专题01 一元二次方程（6大题型）（期中真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程（6大题型） 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  2．（25-26学年九上·福建宁德·期中）下列方程中属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·福建福州·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）若关于x 的一元二次方程的一个根是2，则m 的值为（       ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 8 5．（25-26学年九上·福建漳州·期中）如果2是方程的一个根，那么c的值是（     ） A. 3 B. 2 C.  D.  6．（25-26学年九上·福建漳州·期中）一元二次方程的一次项系数是（       ） A. 3 B. 2 C.  D. 0 7．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）已知关于的方程的一个根为2，则的值是（     ） A.  B.  C.  D. 2 8．（25-26学年九上·福建福州·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（       ） A. 3 B. 0 C.  D.  10．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（    ） A.  B.  C. x D. 1 11．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（       ） A. ， B. ， C. ， D.  12．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）已知是方程的解，则m的值为　　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）一元二次方程的一次项系数是　　　　　　． 14．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　． 15．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为　　　　　　． 16．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　　　　　． 17．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）是一元二次方程的一个解，则　　　　　　 18．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）已知关于的方程的一个根是1，则的值是　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）已知方程有一个根是，则k的值是　　　　　　． 20．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为所以是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式_________；判断_________“喜鹊数”（填“是”或“不是”）； （2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 21．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）已知是关于的一元二次方程，则　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建宁德·期中）方程的解是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）解方程经过配方后，其结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）解一元二次方程x2﹣2x＝4，配方后正确的是（　　） A. （x+1）2＝6 B. （x﹣1）2＝5 C. （x﹣1）2＝4 D. （x﹣1）2＝8 5．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）用配方法解方程，将方程变为的形式，则m值为（       ） A.  B. 3 C.  D. 2 7．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）用适当的方法解下列方程 （1）2（x－1）2＝18； （2）x2－2x＝2x＋1 8．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）解方程： 9．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）解方程：． 10．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）定义新运算： ，例如：，，若，则x的值为　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）解下列方程： （1）； （2）． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（       ） A. 且 B. 且 C.  D.  2．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（       ） A.  B. 4 C.  D.  3．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（       ） A.  B.  C. 4 D. 16 4．（九上·福建厦门湖里中学·期中）一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 5．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）小明准备完成题目：解一元二次方程．若“”表示一个数字，且方程有实数根，则“”的值可能为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）关于x的一元二次方程无实数根，则的取值范围（       ） A.  B. 且 C. 且 D.  7．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（        ） A.  B. 且 C.  D.  8．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）若关于x的一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则m的取值为(       ) . A. m=0 B. m>0 C. m<-1 D. m>-1 9．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 10．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）解方程：． 11．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为　　　　　　　　（写出一个即可）． 12．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）已知关于x的一元二次方程．求证：方程总有两个实数根． 13．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）解方程 （1）； （2）； 14．（25-26学年九上·福建福州·期中）解方程： 15．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程，且，求证：当时，此方程总有两个不相等的实数根． 16．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 17．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为，求代数式的值． 19．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）解方程：． 20．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 21．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是　　　　　　． 22．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）已知关于的一元二次方程；求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； 23．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于2，求的取值范围． 24．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）解方程： 25．（九上·福建厦门湖里中学·期中）解方程：． 26．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）用适当的方法解下列方程： 27．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）解方程：． 28．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知实数，，满足． （1）若，求，的数量关系； （2）若，为正整数，则的值能否等于？请说明理由． 29．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）解方程： （1）； （2）． 30．（25-26学年九上·福建宁德·期中）已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若原方程的两个根是，，满足，求k的取值范围； （3）当k是整数时，是否存在整数k，使得原方程的根是有理数?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）一元二次方程的根是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A.  B. 1 C. 3 D. 9 3．（25-26学年九上·福建福州·期中）一元二次方程的根是　　　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·福建福州·期中）解方程：． 5．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）解方程： （1）； （2）． 6．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）解方程：． 7．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）解方程：． 8．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）解方程：． 9．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）解方程：x2+6x+5=0． 10．（25-26学年九上·福建宁德·期中）解方程：． 11．（25-26学年九上·福建宁德·期中）一元二次方程的实数根是　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于2，求的取值范围． 13．（25-26学年九上·福建漳州·期中）解方程 （1） （2） 14．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）解方程：． 15．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．（要求：化未知数是，为一般形式）； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根与已知方程方程的两个根互为倒数；（要求：未知数是，化为一般形式）． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，直接写出关于的一元二次方程的两个实数根． 16．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 17．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）如图，菱形的边长为5，点在边上，连接，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长为　　　　　　． 18．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）用转化的思想解方程：我们知道一元二次方程的解法有四种，在解一元二次方程时，应该根据系数的特征选择恰当快捷的方法求解．例如：当时，常选用因式分解法求解；当，且时，常选用直接开平方法 求解…但是在求解的过程中发现，不管使用哪种方法求解，都是将一元二次方程转化为一元一次方程，通过求解一元一次方程得到一元二次方程的解，通过查阅资料，可以发现，不止解一元二次方程可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程，解一元高次方程也可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程． 例如：解方程．解：提取公因式，得．…第一步 分解因式，得．…第二步 或或．…第三步 ，，．…第四步 任务： （1）在上述材料中，第二步分解因式的依据是________． （2）请参照材料中的方法，解方程． （3）实际上，除解方程外，初中数学还有一些知识也可以用转化思想来解决．例如：可以运用转化思想将解一元二次不等式转化为解一元一次不等式．请你尝试解不等式． 19．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值方程总有两个实数根； （2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求的取值范围． 20．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）解方程：． 21．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）（1）解方程：． （2）已知是方程的解，求代数式的值． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）下列一元二次方程中，两个实数根之和等于的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是（     ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 3．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）已知，且 ，那么的值为（     ） A. 205 B. 520 C. 1001 D. 1 4．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）以3 和为两根的一元二次方程是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·福建漳州·期中）设方程的两个根为，那么的值等于　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为　　　　　． 7．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）如果一元二次方程有两实根且两根互为相反数，那么　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）方程的两根为、，则　　　　　　． 9．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是　　　　　　． 10．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）定义运算：, 若a、b是方程的两个根，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(用含m的代数式表示). 11．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）已知关于x的一元二次方程（其中k为常数）． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若该方程有一个根为2，求k的值及该方程的另一个根． 12．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）已知：实数满足． （1）求证：； （2）若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； （3）若，，，求的值． 13．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）已知关于x的一元二次方程有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且，求m的值． 14．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）关于x的一元二次方程． （1）不解方程，判断该方程的根的情况； （2）设，是方程的两根，其中有一根不大于0，若，求y的最大值． 15．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）已知、是一元二次方程的两根，则　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 17．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：对于任意实数k，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求k的值． 18．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）若，是两个不相等的实数，且满足，，求代数式的值． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）某商品原价100元，经连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参赛队数为x，列方程为（       ） A. x（x﹣1）＝21 B. x（x﹣1）＝21 C. 2x（x﹣1）＝21 D. x（x＋1）＝21 4．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）拉布布（）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是万元和万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，依题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）某厂家年到月份的鞋子产量统计如图所示．设从月份到月份，该厂家鞋子产量的平均月增长率为，根据题意可得方程（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB为xm，可列方程为（       ） A. （20＋1﹣x）x＝50 B. （20﹣1﹣x）x＝50 C. （20＋1﹣2x）x＝50 D. （20﹣1﹣2x）x＝50 7．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）某地政府为推行“构建和谐社会，关注居民健康”的惠民政策，年度拨出专项经费万元用于辖区内所有社区居民血压、血脂、血糖检查，年度拨出专项经费万元．若专项经费年平均增长率为，则下列方程中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元，调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为、宽为的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  12．（九上·福建厦门湖里中学·期中）新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3月份的生产成本为12.8万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为x，则根据题意所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）如图，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地，长为，宽为，现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供学生赏花，且观花道的宽度相同，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的宽度是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·福建福州·期中）某种商品原来每件售价为144元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为100元设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·福建福州·期中）某款手机连续两次降价，售价由原来的元降到了元．设平均每次降价的百分率为，则下面列出的方程中正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基础框架《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：“已知长方形门的高比宽多尺寸，门的对角线长丈，那么门的高和宽各是多少？”（1丈尺，1尺寸），若设门宽为尺，则根据题意，列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）泉州市鲤城区特产东璧龙眼，因供不应求东璧龙眼经过两次涨价，由每公斤16元上涨到每公斤25元．若两次涨价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）如图，取一张长与宽之比为的矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为（纸板的厚度忽略不计），若设矩形纸板的长为，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·福建漳州·期中）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）综合与实践 九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做个收纳盒． 善思组：把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，（如图1）然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 问题解决：（1）若该收纳盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列出方程：______，求得剪去的小正方形的边长为______． 博学组：把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒（如图2）． 问题解决：（2）若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．设收纳盒的高为厘米，则收纳盒底面的长为______，宽为______（用的代数式表示），则可列方程为：______，若有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请判断是否能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 问题解决：（3）按照博学组的剪法，______（填“可以”或“不可以”）剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入（立放或者平放）。 24．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）某市为减少汽车尾气污染，改善空气质量，鼓励市民选择新能源汽车作为出行的交通工具，并大力推进新能源汽车充电基础设施建设．据统计，该市2020年新建100座充电站，2022年新建169座，求该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率． 25．（25-26学年九上·福建漳州·期中）漳州美食历史悠久，比如冰凉爽口的四果汤，某店为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，推出售价均为15元的“鲜奶栗子四果汤”，“百香果四果汤”这两种新品．经统计，该店5月份“鲜奶栗子四果汤”销售量为500份，7月份销售量为720份；而“百香果四果汤”7月份销售量为650份． 为了尽快减少库存，8月份对“百香果四果汤”作降价促销，已知每份“百香果四果汤”的成本为6元．经试验，发现该款四果汤每降价1元，月销售量就会增加100份． （1）求该甜品店“鲜奶栗子四果汤”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ （2）该店8月份“百香果四果汤”的总利润达到5950元，求该四果汤降价多少元？ 26．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了　　人． 27．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 28．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）项目化学习 项目背景：学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），请你和数学小组一起参与实验田的设计． 数据测量：该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米．设实验田的长为米． 问题解决： （1）的长为_____米（用含的式子表示）； （2）若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 29．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）《弹簧探险家的能量之旅》 假设你是一名年轻的物理探险家，正在实验室中研究一个神奇的弹簧系统．想象一下：光滑如镜的水平实验台上（忽略所有摩擦和空气阻力），一个银色的金属小球（质量）连接着一根轻质弹簧，弹簧的劲度系数——这意味着一拉一压之间，它就蕴含着可观的能量！你小心翼翼地用机械臂将弹簧压缩了（负号表示压缩方向），然后从静止状态（初速度）释放小球．瞬间，弹簧“嗡”的一声舒展开，小球开始舞蹈般地滑动．整个系统的总机械能守恒，遵循公式： 其中： E是总机械能（单位：焦耳，），在无能量损失的情况下保持不变． 是小球的动能（速度v的单位：米/秒，）． 是弹簧的弹性势能（位移x的单位：米，；以弹簧原长位置为参考点）． 请阅读以上内容回答问题： 当时，你要像侦探一样，根据总机械能守恒公式，追踪能量如何在动能和势能之间流转，记住，能量守恒是你的指南针——系统总能量E终恒定，但形式会变！那么，此时小球的速度v为　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个30元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加1000个． （1）若售价下降1元，每月能售出_____个头盔，若售价下降x元，每月能售出_____个头盔； （2）为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为1210个头盔的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个头盔的售价； （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 31．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给　　　　　　　　　　　 32．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）【综合与探究】 七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下： 配方的过程（如图①）（如图②、③）（如图④）（如图⑤） 割、拼、补的过程 【初步应用】 （1）如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则______； 【巩固应用】 （2）由图⑥方程配方可得______； 【综合应用】 （3）如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为a（）的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满足，请求出a的值． 33．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）山西省晋南地区独特的地理与气候条件，为苹果提供了良好的生长条件，运城地处北纬，黄土层深厚肥沃，是公认的苹果“黄金生产带”，此处生长的苹果果型端正果色鲜艳，果肉鲜白，口感甜爽而且极易储存．现某苹果商贩购进一批运城苹果进行销售进价为每千克7元，若按每千克13元出售，平均每天可售出100千克，后经过市场调查发现，销售单价每降低0.5元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该销售商销售这种苹果想要平均每天获利720元，为了尽快减少库存，每千克苹果售价应定为多少元？ 34．（25-26学年九上·福建宁德·期中）若某种头盔每个进价为元，调查发现，当售价是每个元时，平均月销售量是个，而当售价每上涨元时，平均每月少售出个，要想这种头盔的销售利润平均每月达到元，且尽可能让顾客得到实惠，每个头盔的定价应为多少元？ 35．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）对联是中华传统文化的瑰宝．对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的． （1）若对联装裱后的左边为，则天头长为______，地头长为______． （2）某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的面积为，求装裱后对联的左边是多少． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程（6大题型） 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．A 2．B 3．A 4．A 5．A 6．C 7．B 8．B 9．A 10．A 11．C 12．【答案】4 【分析】 直接把代入方程，即可求出的值． 【详解】 由题意得： 把代入方程中， 则，， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义，正确求出的值． 13．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且，特别要注意的条件．在一般形式中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】 解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 14．【答案】-1 【分析】 把代入原方程，即可求解． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：． 故答案为：-1 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了由一元二次方程的解求参数，代入求值是解题的关键． 将已知根代入方程，求解参数的值即可． 【详解】 解：将代入方程， 得：， ， ， ． 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式：得到即可求解． 【详解】 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 17．【答案】0 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入得到关于k的方程求解即可． 【详解】 解：将代入得： ，解得：． 故答案为：0． 18．【答案】2 【分析】 本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 将方程的根代入方程中求解即可． 【详解】 解：∵程的一个根是1， ∴， 解得， 故答案为：2． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；将已知根代入方程，利用方程根的定义求解即可． 【详解】 解：因为是方程的一个根， 所以代入方程得：， 解得：； 故答案为． 20．【答案】（1）；不是     （2）     （3）      【分析】 本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的解、判别式等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）根据定义即可求解； （2）由题意得；得：；由① ③ 可得：是方程两个相等的实数根； （3）题意可得，进而得；结合，可得，据此即可求解； (1) 小问详解： 解：∵是“喜鹊数” ∴； ∵ ∴不是“喜鹊数”， 故答案为：；不是 (2) 小问详解： 解：由题意得：，； 得：； 由① ③ 可得：是方程的两个实数根； 由（1）得， ∴是方程两个相等的实数根； ∴； 即： (3) 小问详解： 解：∵，， 解得： ∴ ∴； ∵， ∴ 即： ∴满足条件的所有k的值为： 21．【答案】1 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程的定义列出关于的条件并求解． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数是2且二次项系数不为0，根据题意列出关于的条件，进而求解的值． 【详解】 解：因为是关于的一元二次方程，所以需要满足： 二次项系数不为0，即，解得， 未知数的最高次数是2，即， 解，可得，即或， 又因为．所以． 故答案为：1． 考点02 配方法 1．A 2．C 3．D 4．B 5．A 6．B 7．【答案】（1）或；（2）或. 【分析】 （1）根据题意利用直接开方法进行一元二次方程的求解即可； （2）根据题意利用配方法进行一元二次方程的求解即可. 【详解】 解：（1）2（x－1）2＝18 所以或， 解得：或； （2）x2－2x＝2x＋1 所以或， 解得：或. 【点睛】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握并适当地选择一元二次方程求解的方法是解题的关键. 8．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据配方法求解方程． 【详解】 解： ∴． 9．【答案】， 【分析】 将方程的常数项移动方程右边，两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】 ， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 则，． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程-配方法，掌握配方的方法和步骤是解题的关键． 10．【答案】或 【分析】 本题考查解一元二次方程、解一元一次方程，理解新运算，分类讨论是解答的关键．分和两种情况列方程求解即可． 【详解】 解：由题意，分两种情况： 当时，，则； 解得（舍去），， 当时，，解得； 综上，x的值为或． 故答案为：或． 11．【答案】（1） ，     （2） ，      【分析】 （1）因为等式左侧是完全平方形式，所以可以用直接开平方法，根据平方根的定义，得到等于9的两个平方根，再分别求解． （2）可选择配方法，先将常数项移到等式右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方形式后开平方求解． (1) 小问详解： 解： 两边直接开平方得：  ， 当  时，解得 ； 当  时，解得 ．  ． (2) 小问详解： 解：先移项得：， 配方得： ， 整理得，  开平方得：， 移项得， ． 考点03 公式法 1．A 2．D 3．C 4．A 5．A 6．D 7．B 8．C 9．A 10．【答案】, 【分析】 利用公式法可求出方程的解． 【详解】 ∵ ，，， ∴ ∴， ∴,． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法-公式法，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出a，b及c，然后计算出根的判别式的值，若，则将a，b及c的值代入求根公式即可求出解． 11．【答案】5（答案不唯一，只有即可） 【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围． 【详解】解：一元二次方程化为x2+6x+9-c=0， ∵△=36-4（9-c）=4c≥0， 解上式得c≥0． 故答为5（答案不唯一，只有c≥0即可）． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.关键在于求出c的取值范围． 12．【答案】证明：由题意可知， ∵， ∴方程总有两个实数根． 【分析】 根据一元二次方程根的判别式证明即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程无实数根是解本题的关键． 13．【答案】（1）     （2）没有实数根      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用公式法解答即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， 即， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴， ∴该方程没有实数根． 14．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解法，解决本题的关键是使用公式法求解． 根据一元二次方程的求根公式代入求解即可． 【详解】 解：方程中，， ∴， ∴方程的解为． 15．【答案】解：由题意得： ∵， ∴， ∴当时，此方程总有两个不相等的实数根． 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关公式是解题关键． 根据一元二次方程的根的判别式得出，然后对此进行化简，最后根据化简结果进一步求证即可． 【详解】 略 16．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】 （1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】 本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 17．【答案】9 【分析】 本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：9． 18．【答案】（1） 解：， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根；     （2）0      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，求代数式的值等知识． （1）计算，即可证明方程总有两个不相等的实数根； （2）根据一元二次方程根的定义得到，变形为，化简，整体代入即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵关于的方程一个根为， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．【答案】 【分析】 本题考查了公式法解一元二次方程，先计算，得到方程有两个不相等的实数根，代入求根公式即可求解． 【详解】 解：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ． 20．【答案】（1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立； （2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可． 本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 21．【答案】有两个不相等的实数根 【分析】 本题考查了点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，由点在第四象限，得出，，从而可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解． 【详解】 解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，, ∴， ∴关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 22．【答案】证明：∵一元二次方程为， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式并证明其恒大于零，即可得证，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】 略 23．【答案】（1） 证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据题意列出关于k的不等式，即可求得k的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 24．【答案】， 【分析】 本题考查一元二次方程的求解．运用公式法解方程即可． 【详解】 解：， ，，， ， ， ，． 25．【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解答本题的关键． 用公式法解即可． 【详解】 解：， ，，，， ， ，． 26．【答案】， 【分析】 本题主要考查了用公式法解一元二次方程，根据一元二次方程各项系数，可得：，可知方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式求出方程的解． 【详解】 解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，． 27．【答案】， 【分析】 本题考查了利用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法的定义是解题的关键． 根据公式法的定义先求得根的判别式的值，再利用公式求解即可． 【详解】 解：，，， ， ， ，． 28．【答案】（1）或     （2） 解：的值不能等于，理由如下： 当时， ， 展开得到：， 移项可得：， 将其看作关于的一元二次方程， ， ，为正整数， ∴； 而要使得为正整数，则必须是一个奇数的完全平方数， 设（为正整数）， 整理得：， 即； ∵k，n均为正整数，且2为素数， ∴， ∴ ， 解得： ， 这与n为正整数矛盾， 的值不能等于．      【分析】 本题考查了因式分解的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）将代入原式，再进行因式分解即可求解； （2）将代入原式，可得，将其看作关于的一元二次方程，则，由于，为正整数，则必须是一个奇数的完全平方数，设（为正整数），整理可得，再根据为正整数，2为素数得 ，求得n与k的值，与已知矛盾． (1) 小问详解： 解：当时， ， ， ， ， ， 或， 或； (2) 小问详解： 略 29．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用公式法解方程． (1) 小问详解： 解：， 直接开平方得： 或 ， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， ∵ ，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：，． 30．【答案】（1） 证明： ， ， ， ∴无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；     （2）     （3）不存在整数k，使得原方程的根是有理数，理由如下： 设方程有有理数根 ∴设 即， ， ， ， 为整数，n也为整数 和同奇同偶， ∴ 或 ∴，或， 即 解得，与k为整数相矛盾， ∴不存在整数k，使得原方程的根是有理数．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握相关知识，灵活运用是解题的关键． (1) 由根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； (2) 根据韦达定理可得，，将变形为，再代入求解即可； (3) 假设原方程的根是有理数，设则有，通过整理可得，由此可知和同奇同偶，于是有 或 ，解得k的值判断是否与题意矛盾，由此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，是的根 ∴， ∵ 代入得 解得 ∴k的取值范围为； (3) 小问详解： 略 考点04 因式分解法 1．D 2．C 3．【答案】， 【分析】 将原方程移项整理为一元二次方程的标准形式，再通过因式分解法求解即可． 【详解】 解：移项，得， 因式分解得， 则或， 解得，． 4．【答案】 【详解】 解：， ， ， 解得：． 5．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查解一元二次方程，掌握直接开方法，因式分解法是关键． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， 解得，； (2) 小问详解： 解：， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 6．【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：， 因式分解得， 即或， ，． 7．【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，选择合适解一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ， ，， 解得，． 8．【答案】 【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】 解：， ， ∴． 9．【答案】x1=-1，x2=-5 【分析】方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】x2+6x+5=0      (x+1)(x+5)=0 ∴x+1=0或x+5=0 ∴x1=-1．x2=-5 【点睛】此题考查了解一元二次方程−−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10．【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】 解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答即可． 【详解】 解：， ∴或， 解得：． 故答案为： 12．【答案】（1）证明：∵， ∴△=， ∴方程总有两个实数根． （2）． 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−4）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝4，x2＝k，根据方程有一根小于2，即可得出k的取值范围． 【详解】 （1）略 （2）∵， ∴， 解得：，， ∵该方程有一个根小于2， ∴． 【点睛】 本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方程的两个根，熟练掌握当△≥0时，方程有两个实数根是解题关键． 13．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 则， 即 ， 解得，． 14．【答案】， 【详解】 ， ， 或， 解得：，． 15．【答案】（1）     （2）     （3）2025或2026      【分析】 本题考查了利用“换元法”推导新的一元二次方程，以及一元二次方程根与方程结构的关系，解题的关键是根据新方程的根与原方程根的数量关系（如大1、互为倒数）设出换元式，将其转化为原方程的根代入原方程化简为一般形式；第三问需先整理方程结构，结合前两问中“根互为倒数的方程特征”求解． （1）根据“新根比原根大1”，设，则；将代入原方程，展开并化简为的一元二次方程一般形式；    （2）根据“新根与原根互为倒数”，设（因原方程，根不为0，故），则；将代入原方程，两边乘消分母，化简为的一般形式；    （3）先将方程整理为；结合（2）结论（原方程与的根互为倒数），利用原方程根为1和，得为原根的倒数，进而求解． (1) 小问详解： 解：设所求方程的根为， 则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：. (2) 小问详解： 设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：. (3) 小问详解： ， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和2， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为2025或2026. 16．【答案】（1） 解：， 则， ∴不论k为何值，该方程总有两个实数根；     （2），方程的另一个根为      【分析】 本题考查了利用一元二次方程的解求参数，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式得到，即可证明； （2）将代入即可求解，那么方程为，再求解方程的另一个根即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的一个根为3， ∴将代入，则， 解得， ∴方程为， ∴， ∴或， ∴或， ∴方程的另一个根为． 17．【答案】 【分析】 由题中的两个图可得：，如图1，过点作于点，过点作于点，连接，设，根据勾股定理得：，列方程即可得，证明四边形是矩形，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】 解：由题中的两个图可得：， 如图1，过点作于点，过点作于点，连接， 设， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ∴， 则， 解得：（负值，舍去）， ， 则， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握菱形的性质及一元二次方程解法是解题的关键． 18．【答案】（1）平方差公式     （2），；     （3）或．      【分析】 本题考查因式分解的应用，转化思想，熟练掌握转化思想是解题的关键． （1）第二步将分解为，是运用了平方差公式，据此即可解答； （2）参照材料中的方法，运用提公因式法与完全平方公式对方程左边进行因式分解，即可解答； （3）可以运用转化思想解一元二次不等式，将一元二次不等式转化为一元一次不等式组进行求解，据此可举例解答． (1) 小问详解： 解：第二步分解因式的依据是平方差公式． 故答案为：平方差公式； (2) 小问详解： 解：， 提公因式，得， 分解因式，得， ∴或， ∴，； (3) 小问详解： 解：可以运用转化思想解不等式， 因式分解，得， ∴ 或 ， ∴或． 19．【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论为何值，方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，当时，方程有两个实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式即可证明； （2）由因式分解结果可知根为3和，根据条件一个根大于1（ 3 始终满足），另一个根小于0，直接解不等式即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：方程， 因式分解为， 解得：或， ∵，满足一个根大于1， ∴只需另一个根，即． 故的取值范围为． 20．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【详解】 解：方法一、， 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 方程的解为：，； 方法二、 其中，，， ， ，即， 方程的解为：，； 方法三、， 因式分解得：， 或， 方程的解为：． 21．【答案】(1) 或 (2) 【分析】 本题考查了解一元二次方程和代数式的值，熟练掌握解一元二次方程的方法，一元二次方程的根的定义 ，完全平方公式，单项式乘多项式，利用整体法代入求值是解题的关键． （1）用因式分解法解方程即可； （2）先化简代数式，再将已知变成一边为0的形式代入即可求出结果． 【详解】 解：（1）， 分解因式，得， ∴， 解得 （2） ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴原式． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．B 2．C 3．A 4．B 5．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系． 直接根据公式计算两根之积即可． 【详解】 根据根与系数的关系，两根之积． 故答案为：． 6．【答案】1 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是牢记根与系数的关系并正确代入计算． 先根据一元二次方程的系数确定两根之和与两根之积，再代入式子计算． 【详解】 ∵一元二次方程的两个实数根分别为和， ， ． 故答案为：1 7．【答案】0 【分析】 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，可得，由于两根互为相反数，其和为0，可得，即可求解． 【详解】 解：设方程的两根为， 由根与系数的关系，得， 因为两根互为相反数， 所以，即， 解得． 故答案为0． 8．【答案】3 【分析】 本题考查的是根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系，先求出两根之和，再计算减去2的结果即可． 【详解】 解：方程中，二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系，两根之和 ， 所以， 故答案为：3． 9．【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】 解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴，解得：， ∴方程的另一个根是， 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 由题中给出的运算定义式可把要求值的算式化简为包含和的代数式，再由a、b是方程的两个根可得和的值，最后把ab和a+b的值整体代入即可得解． 本题考查了新定义运算、一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是熟知新定义运算的法则． 【详解】 ∵a、b是方程的两个根， ∴ ∵， ∴ 故答案为：． 11．【答案】（1） 证明：∵ ， ∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根；     （2），另一个根为0      【分析】 本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根与系数关系，属于中考常考题型． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）根据方程解的定义求出k的值，再利用根与系数的关系即可求出另一个根． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的一个根为， ∴， ∴， ∴方程为， ∴， ∴， ∴另一个根为0． 12．【答案】（1）解：∵实数m满足， ∴关于m的方程有解， ∴， ∴     （2）解：无整数根， 理由如下：假设有整数根，若m为奇数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； 若m为偶数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； ∴假设错误， 综上所述，方程无整数根；     （3）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可得证； （2）利用反证法求解即可； （3）先证明出m、是方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，代入计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：若，，则， ∵， ∴， ∴m、是方程的两根，      ∴，， ∴． 13．【答案】①，② m的值为． 【分析】① 根据“关于x的一元二次方程有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的不等式，解之即可． ② 根据“x1，x2是方程的两根且”，结合根与系数的关系，列出关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案． 【详解】解：① 根据题意得： ， 解得：， ② 根据题意得： ，， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴m的值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：① 正确掌握判别式公式，② 正确掌握根与系数的关系． 14．【答案】（1）一定有实数根     （2）2      【分析】 (1)根据一元二次方程根的判别式，即可判定； (2)首先可求得，，再根据其中有一根不大于0，可得，据此即可求解． (1) 小问详解： 解：，，， ， ， ∴该方程一定有实数根； (2) 小问详解： 解：由原方程可得：， 解得，． ∵方程其中一根不大于0， ． 又， ∴， ， ∴y的最大值为2． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式是解决本题的关键． 15．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系以及根的定义．首先根据根的定义得到 的表达式，然后代入目标式化简，最后利用根与系数的关系求解． 【详解】 解：∵ a 是方程 的根， ∴ ， 即 ． ∴ ． 又 ∵ a， b 是方程 的两根， ∴ ． ∴ ， 故答案为：． 16．【答案】（1），     （2）     （3）的值为或．      【分析】 （1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； (3) 小问详解： 解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 17．【答案】（1） 证明：对于一元二次方程，判别式． 在方程中，． 则 任何实数的平方都非负，即， 对于任意实数k，方程总有实数根；     （2）或．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握判别式的计算和根与系数的应用． （1）通过计算判别式并证明其恒非负来证明方程总有实数根； （2）利用根与系数的关系结合已知条件构建方程求解k的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程，有， 又已知，将两式联立可得方程组 ， 将两式相加，得，解得， 把代入，得，解得， 再根据根与系数的关系，，即， 解得或． 18．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．先根据一元二次方程根的定义得到，是方程的两个根，再根据根与系数的关系可得到、的值，将代数式化简变形，然后利用整体代入的方法计算即可得到答案． 【详解】 解：，， ，是方程的两个根， ，， ， ， ． 故答案为：． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．A 2．D 3．B 4．C 5．C 6．C 7．B 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A 13．B 14．C 15．D 16．C 17．D 18．B 19．C 20．A 21．D 22．C 23．【答案】（1），； （2），，，不能，理由： ∵收纳盒的高为厘米， ∴纳盒底面的长为厘米，宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为． ∴，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ∵， ∴不能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒； （3）不可以 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意即可． （1）由题意得，据此即可求解； （2）由题意得：收纳盒底面的长为厘米，宽为厘米，根据解得：，即可判断； （3）分类讨论若收纳盒的高为厘米，厘米，厘米，即可求解； 【详解】 解：（1）可列出方程：， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为：，； （2）略 （3）若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米； 若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米，； 若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米，； 综上所述，不可以剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入， 故答案为：不可以 24．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程，难度不大． 设该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为，，根据该市2020年底和2022年底的充电站数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设新建充电站的数量的年平均增长率为， 根据题意得：． 解得：，（舍去）． 答：该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为． 25．【答案】（1）月平均增长率是．     （2）四果汤降价2元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设月平均增长率是，结合题干的数据进行列式计算，即可作答． （2）先分别表示出降价元后的单件利润是元，销售数量是份，根据总利润达到5950元，进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，设月平均增长率是， ∵该店5月份“鲜奶栗子四果汤”销售量为500份，7月份销售量为720份；而“百香果四果汤”7月份销售量为650份． ∴， ∴， 则 解得（舍去） ∴月平均增长率是． (2) 小问详解： 解：该百香果四果汤降价元， 依题意，得出降价元后的单件利润是（元）， 降价元后的销售数量是份 ∴， ∴， 整理得， ∴， 解得，， ∵尽快减少库存， ∴百香果四果汤降价2元， 26．【答案】11 【分析】 设每轮传染中平均一个人传染x人，根据题意可得第一轮被传染了之后有x人，即有患了流感，则第二轮能传染人，故可列方程，解方程即可解答． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染x人， 根据题意可得方程， 解得，（舍去）， 故每轮传染中平均一个人传染11人， 故答案为：11． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，注意第一轮患者人数是被传染的人加上原有患者是解题的关键． 27．【答案】（1）每次下降的百分率为     （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； (2) 小问详解： 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 28．【答案】（1）     （2）     （3）不能      【分析】 本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据题意列出即可； （2）根据题意建立方程，解方程求出的值，再根据位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米即可求解； （3）根据题意建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可判断． (1) 小问详解： 解：由题意得：（米）， 得（米）， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由题意得：， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 则的值为． (3) 小问详解： 解：假设该实验田的面积能为240平方米， 则， 整理得， ∵，方程没有实数根， ∴假设不成立． 答：该实验田的面积不能为240平方米． 29．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程应用以及跨学科考题，根据机械能守恒定律，系统初始总机械能等于任意位置的总机械能，初始时弹簧压缩，小球静止，总机械能仅为弹性势能；当弹簧位移为x时，总机械能等于动能与弹性势能之和，由此列出方程求解速度. 【详解】 解：初始时，弹簧压缩量，小球速度 ，总机械能 当时，， 整理得， 解得：（舍去负值）， 故答案为：. 30．【答案】（1）800，     （2）每个头盔的售价为37元     （3） 月获利不能达到9600元，理由如下： 设每个头盔降价x元， 则． 整理，得 ∵．方程无实数根． 答:月获利不能达到9600元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个头盔降价x元，根据每个头盔的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． (1) 小问详解： ∵售价每下降5元，其月销售量就增加1000个 ∴售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降1元，每月能售出个头盔， 若售价下降x元，每月能售出个头盔； 故答案为：800，； (2) 小问详解： 解：设每个头盔降价x元， ． 整理，得   解得，． 因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元， 但是实际销量要够卖，需小于等于1210个， 当时，（舍去） 当时，，可取， （元） 答：每个头盔的售价为37元． (3) 小问详解： 略 31．【答案】14 【分析】 本题考查列一元二次方程—传播问题解应用题，正确的列出方程是解题的关键．设每轮平均一人分享给x人，根据“经过两轮分享后，共225人掌握此技巧”列方程求出x的值即可． 【详解】 解：设每轮平均一人分享给x人，根据题意得 ， ，（舍去）， ∴每轮平均一人分享给14个人． 故答案为：14． 32．【答案】（1）；（2）；（3），2 【分析】 本题主要考查配方法的应用、根与系数的关系，正确理解题意，并熟知根与系数的关系是解题关键． （1）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （2）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （3）根据题意所给的方法对方程进行配方即可，以此可写出是对哪个一元二次方程进行配方，再将方程变形为的形式，根据根与系数的关系得到，，因此可得到关于a的一元二次方程，求解即可． 【详解】 解：（1）， ， （如图⑥ ）， ∴， 故答案为：； （2）， ， ， ， 故答案为：； （3）由图⑦ 可得：， ∴， ∴， ∴这是对一元二次方程进行配方，方程可变形为， ∵，为方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴． 33．【答案】每千克苹果售价应定为11元 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用： 法一：设每千克苹果售价应定为x元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； 法二：设每千克苹果降价x元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：方法一： 设每千克苹果售价应定为x元 根据题意，得：， ∴ 解这个方程，得，． 因为要尽快减少库存，x取11 答：每千克苹果售价应定为11元； 方法二：设每千克苹果降价x元 根据题意，得：， ∴ 解这个方程，得， 因为要尽快减少库存，x取2， 每千克苹果售价应定为 答：每千克苹果售价应定为11元． 34．【答案】每个头盔的定价应为元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 设头盔售价的上涨了元，根据当售价每上涨元时，平均每月少售出个，可得销量为，由利润=（售价-进价）×销量，列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，再根据尽可能让顾客得到实惠，即可确定的值． 【详解】 解：设头盔售价的上涨了元， 依题意得：， 解得，． ∵尽可能让顾客得到优惠， ∴． ∴． 答：该品牌头盔每个售价定为元． 35．【答案】（1）12，8     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中的数量关系，掌握因式分解求一元二次方程的根的方法是解题的关键． （1）先求出天头长和地头长的和，再分别求出天头长和地头长即可； （2）设天头为，可用含的式子表示地头的长，左、右边的宽，由此列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵对联装裱后的左边为，为天头长与地头长的和的， ∴天头长与地头长的和为， ∵天头长与地头长的比是， ∴天头长为，地头长为． 故答案为：12，8； (2) 小问详解： 解：根据题意，设天头为，则地头为， ∴左右边的宽为：， ∴装裱后的长为：，宽为：， ∴， 整理得，， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴装裱后对联的左边是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程（6大题型） 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴， 解得． 故选：A． 2．（25-26学年九上·福建宁德·期中）下列方程中属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程进行判断即可． 【详解】 解：A. ：∵ 含有两个未知数，∴ 不是一元方程， B. ：∵ 可化为 ，只含一个未知数且最高次数为2，∴ 是一元二次方程， C. ：∵ 最高次数为1，∴ 是一元一次方程， D. ：∵ 是分式方程，∴ 不是整式方程， 故选：B． 3．（25-26学年九上·福建福州·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了由一元二次方程的解求解未知数，解决本题的关键是直接利用根代入方程求解． 根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程即可求出参数值． 【详解】 解：∵ 是方程 的根， ∴ 将代入方程得：， 即， ∴， 解得． 故选：A． 4．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）若关于x 的一元二次方程的一个根是2，则m 的值为（       ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根据题意，把代入，得，即可解得m 的值． 【详解】 解：∵关于x 的一元二次方程的一个根是2， ∴把代入， 得， 整理得 解得， 故选：A． 5．（25-26学年九上·福建漳州·期中）如果2是方程的一个根，那么c的值是（     ） A. 3 B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【详解】 解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 6．（25-26学年九上·福建漳州·期中）一元二次方程的一次项系数是（       ） A. 3 B. 2 C.  D. 0 【答案】C 【分析】 本题主要考查一元二次方程的概念，理清中的含义是解题的关键． 根据一元二次方程，的含义分别为二次项系数，一次项系数，常数项即可求解． 【详解】 由一元二次方程， 所以一次项系数是． 故选：C． 7．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）已知关于的方程的一个根为2，则的值是（     ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握基础知识是解题关键．将代入方程即可求出的值． 【详解】 解：已知是的一个根， ∴， 解得：． 故选：B． 8．（25-26学年九上·福建福州·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程定义及方程中未知数的最高次数为2，可得 ，由此可解． 【详解】 解：由题意知 ， 解得， 故选：B 9．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（       ） A. 3 B. 0 C.  D.  【答案】A 【分析】 把代入，转化为m的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】 把代入， 得， 解得， 故选A． 10．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（    ） A.  B.  C. x D. 1 【答案】A 【分析】 根据一元二次方程定义可得，，可得的值，再代入原方程，由此即可得结果． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程的常数项是6， ∴，， 解得：， 把代入原方程可得， ∴一次项是， 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是一次项，是常数项． 11．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（       ） A. ， B. ， C. ， D.  【答案】C 【分析】 本题考查了新定义，一元二次方程的解． 根据凤凰方程的定义得，根据方程且有一个解为得，通过加减消元即可求解． 【详解】 解：∵方程是凤凰方程， ∴． ∵是方程的解， ∴，即． 将两式相加：，得 ， ∴，即． 将两式相减：，得 ， ∴． 故且， 故选C． 12．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）已知是方程的解，则m的值为　　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 直接把代入方程，即可求出的值． 【详解】 由题意得： 把代入方程中， 则，， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义，正确求出的值． 13．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）一元二次方程的一次项系数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且，特别要注意的条件．在一般形式中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】 解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　． 【答案】-1 【分析】 把代入原方程，即可求解． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：． 故答案为：-1 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 15．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了由一元二次方程的解求参数，代入求值是解题的关键． 将已知根代入方程，求解参数的值即可． 【详解】 解：将代入方程， 得：， ， ， ． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式：得到即可求解． 【详解】 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）是一元二次方程的一个解，则　　　　　　 【答案】0 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入得到关于k的方程求解即可． 【详解】 解：将代入得： ，解得：． 故答案为：0． 18．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）已知关于的方程的一个根是1，则的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 将方程的根代入方程中求解即可． 【详解】 解：∵程的一个根是1， ∴， 解得， 故答案为：2． 19．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）已知方程有一个根是，则k的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；将已知根代入方程，利用方程根的定义求解即可． 【详解】 解：因为是方程的一个根， 所以代入方程得：， 解得：； 故答案为． 20．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为所以是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式_________；判断_________“喜鹊数”（填“是”或“不是”）； （2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 【答案】（1）；不是     （2）     （3）      【分析】 本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的解、判别式等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）根据定义即可求解； （2）由题意得；得：；由① ③ 可得：是方程两个相等的实数根； （3）题意可得，进而得；结合，可得，据此即可求解； (1) 小问详解： 解：∵是“喜鹊数” ∴； ∵ ∴不是“喜鹊数”， 故答案为：；不是 (2) 小问详解： 解：由题意得：，； 得：； 由① ③ 可得：是方程的两个实数根； 由（1）得， ∴是方程两个相等的实数根； ∴； 即： (3) 小问详解： 解：∵，， 解得： ∴ ∴； ∵， ∴ 即： ∴满足条件的所有k的值为： 21．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）已知是关于的一元二次方程，则　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程的定义列出关于的条件并求解． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数是2且二次项系数不为0，根据题意列出关于的条件，进而求解的值． 【详解】 解：因为是关于的一元二次方程，所以需要满足： 二次项系数不为0，即，解得， 未知数的最高次数是2，即， 解，可得，即或， 又因为．所以． 故答案为：1． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】 解： ， 故选：A． 2．（25-26学年九上·福建宁德·期中）方程的解是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程．通过移项和开平方求解方程． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C 3．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）解方程经过配方后，其结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题的关键．先移项，然后左右两边加上一次项系数一半的平方，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）解一元二次方程x2﹣2x＝4，配方后正确的是（　　） A. （x+1）2＝6 B. （x﹣1）2＝5 C. （x﹣1）2＝4 D. （x﹣1）2＝8 【答案】B 【分析】 两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】 解：∵x2﹣2x＝4， ∴x2﹣2x+1＝4+1， 即（x﹣1）2＝5， 故选：B． 【点睛】 本题考查解一元二次方程——配方法，解题步骤是：二次项系数化为1；常数项移项到等号右、未知项移到等号左；两边都加上一次项系数一半，进行配方． 5．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程， 先移项，再两边都加上一次项系数一半的平方即可. 【详解】 解：， 移项，得， 两边都加上16，得， 即. 故选：A. 6．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）用配方法解方程，将方程变为的形式，则m值为（       ） A.  B. 3 C.  D. 2 【答案】B 【分析】 本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，直接比较得出m的值． 【详解】 解：∵， ∴ 移项得． 配方：， 即． ∴ 比较 ，得：； 故选B． 7．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）用适当的方法解下列方程 （1）2（x－1）2＝18； （2）x2－2x＝2x＋1 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】 （1）根据题意利用直接开方法进行一元二次方程的求解即可； （2）根据题意利用配方法进行一元二次方程的求解即可. 【详解】 解：（1）2（x－1）2＝18 所以或， 解得：或； （2）x2－2x＝2x＋1 所以或， 解得：或. 【点睛】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握并适当地选择一元二次方程求解的方法是解题的关键. 8．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）解方程： 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据配方法求解方程． 【详解】 解： ∴． 9．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 将方程的常数项移动方程右边，两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】 ， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 则，． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程-配方法，掌握配方的方法和步骤是解题的关键． 10．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）定义新运算： ，例如：，，若，则x的值为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查解一元二次方程、解一元一次方程，理解新运算，分类讨论是解答的关键．分和两种情况列方程求解即可． 【详解】 解：由题意，分两种情况： 当时，，则； 解得（舍去），， 当时，，解得； 综上，x的值为或． 故答案为：或． 11．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ，     （2） ，      【分析】 （1）因为等式左侧是完全平方形式，所以可以用直接开平方法，根据平方根的定义，得到等于9的两个平方根，再分别求解． （2）可选择配方法，先将常数项移到等式右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方形式后开平方求解． (1) 小问详解： 解： 两边直接开平方得：  ， 当  时，解得 ； 当  时，解得 ．  ． (2) 小问详解： 解：先移项得：， 配方得： ， 整理得，  开平方得：， 移项得， ． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（       ） A. 且 B. 且 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义以及根的判别式，由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围． 【详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， 解得且， 故选A． 2．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（       ） A.  B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此可列出关于的等式，求出的值． 【详解】 解：关于的方程有两个相等的实数根 故选：D． 3．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（       ） A.  B.  C. 4 D. 16 【答案】C 【分析】 根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】 ∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 4．（九上·福建厦门湖里中学·期中）一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 【答案】A 【分析】 直接利用根的判别式进行判断即可得到答案. 【详解】 解：∵△＝32﹣4×1×5＝﹣11＜0， ∴方程无实数根． 故选A． 【点睛】 本题主要考查根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：① 当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；② 当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③ 当△＜0时，方程无实数根． 5．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）小明准备完成题目：解一元二次方程．若“”表示一个数字，且方程有实数根，则“”的值可能为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．设“”表示的数为，根据题意得出，求解即可得到答案． 【详解】 解：设“”表示的数为， 方程有实数根， ， 解得：， “”的值可能为4， 故选：A． 6．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）关于x的一元二次方程无实数根，则的取值范围（       ） A.  B. 且 C. 且 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用；根据一元二次方程根的判别式， 计算求值即可； 【详解】 解：关于的一元二次方程无实数根， 且，， 解得：． 故选： D． 7．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（        ） A.  B. 且 C.  D.  【答案】B 【分析】 需同时满足二次项系数不为0、根的判别式大于0两个条件，联立求解； 【详解】 解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：， ∴的取值范围是且． 8．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）若关于x的一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则m的取值为(       ) . A. m=0 B. m>0 C. m<-1 D. m>-1 【答案】C 【分析】方程无实数根，则△<0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：由题意得：△=4+4m<0， ∴m<-1． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 9．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴方程有两个相等实数根， 故选：． 10．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）解方程：． 【答案】, 【分析】 利用公式法可求出方程的解． 【详解】 ∵ ，，， ∴ ∴， ∴,． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法-公式法，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出a，b及c，然后计算出根的判别式的值，若，则将a，b及c的值代入求根公式即可求出解． 11．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为　　　　　　　　（写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一，只有即可） 【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围． 【详解】解：一元二次方程化为x2+6x+9-c=0， ∵△=36-4（9-c）=4c≥0， 解上式得c≥0． 故答为5（答案不唯一，只有c≥0即可）． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.关键在于求出c的取值范围． 12．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）已知关于x的一元二次方程．求证：方程总有两个实数根． 【答案】证明：由题意可知， ∵， ∴方程总有两个实数根． 【分析】 根据一元二次方程根的判别式证明即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程无实数根是解本题的关键． 13．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）解方程 （1）； （2）； 【答案】（1）     （2）没有实数根      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用公式法解答即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， 即， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴， ∴该方程没有实数根． 14．（25-26学年九上·福建福州·期中）解方程： 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解法，解决本题的关键是使用公式法求解． 根据一元二次方程的求根公式代入求解即可． 【详解】 解：方程中，， ∴， ∴方程的解为． 15．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程，且，求证：当时，此方程总有两个不相等的实数根． 【答案】解：由题意得： ∵， ∴， ∴当时，此方程总有两个不相等的实数根． 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关公式是解题关键． 根据一元二次方程的根的判别式得出，然后对此进行化简，最后根据化简结果进一步求证即可． 【详解】 略 16．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】 （1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】 本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 17．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：9． 18．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为，求代数式的值． 【答案】（1） 解：， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根；     （2）0      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，求代数式的值等知识． （1）计算，即可证明方程总有两个不相等的实数根； （2）根据一元二次方程根的定义得到，变形为，化简，整体代入即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵关于的方程一个根为， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了公式法解一元二次方程，先计算，得到方程有两个不相等的实数根，代入求根公式即可求解． 【详解】 解：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ． 20．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【答案】（1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立； （2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可． 本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 21．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是　　　　　　． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】 本题考查了点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，由点在第四象限，得出，，从而可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解． 【详解】 解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，, ∴， ∴关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 22．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）已知关于的一元二次方程；求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； 【答案】证明：∵一元二次方程为， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式并证明其恒大于零，即可得证，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】 略 23．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于2，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据题意列出关于k的不等式，即可求得k的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 24．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）解方程： 【答案】， 【分析】 本题考查一元二次方程的求解．运用公式法解方程即可． 【详解】 解：， ，，， ， ， ，． 25．（九上·福建厦门湖里中学·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解答本题的关键． 用公式法解即可． 【详解】 解：， ，，，， ， ，． 26．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）用适当的方法解下列方程： 【答案】， 【分析】 本题主要考查了用公式法解一元二次方程，根据一元二次方程各项系数，可得：，可知方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式求出方程的解． 【详解】 解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，． 27．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了利用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法的定义是解题的关键． 根据公式法的定义先求得根的判别式的值，再利用公式求解即可． 【详解】 解：，，， ， ， ，． 28．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知实数，，满足． （1）若，求，的数量关系； （2）若，为正整数，则的值能否等于？请说明理由． 【答案】（1）或     （2） 解：的值不能等于，理由如下： 当时， ， 展开得到：， 移项可得：， 将其看作关于的一元二次方程， ， ，为正整数， ∴； 而要使得为正整数，则必须是一个奇数的完全平方数， 设（为正整数）， 整理得：， 即； ∵k，n均为正整数，且2为素数， ∴， ∴ ， 解得： ， 这与n为正整数矛盾， 的值不能等于．      【分析】 本题考查了因式分解的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）将代入原式，再进行因式分解即可求解； （2）将代入原式，可得，将其看作关于的一元二次方程，则，由于，为正整数，则必须是一个奇数的完全平方数，设（为正整数），整理可得，再根据为正整数，2为素数得 ，求得n与k的值，与已知矛盾． (1) 小问详解： 解：当时， ， ， ， ， ， 或， 或； (2) 小问详解： 略 29．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用公式法解方程． (1) 小问详解： 解：， 直接开平方得： 或 ， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， ∵ ，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：，． 30．（25-26学年九上·福建宁德·期中）已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若原方程的两个根是，，满足，求k的取值范围； （3）当k是整数时，是否存在整数k，使得原方程的根是有理数?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明： ， ， ， ∴无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；     （2）     （3）不存在整数k，使得原方程的根是有理数，理由如下： 设方程有有理数根 ∴设 即， ， ， ， 为整数，n也为整数 和同奇同偶， ∴ 或 ∴，或， 即 解得，与k为整数相矛盾， ∴不存在整数k，使得原方程的根是有理数．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握相关知识，灵活运用是解题的关键． (1) 由根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； (2) 根据韦达定理可得，，将变形为，再代入求解即可； (3) 假设原方程的根是有理数，设则有，通过整理可得，由此可知和同奇同偶，于是有 或 ，解得k的值判断是否与题意矛盾，由此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，是的根 ∴， ∵ 代入得 解得 ∴k的取值范围为； (3) 小问详解： 略 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）一元二次方程的根是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法．利用因式分解法把原方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】 解：∵， ∴或， 解得， 故选：D． 2．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A.  B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 3．（25-26学年九上·福建福州·期中）一元二次方程的根是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 将原方程移项整理为一元二次方程的标准形式，再通过因式分解法求解即可． 【详解】 解：移项，得， 因式分解得， 则或， 解得，． 4．（25-26学年九上·福建福州·期中）解方程：． 【答案】 【详解】 解：， ， ， 解得：． 5．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查解一元二次方程，掌握直接开方法，因式分解法是关键． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， 解得，； (2) 小问详解： 解：， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 6．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：， 因式分解得， 即或， ，． 7．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，选择合适解一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ， ，， 解得，． 8．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】 解：， ， ∴． 9．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）解方程：x2+6x+5=0． 【答案】x1=-1，x2=-5 【分析】方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】x2+6x+5=0      (x+1)(x+5)=0 ∴x+1=0或x+5=0 ∴x1=-1．x2=-5 【点睛】此题考查了解一元二次方程−−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10．（25-26学年九上·福建宁德·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】 解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 11．（25-26学年九上·福建宁德·期中）一元二次方程的实数根是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答即可． 【详解】 解：， ∴或， 解得：． 故答案为： 12．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于2，求的取值范围． 【答案】（1）证明：∵， ∴△=， ∴方程总有两个实数根． （2）． 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−4）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝4，x2＝k，根据方程有一根小于2，即可得出k的取值范围． 【详解】 （1）略 （2）∵， ∴， 解得：，， ∵该方程有一个根小于2， ∴． 【点睛】 本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方程的两个根，熟练掌握当△≥0时，方程有两个实数根是解题关键． 13．（25-26学年九上·福建漳州·期中）解方程 （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 则， 即 ， 解得，． 14．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】 ， ， 或， 解得：，． 15．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．（要求：化未知数是，为一般形式）； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根与已知方程方程的两个根互为倒数；（要求：未知数是，化为一般形式）． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，直接写出关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】（1）     （2）     （3）2025或2026      【分析】 本题考查了利用“换元法”推导新的一元二次方程，以及一元二次方程根与方程结构的关系，解题的关键是根据新方程的根与原方程根的数量关系（如大1、互为倒数）设出换元式，将其转化为原方程的根代入原方程化简为一般形式；第三问需先整理方程结构，结合前两问中“根互为倒数的方程特征”求解． （1）根据“新根比原根大1”，设，则；将代入原方程，展开并化简为的一元二次方程一般形式；    （2）根据“新根与原根互为倒数”，设（因原方程，根不为0，故），则；将代入原方程，两边乘消分母，化简为的一般形式；    （3）先将方程整理为；结合（2）结论（原方程与的根互为倒数），利用原方程根为1和，得为原根的倒数，进而求解． (1) 小问详解： 解：设所求方程的根为， 则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：. (2) 小问详解： 设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：. (3) 小问详解： ， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和2， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为2025或2026. 16．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 解：， 则， ∴不论k为何值，该方程总有两个实数根；     （2），方程的另一个根为      【分析】 本题考查了利用一元二次方程的解求参数，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式得到，即可证明； （2）将代入即可求解，那么方程为，再求解方程的另一个根即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的一个根为3， ∴将代入，则， 解得， ∴方程为， ∴， ∴或， ∴或， ∴方程的另一个根为． 17．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）如图，菱形的边长为5，点在边上，连接，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题中的两个图可得：，如图1，过点作于点，过点作于点，连接，设，根据勾股定理得：，列方程即可得，证明四边形是矩形，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】 解：由题中的两个图可得：， 如图1，过点作于点，过点作于点，连接， 设， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ∴， 则， 解得：（负值，舍去）， ， 则， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握菱形的性质及一元二次方程解法是解题的关键． 18．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）用转化的思想解方程：我们知道一元二次方程的解法有四种，在解一元二次方程时，应该根据系数的特征选择恰当快捷的方法求解．例如：当时，常选用因式分解法求解；当，且时，常选用直接开平方法 求解…但是在求解的过程中发现，不管使用哪种方法求解，都是将一元二次方程转化为一元一次方程，通过求解一元一次方程得到一元二次方程的解，通过查阅资料，可以发现，不止解一元二次方程可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程，解一元高次方程也可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程． 例如：解方程．解：提取公因式，得．…第一步 分解因式，得．…第二步 或或．…第三步 ，，．…第四步 任务： （1）在上述材料中，第二步分解因式的依据是________． （2）请参照材料中的方法，解方程． （3）实际上，除解方程外，初中数学还有一些知识也可以用转化思想来解决．例如：可以运用转化思想将解一元二次不等式转化为解一元一次不等式．请你尝试解不等式． 【答案】（1）平方差公式     （2），；     （3）或．      【分析】 本题考查因式分解的应用，转化思想，熟练掌握转化思想是解题的关键． （1）第二步将分解为，是运用了平方差公式，据此即可解答； （2）参照材料中的方法，运用提公因式法与完全平方公式对方程左边进行因式分解，即可解答； （3）可以运用转化思想解一元二次不等式，将一元二次不等式转化为一元一次不等式组进行求解，据此可举例解答． (1) 小问详解： 解：第二步分解因式的依据是平方差公式． 故答案为：平方差公式； (2) 小问详解： 解：， 提公因式，得， 分解因式，得， ∴或， ∴，； (3) 小问详解： 解：可以运用转化思想解不等式， 因式分解，得， ∴ 或 ， ∴或． 19．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值方程总有两个实数根； （2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论为何值，方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，当时，方程有两个实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式即可证明； （2）由因式分解结果可知根为3和，根据条件一个根大于1（ 3 始终满足），另一个根小于0，直接解不等式即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：方程， 因式分解为， 解得：或， ∵，满足一个根大于1， ∴只需另一个根，即． 故的取值范围为． 20．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【详解】 解：方法一、， 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 方程的解为：，； 方法二、 其中，，， ， ，即， 方程的解为：，； 方法三、， 因式分解得：， 或， 方程的解为：． 21．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）（1）解方程：． （2）已知是方程的解，求代数式的值． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】 本题考查了解一元二次方程和代数式的值，熟练掌握解一元二次方程的方法，一元二次方程的根的定义 ，完全平方公式，单项式乘多项式，利用整体法代入求值是解题的关键． （1）用因式分解法解方程即可； （2）先化简代数式，再将已知变成一边为0的形式代入即可求出结果． 【详解】 解：（1）， 分解因式，得， ∴， 解得 （2） ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴原式． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）下列一元二次方程中，两个实数根之和等于的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系；先通过计算判别式分别确定四个方程有没有实数根，若，则利用根与系数的关系：进行计算，即可判断出正确的选项． 【详解】 A．，则此方程没有实数根，故该选项不符合题意； B．，则，故该选项符合题意； C．，，故该选项不符合题意； D．，，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是（     ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系：，，先把代入，得出，据此计算即可解答． 【详解】 解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， 把代入， 则，即， 故 ， 故选：C． 3．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）已知，且 ，那么的值为（     ） A. 205 B. 520 C. 1001 D. 1 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、换元法解一元二次方程，把方程两边同时除以，可得：，可知和是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可以求出的值． 【详解】 解： ， 由方程可知， 把方程两边同时除以， 可得：， 和是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故选：A. 4．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）以3 和为两根的一元二次方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了根与系数的关系定理，能熟记根与系数的关系定理的内容是解此题的关键． 根据根与系数的关系，一元二次方程，有两根、，则，，逐个判断即可． 【详解】 解：A、∵， ∴3 和不是方程的两根，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴3 和是方程的两根，故本选项符合题意； C、∵， ∴3 和不是方程的两根，故本选项不符合题意； D、∵， ∴3 和不是方程的两根1，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．（25-26学年九上·福建漳州·期中）设方程的两个根为，那么的值等于　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系． 直接根据公式计算两根之积即可． 【详解】 根据根与系数的关系，两根之积． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是牢记根与系数的关系并正确代入计算． 先根据一元二次方程的系数确定两根之和与两根之积，再代入式子计算． 【详解】 ∵一元二次方程的两个实数根分别为和， ， ． 故答案为：1 7．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）如果一元二次方程有两实根且两根互为相反数，那么　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，可得，由于两根互为相反数，其和为0，可得，即可求解． 【详解】 解：设方程的两根为， 由根与系数的关系，得， 因为两根互为相反数， 所以，即， 解得． 故答案为0． 8．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）方程的两根为、，则　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查的是根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系，先求出两根之和，再计算减去2的结果即可． 【详解】 解：方程中，二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系，两根之和 ， 所以， 故答案为：3． 9．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】 解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴，解得：， ∴方程的另一个根是， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）定义运算：, 若a、b是方程的两个根，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(用含m的代数式表示). 【答案】 【分析】 由题中给出的运算定义式可把要求值的算式化简为包含和的代数式，再由a、b是方程的两个根可得和的值，最后把ab和a+b的值整体代入即可得解． 本题考查了新定义运算、一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是熟知新定义运算的法则． 【详解】 ∵a、b是方程的两个根， ∴ ∵， ∴ 故答案为：． 11．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）已知关于x的一元二次方程（其中k为常数）． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若该方程有一个根为2，求k的值及该方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根；     （2），另一个根为0      【分析】 本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根与系数关系，属于中考常考题型． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）根据方程解的定义求出k的值，再利用根与系数的关系即可求出另一个根． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的一个根为， ∴， ∴， ∴方程为， ∴， ∴， ∴另一个根为0． 12．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）已知：实数满足． （1）求证：； （2）若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； （3）若，，，求的值． 【答案】（1）解：∵实数m满足， ∴关于m的方程有解， ∴， ∴     （2）解：无整数根， 理由如下：假设有整数根，若m为奇数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； 若m为偶数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； ∴假设错误， 综上所述，方程无整数根；     （3）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可得证； （2）利用反证法求解即可； （3）先证明出m、是方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，代入计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：若，，则， ∵， ∴， ∴m、是方程的两根，      ∴，， ∴． 13．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）已知关于x的一元二次方程有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且，求m的值． 【答案】①，② m的值为． 【分析】① 根据“关于x的一元二次方程有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的不等式，解之即可． ② 根据“x1，x2是方程的两根且”，结合根与系数的关系，列出关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案． 【详解】解：① 根据题意得： ， 解得：， ② 根据题意得： ，， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴m的值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：① 正确掌握判别式公式，② 正确掌握根与系数的关系． 14．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）关于x的一元二次方程． （1）不解方程，判断该方程的根的情况； （2）设，是方程的两根，其中有一根不大于0，若，求y的最大值． 【答案】（1）一定有实数根     （2）2      【分析】 (1)根据一元二次方程根的判别式，即可判定； (2)首先可求得，，再根据其中有一根不大于0，可得，据此即可求解． (1) 小问详解： 解：，，， ， ， ∴该方程一定有实数根； (2) 小问详解： 解：由原方程可得：， 解得，． ∵方程其中一根不大于0， ． 又， ∴， ， ∴y的最大值为2． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式是解决本题的关键． 15．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）已知、是一元二次方程的两根，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系以及根的定义．首先根据根的定义得到 的表达式，然后代入目标式化简，最后利用根与系数的关系求解． 【详解】 解：∵ a 是方程 的根， ∴ ， 即 ． ∴ ． 又 ∵ a， b 是方程 的两根， ∴ ． ∴ ， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 【答案】（1），     （2）     （3）的值为或．      【分析】 （1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； (3) 小问详解： 解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 17．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：对于任意实数k，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求k的值． 【答案】（1） 证明：对于一元二次方程，判别式． 在方程中，． 则 任何实数的平方都非负，即， 对于任意实数k，方程总有实数根；     （2）或．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握判别式的计算和根与系数的应用． （1）通过计算判别式并证明其恒非负来证明方程总有实数根； （2）利用根与系数的关系结合已知条件构建方程求解k的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程，有， 又已知，将两式联立可得方程组 ， 将两式相加，得，解得， 把代入，得，解得， 再根据根与系数的关系，，即， 解得或． 18．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）若，是两个不相等的实数，且满足，，求代数式的值． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．先根据一元二次方程根的定义得到，是方程的两个根，再根据根与系数的关系可得到、的值，将代数式化简变形，然后利用整体代入的方法计算即可得到答案． 【详解】 解：，， ，是方程的两个根， ，， ， ， ． 故答案为：． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）某商品原价100元，经连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为81元”可得答案． 【详解】 解：由题意得：． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 2．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：学生数（学生数）总握手次数，把相关数值代入即可求解 【详解】 设参加此会的学生为x名，每个学生都要握手次， ∴可列方程为， 故选：D． 【点睛】 本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键． 3．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参赛队数为x，列方程为（       ） A. x（x﹣1）＝21 B. x（x﹣1）＝21 C. 2x（x﹣1）＝21 D. x（x＋1）＝21 【答案】B 【分析】 根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数为，由此列出方程即可得． 【详解】 解：由题意，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 则可列方程为， 故选：B． 【点睛】 本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键． 4．（25-26学年九上·福建泉州东海中学·期中）拉布布（）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是万元和万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，依题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，则7月拉布布的销售额为万元，则8月拉布布的销售额为，据此列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故选：C． 5．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）某厂家年到月份的鞋子产量统计如图所示．设从月份到月份，该厂家鞋子产量的平均月增长率为，根据题意可得方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设从月份到月份，该厂家鞋子产量的平均月增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设从月份到月份，该厂家鞋子产量的平均月增长率为， 由题意得，， 故选：． 6．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB为xm，可列方程为（       ） A. （20＋1﹣x）x＝50 B. （20﹣1﹣x）x＝50 C. （20＋1﹣2x）x＝50 D. （20﹣1﹣2x）x＝50 【答案】C 【分析】 根据篱笆的总长及AB的长度，可得出BC，根据矩形试验田的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】 解：∵篱笆的总长为20m，且AB=x m，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门， ∴BC=（20+1-2x）m． ∴（20+1-2x）x=50． 故选：C． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）某地政府为推行“构建和谐社会，关注居民健康”的惠民政策，年度拨出专项经费万元用于辖区内所有社区居民血压、血脂、血糖检查，年度拨出专项经费万元．若专项经费年平均增长率为，则下列方程中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设专项经费年平均增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设专项经费年平均增长率为， 根据题意得，， 故选：． 8．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据全班的人数，可得出每个同学需送出张相片，再利用全班同学送出的相片的张数=全班的人数×（全班人数），即可得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】 解：每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班有名学生， 每个同学需送出张相片， 依题意得：， 故选：C． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是要明确题意，找准等量关系． 9．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意及一元二次方程增长率问题可直接进行排除选项． 【详解】 解：由题意得：； 故选D． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程方程的应用是解题的关键． 10．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元，调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据利润计算公式：利润 (销售价进货价) 销量，结合降价后销售价和销量的变化，列出方程即可． 【详解】 解：∵降价x元后，销售价为元，进货价为15元， ∴单件利润为元； ∵每降价1元多售出5个， ∴销量为个； ∴总利润为元， 依题意得，即， 故选：C． 11．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为、宽为的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，塑封的长为，宽为，根据塑封后的面积可列式求解． 【详解】 解：根据题意，塑封后的长为，宽为，面积为， ∴列方程为： 故选：D ． 12．（九上·福建厦门湖里中学·期中）新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3月份的生产成本为12.8万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为x，则根据题意所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查一元二次方程的应用，根据生产成本逐月以相同下降率下降，从1月到3月经历两次下降，列出方程． 【详解】 解：设每个月生产成本的下降率为x， ∵ 1月份成本为13万元， ∴ 2月份成本为万元， 3月份成本为万元， 又∵ 3月份成本为12.8万元， ∴， 故选：A． 13．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． 初始1人患流感，每轮传染中平均一人传染x人，则第一轮后总人数为，第二轮后总人数为，然后根据两轮后共有81个人患了流感列方程即可． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， ∵初始患病人数为1， ∴第一轮传染后，总患病人数为， 第二轮传染时，有人每人传染x人， ∴新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为． 故选：B． 14．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）如图，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得平行于住房墙的一条边的长为，结合题意即可得解． 【详解】 解：由题意可得：平行于住房墙的一条边的长为， ∵， ∴★表示的代数式为， 故选：C． 15．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地，长为，宽为，现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供学生赏花，且观花道的宽度相同，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的宽度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，不规则图形面积的计算等相关知识点．解题的关键点在于通过平移将不规则的空白部分转化为规则的长方形，以便利用长方形面积公式建立方程．将空白部分平移后得到新的矩形（空白部分），设步道宽度为，表示出新的矩形面积，计算即可得解． 【详解】 解：设观花道的宽度为米． 根据长方形面积公式，可列出方程 解得，． ∵观花道的宽度不能超过油菜花田地的长和宽， ∴ 不符合实际情况，舍去． 故，即观花道的宽度是． 故选：D． 16．（25-26学年九上·福建福州·期中）某种商品原来每件售价为144元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为100元设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，解决本题的关键是理解题意并由等量关系建立等式． 设平均每次降价的百分率为x，根据连续两次降价列出方程即可． 【详解】 解：∵每次降价率为x， ∴第一次降价后售价为元， 第二次降价后售价为元， 又∵最终售价为100元， ∴． 故选：C． 17．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】 解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 18．（25-26学年九上·福建福州·期中）某款手机连续两次降价，售价由原来的元降到了元．设平均每次降价的百分率为，则下面列出的方程中正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】分析：本题可先解出第一次降价的手机价格，再根据第一次的售价解出第二次的售价，令它等于580即可． 解答：解：依题意得：第一次降价的手机售价为：1185（1-x）元， 则第二次降价的手机售价为：1185（1-x）（1-x）=1185（1-x）2=580； 故本题选B． 19．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基础框架《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：“已知长方形门的高比宽多尺寸，门的对角线长丈，那么门的高和宽各是多少？”（1丈尺，1尺寸），若设门宽为尺，则根据题意，列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设门宽为尺，则根据勾股定理建立方程即可求解． 【详解】 解：设门宽为尺，则高为尺，根据题意得， ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意列出方程是解题的关键． 20．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）泉州市鲤城区特产东璧龙眼，因供不应求东璧龙眼经过两次涨价，由每公斤16元上涨到每公斤25元．若两次涨价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意可列出等量关系，即可得到结果，准确理解题意是解题的关键． 【详解】 解：由每公斤16元上涨，百分率为x， 则第一次上涨之后价格为：， ∵两次上涨百分率相同， ∴第二次上涨之后价格为：， ∵第二次涨价后价格为， ∴， 故选：A． 21．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）如图，取一张长与宽之比为的矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为（纸板的厚度忽略不计），若设矩形纸板的长为，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键．根据题意用表示出包装盒底边的长和宽，然后用体积公式列方程即可得解． 【详解】 解：包装盒的容积为，矩形纸板的长为， 根据题意可得：， 故选：D． 22．（25-26学年九上·福建漳州·期中）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【详解】 解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 23．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）综合与实践 九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做个收纳盒． 善思组：把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，（如图1）然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 问题解决：（1）若该收纳盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列出方程：______，求得剪去的小正方形的边长为______． 博学组：把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒（如图2）． 问题解决：（2）若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．设收纳盒的高为厘米，则收纳盒底面的长为______，宽为______（用的代数式表示），则可列方程为：______，若有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请判断是否能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 问题解决：（3）按照博学组的剪法，______（填“可以”或“不可以”）剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入（立放或者平放）。 【答案】（1），； （2），，，不能，理由： ∵收纳盒的高为厘米， ∴纳盒底面的长为厘米，宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为． ∴，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ∵， ∴不能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒； （3）不可以 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意即可． （1）由题意得，据此即可求解； （2）由题意得：收纳盒底面的长为厘米，宽为厘米，根据解得：，即可判断； （3）分类讨论若收纳盒的高为厘米，厘米，厘米，即可求解； 【详解】 解：（1）可列出方程：， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为：，； （2）略 （3）若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米； 若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米，； 若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米，； 综上所述，不可以剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入， 故答案为：不可以 24．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）某市为减少汽车尾气污染，改善空气质量，鼓励市民选择新能源汽车作为出行的交通工具，并大力推进新能源汽车充电基础设施建设．据统计，该市2020年新建100座充电站，2022年新建169座，求该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程，难度不大． 设该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为，，根据该市2020年底和2022年底的充电站数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设新建充电站的数量的年平均增长率为， 根据题意得：． 解得：，（舍去）． 答：该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为． 25．（25-26学年九上·福建漳州·期中）漳州美食历史悠久，比如冰凉爽口的四果汤，某店为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，推出售价均为15元的“鲜奶栗子四果汤”，“百香果四果汤”这两种新品．经统计，该店5月份“鲜奶栗子四果汤”销售量为500份，7月份销售量为720份；而“百香果四果汤”7月份销售量为650份． 为了尽快减少库存，8月份对“百香果四果汤”作降价促销，已知每份“百香果四果汤”的成本为6元．经试验，发现该款四果汤每降价1元，月销售量就会增加100份． （1）求该甜品店“鲜奶栗子四果汤”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ （2）该店8月份“百香果四果汤”的总利润达到5950元，求该四果汤降价多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是．     （2）四果汤降价2元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设月平均增长率是，结合题干的数据进行列式计算，即可作答． （2）先分别表示出降价元后的单件利润是元，销售数量是份，根据总利润达到5950元，进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，设月平均增长率是， ∵该店5月份“鲜奶栗子四果汤”销售量为500份，7月份销售量为720份；而“百香果四果汤”7月份销售量为650份． ∴， ∴， 则 解得（舍去） ∴月平均增长率是． (2) 小问详解： 解：该百香果四果汤降价元， 依题意，得出降价元后的单件利润是（元）， 降价元后的销售数量是份 ∴， ∴， 整理得， ∴， 解得，， ∵尽快减少库存， ∴百香果四果汤降价2元， 26．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了　　人． 【答案】11 【分析】 设每轮传染中平均一个人传染x人，根据题意可得第一轮被传染了之后有x人，即有患了流感，则第二轮能传染人，故可列方程，解方程即可解答． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染x人， 根据题意可得方程， 解得，（舍去）， 故每轮传染中平均一个人传染11人， 故答案为：11． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，注意第一轮患者人数是被传染的人加上原有患者是解题的关键． 27．（25-26学年九上·福建泉州南安实验中学·期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为     （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； (2) 小问详解： 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 28．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）项目化学习 项目背景：学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），请你和数学小组一起参与实验田的设计． 数据测量：该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米．设实验田的长为米． 问题解决： （1）的长为_____米（用含的式子表示）； （2）若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】（1）     （2）     （3）不能      【分析】 本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据题意列出即可； （2）根据题意建立方程，解方程求出的值，再根据位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米即可求解； （3）根据题意建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可判断． (1) 小问详解： 解：由题意得：（米）， 得（米）， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由题意得：， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 则的值为． (3) 小问详解： 解：假设该实验田的面积能为240平方米， 则， 整理得， ∵，方程没有实数根， ∴假设不成立． 答：该实验田的面积不能为240平方米． 29．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）《弹簧探险家的能量之旅》 假设你是一名年轻的物理探险家，正在实验室中研究一个神奇的弹簧系统．想象一下：光滑如镜的水平实验台上（忽略所有摩擦和空气阻力），一个银色的金属小球（质量）连接着一根轻质弹簧，弹簧的劲度系数——这意味着一拉一压之间，它就蕴含着可观的能量！你小心翼翼地用机械臂将弹簧压缩了（负号表示压缩方向），然后从静止状态（初速度）释放小球．瞬间，弹簧“嗡”的一声舒展开，小球开始舞蹈般地滑动．整个系统的总机械能守恒，遵循公式： 其中： E是总机械能（单位：焦耳，），在无能量损失的情况下保持不变． 是小球的动能（速度v的单位：米/秒，）． 是弹簧的弹性势能（位移x的单位：米，；以弹簧原长位置为参考点）． 请阅读以上内容回答问题： 当时，你要像侦探一样，根据总机械能守恒公式，追踪能量如何在动能和势能之间流转，记住，能量守恒是你的指南针——系统总能量E终恒定，但形式会变！那么，此时小球的速度v为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程应用以及跨学科考题，根据机械能守恒定律，系统初始总机械能等于任意位置的总机械能，初始时弹簧压缩，小球静止，总机械能仅为弹性势能；当弹簧位移为x时，总机械能等于动能与弹性势能之和，由此列出方程求解速度. 【详解】 解：初始时，弹簧压缩量，小球速度 ，总机械能 当时，， 整理得， 解得：（舍去负值）， 故答案为：. 30．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个30元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加1000个． （1）若售价下降1元，每月能售出_____个头盔，若售价下降x元，每月能售出_____个头盔； （2）为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为1210个头盔的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个头盔的售价； （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 【答案】（1）800，     （2）每个头盔的售价为37元     （3） 月获利不能达到9600元，理由如下： 设每个头盔降价x元， 则． 整理，得 ∵．方程无实数根． 答:月获利不能达到9600元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个头盔降价x元，根据每个头盔的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． (1) 小问详解： ∵售价每下降5元，其月销售量就增加1000个 ∴售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降1元，每月能售出个头盔， 若售价下降x元，每月能售出个头盔； 故答案为：800，； (2) 小问详解： 解：设每个头盔降价x元， ． 整理，得   解得，． 因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元， 但是实际销量要够卖，需小于等于1210个， 当时，（舍去） 当时，，可取， （元） 答：每个头盔的售价为37元． (3) 小问详解： 略 31．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给　　　　　　　　　　　 【答案】14 【分析】 本题考查列一元二次方程—传播问题解应用题，正确的列出方程是解题的关键．设每轮平均一人分享给x人，根据“经过两轮分享后，共225人掌握此技巧”列方程求出x的值即可． 【详解】 解：设每轮平均一人分享给x人，根据题意得 ， ，（舍去）， ∴每轮平均一人分享给14个人． 故答案为：14． 32．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）【综合与探究】 七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下： 配方的过程（如图①）（如图②、③）（如图④）（如图⑤） 割、拼、补的过程 【初步应用】 （1）如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则______； 【巩固应用】 （2）由图⑥方程配方可得______； 【综合应用】 （3）如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为a（）的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满足，请求出a的值． 【答案】（1）；（2）；（3），2 【分析】 本题主要考查配方法的应用、根与系数的关系，正确理解题意，并熟知根与系数的关系是解题关键． （1）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （2）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （3）根据题意所给的方法对方程进行配方即可，以此可写出是对哪个一元二次方程进行配方，再将方程变形为的形式，根据根与系数的关系得到，，因此可得到关于a的一元二次方程，求解即可． 【详解】 解：（1）， ， （如图⑥ ）， ∴， 故答案为：； （2）， ， ， ， 故答案为：； （3）由图⑦ 可得：， ∴， ∴， ∴这是对一元二次方程进行配方，方程可变形为， ∵，为方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴． 33．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）山西省晋南地区独特的地理与气候条件，为苹果提供了良好的生长条件，运城地处北纬，黄土层深厚肥沃，是公认的苹果“黄金生产带”，此处生长的苹果果型端正果色鲜艳，果肉鲜白，口感甜爽而且极易储存．现某苹果商贩购进一批运城苹果进行销售进价为每千克7元，若按每千克13元出售，平均每天可售出100千克，后经过市场调查发现，销售单价每降低0.5元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该销售商销售这种苹果想要平均每天获利720元，为了尽快减少库存，每千克苹果售价应定为多少元？ 【答案】每千克苹果售价应定为11元 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用： 法一：设每千克苹果售价应定为x元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； 法二：设每千克苹果降价x元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：方法一： 设每千克苹果售价应定为x元 根据题意，得：， ∴ 解这个方程，得，． 因为要尽快减少库存，x取11 答：每千克苹果售价应定为11元； 方法二：设每千克苹果降价x元 根据题意，得：， ∴ 解这个方程，得， 因为要尽快减少库存，x取2， 每千克苹果售价应定为 答：每千克苹果售价应定为11元． 34．（25-26学年九上·福建宁德·期中）若某种头盔每个进价为元，调查发现，当售价是每个元时，平均月销售量是个，而当售价每上涨元时，平均每月少售出个，要想这种头盔的销售利润平均每月达到元，且尽可能让顾客得到实惠，每个头盔的定价应为多少元？ 【答案】每个头盔的定价应为元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 设头盔售价的上涨了元，根据当售价每上涨元时，平均每月少售出个，可得销量为，由利润=（售价-进价）×销量，列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，再根据尽可能让顾客得到实惠，即可确定的值． 【详解】 解：设头盔售价的上涨了元， 依题意得：， 解得，． ∵尽可能让顾客得到优惠， ∴． ∴． 答：该品牌头盔每个售价定为元． 35．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）对联是中华传统文化的瑰宝．对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的． （1）若对联装裱后的左边为，则天头长为______，地头长为______． （2）某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的面积为，求装裱后对联的左边是多少． 【答案】（1）12，8     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中的数量关系，掌握因式分解求一元二次方程的根的方法是解题的关键． （1）先求出天头长和地头长的和，再分别求出天头长和地头长即可； （2）设天头为，可用含的式子表示地头的长，左、右边的宽，由此列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵对联装裱后的左边为，为天头长与地头长的和的， ∴天头长与地头长的和为， ∵天头长与地头长的比是， ∴天头长为，地头长为． 故答案为：12，8； (2) 小问详解： 解：根据题意，设天头为，则地头为， ∴左右边的宽为：， ∴装裱后的长为：，宽为：， ∴， 整理得，， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴装裱后对联的左边是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $