 又由，， 设平面的一个法向量为，则 ， 取，可得，，所以， 又因为为平面的一个法向量，设二面角的平面角为， 则， 因为，解得，（舍去）或，， 所以点或， 所以三棱锥的体积为. 58．【答案】 【分析】 ，取中点，过分别作平面的垂线，通过线线垂直证明线面垂直，然后得到面面垂直，从而证明共面，然后在四边形中利用三角形的边角关系求得到平面的距离. 【详解】 取中点，连接，过分别作平面的垂线，连接，如图，    由题意可知，且，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∵，且，，，则， 在等腰和等边中，，平面，平面， ∴平面， 又∵，，平面，平面， ∴平面， 又平面平面， ∴点共面， ∵，即， ∴点共面， 由题意可知，，，， ， ∴， ∴. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $