专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，陕晋青宁专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）已知，，，若，，共面，则为（     ） A.  B. 3 C.  D. 9 2．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知，若不能构成空间的一个基底，则（       ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 3．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知向量，且·=2，则x的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（     ）. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）设为单位向量，且，则（     ） A.  B. 0 C.  D. 1 7．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知是单位向量，则的最大值为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）（多选）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中，，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 长方体的体积 9．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（       ） A.  B.  C.  D. 以上都不对 10．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）（多选）已知空间向量，则（       ） A. 是的必要不充分条件 B. 若不共面，则也不共面 C. 若，且，则 D. 若，则 12．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，平面，为垂足，为棱的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知正方体的棱长为，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则　　　　　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）在四面体中，点满足，为的中点，若，则（       ） A. 3 B.  C. 4 D.  4．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）（多选）在棱长为2的正四面体中，，分别是，的中点，是的重心，则下列结论正确的是（        ） A.  B.  C. 在上的投影向量为 D.  8．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，则下列说法正确的是（       ） A. 当时，平面 B. 当时， C. 当时，长度的最小值为 D. 当时，存在点，使得与平面所成的角为 9．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.则的长等于　　　　　　　　　　　. 10．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为，且两两夹角为，设，，． （1）用为基底表示向量； （2）求的长． 11．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为　　　　　　　　　　. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）向量，若，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 0 2．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知向量与共线，则（     ） A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 5．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）与向量反向的单位向量的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知空间点和，且，则实数x的值是（       ） A.  B.  C. 或6 D. 或2 8．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）（多选）若向量，，则下列结论正确的为（     ） A.  B.  C. ∥ D.  9．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）已知空间向量，，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）已知向量，若，则等于（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 11．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）（多选）已知空间向量，，则下列选项正确的为（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 12．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）（多选）若是空间直角坐标系中的一点，则（       ） A. 点关于平面对称的点的坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点到平面的距离为3 D. 点到轴的距离为 13．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影数量为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（       ）． A. 10 B. 20 C.  D.  15．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知空间向量，，共面，则（     ） A.  B. 1 C. 2 D. 3 16．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）（多选）以下四个命题中，正确的是（     ） A. 向量与向量平行 B. 若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底 C. 已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D. 已知向量在向量方向上的投影向量为，，，则 17．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）（多选）棱长为3的正方体中，为中点，与交于点，现以为坐标原点，为轴正方向，垂直于平面且沿方向为轴正方向建立右手空间直角坐标系，记轴与正方体表面交于，两点，则（     ） A. 轴所在的直线垂直平面 B. 点的坐标为 C.  D. ，，，，，均在直径为的同一个球面上 18．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知空间三点，设 （1）求； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. 19．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知空间向量，则　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）滑翔伞运动员在空中某段位移对应的空间向量为，则这段位移的长度为　　　　　　　　. 21．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点到的中点的距离为　　　　　. 22．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知，且，则　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知，若与垂直，则　　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知 （1），求的坐标； （2）求； （3）若与互相垂直，求实数的值. 25．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）如图，正四棱柱中，点在上，且，．请先建立适当的空间直角坐标系，然后解答下列问题：    （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．C 8．BCD 9．B 10．B 11．AB 12．C 13．【答案】 【分析】 根据的长度判断出其为内切球的直径，然后通过化简可得，代入外接球和内切球的半径可计算出结果. 【详解】 因为正方体棱长为，所以外接球的半径为，内切球的半径， 因为，所以是内切球的直径，如图所示，设两个球心均为， 所以， 所以， 故答案为：. 14．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. (1) 小问详解： ， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. (2) 小问详解： 由题意得， 故， 故 . 考点02 空间向量基本定理 1．B 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．ABC 8．AB 9．【答案】 【分析】 先结合题意得到，再利用空间向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】 以作为一个基底， 由题意知，， 由数量积的定义可得， 同理可得， 又，可得 ， 故. 故答案为： 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据向量的加减法运算法则以为基底表示向量即可. （2）根据，对等式两边平方，结合已知条件运算即可求解. (1) 小问详解： 根据已知条件有：. (2) 小问详解： 根据已知条件有：，，， 则，， ， ， 即的长为； 11．【答案】1 【分析】 利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】 因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，，四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：本题关键在于根据，，，四点共面得到. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．B 2．D 3．C 4．A 5．A 6．C 7．C 8．AB 9．B 10．B 11．BCD 12．BC 13．B 14．D 15．A 16．BCD 17．ABD 18．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得； （2）先求出和，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即得k值. (1) 小问详解： 由题意，，则； (2) 小问详解： 由（1）可得 因向量与互相垂直，则得：， 解得，或. 19．【答案】 【分析】 利用空间向量减法和乘法法则计算出答案. 【详解】 因为，所以． 故答案为： 20．【答案】 【分析】 根据位移的长度等于可求得结果. 【详解】 由题意可知，位移的长度为， 故答案为：. 21．【答案】 【分析】 由空间中两点的距离公式代入即可求出答案. 【详解】 在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体 ，，的中点， ，，中点， 的中点到的中点的距离为： ． 故答案为： 22．【答案】5 【分析】 利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】 ∵，且， ∴，解得. 故答案为：5. 23．【答案】 【分析】 由向量垂直可得，即可求出. 【详解】 因为， 所以，， 因为与垂直， 所以，解得. 故答案为：. 24．【答案】（1）或     （2）     （3）或      【分析】 （1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得； （2）先求得，，再利用公式即可求得的值； （3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值． (1) 小问详解： 由题可知，， 由，得，设， 因为， 所以，解得， 所以或． (2) 小问详解： 因为、、，，， 所以，， 则. (3) 小问详解： 因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 25．【答案】（1） 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， ，，即，， 又，平面， 所以平面．         （2）．      【分析】 （1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用数量积为0可得，，结合线面垂直的判定定理可得结论； （2）求出平面的法向量，结合（1），利用空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦值，进而可求出该二面角的正弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，， 设平面的法向量为，则 ， 令，则，，所以， 由（1）知平面的一个法向量为， 故， 所以二面角的正弦值为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）已知，，，若，，共面，则为（     ） A.  B. 3 C.  D. 9 【答案】C 【分析】 根据空间向量共面定理设（），依题列出方程组，求解即得. 【详解】 因，，共面，可设（）， 即， ，解得． 故选：C. 2．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知，若不能构成空间的一个基底，则（       ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【分析】 直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】 若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即 ， 解得 ， 故选：. 3．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知向量，且·=2，则x的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【分析】由向量的数量积的表示直接列方程求解即可. 【详解】向量， 则·，解得. 故选B. 【点睛】本题主要考查了数量积的坐标表示，属于基础题. 4．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用投影向量公式求解即可. 【详解】 由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下， 为，故C正确. 故选：C 5．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（     ）. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【分析】 利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】 因为向量共面，所以存在实数使得， 即 所以 ，解得 ，. 故选：C． 6．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）设为单位向量，且，则（     ） A.  B. 0 C.  D. 1 【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用数量积的运算律求解. 【详解】 由为单位向量，且，得，即， 所以. 故选：B 7．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知是单位向量，则的最大值为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【分析】 由为单位向量，可得，结合向量数量积公式计算即可得. 【详解】 由为单位向量，则， 故. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）（多选）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中，，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 长方体的体积 【答案】BCD 【分析】 根据新定义得出A、B，根据新定义计算等式两边的结果得出C选项，计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断选项D. 【详解】 选项A：向量同时与向量垂直， 且向量三个向量构成右手系， ， ，所以， 故A不正确， 选项B：由， ， 所以， 故B选项正确， 选项C：因为 ， 且与同向共线， 又， 且与同向共线， 又因为与同向共线， 所以， 故C选项正确， 选项D：长方体的体积为：， ， 故， 所以D选项正确， 故选：BCD. 9．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（       ） A.  B.  C.  D. 以上都不对 【答案】B 【分析】 先证明出若且，则、、、四点共面，进而可得出合适的选项. 【详解】 设且， 则，， 则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面. 对于A选项，，，、、、四点不共面； 对于B选项，，，、、、四点共面； 对于C选项，，，、、、四点不共面. 故选：B. 【点睛】 本题考查利用空间向量判断四点共面，考查推理能力，属于中等题. 10．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用向量线性运算得，两边平方得到方程，即可计算线段的长. 【详解】 ∵二面角的大小为，，， ∴，. 由题意得，， ， ∴， ∴，即线段的长为. 故选：B. 11．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）（多选）已知空间向量，则（       ） A. 是的必要不充分条件 B. 若不共面，则也不共面 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】AB 【分析】 借助向量定义及充分条件及必要条件定义可判断A；借助反证法结合空间向量共面定理可得B；举出反例可得C、D. 【详解】 对A：的充要条件是的大小相等，方向相同，故由可得， 但当时，方向不一定相同，故A正确； 对B：假设共面，则存在实数，使得， 所以，所以共面，与条件矛盾，故B正确； 对C：在空间直角坐标系中，三个坐标轴上的单位向量显然满足C中的条件， 但任何两个都不相等，故C错误； 对D：若，则不一定共线，故D错误. 故选：AB. 12．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，平面，为垂足，为棱的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 选择恰当的基底，由空间向量的线性运算及数量积运算的法则求解即可. 【详解】 由题可知， ,. 分别取的中点，连接，则. 所以，. 所以， 因为，， 所以 . 因为，，， 所以 故选：C. 13．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知正方体的棱长为，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据的长度判断出其为内切球的直径，然后通过化简可得，代入外接球和内切球的半径可计算出结果. 【详解】 因为正方体棱长为，所以外接球的半径为，内切球的半径， 因为，所以是内切球的直径，如图所示，设两个球心均为， 所以， 所以， 故答案为：. 14．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. (1) 小问详解： ， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. (2) 小问详解： 由题意得， 故， 故 . 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出． 【详解】 ， 故选：B． 2．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用向量的基本定理，表示，，然后结合数量积，直接求解即可. 【详解】 由题知，，， 所以 . 故选：B 3．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）在四面体中，点满足，为的中点，若，则（       ） A. 3 B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】 用表示求出即可得解. 【详解】 由题意知， 因为，所以，则. 故选：B 4．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 5．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用向量在基底下的斜坐标，整理为关于的线性组合即可求解. 【详解】 因为向量在基底下的斜坐标为 所以， 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D 6．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【详解】 由， 得， 所以， 故选：C． 7．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）（多选）在棱长为2的正四面体中，，分别是，的中点，是的重心，则下列结论正确的是（        ） A.  B.  C. 在上的投影向量为 D.  【答案】ABC 【分析】 AB利用基底和数量积的运算律化简；C利用公式；D利用向量的加法和减法运算化简. 【详解】 由题意得，， A选项，，A正确； B选项，， 故 ，B正确； C选项，由B选项得， 故在上的投影向量为，C正确； D选项， ，D错误. 故选：ABC 8．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，则下列说法正确的是（       ） A. 当时，平面 B. 当时， C. 当时，长度的最小值为 D. 当时，存在点，使得与平面所成的角为 【答案】AB 【分析】 对于A，确定点在线段上，得到可判断；对于B，确定平面，可判断；对于C，确定三点共线，线段在中，可得到点为中点时，最小，即可判断；对于D，由，结合，求得范围，即可判断. 【详解】 对于A，当时，，即点在线段上，则，又平面，平面，平面，A正确 对于B，平面，且平面，， ， 又平面，且相交，平面，又平面，，B正确 对于C，当时，，即，即三点共线，线段在中，因为，所以当点为中点时，最小，此时，，C错误 对于D，点在平面上的射影为点，所以与平面所成的角为，，又，所以，所以，又，所以，D错误 故选：AB 9．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.则的长等于　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先结合题意得到，再利用空间向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】 以作为一个基底， 由题意知，， 由数量积的定义可得， 同理可得， 又，可得 ， 故. 故答案为： 10．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为，且两两夹角为，设，，． （1）用为基底表示向量； （2）求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据向量的加减法运算法则以为基底表示向量即可. （2）根据，对等式两边平方，结合已知条件运算即可求解. (1) 小问详解： 根据已知条件有：. (2) 小问详解： 根据已知条件有：，，， 则，， ， ， 即的长为； 11．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】 利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】 因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，，四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：本题关键在于根据，，，四点共面得到. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）向量，若，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 0 【答案】B 【分析】 根据空间向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】 若，则，解得. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可. 【详解】 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为. 故选：D 3．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用空间坐标系中点的特征计算即可. 【详解】 空间中的点关于平面的对称的点横纵坐标不变，竖坐标变为相反数， 所以点关于平面的对称点的坐标为. 故选：C 4．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知向量与共线，则（     ） A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 【答案】A 【分析】 根据空间向量共线求得，进而得到. 【详解】 因为共线，所以，所以，，所以． 故选：A 5．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）与向量反向的单位向量的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用与向量反向的单位向量为求解即可. 【详解】 因为， 所以与向量反向的单位向量为． 故选：A 6．（25-26学年高二上·山西晋中·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据关于平面对称，值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可． 【详解】 由题意知点关于对称的点的坐标为. 故选：. 7．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知空间点和，且，则实数x的值是（       ） A.  B.  C. 或6 D. 或2 【答案】C 【分析】 应用空间两点距离公式及已知列方程求参数值. 【详解】 由，可得， 所以，故或. 故选：C 8．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）（多选）若向量，，则下列结论正确的为（     ） A.  B.  C. ∥ D.  【答案】AB 【分析】 根据向量加法的坐标运算判断A；求出两向量的模，判断B；根据向量平线的定义判断C；求出两向量的数量积，判断D. 【详解】 因为向量，， 所以，故A正确； ， 所以，故B正确； 不存在非零实数，使成立，故与不共线，故C错误； 因为，故D错误. 故选：AB. 9．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）已知空间向量，，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据条件，利用向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算，得，即可求解. 【详解】 因为，，则， 又，则，所以， 解得， 故选：B. 10．（25-26学年高二上·陕西山阳中学·期中）已知向量，若，则等于（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】B 【分析】 由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】 因为， 可得：， 解得， 故选：B 11．（25-26学年高二上·青海西宁第五中学·期中）（多选）已知空间向量，，则下列选项正确的为（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【分析】 对于A、B分别根据向量平行和垂直的等价条件转换计算； 对于C、D分别代向量的模的公式及夹角公式计算可得. 【详解】 向量， 对于A. 若，则，所以，故此选项错误； 对于B. 若，，则，故此选项正确； 对于C. 若，则，则，故此选项正确； 对于D. 若，则，所以，故此选项正确； 故答案为：BCD 12．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）（多选）若是空间直角坐标系中的一点，则（       ） A. 点关于平面对称的点的坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点到平面的距离为3 D. 点到轴的距离为 【答案】BC 【分析】 由空间直角坐标系点的概念逐项判断即可. 【详解】 点关于平面对称的点的坐标为，A错误. 点关于轴对称的点的坐标为，B正确. 点到平面的距离为3，C正确. 点到轴的距离为，D错误. 故选：BC 13．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影数量为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由，列出方程求得，得到，结合向量的数量积和投影的数量的计算公式，即可求解. 【详解】 由向量， 因为，可得，解得，即， 则，且， 所以向量在上的投影数量为. 故选：B. 14．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（       ）． A. 10 B. 20 C.  D.  【答案】D 【分析】 利用空间向量法证明三棱锥的高，再求解向量的夹角，从而可求三棱锥的体积． 【详解】 由，，， 得，，所以，． 又，，平面， 所以平面． 因为，所以， 所以． 故选：D 15．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知空间向量，，共面，则（     ） A.  B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 由空间向量的共面定理，代入计算，即可得到结果. 【详解】 由共面可知，存在实数使得， 即， 所以 ，解得 . 故选：A 16．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）（多选）以下四个命题中，正确的是（     ） A. 向量与向量平行 B. 若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底 C. 已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D. 已知向量在向量方向上的投影向量为，，，则 【答案】BCD 【分析】 根据空间向量平行的条件可判断A；根据空间向量基本定理可判断BC，根据投影向量和模长公式可判断D. 【详解】 对于A，因为，因此和不平行，A错误； 对于B，假设向量，，共面，则存在实数，满足， 所以可得， 若，则，可得，两向量共线，这与，，不共面矛盾； 若，则，可得，，共面，与已知矛盾， 所以假设不成立，即可得向量，，不共面， 所以，，一定能构成空间的一个基底，即B正确； 对于C，因为A，B，C三点不共线，对空间任意一点，若， 因为，所以可知，，，四点共面，即C正确； 对于D，由题可得；，所以， 又因为，，所以， 所以.故D正确. 故选：BCD 17．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）（多选）棱长为3的正方体中，为中点，与交于点，现以为坐标原点，为轴正方向，垂直于平面且沿方向为轴正方向建立右手空间直角坐标系，记轴与正方体表面交于，两点，则（     ） A. 轴所在的直线垂直平面 B. 点的坐标为 C.  D. ，，，，，均在直径为的同一个球面上 【答案】ABD 【分析】 根据条件，利用正方体的性质及线面垂直的判断定定理，得到平面，平面，从而可建立题设要求的空间直角坐标系，对A，由建系过程，即可判断正误，对B，先求出在面上投影点的坐标，即可求解；对C，利用几何关系，可得，即可求解；对D，建立新的空间直角坐标系，求出，，，，，，利用，即可求解. 【详解】 如图1，连接，易知，由正方体的性质知平面， 又平面，所以，又平面， 所以平面，过作，则平面， 易知与，有交点，且交点即为轴与正方体表面的交点，不妨设交于，交于， 因为平面，所以， 由正方体的性质知，且，又是中点，则， 由，知， 又平面，所以，连接，易知, 又由正方体的性质知平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以，又，，平面， 所以平面，又平面，则， 则题设要求中的空间直角坐标系如图1所示， 对于A，因为平面，所以轴所在的直线垂直平面，故A正确，    对于B，设，因为，所以平面，且， 如图2，在矩形中，连接，因为为的中点，所以，且， 则，，又，， 所以，，则点的坐标为，所以B正确，    对于C，因为，又，所以，故C错误， 对于D，如图3，建立新的空间直角坐标系， 因为，，，，，， 假设，，，，，均在球上，则球心在面的投影为， 设，球的半径为，由，得到， 整理得到，解得，所以，， 又，且易知， 所以，，，，，均在直径为的同一个球面上，故D正确，    故选：ABD. 18．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知空间三点，设 （1）求； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得； （2）先求出和，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即得k值. (1) 小问详解： 由题意，，则； (2) 小问详解： 由（1）可得 因向量与互相垂直，则得：， 解得，或. 19．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知空间向量，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用空间向量减法和乘法法则计算出答案. 【详解】 因为，所以． 故答案为： 20．（25-26学年高二上·陕西安康·期中）滑翔伞运动员在空中某段位移对应的空间向量为，则这段位移的长度为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据位移的长度等于可求得结果. 【详解】 由题意可知，位移的长度为， 故答案为：. 21．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点到的中点的距离为　　　　　. 【答案】 【分析】 由空间中两点的距离公式代入即可求出答案. 【详解】 在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体 ，，的中点， ，，中点， 的中点到的中点的距离为： ． 故答案为： 22．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知，且，则　　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】 ∵，且， ∴，解得. 故答案为：5. 23．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知，若与垂直，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由向量垂直可得，即可求出. 【详解】 因为， 所以，， 因为与垂直， 所以，解得. 故答案为：. 24．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知 （1），求的坐标； （2）求； （3）若与互相垂直，求实数的值. 【答案】（1）或     （2）     （3）或      【分析】 （1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得； （2）先求得，，再利用公式即可求得的值； （3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值． (1) 小问详解： 由题可知，， 由，得，设， 因为， 所以，解得， 所以或． (2) 小问详解： 因为、、，，， 所以，， 则. (3) 小问详解： 因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 25．（25-26学年高二上·陕西榆林·期中）如图，正四棱柱中，点在上，且，．请先建立适当的空间直角坐标系，然后解答下列问题：    （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， ，，即，， 又，平面， 所以平面．         （2）．      【分析】 （1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用数量积为0可得，，结合线面垂直的判定定理可得结论； （2）求出平面的法向量，结合（1），利用空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦值，进而可求出该二面角的正弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，， 设平面的法向量为，则 ， 令，则，，所以， 由（1）知平面的一个法向量为， 故， 所以二面角的正弦值为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $