专题07 相似（6大题型）（期中真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题07 相似（6大题型） 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）下列各组长度的线段（单位：）中，成比例线段的是（       ） A. 1，2，3，4 B. 1，2，3，6 C. 2，3，4，5 D. 1，3，5，10 【答案】B 【分析】根据成比例线段的概念，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】A、1×4≠2×3，故选项错误； B、1×6=2×3，故选项正确； C、2×5≠3×4，故选项错误； D、1×10≠3×5，故选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查成比例线段的概念．对于四条线段，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，那么，这四条线段叫做成比例线段．注意用最大的和最小的相乘，中间两数相乘． 2．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 3 D. 5 【答案】B 【分析】 根据相似多边形的对应边的比相等，就可以判断． 【详解】 解：∵这三个正方形的边都互相平行． ∴它们均相似． ∴ 解得：x=4． 故选：B． 【点睛】 本题考查相似多边形的性质，如果两个多边形都和第三个多边形相似，那么这两个多边形也相似． 3．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）若，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查比例的性质，根据，设，代入计算即可． 【详解】 解：∵， ∴设， ∴； 故选A． 4．（25-26学年九上·福建宁德·期中）已知（，），下列变形错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了比例的性质．根据比例的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】 解：∵ ， ∴，，，故B，C，D选项正确，不符合题意；A选项错误，符合题意． 故选：A 5．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（     ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 甲和乙和丙 【答案】C 【分析】 本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例． 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【详解】 解：三个矩形的角都是直角，丙、乙、甲相邻两边的比分别为：， ∴甲和丙相似， 故选：C． 6．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了比例的性质，分式的求值，设合适的参数是解题的关键． 根据已知比例设参数表示和，然后代入所求表达式计算即可． 【详解】 解：， 设，（）， 则：， ， 故选：B 7．（25-26学年九上·福建漳州·期中）已知，则代数式的值是（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了比例的性质，解题的关键是正确运用设k法求解． 由，可设，（），代入代数式求值． 【详解】 解：∵， ∴ 设，（）， 则， ∴ 代数式的值为， 故选：C． 8．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质进行解答即可． 【详解】 解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的周长比为：， 故选：B． 9．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典帕特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形的宽为边在矩形内部作正方形时，若，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了黄金分割，矩形的性质，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 先根据黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，计算出矩形的宽，在根据矩形的性质求解即可． 【详解】 解：黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比， ， ， ， 根据矩形的性质得：， , 故选：A 10．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）若，且，那么　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查比例关系的运用，掌握比例的性质是关键． 由已知比例关系设参数，代入所求表达式后化简． 【详解】 解：由 ，设，（），且由 得， 代入得， 由于 ，故 ，可约去公因式，得 故答案为：． 11．（25-26学年九上·福建漳州·期中）已知、、三条线段满足，若，则的值为　　　　　　 ． 【答案】6 【分析】 本题考查了比例的性质，由比例的性质可得，，，然后代入即可求解． 【详解】 解：， ，，， ， ． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）若，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】 解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 13．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为　　　　　　. 【答案】 【分析】 本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，表示为是解题关键．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】 解：如图，是线段的两个黄金分割点， 线段的长为， ， ， ， 四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图，已知直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E和B，D，F，，，，则等于（       ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，根据题意，可知，然后代入求值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）如图，，，，，那么的长为（     ） A.  B.  C.  D. 7 【答案】A 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】 解：∵，，，， ∴， 即， 解得：， 故选：A． 3．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）如图，已知直线、、分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．如果，，则的长为（     ） A. 16 B. 15 C. 10 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 根据可得，结合即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 4．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图，若，，则　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】 解：∵， ， 即， 解得：， 故答案为：4． 5．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，，若平分，则的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 主要考查了抛物线与轴的交点，角平分线的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 过点A作的平行线交y轴于点D，利用平行线分线段成比例定理得，再结合“平行线+角平分线得等腰三角形”，最后对运用勾股建立方程即可． 【详解】 解：如图，过点A作的平行线交y轴于点D， 由知，，， ，， 令，， ， ， 过点作， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， （舍或． 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定：① 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；② 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③ 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】 解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 2．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是【     】 A. BC=2DE B. △ADE∽△ABC C.  D. S△ABC=3S△ADE 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理得出DE是△ABC的中位线，再由中位线的性质得出△ADE∽△ABC，进而可得出结论： 【详解】∵在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC， ∴BC=2DE．故A正确． ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正确． ∵△ADE∽△ABC，∴，故C正确． ∵DE是△ABC的中位线，∴DE：BC=1：2，∴S△ABC=4S△ADE，故D错误． 故选D． 3．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积比为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，然后证明，接着根据，得到，最后利用相似三角形的性质求得答案． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的面积比为：， 故选：C． 4．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 【答案】A 【分析】 M是三条角平分线的交点，过M作，则得出，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：，即可求解． 【详解】 解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM=∠AEM，， ∴， ∵M是三条角平分线的交点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴∠1=∠2， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， △DBM∽△EMC， ∴， 即：， 即． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键． 5．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于C、D两点，，的面积为，则k等于（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的几何意义等知识点，由反比例函数k的几何意义得到与面积相等，由相似三角形面积之比等于相似比的平方得到与面积之比，设面积为x，列出关于x的方程，进而即可得解，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键． 【详解】 如图，连接，过点C作轴，    ∵轴， ∴， ∵，， ∴， 设面积为，根据反比例函数k的意义得到面积为， ∵， ∴与面积之比为， ∵的面积为，， ∴的面积为， ∴面积为，即的面积为， 解得， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（     ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得；根据，得是等边三角形，，得，所以，可判断② ；通过证明，可判断① ，可得，可求，可证，可判断④ ；由相似三角形的性质可得，可判断③ ，即可求解． 【详解】 解：∵是等边三角形， ， ∵四边形是正方形，        ， ， ∴， ∵是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， ， ，故② 正确； ， ， ， ， ， ，故① 正确； ， ， ， ， ， 又， ，故④ 正确； ， ， ， ， ， ，故③ 错误； 综上，① ② ④ 正确，共3个， 故选：B． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 7．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）如图，在中为边上一点， ，，．求的长． 【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的判定及性质，正确理解题意，掌握相似的判定及性质定理是解题的关键． 利用已知条件证明，得到，代入数值计算即可． 【详解】 解：在和中， ∵， ∴ ∴，即 ∴． 8．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）如图，请添加一个条件，使与相似，那么这个条件可以是　　　　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】 解：由图可知：， ∴当添加或时，则可根据“两个三角形的两组角对应相等，则这两个三角形相似”判定； 当添加时，则可根据“两组边对应成比例且夹角相等，则这两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 9．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=4，BD=2，则=　　　　　． 【答案】 【分析】利用三角形相似对应边成比例可解. 【详解】解：∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴ ∵AD=4，BD=2 ∴ 故答案为. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例. 10．（25-26学年九上·福建漳州·期中）在一次数学活动课中庄老师提出问题：“如图1，已知线段，如何用所学过的知识作线段的三等分点M．” 通过各小组合作讨论，奋进组探究出解决此问题的方法为：如图 2，分别过点、作的垂线，以点为圆心，为半径作弧，交垂线于点，以点为圆心，为半径依次作两段相等的弧，交垂线于点，连接交于点，则点是线段的三等分点． （1）请你将图2补充完整；并对奋进组这种做法的合理性给出证明； （2）请你设计一个与奋进组不同的方案，作已知线段AB的三等分点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 解：如图： 证明： 由作图可知， ， ， ， ， ， ，即， ，即点是线段的三等分点；     （2） 如图所示： 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质以及尺规作图，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和尺规作图的基本方法． （1）先根据题意补全图形，再通过证明三角形相似得出线段的比例关系，从而证明点是线段的三等分点； （2）利用尺规作图作平行线，根据平行线分线段成比例定理作出线段的三等分点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图：过点作射线，在上依次截取，连接，分别过点、作的平行线，交于点、，则点、即为线段的三等分点． ， ， ，点是线段的三等分点． 11．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根． （1）求、满足的关系式； （2）如图，若的直角顶点在轴上，，B的横坐标为，且的长恰好为方程的解． ①过点作轴，交于点，求证：为定长； ②求面积的最小值． 【答案】（1）     （2） ① 证明：如图，过作轴于， ∵的长恰好为方程的解， ∵方程的解为：， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设的解析式为， 则 ， ∴ ， ∴的解析式为：， 当时，， ∴为定长；    ②面积的最小值是      【分析】 （1）由一元二次方程有两个相等的实数根，可得，代入计算即可； （2）① 作辅助线，证明，可得的长，进而得点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，由点的横坐标可得的长；② 利用三角形的面积和，可得的面积，再根据完全平方公式，可得的最小值，从而得结论． (1) 小问详解： 解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； (2) 小问详解： ① 略 ② 解：由① 知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是， ∴面积的最小值是． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的判别式、相似三角形的判定与性质、平面直角坐标系的点的坐标、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、完全平方公式，解本题的关键在利用参数表示点的坐标和线段的长． 12．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）（多选）如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E． （1）求证：ABE∽DBC； （2）求线段AE的长． 【答案】（1）证明：∵AB＝AD＝25， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△DBC； （2）AE=15． 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可知∠ABD＝∠ADB，由AD∥BC可得∠ADB＝∠DBC，即可得出∠ABD＝∠DBC，根据∠AEB＝∠C＝90°，即可可证明△ABE∽△DBC； （2）由等腰三角形的性质可知，BD＝2BE，根据相似三角形的性质可求出BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可得答案． 【详解】 （1）略 （2）∵AB＝AD，AE⊥BD， ∴BE＝DE， ∴BD＝2BE， ∵△ABE∽△DBC， ∴， ∵AB＝AD＝25，BC＝32， ∴， ∴BE＝20， ∴AE＝＝15． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 13．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图，中，点是的两条中线、的交点，若，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形中位线，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．取的中点，连接，先证明是的中位线，推出，从而得到，那么，，不妨设，那么，那么，，从而得出答案． 【详解】 解：取的中点，连接，如图所示： ∵点是的两条中线、的交点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴，， 不妨设，那么， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 14．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图1，在矩形中，，E是边上一点且不与B，C重合，连接． （1）如图2，若，求的长； （2）如图3，过点E作，交边于点F，将沿折叠，点C的对应点G恰好落在边上，求证：； （3）在点E运动过程中，若，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）1或4     （2） 证明：连接，交于点H， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （3） ， 理由：延长，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质、矩形性质及平行四边形的判定，熟练掌握相关性质是解题关键， （1）先证明，设，则，根据相似三角形性质求出结论即可； （2）连接，交于点H，证明四边形是平行四边形，得出，进而证明，得出结论； （3）延长，在延长线上截取，连接，先证明，得出，再证明，进而得出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴， 整理得， 解得， ∴的长为1或4； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 15．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为　　　　　　　cm． 【答案】9 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线的性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】 解：如图，过点作于， 由题意可知：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为： 16．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图，在矩形中，，，是边上的一点（不与点，重合），，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ；     （2）；      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形性质得，进而由平行线的性质得，再根据角角对应相等的两个三角形相似得出结论． （2）根据相似三角形的性质得到对应边成比例可知，再根据勾股定理可计算的值，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 在中，， ， ， ． 17．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图，在矩形中，，，点在上的点，将沿折叠，当点的对应点为． （1）如图1，当点到、的距离相等时，求的长． （2）如图2，若，求的面积． 【答案】（1）     （2）的面积为      【分析】 本题考查的是矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键， （1）过点作于点F，延长交于点E，证明，得出，设，根据列方程求出即可； （2）过点作于点M，延长交于点N，证明，得出，设，则，列方程求出即可求出结论． (1) 小问详解： 解：过点作于点F，延长交于点E， 则， 在矩形中，， ， ∴四边形是矩形， ， 当点到、的距离相等时，即， 由折叠得：， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：（负值已舍）， ； (2) 小问详解： 解：过点作于点M，延长交于点N， 同（1）四边形是矩形， ， 同（1）知：， ， 由折叠，， 设，则， ， ， ， 解得：，即， 的面积． 18．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）如图，在中，点D、E分别在上， ． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据平行得到，再结合已知即可证明； （2）先根据求出，再证明，根据相似三角形面积比等于相似比平方求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图，在中，平分，点在边上，，若，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形相似的判定与性质，平角的定义，对顶角相等，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合角平分线，先证明，得到，，接着证明，推出，得到，从而有，不妨设，推出，最后利用推出答案． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴不妨设， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】问题背景：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：证明：如图所示，取的中点，连接，    ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展： 【分析】 问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】 问题背景：略 问题探究：略 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接，    ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 21．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，点M为线段上一动点，则的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 作于H，作于L，首先利用勾股定理得的长，再根据，求出的长，再利用，得，则当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长，进而解决问题． 【详解】 解：如图，作于H，作于L，    在矩形中，，， ，， ， ∵沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，垂线段最短等知识，熟练掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 22．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连接，使得面积为9，连结，则的最大值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点D作，根据面积为9可取定长为6即可构造，从而得出，这样即确定了点D的轨迹圆心位置，再根据勾股定理求出长度，结合点D轨迹，在三点共线时有最大值即可求得答案． 【详解】 解：如图，过点D作连接使得，取中点为点F，连接、，以点F为圆心，半径为3作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由题意得， ， 即点D轨迹为以线段为直径的圆， ， 当且仅当点B、F、D三点共线时取等， 在中， ， 解得， ， ， 最大值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，三角形的面积公式，圆直径所对圆周角为，根据面积为定值得出乘积式为定值，再结合条件将乘积式转换比例式构造出相似，利用相似结论导角得出轨迹是解题的关键． 23．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，交于点，求的长． （3）在纸片绕点旋转过程中，当为直角时，求的面积． 【答案】（1）     （2）12     （3）      【分析】 （1）根据全等三角形的性质得到、，根据勾股定理得到，再证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：连接，延长交于点Q，连接交于点P，延长交于点N，根据（1）得，由中线的性质可得，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，在中，由勾股定理得，设，则，根据全等三角形的性质得到，在中，利用勾股定理列方程求得，故，然后根据相似三角形的性质求解即可． （3）如图，过点A作于点Q，交于点N，根据等腰三角形的性质得到，易得，故，因此得到，由，得，即，设，则，由勾股定理，可得，解得，最后根据三角形面积公式求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：在和中， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， ． (2) 小问详解： 解：如图：连接，延长交于点Q，连接交于点P，延长交于点N，根据（1）得， ， ∵是中线， ， ， ， ，即， ∴， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， ， 设，则， 在和中， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ，解得∶， ， ∵，， ∴， ， ，即，解得∶． (3) 小问详解： 解：如图，过点A作于点Q，交于点N， 由旋转的性质可得：，， ， 又∵， ∴， ， ， ∵， ， ， ， 设，则， ， ，解得， ． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形相似的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 24．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图，在正方形中，点E是的中点，F、G分别是、上的动点，且交于点H，连接和，则下列结论正确的是　　　　　　． ①；            ②； ③；                      ④当时，的最小值是． 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质． 以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点I，连接，根据垂线的定义证明，根据正方形的性质得到，，根据平行线间的距离处处相等得到，可知，根据证明，进而得到，，故① 、③ 正确；根据正方形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质得到，进而证明是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，由可知当A、G、N在一条直线上时最小，为，故④ 正确；假设成立，可得，与实际情况不符，故② 错误． 【详解】 解：如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点I，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故① 、③ 正确； ∵正方形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，为，故④ 正确； 若，则， ∵， ∴F、G在、上同向运动， 当F、G在、上向上运动时，变大，变小， ∴不成立，故② 错误； 则结论正确的是① ③ ④ ． 故答案为：① ③ ④ ． 25．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）数学家研究发现，内，必有一点，满足，此时称点为的“布洛卡点”． （1）如图1，在中，点是的“布洛卡点”，且，求证：． （2）如图2，在中，，，点是的“布洛卡点”． ①求的值； ②如果点到三角形的边，，的距离分别为，，．求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ∵， ， 即， ， ；     （2）①； ② 证明：如图，过点P作，交于点D，E，F， ∵点到三角形的边，，的距离分别为，，， ，，， ∵， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即．      【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键， （1）先证明，得出，即可证明结论； （2）① 先求出，同（1）得出，根据相似三角形性质得出结论；② 过点P作，交于点D，E，F，通过得出，再证明得出，即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 在中，，， ， ， ∵点是的“布洛卡点”， 同（1）得：， ， ， ， ； ② 略 26．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，______； （2）如图2，过点作的平行线，交的延长线于点，过点作的平行线，交的延长线于点，与交于点． ①求证：； ②当时，求的值． 【答案】（1）     （2） ①证明：设旋转角为， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②      【分析】 本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． （1）根据旋转的性质可得结论； （2）① 设旋转角为，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，结合，得出； ② 根据，设，证明四边形是平行四边形，得出，由① 得，在中，勾股定理得出，根据，得出，根据，得出，证明，得出，证明得，求出，证出，进而可证，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解． (1) 小问详解： 解：由旋转的性质得， 故答案为：； (2) 小问详解： ① 略 ② 解：∵， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由① 得， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴， ∴， 即， ∴， 由① 得， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立可得， ∴． 27．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）综合与探究 【定义】若四边形的一条对角线将这个四边形分成等腰三角形和直角三角形，且此对角线为直角三角形的斜边，则这个四边形叫做“等腰直角四边形”，这条对角线为“分割对角线”． 【示例】如图1，是四边形的对角线，是等腰三角形，，则四边形是等腰直角四边形，是分割对角线． 【简单应用】 （1）如图2，在“等腰直角四边形”中，，．若，，，则___________； （2）如图3，在中，点在对角线上．若四边形是“等腰直角四边形”，，求的值； 【拓展提升】 （3）如图4，在“等腰直角四边形”中，对角线与相关于点，，，求的值； （4）如图5，在中，，，．点是平面内一点且满足四边形是以为分割对角线的“等腰直角四边形”，与交于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或 【分析】 （1）过点C作于H，证明四边形是矩形，得到，由勾股定理得，则，可得，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作，垂足为，则，证明，得到，即，解得． （3）如图所示，作交延长线于点，作交于点，证明，得到，设，则，证明，得到，再证明，即可得到； （4）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】 解：（1）如图所示，过点C作于H， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）如图所示，过点C作，垂足为， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， 解得． （3）如图所示，作交延长线于点，作交于点， ， ， ， 又， ， ∴， 设，则， ∵， ∴， ， ∴， ，即 ∴， ， ，即； （4）解析：①当时， 过点A作交延长线于F，分别过点C和点D作的垂线，垂足分别为N、M， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则 在和中，由勾股定理得， ∵， 诉 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ； ②当时， 过点D作于M，过点A作交延长线于N， ∴， 同理可得， 过点A作，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ； ③当时， 作交于点，作于H， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴， ∴ ∵， ， ． 综上所述，的值为或或． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 28．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）如图，四边形内接于，对角线平分，于点E，的延长线交于点F，连接和， （1）如图1，若点O在线段上，的弦为的直径，，求劣弧的长． （2）如图2，过点C作于点H，，探究：当时，与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，连接，，，，求的长． 【答案】（1）     （2）解：，理由： 如图，过点C作，交的延长线于点G， ∵平分，， ∴， ， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴，∴是直径， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴．     （3）      【分析】 （1）利用同角的余角相等结合圆周角定理证明，进而求出，由此即可求解； （2）过点C作，交的延长线于点G，利用“角平分线+对角互补模型”证明，，可得，，再由，证明，进而可得，可得，进而可得四边形是平行四边形，从而得出是直径，由可得，进而可得，由此求出，，根据直角三角形的性质可得，，由此即可求出． （3）过点C作，交的延长线于点G，延长到，使，由（2）可知，，设，则，，再根据，结合，可得，由此证明，进而可得，，由相似三角形的性质列比例式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 根据题意得：为的直径， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴半径为1， ∴劣弧的长为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 过点C作，交的延长线于点G，延长到，使， 由（2）可知，，， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】 本题考查了圆与三角形的综合，解（2）题关键是利用“角平分线+对角互补模型”构造三角形全等得出线段和角的关系，解（3）问的关键是利用已知角的关系证明，从而构造等腰三角形，再利用相似解题． 29．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）（1） 如图1， 在中， D是上一点，交于点G，则                  （用图中已有线段表示） （2） 如图2，在中， M、N是上的两点， 且满足， 在上取一点D， 过点D作分别交 的延长线、于点 P、Q，求 的值： （3） 如图3， 在正方形中， 点E是上一点， 连接交于点F， 在上取一点 P， 使得， 若        求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）证明，，可得，从而可得答案； （2）如图，过作交于，交于，结合（1）得：，证明，可得，证明，可得，从而可得答案； （3）如图，过作交于，交于，证明，可得，设，则，求解，证明，可得，结合，再进一步解方程即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，过作交于，交于， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图，过作交于，交于， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，本题属于相似三角形的综合题，难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的周长比是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 根据相似三角形的周长比等于其相似比求解即可． 【详解】 解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的周长比是． 故选C． 2．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）两个相似三角形的面积比是，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是相似三角形的性质，掌握其性质是解题是关键． 根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】 解：两个相似三角形的面积之比为， 相似比是， 又相似三角形对应边上的中线的比等于相似比， 中线的比为； 故选：B． 3．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A. 8 B.  C. 8或 D. 8或 【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，本题应分两种情况进行讨论，①；②；可根据各相似三角形得出比例关系式求出的长即可． 【详解】 解：当时，如图1， ， ，，， ， ， ； 当时，如图2， ， ，，， ， ． 综上，的长为8或． 故选：C． 4．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 如图所示（见详解），根据相似三角形的性质，三角形的高的比等于相似比，由此可求的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】 解：如图所示，根据题意得，正方形，，是对角线，与交于点，过点作直线于，交于， ∵，，，设，则， ∴， ∴，即，解方程得，， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查格点三角形与三角形相似，掌握格点三角形的特点，相似三角形的性质是解题的关键． 5．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）已知：如图，在中，、分别在边、上，连接，，，，，求证：． 【答案】证明：已知，， ∴． 已知，， ∴． 可得，． ∵，且是与的公共角． ∴可得． ∴． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明． 通过证明三角形相似，再利用相似三角形的性质来证明角相等． 【详解】 略 6．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）如图，a//b//c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，等边的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是　　　　　　． 【答案】 【分析】 如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E，先证明四边形ADEF是矩形，得到AF=DE，AD=EF，再由直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，得到，，则，可设AB=AC=BC=x，由勾股定理得：，，，再由，即可得到，由此求解即可． 【详解】 解：如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E， ∵a∥b∥c， ∴AD⊥直线a，EF⊥直线a，EF⊥直线c， ∴四边形ADEF是矩形， ∴AF=DE，AD=EF， ∵直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为， ∴，， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴可设AB=AC=BC=x， 由勾股定理得：，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得（不符合题意的值已经舍去）， ∴△ABC的边长为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，平行线的间距，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 7．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图，等边三角形的边长为，是边上一点，且． （1）请利用尺规，在边上找一点，使沿折叠后，点的对应点恰好落在边上的点处（不写做法，保留作图痕迹）； （2）在（）的条件下，求的长． 【答案】（1） 如图，点为所要求作的点；      （2）．      【分析】 本题考查了尺规作图——作垂直平分线，等边三角形的性质，勾股定理，折叠性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作垂直平分线即可； （）连接，过点作交于点，由是等边三角形，所以，故有，则有，然后通过勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接，过点作交于点， ∵是等边三角形 ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴ 由折叠可知， 由勾股定理的， 在中由勾股定理的， ∴； 故的长为． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】 解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C 2．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“ ”字高度为，当测试距离为时，最大的“ ”字高度为（ ）mm A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，得、，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案． 【详解】 根据题意，得，且 ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】 本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 3．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为　　　　　　　　　　　米． 【答案】7 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】 解：，， ， ， ， ， （米）， 故答案为：7． 4．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和点，使，然后再选点，使，确定与的交点为，如图，测得米，米，米，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 【答案】两岸之间的大致距离为100米 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证明，由相似三角形的性质“对应边成比例”求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即有， 解得米， 即两岸间的大致距离为100米． 5．（25-26学年九上·福建宁德·期中）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高是，蜡烛与凸透镜的距离是，蜡烛的像与凸透镜的距离是，则像的高是　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：由题意得：， ∴， ∴， ， ， ． 故答案为：2． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（     ） A. 点R B. 点P C. 点Q D. 点O 【答案】D 【分析】 本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】 解：连接，交于点O， ∴点O是位似中心， 故选：D． 2．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（       ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】B 【分析】 本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】 解：∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴的周长：的周长， ∵的周长为8， ∴的周长为20， 故选：B． 3．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段，则端点的坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标． 【详解】 解：∵以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段， ∴点与点时对应点， ∵点的坐标为，位似比为：， ∴点的坐标为：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系式解题的关键． 4．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到；A的对应点是的对应点是）； （2）请用无刻度的直尺在边上画出点，使（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，即为所求；     （2） 如图，点D即为所求． 【分析】 本题考查了位似基本作图，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． （1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，后画图即可； （2）利用平行线分线段成比例和网格，构造平行线与交于点D，点D即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 5．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）在如图小正方形的边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上． （1）以点O为位似中心画△ABC的位似图形△A1B1C1，位似比为1:2． （2）在(1)中所画得图形中，△ABC的中线CD与△A1B1C1的中线C1D1的位置关系为　     　． 【答案】（1）如图△A1B1C1就是所求作的图形. （2） 【分析】 （1）根据位似图形的性质可以得解； （2）根据位似图形的性质可得解． 【详解】 （1）分别在射线AO、BO、CO上截取，连结 即得所作图形； （2）∵在(1) 中所画的图形中，△ABC的中线CD与的中线 是对应线段， ∴由“位似图形中不经过位似中心的对应线段平行”的性质可以得到：CD∥. 【点睛】 本题考查位似图形的应用与作图，熟练掌握位似图形的意义和性质是解题关键． 6．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图，在的网格中，三个顶点坐标分别为、、． （1）以为位似中心，将放大为，使得与的位似比为2∶1，请在网格图中画出； （2）直接写出（1）中点、的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）点的坐标为，点的坐标为      【分析】 本题主要考查了作图－位似变换，根据位似变换的定义和性质得出对应点位置是解题的关键． （1）根据位似变换的定义和性质作出点、、的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）由（1）可得、的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点的坐标为，点的坐标为． 7．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）已知，与位似（点分别对应点），原点为位似中心；位似比为，点的坐标分别为． （1）若位似比，请你在轴右侧画出． （2）若位似比，则___________． 【答案】（1） 如图，即为所求：      （2）      【分析】 本题考查了平面直角坐标系中画位似图形，相似三角形的性质，掌握位似图形的性质解题的关键． （1）将点的横纵坐标都乘以得到的坐标，再顺次连接即可． （2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ∵位似比， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似（6大题型） 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）下列各组长度的线段（单位：）中，成比例线段的是（       ） A. 1，2，3，4 B. 1，2，3，6 C. 2，3，4，5 D. 1，3，5，10 2．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 3 D. 5 3．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）若，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·福建宁德·期中）已知（，），下列变形错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（     ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 甲和乙和丙 6．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·福建漳州·期中）已知，则代数式的值是（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  8．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（     ）． A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典帕特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形的宽为边在矩形内部作正方形时，若，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）若，且，那么　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·福建漳州·期中）已知、、三条线段满足，若，则的值为　　　　　　 ． 12．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）若，则　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为　　　　　　. 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图，已知直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E和B，D，F，，，，则等于（       ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 2．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）如图，，，，，那么的长为（     ） A.  B.  C.  D. 7 3．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）如图，已知直线、、分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．如果，，则的长为（     ） A. 16 B. 15 C. 10 D. 8 4．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图，若，，则　　　　　． 5．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，，若平分，则的值是　　　　　　　　　　　． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是【     】 A. BC=2DE B. △ADE∽△ABC C.  D. S△ABC=3S△ADE 3．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积比为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 5．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于C、D两点，，的面积为，则k等于（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（     ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）如图，在中为边上一点， ，，．求的长． 8．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）如图，请添加一个条件，使与相似，那么这个条件可以是　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=4，BD=2，则=　　　　　． 10．（25-26学年九上·福建漳州·期中）在一次数学活动课中庄老师提出问题：“如图1，已知线段，如何用所学过的知识作线段的三等分点M．” 通过各小组合作讨论，奋进组探究出解决此问题的方法为：如图 2，分别过点、作的垂线，以点为圆心，为半径作弧，交垂线于点，以点为圆心，为半径依次作两段相等的弧，交垂线于点，连接交于点，则点是线段的三等分点． （1）请你将图2补充完整；并对奋进组这种做法的合理性给出证明； （2）请你设计一个与奋进组不同的方案，作已知线段AB的三等分点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 11．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根． （1）求、满足的关系式； （2）如图，若的直角顶点在轴上，，B的横坐标为，且的长恰好为方程的解． ①过点作轴，交于点，求证：为定长； ②求面积的最小值． 12．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）（多选）如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E． （1）求证：ABE∽DBC； （2）求线段AE的长． 13．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图，中，点是的两条中线、的交点，若，则　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图1，在矩形中，，E是边上一点且不与B，C重合，连接． （1）如图2，若，求的长； （2）如图3，过点E作，交边于点F，将沿折叠，点C的对应点G恰好落在边上，求证：； （3）在点E运动过程中，若，探究与的数量关系，并说明理由． 15．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为　　　　　　　cm． 16．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图，在矩形中，，，是边上的一点（不与点，重合），，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的长． 17．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图，在矩形中，，，点在上的点，将沿折叠，当点的对应点为． （1）如图1，当点到、的距离相等时，求的长． （2）如图2，若，求的面积． 18．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）如图，在中，点D、E分别在上， ． （1）求证：； （2）若，求的值． 19．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图，在中，平分，点在边上，，若，则　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 21．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，点M为线段上一动点，则的最小值为　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连接，使得面积为9，连结，则的最大值是　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，交于点，求的长． （3）在纸片绕点旋转过程中，当为直角时，求的面积． 24．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图，在正方形中，点E是的中点，F、G分别是、上的动点，且交于点H，连接和，则下列结论正确的是　　　　　　． ①；            ②； ③；                      ④当时，的最小值是． 25．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）数学家研究发现，内，必有一点，满足，此时称点为的“布洛卡点”． （1）如图1，在中，点是的“布洛卡点”，且，求证：． （2）如图2，在中，，，点是的“布洛卡点”． ①求的值； ②如果点到三角形的边，，的距离分别为，，．求证：． 26．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，______； （2）如图2，过点作的平行线，交的延长线于点，过点作的平行线，交的延长线于点，与交于点． ①求证：； ②当时，求的值． 27．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）综合与探究 【定义】若四边形的一条对角线将这个四边形分成等腰三角形和直角三角形，且此对角线为直角三角形的斜边，则这个四边形叫做“等腰直角四边形”，这条对角线为“分割对角线”． 【示例】如图1，是四边形的对角线，是等腰三角形，，则四边形是等腰直角四边形，是分割对角线． 【简单应用】 （1）如图2，在“等腰直角四边形”中，，．若，，，则___________； （2）如图3，在中，点在对角线上．若四边形是“等腰直角四边形”，，求的值； 【拓展提升】 （3）如图4，在“等腰直角四边形”中，对角线与相关于点，，，求的值； （4）如图5，在中，，，．点是平面内一点且满足四边形是以为分割对角线的“等腰直角四边形”，与交于点，直接写出的值． 28．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）如图，四边形内接于，对角线平分，于点E，的延长线交于点F，连接和， （1）如图1，若点O在线段上，的弦为的直径，，求劣弧的长． （2）如图2，过点C作于点H，，探究：当时，与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，连接，，，，求的长． 29．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）（1） 如图1， 在中， D是上一点，交于点G，则                  （用图中已有线段表示） （2） 如图2，在中， M、N是上的两点， 且满足， 在上取一点D， 过点D作分别交 的延长线、于点 P、Q，求 的值： （3） 如图3， 在正方形中， 点E是上一点， 连接交于点F， 在上取一点 P， 使得， 若        求的长． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的周长比是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）两个相似三角形的面积比是，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A. 8 B.  C. 8或 D. 8或 4．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）已知：如图，在中，、分别在边、上，连接，，，，，求证：． 6．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）如图，a//b//c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，等边的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是　　　　　　． 7．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图，等边三角形的边长为，是边上一点，且． （1）请利用尺规，在边上找一点，使沿折叠后，点的对应点恰好落在边上的点处（不写做法，保留作图痕迹）； （2）在（）的条件下，求的长． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“ ”字高度为，当测试距离为时，最大的“ ”字高度为（ ）mm A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为　　　　　　　　　　　米． 4．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和点，使，然后再选点，使，确定与的交点为，如图，测得米，米，米，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 5．（25-26学年九上·福建宁德·期中）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高是，蜡烛与凸透镜的距离是，蜡烛的像与凸透镜的距离是，则像的高是　　　　　　　． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（     ） A. 点R B. 点P C. 点Q D. 点O 2．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（       ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 3．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段，则端点的坐标为　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到；A的对应点是的对应点是）； （2）请用无刻度的直尺在边上画出点，使（保留作图痕迹）． 5．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）在如图小正方形的边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上． （1）以点O为位似中心画△ABC的位似图形△A1B1C1，位似比为1:2． （2）在(1)中所画得图形中，△ABC的中线CD与△A1B1C1的中线C1D1的位置关系为　     　． 6．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）如图，在的网格中，三个顶点坐标分别为、、． （1）以为位似中心，将放大为，使得与的位似比为2∶1，请在网格图中画出； （2）直接写出（1）中点、的坐标． 7．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）已知，与位似（点分别对应点），原点为位似中心；位似比为，点的坐标分别为． （1）若位似比，请你在轴右侧画出． （2）若位似比，则___________． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似（6大题型） 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．B 2．B 3．A 4．A 5．C 6．B 7．C 8．B 9．A 10．【答案】 【分析】 本题主要考查比例关系的运用，掌握比例的性质是关键． 由已知比例关系设参数，代入所求表达式后化简． 【详解】 解：由 ，设，（），且由 得， 代入得， 由于 ，故 ，可约去公因式，得 故答案为：． 11．【答案】6 【分析】 本题考查了比例的性质，由比例的性质可得，，，然后代入即可求解． 【详解】 解：， ，，， ， ． 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】 解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 13．【答案】 【分析】 本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，表示为是解题关键．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】 解：如图，是线段的两个黄金分割点， 线段的长为， ， ， ， 四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．B 2．A 3．B 4．【答案】4 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】 解：∵， ， 即， 解得：， 故答案为：4． 5．【答案】 【分析】 主要考查了抛物线与轴的交点，角平分线的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 过点A作的平行线交y轴于点D，利用平行线分线段成比例定理得，再结合“平行线+角平分线得等腰三角形”，最后对运用勾股建立方程即可． 【详解】 解：如图，过点A作的平行线交y轴于点D， 由知，，， ，， 令，， ， ， 过点作， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， （舍或． 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．C 2．D 3．C 4．A 5．D 6．B 7．【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的判定及性质，正确理解题意，掌握相似的判定及性质定理是解题的关键． 利用已知条件证明，得到，代入数值计算即可． 【详解】 解：在和中， ∵， ∴ ∴，即 ∴． 8．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】 解：由图可知：， ∴当添加或时，则可根据“两个三角形的两组角对应相等，则这两个三角形相似”判定； 当添加时，则可根据“两组边对应成比例且夹角相等，则这两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 9．【答案】 【分析】利用三角形相似对应边成比例可解. 【详解】解：∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴ ∵AD=4，BD=2 ∴ 故答案为. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例. 10．【答案】（1） 解：如图： 证明： 由作图可知， ， ， ， ， ， ，即， ，即点是线段的三等分点；     （2） 如图所示： 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质以及尺规作图，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和尺规作图的基本方法． （1）先根据题意补全图形，再通过证明三角形相似得出线段的比例关系，从而证明点是线段的三等分点； （2）利用尺规作图作平行线，根据平行线分线段成比例定理作出线段的三等分点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图：过点作射线，在上依次截取，连接，分别过点、作的平行线，交于点、，则点、即为线段的三等分点． ， ， ，点是线段的三等分点． 11．【答案】（1）     （2） ① 证明：如图，过作轴于， ∵的长恰好为方程的解， ∵方程的解为：， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设的解析式为， 则 ， ∴ ， ∴的解析式为：， 当时，， ∴为定长；    ②面积的最小值是      【分析】 （1）由一元二次方程有两个相等的实数根，可得，代入计算即可； （2）① 作辅助线，证明，可得的长，进而得点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，由点的横坐标可得的长；② 利用三角形的面积和，可得的面积，再根据完全平方公式，可得的最小值，从而得结论． (1) 小问详解： 解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； (2) 小问详解： ① 略 ② 解：由① 知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是， ∴面积的最小值是． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的判别式、相似三角形的判定与性质、平面直角坐标系的点的坐标、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、完全平方公式，解本题的关键在利用参数表示点的坐标和线段的长． 12．【答案】（1）证明：∵AB＝AD＝25， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△DBC； （2）AE=15． 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可知∠ABD＝∠ADB，由AD∥BC可得∠ADB＝∠DBC，即可得出∠ABD＝∠DBC，根据∠AEB＝∠C＝90°，即可可证明△ABE∽△DBC； （2）由等腰三角形的性质可知，BD＝2BE，根据相似三角形的性质可求出BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可得答案． 【详解】 （1）略 （2）∵AB＝AD，AE⊥BD， ∴BE＝DE， ∴BD＝2BE， ∵△ABE∽△DBC， ∴， ∵AB＝AD＝25，BC＝32， ∴， ∴BE＝20， ∴AE＝＝15． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 13．【答案】 【分析】 本题考查了三角形中位线，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．取的中点，连接，先证明是的中位线，推出，从而得到，那么，，不妨设，那么，那么，，从而得出答案． 【详解】 解：取的中点，连接，如图所示： ∵点是的两条中线、的交点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴，， 不妨设，那么， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 14．【答案】（1）1或4     （2） 证明：连接，交于点H， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （3） ， 理由：延长，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质、矩形性质及平行四边形的判定，熟练掌握相关性质是解题关键， （1）先证明，设，则，根据相似三角形性质求出结论即可； （2）连接，交于点H，证明四边形是平行四边形，得出，进而证明，得出结论； （3）延长，在延长线上截取，连接，先证明，得出，再证明，进而得出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴， 整理得， 解得， ∴的长为1或4； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 15．【答案】9 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线的性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】 解：如图，过点作于， 由题意可知：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为： 16．【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ；     （2）；      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形性质得，进而由平行线的性质得，再根据角角对应相等的两个三角形相似得出结论． （2）根据相似三角形的性质得到对应边成比例可知，再根据勾股定理可计算的值，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 在中，， ， ， ． 17．【答案】（1）     （2）的面积为      【分析】 本题考查的是矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键， （1）过点作于点F，延长交于点E，证明，得出，设，根据列方程求出即可； （2）过点作于点M，延长交于点N，证明，得出，设，则，列方程求出即可求出结论． (1) 小问详解： 解：过点作于点F，延长交于点E， 则， 在矩形中，， ， ∴四边形是矩形， ， 当点到、的距离相等时，即， 由折叠得：， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：（负值已舍）， ； (2) 小问详解： 解：过点作于点M，延长交于点N， 同（1）四边形是矩形， ， 同（1）知：， ， 由折叠，， 设，则， ， ， ， 解得：，即， 的面积． 18．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据平行得到，再结合已知即可证明； （2）先根据求出，再证明，根据相似三角形面积比等于相似比平方求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．【答案】 【分析】 本题考查了三角形相似的判定与性质，平角的定义，对顶角相等，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合角平分线，先证明，得到，，接着证明，推出，得到，从而有，不妨设，推出，最后利用推出答案． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴不妨设， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．【答案】问题背景：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：证明：如图所示，取的中点，连接，    ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展： 【分析】 问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】 问题背景：略 问题探究：略 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接，    ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 21．【答案】 【分析】 作于H，作于L，首先利用勾股定理得的长，再根据，求出的长，再利用，得，则当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长，进而解决问题． 【详解】 解：如图，作于H，作于L，    在矩形中，，， ，， ， ∵沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，垂线段最短等知识，熟练掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 22．【答案】 【分析】 过点D作，根据面积为9可取定长为6即可构造，从而得出，这样即确定了点D的轨迹圆心位置，再根据勾股定理求出长度，结合点D轨迹，在三点共线时有最大值即可求得答案． 【详解】 解：如图，过点D作连接使得，取中点为点F，连接、，以点F为圆心，半径为3作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由题意得， ， 即点D轨迹为以线段为直径的圆， ， 当且仅当点B、F、D三点共线时取等， 在中， ， 解得， ， ， 最大值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，三角形的面积公式，圆直径所对圆周角为，根据面积为定值得出乘积式为定值，再结合条件将乘积式转换比例式构造出相似，利用相似结论导角得出轨迹是解题的关键． 23．【答案】（1）     （2）12     （3）      【分析】 （1）根据全等三角形的性质得到、，根据勾股定理得到，再证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：连接，延长交于点Q，连接交于点P，延长交于点N，根据（1）得，由中线的性质可得，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，在中，由勾股定理得，设，则，根据全等三角形的性质得到，在中，利用勾股定理列方程求得，故，然后根据相似三角形的性质求解即可． （3）如图，过点A作于点Q，交于点N，根据等腰三角形的性质得到，易得，故，因此得到，由，得，即，设，则，由勾股定理，可得，解得，最后根据三角形面积公式求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：在和中， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， ． (2) 小问详解： 解：如图：连接，延长交于点Q，连接交于点P，延长交于点N，根据（1）得， ， ∵是中线， ， ， ， ，即， ∴， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， ， 设，则， 在和中， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ，解得∶， ， ∵，， ∴， ， ，即，解得∶． (3) 小问详解： 解：如图，过点A作于点Q，交于点N， 由旋转的性质可得：，， ， 又∵， ∴， ， ， ∵， ， ， ， 设，则， ， ，解得， ． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形相似的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 24．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质． 以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点I，连接，根据垂线的定义证明，根据正方形的性质得到，，根据平行线间的距离处处相等得到，可知，根据证明，进而得到，，故① 、③ 正确；根据正方形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质得到，进而证明是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，由可知当A、G、N在一条直线上时最小，为，故④ 正确；假设成立，可得，与实际情况不符，故② 错误． 【详解】 解：如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点I，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故① 、③ 正确； ∵正方形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，为，故④ 正确； 若，则， ∵， ∴F、G在、上同向运动， 当F、G在、上向上运动时，变大，变小， ∴不成立，故② 错误； 则结论正确的是① ③ ④ ． 故答案为：① ③ ④ ． 25．【答案】（1） 证明：， ， ∵， ， 即， ， ；     （2）①； ② 证明：如图，过点P作，交于点D，E，F， ∵点到三角形的边，，的距离分别为，，， ，，， ∵， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即．      【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键， （1）先证明，得出，即可证明结论； （2）① 先求出，同（1）得出，根据相似三角形性质得出结论；② 过点P作，交于点D，E，F，通过得出，再证明得出，即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 在中，，， ， ， ∵点是的“布洛卡点”， 同（1）得：， ， ， ， ； ② 略 26．【答案】（1）     （2） ①证明：设旋转角为， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②      【分析】 本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． （1）根据旋转的性质可得结论； （2）① 设旋转角为，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，结合，得出； ② 根据，设，证明四边形是平行四边形，得出，由① 得，在中，勾股定理得出，根据，得出，根据，得出，证明，得出，证明得，求出，证出，进而可证，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解． (1) 小问详解： 解：由旋转的性质得， 故答案为：； (2) 小问详解： ① 略 ② 解：∵， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由① 得， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴， ∴， 即， ∴， 由① 得， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立可得， ∴． 27．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或 【分析】 （1）过点C作于H，证明四边形是矩形，得到，由勾股定理得，则，可得，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作，垂足为，则，证明，得到，即，解得． （3）如图所示，作交延长线于点，作交于点，证明，得到，设，则，证明，得到，再证明，即可得到； （4）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】 解：（1）如图所示，过点C作于H， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）如图所示，过点C作，垂足为， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， 解得． （3）如图所示，作交延长线于点，作交于点， ， ， ， 又， ， ∴， 设，则， ∵， ∴， ， ∴， ，即 ∴， ， ，即； （4）解析：①当时， 过点A作交延长线于F，分别过点C和点D作的垂线，垂足分别为N、M， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则 在和中，由勾股定理得， ∵， 诉 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ； ②当时， 过点D作于M，过点A作交延长线于N， ∴， 同理可得， 过点A作，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ； ③当时， 作交于点，作于H， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴， ∴ ∵， ， ． 综上所述，的值为或或． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 28．【答案】（1）     （2）解：，理由： 如图，过点C作，交的延长线于点G， ∵平分，， ∴， ， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴，∴是直径， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴．     （3）      【分析】 （1）利用同角的余角相等结合圆周角定理证明，进而求出，由此即可求解； （2）过点C作，交的延长线于点G，利用“角平分线+对角互补模型”证明，，可得，，再由，证明，进而可得，可得，进而可得四边形是平行四边形，从而得出是直径，由可得，进而可得，由此求出，，根据直角三角形的性质可得，，由此即可求出． （3）过点C作，交的延长线于点G，延长到，使，由（2）可知，，设，则，，再根据，结合，可得，由此证明，进而可得，，由相似三角形的性质列比例式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 根据题意得：为的直径， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴半径为1， ∴劣弧的长为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 过点C作，交的延长线于点G，延长到，使， 由（2）可知，，， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】 本题考查了圆与三角形的综合，解（2）题关键是利用“角平分线+对角互补模型”构造三角形全等得出线段和角的关系，解（3）问的关键是利用已知角的关系证明，从而构造等腰三角形，再利用相似解题． 29．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）证明，，可得，从而可得答案； （2）如图，过作交于，交于，结合（1）得：，证明，可得，证明，可得，从而可得答案； （3）如图，过作交于，交于，证明，可得，设，则，求解，证明，可得，结合，再进一步解方程即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，过作交于，交于， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图，过作交于，交于， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，本题属于相似三角形的综合题，难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 考点04 相似三角形的性质 1．C 2．B 3．C 4．【答案】 【分析】 如图所示（见详解），根据相似三角形的性质，三角形的高的比等于相似比，由此可求的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】 解：如图所示，根据题意得，正方形，，是对角线，与交于点，过点作直线于，交于， ∵，，，设，则， ∴， ∴，即，解方程得，， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查格点三角形与三角形相似，掌握格点三角形的特点，相似三角形的性质是解题的关键． 5．【答案】证明：已知，， ∴． 已知，， ∴． 可得，． ∵，且是与的公共角． ∴可得． ∴． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明． 通过证明三角形相似，再利用相似三角形的性质来证明角相等． 【详解】 略 6．【答案】 【分析】 如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E，先证明四边形ADEF是矩形，得到AF=DE，AD=EF，再由直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，得到，，则，可设AB=AC=BC=x，由勾股定理得：，，，再由，即可得到，由此求解即可． 【详解】 解：如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E， ∵a∥b∥c， ∴AD⊥直线a，EF⊥直线a，EF⊥直线c， ∴四边形ADEF是矩形， ∴AF=DE，AD=EF， ∵直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为， ∴，， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴可设AB=AC=BC=x， 由勾股定理得：，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得（不符合题意的值已经舍去）， ∴△ABC的边长为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，平行线的间距，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 7．【答案】（1） 如图，点为所要求作的点；      （2）．      【分析】 本题考查了尺规作图——作垂直平分线，等边三角形的性质，勾股定理，折叠性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作垂直平分线即可； （）连接，过点作交于点，由是等边三角形，所以，故有，则有，然后通过勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接，过点作交于点， ∵是等边三角形 ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴ 由折叠可知， 由勾股定理的， 在中由勾股定理的， ∴； 故的长为． 考点05 相似三角形的应用 1．C 2．C 3．【答案】7 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】 解：，， ， ， ， ， （米）， 故答案为：7． 4．【答案】两岸之间的大致距离为100米 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证明，由相似三角形的性质“对应边成比例”求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即有， 解得米， 即两岸间的大致距离为100米． 5．【答案】2 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：由题意得：， ∴， ∴， ， ， ． 故答案为：2． 考点06 位似 1．D 2．B 3．【答案】 【分析】 利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标． 【详解】 解：∵以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段， ∴点与点时对应点， ∵点的坐标为，位似比为：， ∴点的坐标为：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系式解题的关键． 4．【答案】（1） 如图，即为所求；     （2） 如图，点D即为所求． 【分析】 本题考查了位似基本作图，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． （1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，后画图即可； （2）利用平行线分线段成比例和网格，构造平行线与交于点D，点D即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 5．【答案】（1）如图△A1B1C1就是所求作的图形. （2） 【分析】 （1）根据位似图形的性质可以得解； （2）根据位似图形的性质可得解． 【详解】 （1）分别在射线AO、BO、CO上截取，连结 即得所作图形； （2）∵在(1) 中所画的图形中，△ABC的中线CD与的中线 是对应线段， ∴由“位似图形中不经过位似中心的对应线段平行”的性质可以得到：CD∥. 【点睛】 本题考查位似图形的应用与作图，熟练掌握位似图形的意义和性质是解题关键． 6．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）点的坐标为，点的坐标为      【分析】 本题主要考查了作图－位似变换，根据位似变换的定义和性质得出对应点位置是解题的关键． （1）根据位似变换的定义和性质作出点、、的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）由（1）可得、的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点的坐标为，点的坐标为． 7．【答案】（1） 如图，即为所求：      （2）      【分析】 本题考查了平面直角坐标系中画位似图形，相似三角形的性质，掌握位似图形的性质解题的关键． （1）将点的横纵坐标都乘以得到的坐标，再顺次连接即可． （2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ∵位似比， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $