专题07 数列（期中真题汇编，陕晋青宁专用）高二数学上学期

专题07 数列 3大高频考点概览 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点01 数列的概念 1．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知数列，则该数列的第36项为（       ） A.  B. 36 C.  D. 6 【答案】C 【分析】 归纳可得该数列的通项公式为，再代入计算可得. 【详解】 因为数列，即， 所以归纳可得该数列的通项公式为， 所以. 故选：C 2．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知在数列中，，则（     ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 逐项计算可得数列周期性，利用周期性即可得解. 【详解】 由，则， 又，故，，， ，， 故数列以为周期，则. 故选：A. 3．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）下列结论中，正确的是（       ） A. 数列和数列是相同的数列 B. 数列的通项公式的形式是唯一的 C. 数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D. 数列不存在通项公式 【答案】C 【分析】 根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】 根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为 ，错误． 故选：C 4．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知数列的通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，利用递增数列的定义列式求解即得. 【详解】 由数列为递增数列，得，，而， 则，，而恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 故选：D 5．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）在数列中，若，则666是的（       ） A. 第111项 B. 第222项 C. 第333项 D. 第666项 【答案】B 【分析】 根据已知递推公式计算构造常数列，再代入计算求解. 【详解】 因为，所以，所以，所以是常数列， 所以，则. 由，解得. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）（多选）已知数列的前项和，则（       ） A.  B. 为递减数列 C. 不等式的解集为有限集 D. 当且仅当时，有最大值 【答案】AC 【分析】 计算判断A；举反例判断B；求出通项公式即可求解不等式判断C；根据数列项的符号求解最大值判断D. 【详解】 根据题意，数列的前项和， 当时，有，故A正确； 当时， ， 对于B，，显然不满足为递减数列，故B错误； 对于C，显然，当时，，当且仅当， 则不等式的解集为，为有限集，故C正确； 对于D，由于， 所以当或4时，取得最大值，故D错误； 故选：AC． 7．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）（多选）已知数列，记数列的前项和分别为，下列说法正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若均为等差数列，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【分析】 由递推关系可知，根据数列周期性可求得A错误；利用等差数列性质可知，由此可求得B正确；利用倒数法和构造法可证得数列为等比数列，利用等比数列通项与求和公式可求得，知C正确；采用裂项相消法可求得，知D正确. 【详解】 对于A，，， 数列是以为周期的周期数列，，A错误； 对于B，均为等差数列，，B正确； 对于C，，， 即，，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， ，，C正确； 对于D，，， ，D正确. 故选：BCD. 8．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）（多选）已知函数，则（     ） A.  B. 的一个对称中心为 C. 的最小值为 D. 的单调递增区间为 【答案】AC 【分析】 根据给定条件，利用正弦函数的图象性质逐项分析判断. 【详解】 对于A，，A正确； 对于B，，则不是图象的对称中心，B错误； 对于C，当时，取得最小值为，C正确； 对于D，由，得， 因此的单调递增区间为，D错误. 故选：AC 9．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则　　　　　　　　　　　. 【答案】15 【分析】 假设杆上有个圆环，根据汉诺塔的游戏的规则，分析可得数列的递推公式，从而即可求出. 【详解】 解：根据题意，假设杆上有个圆环，将个圆环从杆全部套到杆上，需要最少的次数为， 可这样操作：先将个圆环从杆全部套到杆上， 至少需要的次数为， 然后将最大的圆环从杆套在杆上，需要1次， 再将杆上个圆环从杆套到木杆上，至少需要的次数为， 所以， 易知，则， 故答案为：15. 10．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，. （1）求，的值； （2）已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，均有不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），；     （2）①；②      【分析】 （1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）① 利用错位相减法求和，即可得出结果； ② 由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. (1) 小问详解： 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以， 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以. (2) 小问详解： ① 所有不超过正整数的正整数有个， 其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即， 所以， 所以 两式相减得 所以； ② 由① 可知，所以 ， 所以由 得 恒成立， 令 ，则 ， 所以可得 ； 当 时，即， 所以的最大值为， 故. 考点02 等差数列 1．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）在等差数列中，，则（       ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 28 【答案】B 【分析】 利用等差数列等差中项求解即可. 【详解】 因为等差数列中，， ， 故选：. 2．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）设等差数列的前项和为，若，则等于（       ） A. 30 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】B 【分析】 利用等差数列的性质，由也成等差数列求解. 【详解】 由等差数列的性质得：也成等差数列， ， ，解得． 故选：B． 3．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）记等差数列的前项和为，则（       ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【分析】 利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值. 【详解】 因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 4．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）（多选）数列的前n项和为，已知，，则下列说法正确的是（       ） A. 是递增数列 B.  C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】CD 【分析】 根据即可判断A；由等差数列通项公式求得，即可判断B；令求解即可判断C；根据等差数列的函数特性即可判断D． 【详解】 对于A，由得，，所以是递减数列，故A错误； 对于B，由得，数列是等差数列， 所以， 所以，故B错误； 对于C，令，即，解得，故C正确； 对于D，，对称轴为， 所以当或4时，取得最大值，故D正确； 故选：CD． 5．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）在数列中，，则数列的前32项和为（     ） A. 625 B. 646 C. 674 D. 992 【答案】C 【分析】 由题设易得，数列的前项和为，进而结合各项的正负情况求解即可. 【详解】 由，得， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 数列的前项和为， 当时，，当时，， 则数列的前32项和为 . 故选：C 6．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）在等差数列中，若，则的通项公式为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据等差数列基本量的计算得公差，即可求解. 【详解】 由可得公差， 故， 故答案为： 7．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）从集合中取个元素，若这个元素的和不大于50，则的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】7 【分析】 记，则是首项为1，公差为2的等差数列，且为递增数列，要使最大，则中的元素从小到大依次取个，根据等差数列的前项和公式求解即可． 【详解】 记， 则是首项为1，公差为2的等差数列，且为递增数列， 由题意，集合中取出个不同元素，它们的和， 要使最大，则中的元素从小到大依次取个， ∴， ∵，∴的最大值为7． 故答案为：7． 8．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分与进行讨论即可得. (1) 小问详解： 当时，， 当时， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以； (2) 小问详解： 设数列的前项和为， 由，则当时，，， 此时， 当时，， 所以； 综上所述，数列的前项和 ． 9．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是　　　　　． 【答案】100 【分析】 根据题设易知正项数列为等差数列，公差为，应用等差数列前n项和公式得，应用基本不等式求最大值. 【详解】 由题意，正项数列为“调和数列”，则（为常数）， 所以正项数列为等差数列，公差为， 则，则， 则（当且仅当时等号成立）， 所以的最大值是100. 故答案为：100. 10．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知等差数列的公差，其前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用等差数列前n项和及通项公式基本量的运算求解即可； （2）先判断数列的单调性，然后利用单调性求解数列最大值即可求解. (1) 小问详解： 由，可得，解得． 所以． (2) 小问详解： 因为，且时，恒成立，所以， 因为时，，所以， 所以时，数列单调递减， 所以，所以，即实数的最小值为． 11．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）等差数列的前n项和为.若，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】利用等差数列的前n项和公式，列出方程组，求得的值，再利用前n项和公式，即可求解. 【详解】由题意，设等差数列的公差为，因为， 所以 ，解得， 所以. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 12．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）由与的关系即可求解； （2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 ； (2) 小问详解： 由可知当时，，当时，． 当时，， 当时，， 所以 13．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）记分别为数列的前项和，其中，. （1）求的通项公式； （2）求. 【答案】（1）     （2）1222      【分析】 （1）根据题意结合与之间的关系分析求解，注意分和两种情况； （2）根据（1）中结果可得数列的通项公式，再利用分组求和法以及等差数列求和公式运算求解. (1) 小问详解： 因为， 当时，； 当时，则，又， 两式相减得； 且符合上式，所以 . (2) 小问详解： 由（1）可得 ， 所以 . 14．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）记Sn为等差数列的前n项和，已知a9=－4，a10+a12=0. （1）求的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值. 【答案】（1）；（2），最小值为． 【分析】 （1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公式． （2）由，．求出．从而当或时，的最小值为． 【详解】 （1）∵为等差数列的前n项和，，． ∴ ， 解得，． ∴的通项公式为． （2）∵，． ∴． 为开口向上的二次函数，对称轴为，又 ∴当或时，的最小值为． 15．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）等差数列中，设数列满足， （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前8项和. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件，列式求出公差，再求出通项公式即得. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以数列的通项公式是. (2) 小问详解： 由（1）得，， 所以. 考点03 等比数列 1．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）若成等差数列；成等比数列，则等于 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可． 【详解】若1，a1，a2，4成等差数列，4＝1+3d，d＝1， ∴a1﹣a2＝﹣1． 又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）． ∴ 故答案为A． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质. 2．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 【答案】A 【分析】 根据等比数列片段和的性质即可得到成等比数列，再计算即可得到答案. 【详解】 等比数列中，成等比数列， 成等比数列， ， 故选：A． 3．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）（多选）如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，设数列的前项和为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 根据已知图形结合等比数列的知识逐项计算即得. 【详解】 因为，A选项正确； 依题意，， 所以是首项为1，公比为3的等比数列，所以， ，C选项正确； ，B选项错误； ，D选项正确； 故选：ACD. 4．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）古典吉他的示意图如图所示．分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．则（       ） A. 数列是等差数列，且公差为 B. 数列是等比数列，且公比为 C. 数列是等比数列，且公比为 D. 数列是等差数列，且公差为 【答案】B 【分析】 根据项与前项和的关系结合条件可得，根据等比数列的概念进而判断AB，结合条件可得，进而判断CD. 【详解】 因为，， 所以，， 所以， 即，又为大于1的常数， 所以，即数列是等比数列，且公比为，故A错误，B正确； 由上可知，又， 所以，， 所以不是常数，故C错误； 所以，不是常数，故D错误. 故选：B. 5．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知数列1，,9是等比数列，数列1, 9是等差数列，则=______． 　　　　　　． 【答案】 【分析】由等比数列的中项性质和奇数项的符号相同，可得=3，再由等差数列的中项性质可得，进而得到所求值． 【详解】数列1,,9是等比数列，可得=1×9， 解得， 由于1，，9均为奇数项，可得，即， 数列1, 9是等差数列，可得, 则=． 故答案为． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的中项性质，考查化简运算能力，属于基础题． 6．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设求数列的前项和. （3）若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用及求出，再结合，是和的等比中项可求出； （2）利用错位相减法即可求出； （3）由题可得对于恒成立，令，当时，， 当时，单调递减，又，从而可得. (1) 小问详解： 由，，解得， 所以；则， 由是和的等比中项，则，解得， 又由，所以，所以. (2) 小问详解： 由（1）可得， 则① ， ② ， 将两式相减得：， 化简得. (3) 小问详解： 若对于恒成立， 即对于恒成立， 化简得对于恒成立，令， 则，当时，； 所以当时，， 所以当时，单调递减，当时，， 所以，所以. 故实数的取值范围为. 7．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足. （1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据条件，直接求出数列公比，即可求出数列通项公式；再利用与间的关系，即可求出的通项公式； （2）利用（1）中结果，再利用等差、等比数列的前项和公式，分组求和，即可求解. (1) 小问详解： 因为数列为等比数列，设数列的公比为， 又，，所以，解得，所以， 又数列的前项和为① ， 当时，② ，由①② 得到， 又，，所以，则，满足， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知， 所以. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列 3大高频考点概览 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点01 数列的概念 1．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知数列，则该数列的第36项为（       ） A.  B. 36 C.  D. 6 2．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知在数列中，，则（     ） A.  B.  C. 2 D.  3．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）下列结论中，正确的是（       ） A. 数列和数列是相同的数列 B. 数列的通项公式的形式是唯一的 C. 数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D. 数列不存在通项公式 4．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知数列的通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）在数列中，若，则666是的（       ） A. 第111项 B. 第222项 C. 第333项 D. 第666项 6．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）（多选）已知数列的前项和，则（       ） A.  B. 为递减数列 C. 不等式的解集为有限集 D. 当且仅当时，有最大值 7．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）（多选）已知数列，记数列的前项和分别为，下列说法正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若均为等差数列，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 8．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）（多选）已知函数，则（     ） A.  B. 的一个对称中心为 C. 的最小值为 D. 的单调递增区间为 9．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则　　　　　　　　　　　. 10．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，. （1）求，的值； （2）已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，均有不等式恒成立，求实数的取值范围. 考点02 等差数列 1．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）在等差数列中，，则（       ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 28 2．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）设等差数列的前项和为，若，则等于（       ） A. 30 B. 50 C. 60 D. 70 3．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）记等差数列的前项和为，则（       ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 4．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）（多选）数列的前n项和为，已知，，则下列说法正确的是（       ） A. 是递增数列 B.  C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 5．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）在数列中，，则数列的前32项和为（     ） A. 625 B. 646 C. 674 D. 992 6．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）在等差数列中，若，则的通项公式为　　　　　　　　　　. 7．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）从集合中取个元素，若这个元素的和不大于50，则的最大值为　　　　　　　　　　. 8．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 9．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是　　　　　． 10．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知等差数列的公差，其前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 11．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）等差数列的前n项和为.若，则　　　　　　　　　　. 12．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 13．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）记分别为数列的前项和，其中，. （1）求的通项公式； （2）求. 14．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）记Sn为等差数列的前n项和，已知a9=－4，a10+a12=0. （1）求的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值. 15．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）等差数列中，设数列满足， （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前8项和. 考点03 等比数列 1．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）若成等差数列；成等比数列，则等于 A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 3．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）（多选）如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，设数列的前项和为，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）古典吉他的示意图如图所示．分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．则（       ） A. 数列是等差数列，且公差为 B. 数列是等比数列，且公比为 C. 数列是等比数列，且公比为 D. 数列是等差数列，且公差为 5．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知数列1，,9是等比数列，数列1, 9是等差数列，则=______． 　　　　　　． 6．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设求数列的前项和. （3）若对于恒成立，求实数的取值范围. 7．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足. （1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点01 数列的概念 1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．AC 7．BCD 8．AC 9．【答案】15 【分析】 假设杆上有个圆环，根据汉诺塔的游戏的规则，分析可得数列的递推公式，从而即可求出. 【详解】 解：根据题意，假设杆上有个圆环，将个圆环从杆全部套到杆上，需要最少的次数为， 可这样操作：先将个圆环从杆全部套到杆上， 至少需要的次数为， 然后将最大的圆环从杆套在杆上，需要1次， 再将杆上个圆环从杆套到木杆上，至少需要的次数为， 所以， 易知，则， 故答案为：15. 10．【答案】（1），；     （2）①；②      【分析】 （1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）① 利用错位相减法求和，即可得出结果； ② 由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. (1) 小问详解： 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以， 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以. (2) 小问详解： ① 所有不超过正整数的正整数有个， 其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即， 所以， 所以 两式相减得 所以； ② 由① 可知，所以 ， 所以由 得 恒成立， 令 ，则 ， 所以可得 ； 当 时，即， 所以的最大值为， 故. 考点02 等差数列 1．B 2．B 3．C 4．CD 5．C 6．【答案】 【分析】 根据等差数列基本量的计算得公差，即可求解. 【详解】 由可得公差， 故， 故答案为： 7．【答案】7 【分析】 记，则是首项为1，公差为2的等差数列，且为递增数列，要使最大，则中的元素从小到大依次取个，根据等差数列的前项和公式求解即可． 【详解】 记， 则是首项为1，公差为2的等差数列，且为递增数列， 由题意，集合中取出个不同元素，它们的和， 要使最大，则中的元素从小到大依次取个， ∴， ∵，∴的最大值为7． 故答案为：7． 8．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分与进行讨论即可得. (1) 小问详解： 当时，， 当时， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以； (2) 小问详解： 设数列的前项和为， 由，则当时，，， 此时， 当时，， 所以； 综上所述，数列的前项和 ． 9．【答案】100 【分析】 根据题设易知正项数列为等差数列，公差为，应用等差数列前n项和公式得，应用基本不等式求最大值. 【详解】 由题意，正项数列为“调和数列”，则（为常数）， 所以正项数列为等差数列，公差为， 则，则， 则（当且仅当时等号成立）， 所以的最大值是100. 故答案为：100. 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用等差数列前n项和及通项公式基本量的运算求解即可； （2）先判断数列的单调性，然后利用单调性求解数列最大值即可求解. (1) 小问详解： 由，可得，解得． 所以． (2) 小问详解： 因为，且时，恒成立，所以， 因为时，，所以， 所以时，数列单调递减， 所以，所以，即实数的最小值为． 11．【答案】 【分析】利用等差数列的前n项和公式，列出方程组，求得的值，再利用前n项和公式，即可求解. 【详解】由题意，设等差数列的公差为，因为， 所以 ，解得， 所以. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 12．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）由与的关系即可求解； （2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 ； (2) 小问详解： 由可知当时，，当时，． 当时，， 当时，， 所以 13．【答案】（1）     （2）1222      【分析】 （1）根据题意结合与之间的关系分析求解，注意分和两种情况； （2）根据（1）中结果可得数列的通项公式，再利用分组求和法以及等差数列求和公式运算求解. (1) 小问详解： 因为， 当时，； 当时，则，又， 两式相减得； 且符合上式，所以 . (2) 小问详解： 由（1）可得 ， 所以 . 14．【答案】（1）；（2），最小值为． 【分析】 （1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公式． （2）由，．求出．从而当或时，的最小值为． 【详解】 （1）∵为等差数列的前n项和，，． ∴ ， 解得，． ∴的通项公式为． （2）∵，． ∴． 为开口向上的二次函数，对称轴为，又 ∴当或时，的最小值为． 15．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件，列式求出公差，再求出通项公式即得. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以数列的通项公式是. (2) 小问详解： 由（1）得，， 所以. 考点03 等比数列 1．A 2．A 3．ACD 4．B 5．【答案】 【分析】由等比数列的中项性质和奇数项的符号相同，可得=3，再由等差数列的中项性质可得，进而得到所求值． 【详解】数列1,,9是等比数列，可得=1×9， 解得， 由于1，，9均为奇数项，可得，即， 数列1, 9是等差数列，可得, 则=． 故答案为． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的中项性质，考查化简运算能力，属于基础题． 6．【答案】（1）；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用及求出，再结合，是和的等比中项可求出； （2）利用错位相减法即可求出； （3）由题可得对于恒成立，令，当时，， 当时，单调递减，又，从而可得. (1) 小问详解： 由，，解得， 所以；则， 由是和的等比中项，则，解得， 又由，所以，所以. (2) 小问详解： 由（1）可得， 则① ， ② ， 将两式相减得：， 化简得. (3) 小问详解： 若对于恒成立， 即对于恒成立， 化简得对于恒成立，令， 则，当时，； 所以当时，， 所以当时，单调递减，当时，， 所以，所以. 故实数的取值范围为. 7．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据条件，直接求出数列公比，即可求出数列通项公式；再利用与间的关系，即可求出的通项公式； （2）利用（1）中结果，再利用等差、等比数列的前项和公式，分组求和，即可求解. (1) 小问详解： 因为数列为等比数列，设数列的公比为， 又，，所以，解得，所以， 又数列的前项和为① ， 当时，② ，由①② 得到， 又，，所以，则，满足， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知， 所以. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $