专题04 旋转（4大题型）（期中真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题04 旋转（4大题型） 4大高频考点概览 考点01 中心对称图形 考点02 中心对称及其性质 考点03 图形的旋转 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 中心对称图形 1．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）下面是某软件设计的四个图形．其中是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·福建福州·期中）下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）下列纹样图是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）许多数学符号蕴含着对称美，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      8．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）如图，与关于轴对称，延长到Q，使，C为中点，下列三角形中与成中心对称的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（九上·福建厦门湖里中学·期中）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）下面四张图中，属于中心对称图形的是（       ） A. 太极曲线 B. 三叶玫瑰形曲线 C. 蝴蝶形曲线 D. 笛卡尔心形线 15．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）剪纸是我国优秀的民间传统文化艺术之一，传承了中华民族深邃的传统思想和古老文化，具有独特的美术价值和人文价值．下面剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）下列窗户图案中，中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）把向下平移5个单位后得到对应的，画出，并写出点的坐标； （2）以原点O为对称中心，再画出与关于原点O对称的，并写出点的坐标． 2．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）如图，与关于点G中心对称，若点E，F分别在上，且，求证：． 考点03 图形的旋转 1．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）如图，四边形中，，将四边形绕点A逆时针旋转，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）． A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 4．（九上·福建厦门湖里中学·期中）如图，E是正方形ABCD中CD边上的点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转，得到△ABF．下列角中，是旋转角的是（     ） A. ∠DAE B. ∠EAB C. ∠DAB D. ∠DAF 5．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转一定角度后，得到，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·福建福州·期中）下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（       ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 10．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点C，B，在一条直线上，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（       ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 12．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为E，连接CE．下列结论，不正确的是（　　） A. AC＝AE B. ∠BAD＝∠CAE C. ∠B＝∠ACE D. BC⊥CE 13．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，连接BE, ∠EBC=15°，将ΔEBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到ΔFDC，连接EF，则∠EFD的度数为（   ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 14．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）如图，绕点O逆时针旋转得到．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，则点B的纵坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（九上·福建厦门湖里中学·期中）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（     ） A.  B. 4 C.  D. 6 17．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点 B对应点，点刚好落在边上，，，则等于（　　） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 18．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（　　） A. 45° B. 60° C. 90° D. 135° 19．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在正方形中，为上一点，连接，已知，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（       ） A.  B. 30° C.  D. 45° 20．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 21．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边的延长线上，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、、．当的最小值为时，则正方形的边长为（       ） A. 2 B.  C. 3 D.  23．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）如图，将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，过点作，交的延长线于点，求证：． 24．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，将绕点A旋转到，，，则　　　　°． 25．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）如图，将绕点C逆时针旋转α度得到交于点D．若，则　　　　　　　　°． 26．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为　　　　　　． 27．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）如图，正方形中，点是的中点，与关于所在直线对称，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点．若，则线段的长为　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）如图，是在平面内绕点顺时针旋转而成，点的对应点为点，且点在边上，点的对应点为点，连接，若． （1）求证：为等边三角形； （2）若，，求的长． 29．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）如图，在中，，点分别为的中点，点为边上任意一点（不与重合），沿剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点旋转，恰好与①拼成四边形，则四边形周长的最小值为　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，P是正三角形内的一点，且，若将绕点A顺时针旋转后得到， （1）求旋转角的度数； （2）求点P与点之间的距离； （3）求的度数． 31．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为：，，． （1）点B关于x轴对称的点的坐标为______； （2）将绕点C顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）经过A、两点的直线相应的函数表达式是______． 32．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，若点B的对应点D在线段上，则的大小为　　　　　． 33．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，点C的对应点为点D． （1）尺规作图：求作，使点A的对应点E恰好落在的延长线上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，求证：平分． 34．（九上·福建厦门湖里中学·期中）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 35．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针旋转得线段，点的对应点为，则点的坐标为　　　　　　． 36．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）如图，在等腰中，，，是的角平分线且，把绕点A逆时针旋转90°得到，点B的对应点是点E，则点B与点E之间的距离是　　　　　　． 37．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为． （1）将以原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；(A、B的对应点分别为) （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的；(的对应点为) （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为___________． 38．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）如图，已知点、、． （1）将绕点逆时针旋转得，画出． （2）画出关于原点成中心对称的图形． 39．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转90°得到，点，，的对应点分别为，，． （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标； （3）记线段与线段的交点为，直接写出的大小． 40．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）综合与探究 问题情境：如图1，正方形与正方形的点C重合，点E在边上，点G在边的延长线上．连接，取的中点M，连接，． 观察论证： （1）请写出图1中与的数量关系和位置关系并证明． 操作探究：将正方形绕点C逆时针旋转一周． （2）在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？请就图2说明理由； （3）在旋转过程中，当点D，E，F在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 41．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）如图在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为　　　　　　． 42．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为　　　　　　． 43．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）如图，已知是等边三角形，点D是外一点，连接，，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，，，求点E到直线的距离． 44．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）如图，在菱形中，，点在边上，连结，将绕点旋转，点恰好落在边上的点处，且，若，，则　　　　　　　． 45．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）如图，在中，，点P为内一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接    （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为_______； ②若M为的中点，连接，依题意补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 46．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）如图，在中，，点F为的中点．    【问题解决】 （1）如图①，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； 【问题探究】 （2）如图②，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E．此时点E恰好落在边上，连接，，求四边形的面积； 【拓展延伸】 （3）如图③，若将绕点C逆时针旋转得到，连接，，求四边形的面积． 47．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）已知在等边中，点E是的中点，以为斜边在的内部作，且，． （1）如图1，过点D作直线交直线于点F，且，交于点G，请直接写出线段与的数量关系； （2）将绕点C顺时针旋转到如图2所示的位置时，过点D作直线交直线于点F，且，过点B作的平行线交直线于点G，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，将旋转到E，D，G三点共线时，请直接写出的长度． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）已知点和点关于原点对称，则 （    ） A. 1 B.  C. 3 D.  3．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是， 点F的坐标是， 则点N的坐标是（            ） A.              B.        C.          D.   4．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为　　　　　　　　　　　 5．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）点关于原点的对称点的坐标为　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）在平面直角坐标系中，点M（，4）关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 8．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标为　　　　　　． 9．（25-26学年九上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）若点与点关于原点对称，则　　　　　　　　　　． 12．（九上·福建厦门湖里中学·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）如图，平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，，．    （1）请在图中作出与关于原点对称的图形； （2）点的坐标是________；点的坐标是________． 14．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．请作出关于O点成中心对称的，并直接写出，，的坐标． 15．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转（4大题型） 4大高频考点概览 考点01 中心对称图形 考点02 中心对称及其性质 考点03 图形的旋转 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 中心对称图形 1．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．根据中心对称图形的定义（绕一个点旋转能够与自身重合的图形）判断即可． 【详解】 解：选项A、C、D中的图形都能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 选项B中的图形不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合． 故选：B． 3．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】 解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 4．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）下面是某软件设计的四个图形．其中是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是关键．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义，即可逐一判断． 【详解】 解：A、找不到这样一点，将图形绕着该点旋转180度后与原图重合，所以该图形不是中心对称图形，所以选项A不符合题意； B、将图形绕着图形的中心点旋转180度后与原图重合，所以该图形是中心对称图形，所以选项B符合题意； C、找不到这样一点，将图形绕着该点旋转180度后与原图重合，所以该图形不是中心对称图形，所以选项C不符合题意； D、找不到这样一点，将图形绕着该点旋转180度后与原图重合，所以该图形不是中心对称图形，所以选项D不符合题意． 故选：B． 5．（25-26学年九上·福建福州·期中）下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查中心对称图形的概念，解题的关键在于明确中心对称图形的概念． 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称的概念，对选项的图片进行分析即可． 【详解】 解：选项A：将选项A的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形． 选项B，选项C，选项D：将选项中的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形不能与原来的图形重合，都不是中心对称图形． 故选：A． 6．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）下列纹样图是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）许多数学符号蕴含着对称美，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】 A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合． 8．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 9．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】 解：A． 该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B． 该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C． 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 10．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形是一个图形绕某个点旋转180度后与原图能够完全重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】 解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 11．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）如图，与关于轴对称，延长到Q，使，C为中点，下列三角形中与成中心对称的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查中心对称的定义，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定方法得到，即其是与成中心对称的的一组三角形． 【详解】 解：∵与关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵C为中点， ∴， ∵， ∴， ∴与成中心对称的， 故选：B． 12．（九上·福建厦门湖里中学·期中）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】 解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 13．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记定义是解题关键．根据中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、是中心对称图形，则此项符合题意； D、不是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 14．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）下面四张图中，属于中心对称图形的是（       ） A. 太极曲线 B. 三叶玫瑰形曲线 C. 蝴蝶形曲线 D. 笛卡尔心形线 【答案】A 【分析】 本题考查中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，逐个分析判断即可． 【详解】 解：A．该图形是中心对称图形，符合题意； B． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； C． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； D． 该图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 15．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）剪纸是我国优秀的民间传统文化艺术之一，传承了中华民族深邃的传统思想和古老文化，具有独特的美术价值和人文价值．下面剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【详解】 解：A、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 16．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）下列窗户图案中，中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】 解：C项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形； A、B、D选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以都是中心对称图形， 故选：C． 17．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】 解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）把向下平移5个单位后得到对应的，画出，并写出点的坐标； （2）以原点O为对称中心，再画出与关于原点O对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图：即为所求． ， 点的坐标为．     （2） 如图：即为所求．点的坐标为．      【分析】 本题主要考查了坐标与图形、平移变换、中心对称变换等知识点，掌握平移变换和中心对称变换的定义是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可，并直接写出点的坐标即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到对应点的坐标，再顺次连接即可，并直接写出点的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 2．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）如图，与关于点G中心对称，若点E，F分别在上，且，求证：． 【答案】证明：∵与关于点G中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，中心对称图形的性质，先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，由此即可证明， 灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】 略 考点03 图形的旋转 1．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键． 由旋转的性质可得旋转角为或，据此即可解答． 【详解】 解：∵将绕点顺时针旋转至，点的对应点是． ∴旋转角为或． 故选：B． 2．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）如图，四边形中，，将四边形绕点A逆时针旋转，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到，再利用即可求出的度数． 【详解】 解：∵将四边形绕点A逆时针旋转， ∴， ∵， ∴， 故选：A 3．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）． A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【答案】D 【分析】 根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解． 【详解】 解： 旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°． 故选D． 【点睛】 考点：旋转的性质． 4．（九上·福建厦门湖里中学·期中）如图，E是正方形ABCD中CD边上的点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转，得到△ABF．下列角中，是旋转角的是（     ） A. ∠DAE B. ∠EAB C. ∠DAB D. ∠DAF 【答案】C 【分析】 根据“旋转角是指以图形在作旋转运动时，一个点与中心的旋转连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线，这两条线的夹角”，由此问题可求解． 【详解】 解：由题意得：旋转角为∠DAB或∠EAF， 故选C． 【点睛】 本题主要考查旋转角，熟练掌握求一个旋转图形的旋转角是解题的关键． 5．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转一定角度后，得到，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 根据旋转的性质即可直接得出结果． 【详解】 解：∵将绕点A顺时针旋转一定角度后，得到，， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年九上·福建福州·期中）下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查图形变换中的“旋转”，理解旋转的概念是解题关键． 根据旋转定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形称为旋转，旋转前后两个图形形状和大小不变，即可判断． 【详解】 解：A选项中，可看作“基本图案”经过旋转得到，符合题意； B选项中，可看作“基本图案”经过轴对称得到，不符合题意； C选项中，可看作“基本图案”经过平移缩放得到，不符合题意； D选项中，可看作“基本图案”经过平移得到，不符合题意． 故选：A． 7．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，将绕点逆时针旋转得到，可得再证明 再逐一分析即可． 【详解】 解：∵将△绕点逆时针旋转得到△， ∴ 故A不符合题意； ∴ ∴ 故B不符合题意； ∴ ∴ ∴ 故C不符合题意； ∵ ∴ 故D符合题意； 故选：D． 8．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角． 两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案． 【详解】 解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意； B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意； C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意； D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意； 故选C． 9．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（       ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 【答案】A 【分析】 本题考查了图形旋转的定义，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】 解：将绕点C旋转，得到，且点A的对应点D恰好在的延长线上， ， 旋转方向为顺时针时,旋转角度为； 旋转方向为逆时针时,旋转角度为． 故选：A． 10．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点C，B，在一条直线上，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，由旋转的性质得出，，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】 解：∵将绕点A顺时针旋转得到，点C，B，在一条直线上， ∴，， ∴． 故选：B． 11．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（       ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【分析】 本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】 解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 12．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为E，连接CE．下列结论，不正确的是（　　） A. AC＝AE B. ∠BAD＝∠CAE C. ∠B＝∠ACE D. BC⊥CE 【答案】D 【分析】 由旋转的性质可得AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，AB=AD，由等腰三角形的性质可得∠B=∠ADB，∠ACE=∠AEC，由三角形内角和定理可求∠B=∠ACE，从而即可求解． 【详解】 解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE， ∴AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB，∠ACE＝∠AEC， ∵∠BAD+∠B+∠ADB＝∠BAD+2∠B＝180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC＝∠CAE+2∠ACE＝180°， ∴∠B＝∠ACE， ∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠ACE+∠BCA+∠BAC＝180°， ∵∠BAC不一定为90°， ∴∠BCA+∠ACE不一定为90°， ∴BC不一定垂直CE， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，题目不难，注意旋转的性质是关键． 13．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，连接BE, ∠EBC=15°，将ΔEBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到ΔFDC，连接EF，则∠EFD的度数为（   ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】D 【分析】利用旋转的性质得∠DCF=∠BCE=90°，∠CDF=∠EBC=15°，CE=CF，则可判断△CEF为等腰直角三角形，从而得到∠CEF=45°，然后根据三角形外角性质计算∠EFD的度数． 【详解】解：∵△EBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△FDC，∴∠DCF=∠BCE=90°，∠CDF=∠EBC=15°，CE=CF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF=45°． ∵∠CEF=∠CDF+∠EFD，∴∠EFD=45°﹣15°=30°． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 14．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）如图，绕点O逆时针旋转得到．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了旋转的性质．由旋转的性质知，据此求解即可． 【详解】 解：由旋转的性质知， ∵， ∴． 故选：C． 15．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，则点B的纵坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 连接，作轴，根据正方形的性质可得，根据勾股定理可得，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可． 【详解】 解：连接，作轴，如下图： 由正方形的性质可得，，， 则， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴点B的纵坐标为， 故选：B 【点睛】 此题考查了正方形的性质，坐标与图形，勾股定理以及含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作出辅助线． 16．（九上·福建厦门湖里中学·期中）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（     ） A.  B. 4 C.  D. 6 【答案】B 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 【详解】 解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 17．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点 B对应点，点刚好落在边上，，，则等于（　　） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 【答案】B 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解答关键. 由旋转的性质求得，，，再利用等腰三角形的性质和外角性质求解. 【详解】 解：由绕顶点旋转得到可知： ，，， ∴. ∵， ∴， 故． 故选：B． 18．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（　　） A. 45° B. 60° C. 90° D. 135° 【答案】C 【分析】 如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角． 【详解】 解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角， ∴旋转角为90° 故选：C． 【点睛】 本题考查了图形的旋转，掌握作图的基本步骤是解题的关键 19．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在正方形中，为上一点，连接，已知，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（       ） A.  B. 30° C.  D. 45° 【答案】B 【分析】 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角的性质；利用旋转的性质得，，，则可判断为等腰直角三角形，从而得到，然后根据三角形外角性质计算的度数． 【详解】 解：绕点按顺时针方向旋转得到， ，，， 为等腰直角三角形， ． ， ﹣． 故选：B． 20．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】C 【分析】 根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性． 【详解】 解：∵旋转， ∴， 但是旋转角不一定是， ∴不一定是等边三角形， ∴不一定成立，即① 不一定正确； ∵旋转， ∴，故③ 正确； ∵旋转， ∴， ∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等， ∴它们的底角也相等，即，故④ 正确； ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴不一定成立，即② 不一定正确． 故选：C． 【点睛】 本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 21．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边的延长线上，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由旋转的性质得，由，，三点在同一直线上可得，从而可得，再根据角的和差关系求解即可． 【详解】 解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，，三点在同一直线上，， ∴， ∴， 故选：B． 22．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、、．当的最小值为时，则正方形的边长为（       ） A. 2 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 连接，，根据证明得，根据“两点之间线段最短”，当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长，则，过E点作交的延长线于F，由题意求出，设正方形的边长为，在中，根据勾股定理列方程求得正方形的边长为． 【详解】 解：如图，连接，，当M点位于与的交点处时，的值最小． ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 根据“两点之间线段最短”可知，与的交点即为所求M点，使得取得最小值，最小值为， ∴， 过E点作交的延长线于F， ∴， 设正方形的边长为，则，， 在中， ∵， ∴， 解得，（舍去负值）， ∴正方形的边长为． 故选：B． 【点睛】 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质；会利用含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理进行计算；待定系数法，会运用两点之间线段最短解决有关线段的和的最小值问题，解本题的关键是找出取最小值时M的位置． 23．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）如图，将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，过点作，交的延长线于点，求证：． 【答案】证明：将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到， ． ， ． 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，根据旋转的性质得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明结论． 【详解】 略 24．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，将绕点A旋转到，，，则　　　　°． 【答案】 【分析】 本题主要考查旋转的性质，角的和差计算，根据旋转可得，由此即可求解，掌握角的和差计算，旋转的性质是解题的关键． 【详解】 解：根据题意得：， ∴． 故答案为：50． 25．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）如图，将绕点C逆时针旋转α度得到交于点D．若，则　　　　　　　　°． 【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据旋转的性质得到，然后利用互余计算出的度数即可． 【详解】 解：∵绕点C逆时针旋转α度得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：25． 26．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正多边形的性质、勾股定理、坐标与图形的变化—旋转规律性问题，首先确定点的坐标，得出每次一个循环，计算出，由此即可得出答案． 【详解】 解：连接， ∵边长为2的正六边形的中心与原点O重合， ∴，，与关于轴对称， ∴是等边三角形，， ∴， ， ∴点的坐标为， 第1次旋转结束时，轴于，则，，， ∴， ∴， ∴， ∵每次旋转，则4次一个循环，， ∴第2025次旋转结束时，点A的坐标为为， 故答案为：． 27．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）如图，正方形中，点是的中点，与关于所在直线对称，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点．若，则线段的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，通过证明是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】 解：如图，连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴，，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）如图，是在平面内绕点顺时针旋转而成，点的对应点为点，且点在边上，点的对应点为点，连接，若． （1）求证：为等边三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是在平面内绕点顺时针旋转而成，点的对应点为点， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形．     （2）3      【分析】 本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是关键． （1）由旋转的性质可得，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等边对等角可得，即，从而证明结论； （2）过点D作于点H，则，由（1）可知、，求出，得到，由旋转的性质得到、，求出，则，即可得到，进而完成解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点D作于点H，则， ∵是等边三角形， ∴、， ∴， ∴， ∴ ∵是在平面内绕点顺时针旋转而成，点的对应点为点， ∴、， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）如图，在中，，点分别为的中点，点为边上任意一点（不与重合），沿剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点旋转，恰好与①拼成四边形，则四边形周长的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出，，由三角形中位线定理得出，，由旋转的性质可得：，，，，证明四边形为平行四边形，得出四边形周长，当时，此时最小，求出的最小值即可得出答案． 【详解】 解：∵在中，， ∴，， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线，， ∴， 由旋转的性质可得：，，，， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形周长， 当时，此时最小，为等腰直角三角形，的最小值为， ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 30．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，P是正三角形内的一点，且，若将绕点A顺时针旋转后得到， （1）求旋转角的度数； （2）求点P与点之间的距离； （3）求的度数． 【答案】（1），（2）6，（3）． 【分析】 （1）根据旋转的定义及性质可得三角形全等，利用全等三角形的性质，然后结合图形即可得旋转角为； （2）根据（1）及全等三角形性质可得为等边三角形，即可确定点P与点之间的距离； （3）由（1）（2）可得各边长，然后利用勾股定理逆定理，可确定为直角三角形，即，又因为，即可确定的度数． 【详解】 解：（1）∵由绕点A旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：， ∴旋转角度数为； （2）如图所示，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴, 即点P与点之间的距离为6； （3）在中， 由（1）得：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的度数为． 【点睛】 题目主要考查旋转的定义、性质，三角形全等的性质及勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握知识点并融会贯通，是解题关键． 31．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为：，，． （1）点B关于x轴对称的点的坐标为______； （2）将绕点C顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）经过A、两点的直线相应的函数表达式是______． 【答案】（1）     （2） 解：如图，为所作， ；     （3）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了关于x轴对称的点的坐标特征和旋转的性质． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征求解； （2）利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A、B的对应点即可； （3）利用待定系数法求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴点关于x轴对称的点的坐标为； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设过A、两点的直线相应的函数表达式为， 由图形可知，， 分别代入得 ， 解得 ， 所以过A、两点的直线相应的函数表达式为． 故答案为：． 32．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，若点B的对应点D在线段上，则的大小为　　　　　． 【答案】2度 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】 解：由旋转可得：， ， ． 故答案为：． 33．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，点C的对应点为点D． （1）尺规作图：求作，使点A的对应点E恰好落在的延长线上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，求证：平分． 【答案】（1） 解：如图所示，      （2） 证明：设， ， ， 由旋转可知，， ，， ， ， ， ， ， ， 平分．      【分析】 （1）由旋转的性质，作线段等于已知线段，即为所求； （2）设，由，可得，由旋转可知，，则，，证明，则，由，可得，则，进而结论得证． (1) 小问详解： ∵，，， ∴， ∴即为所求； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了作线段等于已知线段，旋转的性质，等边对等角，平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握作线段等于已知线段，旋转的性质，等边对等角，平行线的判定与性质，角平分线是解题的关键． 34．（九上·福建厦门湖里中学·期中）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3） 【分析】 （1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 35．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针旋转得线段，点的对应点为，则点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查旋转的性质，一线三直角全等，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，构造一线三直角全等模型证明三角形全等即可． 【详解】 解：如图， 过点作轴于点，过点作轴于点， ． 由旋转得，，， ， ， ， ． 点的坐标为， ． 在第一象限， 点的坐标为． 故答案为：． 36．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）如图，在等腰中，，，是的角平分线且，把绕点A逆时针旋转90°得到，点B的对应点是点E，则点B与点E之间的距离是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，掌握知识点是解题的关键． 先利用等腰三角形的性质求解，继而求出，，再利用旋转的性质证明，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】 解：∵，，是的角平分线． ∴，， ∴， 连接， 由旋转的性质可得：，， ∴； 故答案为：． 37．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为． （1）将以原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；(A、B的对应点分别为) （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的；(的对应点为) （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为___________． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求；      （2） 如图所示：即为所求；     （3）      【分析】 题目主要考查图形的旋转和平移，确定旋转中心，熟练掌握基本的画图方法是解题关键． （1）根据题意画图即可； （2）根据平移画图即可； （3）连接对应点，交点即为所求 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 连接，交点为即为旋转中心， 故答案为：． 38．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）如图，已知点、、． （1）将绕点逆时针旋转得，画出． （2）画出关于原点成中心对称的图形． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 如图，即为所求． 【分析】 此题考查作图能力，掌握轴对称的性质和中心对称的性质是解题的关键， （1）根据旋转的性质确定点，顺次连线即可； （2）根据中心对称的性质作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 39．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转90°得到，点，，的对应点分别为，，． （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标； （3）记线段与线段的交点为，直接写出的大小． 【答案】（1） 作图如下，即为所求；      （2）     （3）      【分析】 本题考查旋转作图、由图形写坐标和求角度，涉及旋转性质、图形与坐标、三角形全等的判定与性质、对顶角相等和三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转性质及图形与坐标是解决问题的关键． （1）根据旋转的性质作出三个顶点绕点顺时针旋转90°的对应点，连线即可得到； （2）由（1）中作出的即可得到答案； （3）过作轴于、过作轴于，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而，再由对顶角相等、等量代换及三角形内角和定理即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）中图形，如图所示： ； (3) 小问详解： 解：在（1）的图形中，过作轴于、过作轴于，如图所示： ， ， ， ， 在中，，则， 在中，由三角形内角和定理可知， ． 40．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）综合与探究 问题情境：如图1，正方形与正方形的点C重合，点E在边上，点G在边的延长线上．连接，取的中点M，连接，． 观察论证： （1）请写出图1中与的数量关系和位置关系并证明． 操作探究：将正方形绕点C逆时针旋转一周． （2）在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？请就图2说明理由； （3）在旋转过程中，当点D，E，F在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）结论：，， 理由：如图1中，延长交于， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上可得：，； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点，使得，连接并延长，交的延长线于点，连接，设与交于点， ∵点为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，； （3）的长为或 【分析】 （1）延长交于，由题意易得，，，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （2）延长到点，使得，连接并延长，交的延长线于点，连接，设与交于点，由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意可分两种情况进行分类求解即可． 【详解】 解：（1）略； （2）略； （3）① 如图3中，作于， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，， ∵点在同一条直线上， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵为的中点， ∴； ② 如图，作于，连接， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，， ∵点在同一条直线上， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵为的中点， ∴； 综上可得：的长为或． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键． 41．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）如图在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】 解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点Q在射线上运动，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∵， ∴， ∵垂线段最短， ∴点Q在点H处时，最小， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为3． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q在射线上运动． 42．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解答本题的关键． 先由旋转性质得到，，，进而得到是等腰直角三角形，则，再根据题意，得到，在中，由含的直角三角形性质得到，从而由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】 解：将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接， ，，， 即是等腰直角三角形， ，且， ， ，， 在中，，，，则， 由勾股定理可得， 故答案为：． 43．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）如图，已知是等边三角形，点D是外一点，连接，，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，，，求点E到直线的距离． 【答案】（1） 证明：由旋转可知，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）点E到直线的距离为3      【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． （）由旋转的性质得到，，由等边三角形的性质得到，，进而可得，即可由“ ”可证，可得 ； （）先证是等边三角形，可得，，进而得到，由勾股定理即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 答：点E到直线的距离为3． 44．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）如图，在菱形中，，点在边上，连结，将绕点旋转，点恰好落在边上的点处，且，若，，则　　　　　　　． 【答案】3或1 【分析】 过点作于点，连接，分两种情况① 当在点左侧，证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，证明，得出，进而推出为等边三角形，再由直角三角形性质以及勾股定理求出，，，进而即可得解，② 当在点右侧，同理即可得解． 【详解】 解：过点作于点，连接， 当在点左侧， ∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵将绕点旋转，点恰好落在边上的点处， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ② 当在点右侧， 与① 同理可得，，， ， ∴， ∴， 故答案为：3或1． 【点睛】 本题考查了菱形、旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握上述知识，数形结合分析是关键． 45．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）如图，在中，，点P为内一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接    （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为_______； ②若M为的中点，连接，依题意补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用 证明 , 即可得出答案; （2） ① 由三角形内角和定理知 ，再利用角度之间的转化和等量代换可得 ，即可解答； ② 延长 到 ，使 ，连接 、， 得出四边形 为平行四边形，则 且 ， 再利用 证明 ，得 ，即可解答； (1) 小问详解： ， 证明： ∵， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转 得到 ， (2) 小问详解： ① 当 时， 则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴； 故答案为； ②，理由如下： 延长 到 ，使 ，连接 、，    ∵ 为 的中点， ∴， ∴四边形 为平行四边形， ∴ 且 ， 【点睛】 本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键 46．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）如图，在中，，点F为的中点．    【问题解决】 （1）如图①，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； 【问题探究】 （2）如图②，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E．此时点E恰好落在边上，连接，，求四边形的面积； 【拓展延伸】 （3）如图③，若将绕点C逆时针旋转得到，连接，，求四边形的面积． 【答案】（1）， 理由如下：∵中，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2） （3） 【分析】 （1）先证明为等边三角形，然后得到，即可说明； （2）由三角形的面积公式分别求出和的面积，即可求解； （3）先证四边形是平行四边形，由平行四边形的面积公式可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ， ∴四边形的面积； （3）如图，设与交于点，    ∵将绕点逆时针旋转得到， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 47．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）已知在等边中，点E是的中点，以为斜边在的内部作，且，． （1）如图1，过点D作直线交直线于点F，且，交于点G，请直接写出线段与的数量关系； （2）将绕点C顺时针旋转到如图2所示的位置时，过点D作直线交直线于点F，且，过点B作的平行线交直线于点G，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，将旋转到E，D，G三点共线时，请直接写出的长度． 【答案】（1）     （2） 解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图1，延长至H，使得，连接、，并延长交于K，设与交于点， ，， ，， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， 又在等边中，， ， ， 又， ， 又， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 又， ；     （3）的长为或      【分析】 （1）先根据是等边三角形，得，再根据，，，证、是等边三角形，根据，得到，最终可证． （2）根据，的特点延长至H，使得，证得是等边三角形，再证得，进而得到， 又结合， 可证， 再结合， 证四边形为平行四边形， 最终可证得． （3）根据题意，把符合题意的图形画出，存在两种情况：分别根据勾股定理进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ∵是等边三角形， ， ，， ， ，， 是等边三角形，是等边三角形，， ， ，， ，即， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的长为或； ① 如图2，E，D，G三点共线时，， 在中，， ，， 在中，， ， ； ② 如图3，E，D，G三点共线时，同① 得， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形，勾股定理以及全等三角形的判定与性质的运用，第二问的关键是作辅助线构造全等三角形，第三问利用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点的对称点：横、纵坐标都变成相反数． 根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数，可得答案． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 2．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）已知点和点关于原点对称，则 （    ） A. 1 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的特征，代数式求值．关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数． 根据点和点关于原点对称求出和，再代入中进行求解． 【详解】 解：点和点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 3．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是， 点F的坐标是， 则点N的坐标是（            ） A.              B.        C.          D.   【答案】A 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，中心对称的性质，根据平行四边形的性质得到点与点关于原点对称，点与点关于原点对称是解题的关键． 根据平行四边形是中心对称的特点可知，点与点关于原点对称，点与点关于原点对称，即可求解． 【详解】 解：∵的两条对角线，交于原点， ∴点与点关于原点对称，点与点关于原点对称， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的纵坐标是，点的横坐标是， ∵平行轴，即， ∴点的坐标是， 故选：A． 4．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 此题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】 解：点关于原点的对称点坐标为 故答案为：． 5．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）点关于原点的对称点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 【详解】 点关于原点对称的点的坐标是 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）． 6．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）在平面直角坐标系中，点M（，4）关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　． 【答案】（2，） 【分析】 根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】 解：点（，4）关于原点对称的点的坐标为（2，）． 故答案为：（2，）． 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 7．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为相反数，据此进行作答即可． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数”，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数求解即可得． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 关于原点对称，则横纵坐标变为原来的相反数，由此即可求解． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查关于原点对称的性质，理解和掌握点的对称是解题的关键． 10．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】 解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）若点与点关于原点对称，则　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ，， 解得：，． ． 故答案为：3． 12．（九上·福建厦门湖里中学·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 13．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）如图，平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，，．    （1）请在图中作出与关于原点对称的图形； （2）点的坐标是________；点的坐标是________． 【答案】（1） 如图所示：即为所求；      （2），      【分析】 （1）先作出点A和点B关于原点的对称点，再依次连接即可得到； （2）根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】 本题主要考查了关于作原点对称的图形，以及关于原点对称点的点坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数． 14．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．请作出关于O点成中心对称的，并直接写出，，的坐标． 【答案】如图，即为所求， 【分析】 本题考查作图——中心对称变换等知识，解题的关键是掌握中心对称变换的性质． 利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，即可求解． 【详解】 略 15．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了关于原点对称点的性质，接利用关于原点对称点的性质 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，得出答案． 【详解】 解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转（4大题型） 考点01 中心对称图形 考点02 中心对称及其性质 考点03 图形的旋转 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 中心对称图形 1．B 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．D 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 13．C 14．A 15．B 16．C 17．D 考点02 中心对称及其性质 1．【答案】（1） 如图：即为所求． ， 点的坐标为．     （2） 如图：即为所求．点的坐标为．      【分析】 本题主要考查了坐标与图形、平移变换、中心对称变换等知识点，掌握平移变换和中心对称变换的定义是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可，并直接写出点的坐标即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到对应点的坐标，再顺次连接即可，并直接写出点的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 2．【答案】证明：∵与关于点G中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，中心对称图形的性质，先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，由此即可证明， 灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】 略 考点03 图形的旋转 1．B 2．A 3．D 4．C 5．B 6．A 7．D 8．C 9．A 10．B 11．B 12．D 13．D 14．C 15．B 16．B 17．B 18．C 19．B 20．C 21．B 22．B 23．【答案】证明：将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到， ． ， ． 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，根据旋转的性质得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明结论． 【详解】 略 24．【答案】 【分析】 本题主要考查旋转的性质，角的和差计算，根据旋转可得，由此即可求解，掌握角的和差计算，旋转的性质是解题的关键． 【详解】 解：根据题意得：， ∴． 故答案为：50． 25．【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据旋转的性质得到，然后利用互余计算出的度数即可． 【详解】 解：∵绕点C逆时针旋转α度得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：25． 26．【答案】 【分析】 本题考查了正多边形的性质、勾股定理、坐标与图形的变化—旋转规律性问题，首先确定点的坐标，得出每次一个循环，计算出，由此即可得出答案． 【详解】 解：连接， ∵边长为2的正六边形的中心与原点O重合， ∴，，与关于轴对称， ∴是等边三角形，， ∴， ， ∴点的坐标为， 第1次旋转结束时，轴于，则，，， ∴， ∴， ∴， ∵每次旋转，则4次一个循环，， ∴第2025次旋转结束时，点A的坐标为为， 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，通过证明是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】 解：如图，连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴，，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．【答案】（1） 证明：∵是在平面内绕点顺时针旋转而成，点的对应点为点， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形．     （2）3      【分析】 本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是关键． （1）由旋转的性质可得，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等边对等角可得，即，从而证明结论； （2）过点D作于点H，则，由（1）可知、，求出，得到，由旋转的性质得到、，求出，则，即可得到，进而完成解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点D作于点H，则， ∵是等边三角形， ∴、， ∴， ∴， ∴ ∵是在平面内绕点顺时针旋转而成，点的对应点为点， ∴、， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．【答案】 【分析】 由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出，，由三角形中位线定理得出，，由旋转的性质可得：，，，，证明四边形为平行四边形，得出四边形周长，当时，此时最小，求出的最小值即可得出答案． 【详解】 解：∵在中，， ∴，， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线，， ∴， 由旋转的性质可得：，，，， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形周长， 当时，此时最小，为等腰直角三角形，的最小值为， ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 30．【答案】（1），（2）6，（3）． 【分析】 （1）根据旋转的定义及性质可得三角形全等，利用全等三角形的性质，然后结合图形即可得旋转角为； （2）根据（1）及全等三角形性质可得为等边三角形，即可确定点P与点之间的距离； （3）由（1）（2）可得各边长，然后利用勾股定理逆定理，可确定为直角三角形，即，又因为，即可确定的度数． 【详解】 解：（1）∵由绕点A旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：， ∴旋转角度数为； （2）如图所示，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴, 即点P与点之间的距离为6； （3）在中， 由（1）得：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的度数为． 【点睛】 题目主要考查旋转的定义、性质，三角形全等的性质及勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握知识点并融会贯通，是解题关键． 31．【答案】（1）     （2） 解：如图，为所作， ；     （3）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了关于x轴对称的点的坐标特征和旋转的性质． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征求解； （2）利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A、B的对应点即可； （3）利用待定系数法求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴点关于x轴对称的点的坐标为； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设过A、两点的直线相应的函数表达式为， 由图形可知，， 分别代入得 ， 解得 ， 所以过A、两点的直线相应的函数表达式为． 故答案为：． 32．【答案】2度 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】 解：由旋转可得：， ， ． 故答案为：． 33．【答案】（1） 解：如图所示，      （2） 证明：设， ， ， 由旋转可知，， ，， ， ， ， ， ， ， 平分．      【分析】 （1）由旋转的性质，作线段等于已知线段，即为所求； （2）设，由，可得，由旋转可知，，则，，证明，则，由，可得，则，进而结论得证． (1) 小问详解： ∵，，， ∴， ∴即为所求； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了作线段等于已知线段，旋转的性质，等边对等角，平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握作线段等于已知线段，旋转的性质，等边对等角，平行线的判定与性质，角平分线是解题的关键． 34．【答案】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3） 【分析】 （1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 35．【答案】 【分析】 本题主要考查旋转的性质，一线三直角全等，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，构造一线三直角全等模型证明三角形全等即可． 【详解】 解：如图， 过点作轴于点，过点作轴于点， ． 由旋转得，，， ， ， ， ． 点的坐标为， ． 在第一象限， 点的坐标为． 故答案为：． 36．【答案】 【分析】 本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，掌握知识点是解题的关键． 先利用等腰三角形的性质求解，继而求出，，再利用旋转的性质证明，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】 解：∵，，是的角平分线． ∴，， ∴， 连接， 由旋转的性质可得：，， ∴； 故答案为：． 37．【答案】（1） 解：如图所示：即为所求；      （2） 如图所示：即为所求；     （3）      【分析】 题目主要考查图形的旋转和平移，确定旋转中心，熟练掌握基本的画图方法是解题关键． （1）根据题意画图即可； （2）根据平移画图即可； （3）连接对应点，交点即为所求 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 连接，交点为即为旋转中心， 故答案为：． 38．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 如图，即为所求． 【分析】 此题考查作图能力，掌握轴对称的性质和中心对称的性质是解题的关键， （1）根据旋转的性质确定点，顺次连线即可； （2）根据中心对称的性质作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 39．【答案】（1） 作图如下，即为所求；      （2）     （3）      【分析】 本题考查旋转作图、由图形写坐标和求角度，涉及旋转性质、图形与坐标、三角形全等的判定与性质、对顶角相等和三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转性质及图形与坐标是解决问题的关键． （1）根据旋转的性质作出三个顶点绕点顺时针旋转90°的对应点，连线即可得到； （2）由（1）中作出的即可得到答案； （3）过作轴于、过作轴于，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而，再由对顶角相等、等量代换及三角形内角和定理即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）中图形，如图所示： ； (3) 小问详解： 解：在（1）的图形中，过作轴于、过作轴于，如图所示： ， ， ， ， 在中，，则， 在中，由三角形内角和定理可知， ． 40．【答案】（1）结论：，， 理由：如图1中，延长交于， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上可得：，； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点，使得，连接并延长，交的延长线于点，连接，设与交于点， ∵点为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，； （3）的长为或 【分析】 （1）延长交于，由题意易得，，，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （2）延长到点，使得，连接并延长，交的延长线于点，连接，设与交于点，由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意可分两种情况进行分类求解即可． 【详解】 解：（1）略； （2）略； （3）① 如图3中，作于， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，， ∵点在同一条直线上， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵为的中点， ∴； ② 如图，作于，连接， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，， ∵点在同一条直线上， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵为的中点， ∴； 综上可得：的长为或． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键． 41．【答案】3 【分析】 以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】 解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点Q在射线上运动，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∵， ∴， ∵垂线段最短， ∴点Q在点H处时，最小， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为3． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q在射线上运动． 42．【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解答本题的关键． 先由旋转性质得到，，，进而得到是等腰直角三角形，则，再根据题意，得到，在中，由含的直角三角形性质得到，从而由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】 解：将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接， ，，， 即是等腰直角三角形， ，且， ， ，， 在中，，，，则， 由勾股定理可得， 故答案为：． 43．【答案】（1） 证明：由旋转可知，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）点E到直线的距离为3      【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． （）由旋转的性质得到，，由等边三角形的性质得到，，进而可得，即可由“ ”可证，可得 ； （）先证是等边三角形，可得，，进而得到，由勾股定理即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 答：点E到直线的距离为3． 44．【答案】3或1 【分析】 过点作于点，连接，分两种情况① 当在点左侧，证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，证明，得出，进而推出为等边三角形，再由直角三角形性质以及勾股定理求出，，，进而即可得解，② 当在点右侧，同理即可得解． 【详解】 解：过点作于点，连接， 当在点左侧， ∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵将绕点旋转，点恰好落在边上的点处， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ② 当在点右侧， 与① 同理可得，，， ， ∴， ∴， 故答案为：3或1． 【点睛】 本题考查了菱形、旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握上述知识，数形结合分析是关键． 45．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用 证明 , 即可得出答案; （2） ① 由三角形内角和定理知 ，再利用角度之间的转化和等量代换可得 ，即可解答； ② 延长 到 ，使 ，连接 、， 得出四边形 为平行四边形，则 且 ， 再利用 证明 ，得 ，即可解答； (1) 小问详解： ， 证明： ∵， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转 得到 ， (2) 小问详解： ① 当 时， 则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴； 故答案为； ②，理由如下： 延长 到 ，使 ，连接 、，    ∵ 为 的中点， ∴， ∴四边形 为平行四边形， ∴ 且 ， 【点睛】 本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键 46．【答案】（1）， 理由如下：∵中，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2） （3） 【分析】 （1）先证明为等边三角形，然后得到，即可说明； （2）由三角形的面积公式分别求出和的面积，即可求解； （3）先证四边形是平行四边形，由平行四边形的面积公式可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ， ∴四边形的面积； （3）如图，设与交于点，    ∵将绕点逆时针旋转得到， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 47．【答案】（1）     （2） 解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图1，延长至H，使得，连接、，并延长交于K，设与交于点， ，， ，， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， 又在等边中，， ， ， 又， ， 又， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 又， ；     （3）的长为或      【分析】 （1）先根据是等边三角形，得，再根据，，，证、是等边三角形，根据，得到，最终可证． （2）根据，的特点延长至H，使得，证得是等边三角形，再证得，进而得到， 又结合， 可证， 再结合， 证四边形为平行四边形， 最终可证得． （3）根据题意，把符合题意的图形画出，存在两种情况：分别根据勾股定理进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ∵是等边三角形， ， ，， ， ，， 是等边三角形，是等边三角形，， ， ，， ，即， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的长为或； ① 如图2，E，D，G三点共线时，， 在中，， ，， 在中，， ， ； ② 如图3，E，D，G三点共线时，同① 得， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形，勾股定理以及全等三角形的判定与性质的运用，第二问的关键是作辅助线构造全等三角形，第三问利用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．D 2．B 3．A 4．【答案】 【分析】 此题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】 解：点关于原点的对称点坐标为 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 【详解】 点关于原点对称的点的坐标是 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）． 6．【答案】（2，） 【分析】 根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】 解：点（，4）关于原点对称的点的坐标为（2，）． 故答案为：（2，）． 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 7．【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为相反数，据此进行作答即可． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数”，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数求解即可得． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 关于原点对称，则横纵坐标变为原来的相反数，由此即可求解． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查关于原点对称的性质，理解和掌握点的对称是解题的关键． 10．【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】 解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 11．【答案】3 【分析】 此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ，， 解得：，． ． 故答案为：3． 12．【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 13．【答案】（1） 如图所示：即为所求；      （2），      【分析】 （1）先作出点A和点B关于原点的对称点，再依次连接即可得到； （2）根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】 本题主要考查了关于作原点对称的图形，以及关于原点对称点的点坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数． 14．【答案】如图，即为所求， 【分析】 本题考查作图——中心对称变换等知识，解题的关键是掌握中心对称变换的性质． 利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，即可求解． 【详解】 略 15．【答案】 【分析】 此题主要考查了关于原点对称点的性质，接利用关于原点对称点的性质 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，得出答案． 【详解】 解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $