专题02 二次函数（5大题型）（期中真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数（5大题型） 5大高频考点概览 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）关于函数的图象特点，下列说法正确的是（　　） A. 关于x轴对称的抛物线，开口向上 B. 关于y轴对称的抛物线，开口向上 C. 关于x轴对称的抛物线，开口向下 D. 关于y轴对称的抛物线，开口向下 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）抛物线的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）抛物线y=2(x－1)2－6的对称轴是(     ). A. x=－6 B. x=－1 C. x= D. x=1 3．（九上·福建厦门湖里中学·期中）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 4．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）抛物线的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）抛物线的最大值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 3 6．（25-26学年九上·福建福州·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）抛物线的对称轴是（  ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 9．（25-26学年九上·福建福州·期中）二次函数的图象的顶点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·福建福州·期中）如果将抛物线，向下平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）对于二次函数，下列结论：其图象开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象的顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（       ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 13．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 14．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）若要得到抛物线，可以将抛物线（     ） A. 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 15．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）抛物线经过平移得到抛物线，则平移过程正确的是（       ） A. 先向左平移4个单位，再向下平移3个单位 B. 先向左平移4个单位，再向上平移3个单位 C. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移4个单位，再向上平移3个单位 17．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）对于抛物线，下列说法正确的是（       ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 当时，随的增大而增大 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 抛物线的开口向下 18．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（       ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是6 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 20．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，则该抛物线的顶点坐标在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 21．（25-26学年九上·福建福州·期中）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·福建漳州·期中）抛物线，，共有的特征是（     ） A. 开口向上 B. 随的增大而减小 C. 都有最低点 D. 对称轴是轴 23．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）二次函数的对称轴是直线　　　　　． 26．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）抛物线的对称轴是　　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的新的抛物线的函数表达式是   　　　　　　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为　　　　　　． 30．（25-26学年九上·福建漳州·期中）二次函数的顶点坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的函数解析式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）． （1）求此二次函数的表达式； （2）求此抛物线与x轴的交点坐标． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·福建福州·期中）抛物线的对称轴是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）二次函数的顶点式为，则p的值为（       ） A. 3 B. 2 C. 1 D.  3．（25-26学年九上·福建漳州·期中）已知是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）已知抛物线经过点中的两点，且当时，x的取值范围是，则下列判断正确的是（　　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）已知点，，在二次函数的图象上，，，则下列判断正确的是（     ） A. 不存在实数a，使得 B. 存在实数a，使得 C. 无论非零实数a为何值，都有 D. 无论非零实数a为何值，都有 6．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）抛物线图像上有两点，当时，函数值与哪个值有关（       ） A. a B.  C. c D. 和 7．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）若二次函数y=x2＋bx＋5配方后为y=(x-2)2＋k，则b，k的值分别为(            ) A. 0，5 B. 0，1 C. -4，5 D. -4，1 8．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）二次函数的与的部分对应值如下表： … … … … 则下列判断中正确的是（       ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时 10．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）已知抛物线上有三点，，．其中．为了比较，，的大小关系，小明认为可以用满足已知条件的特殊的a值和b值来猜测结论，而后再对所猜测的结论进行证明．受到小明想法的启发，我们可以得到，，的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线．以下结论：；；关于的方程一定有两个不相等的实数根；当时，．其中结论正确的个数有（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12．（25-26学年九上·福建漳州·期中）已知二次函数的图象如图所示，则（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）二次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）已知，两点在抛物线上（常数），若对于，，都有，则a的值不可能是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（九上·福建厦门湖里中学·期中）已知点在二次函数 的图象上，且对任意实数m，不等式 都成立，则（     ） A. 一定存在大于1的实数t，使 B. 一定存在大于的负数t，使 C. 一定存在小于的实数t，使 D. 一定存在大于1的实数t，使 16．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）对于二次函数和．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数的相关性质，可求出 　　　　　　． x -1 m（m≠-1） y=ax2 c c y=bx2 c+3 d 17．（25-26学年九上·福建福州·期中）如果抛物线有最低点，那么的取值范围为　　　　　． 18．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）下图是抛物线的示意图，则a的值可以是　　　　　　　　（填写符合条件一个数值即可）． 19．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）已知二次函数．如图，在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；并结合图象直接写出当时的y的取值范围． 0 1 2 3 4 5 7 2 2 7 … 20．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （2）若该二次函数顶点为A，且该二次函数图象与函数交于点B和点C，请求出的面积． 21．（25-26学年九上·福建福州·期中）若二次函数的图像经过点，，则　　　　　． 22．（25-26学年九上·福建福州·期中）若抛物线经过点，则　　　　　　　　　　　 23．（25-26学年九上·福建漳州·期中）已知二次函数，其图象上有不同的两点坐标分别，记y的最小值为p． （1）若，请求出该二次函数图象的顶点坐标． （2）若，求m的值． 24．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）已知抛物线经过点． （1）若抛物线还经过点，求出该抛物线的解析式； （2）当时，若点在第一象限，且点为抛物线对称轴上一点，记原点为，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； （3）点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）．当时，若是一个与无关的定值，求的值． 25．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出的长； ②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围． 26．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）已知二次函数的图象经过点，，当时，的取值范围是，则的取值范围是　　　　　　． 27．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）已知二次函数， （1）求此函数图象的顶点坐标和与轴的交点坐标； （2）当________时，随的增大而增大？ （3）当时，的取值范围为________． 28．（25-26学年九上·福建漳州·期中）已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式； （2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象．（使用描点法画图象：列表，描点，连线） 29．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根互为倒数时，求函数的顶点坐标． 30．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）已知抛物线． （1）若函数图像经过点，求的值； （2）抛物线的顶点可否落在轴上，请说明理由； （3）若该二次函数图像经过、两点，当时，求的范围． 31．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）抛物线开口向下，且过点，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的是　　　　　　　　　（写序号） 32．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①②（m为任意实数）③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有　　　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于，点为中点． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； （3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若点与点重合，，且，求证：，，三点共线． 34．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）在二次函数中． （1）若函数图象的顶点在轴上，求的值． （2）若点在抛物线上，令，求证：． （3）如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 35．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． （1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． （2）若，求m的值． （3）在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在请说明理由． 36．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（），求的值． 37．（九上·福建厦门湖里中学·期中）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； （3）如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 38．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）如图，函数的图象过点和．有下列结论： ①； ②关于x的方程必有两个不相等的实数根； ③； ④ 其中正确的结论是　　　　　　　　 39．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）我们定义：如果一条抛物线的顶点P绕着它的对称轴上的另一个点Q逆时针旋转，顶点P的对应点也在这条抛物线上，那么称线段PQ的长为该抛物线的开口半径，点Q为该抛物线的开口中心． （1）已知一条抛物线的开口向上，开口半径为1，开口中心为，求这条抛物线的表达式； （2）已知抛物线顶点为点A，与y轴交于点B，开口中心点C．求它的开口半径． 40．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的负半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．    （1）直接写出：点的坐标是（________），________，________． （2）直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时，求证：． （3）二次函数（）与二次函数（）组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求的取值范围． 41．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）综合与实践 问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，有一个休息室，一个洗手间，休息室与洗手间要关于场地的中轴线对称． 设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸先对折，得到的垂直平分线，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到上且折叠后点D与点C重合，记为点P，折痕为，，再次摊开，铺平，连接，，，，得到，，四边形，四边形四个区域．一条抛物线形的路把这四个区串起来，抛物线经过A，P，B三点，点P是抛物线的顶点． 1．在四边形区域内的抛物线上找一点N，使得的面积最大，在此处建一个休息室； 2．…… 工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）求出面积的最大值； （3）根据对称性，请你直接写出小红把洗手间（用点H表示）设计在四边形区域内的坐标． 42．（25-26学年九上·福建福州·期中）抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，且．下列结论：①；②关于的一元二次方程一定有一个根小于；③；④若，抛物线过点，，，，且，则． 其中正确的结论是　　　　　（填写序号） 43．（25-26学年九上·福建福州·期中）无人机技术正在蓬勃发展，其应用越来越广泛，2025年中国工业级无人机市场规模将达1200亿元．有一个无人机物流配送站，无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线，现以仓库为原点，地面(水平方向)为x轴,垂直于地面的方向(竖直方向)为y轴建立平面直角坐标系．已知无人机飞行轨迹是抛物线的一部分． 【任务一：调整仓库位置】 （1）因周边施工，仓库需向右平移米，并向上平移3米．无人机轨迹形状不变(开口方向与大小均不变)，调整后的轨迹需经过某配送目标对象坐标．求满足这些条件的h的值． 【任务二：优化重型包裹投递路径】 （2）将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量，记作．当无人机投递重型包裹时，因仓库周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与任务一中调整后的轨迹顶点相同，同时需要增大抛物线开口以降低晃动．若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求p的值． 【任务三：评估调整后的投递高度波动性】 （3）任务一中调整后的轨迹在水平范围内的垂直波动量米，且．直接写出这时n的值是___________． 44．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）如图1，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，过点A直线交y轴于点D，交抛物线于点． （1）抛物线解析式为                              ； （2）如图2，点F为抛物线上曲线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值； （3）如图3，点P为线段上一动点，Q为线段上一动点，且，连接，，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 45．（25-26学年九上·福建福州·期中）抛物线(a,b,c是常数,,)经过点，且．下列结论：①；②关于x的一元二次方程一定有一个根是小于；③；④若，抛物线过点，，，，且，则．其中正确的结论是　　　　　　　　　　　(填写序号) 46．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知抛物线． （1）求此抛物线的顶点的坐标； （2）若点，均在抛物线上，求线段的长度； （3）若这条抛物线经过点，，且，求的取值范围． 47．（25-26学年九上·福建漳州·期中）某中学组织秋季运动会，九（）班分配到了一块正方形大本营和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图）．初始时，正方形大本营与遮阳伞投影的平面图如图所示，在上，，，，．由于场地限制，守护大本营的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上，且形状大小保持不变，但落在大本营内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】小余同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【初步探究】（1）求图情形的与的值； 【深入研究】（2）从图情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（3）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？ 48．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则_________； （2）若是“倍根方程”，求代数式的值； （3）若方程是倍根方程，且不同的两点都在抛物线上，求一元二次方程的根． 49．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）已知抛物线，顶点为． （1）求b，c的值； （2）若，抛物线与直线相交，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线轴交x轴于点N，交直线L于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值； （3）已知点、，若点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，且，求证：直线经过一个定点． 50．（九上·福建厦门湖里中学·期中）如图，函数 的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线（m为常数）相交于三个不同的点，设，则t的取值范围是　　　　　　． 51．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．M是抛物线上任意一点． （1）求抛物线的解析式、直接写出直线解析式． （2）如图1，设M的横坐标为m（），连接，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． （3）当时，求点M的坐标 52．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）已知：在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，点B在抛物线的对称轴上，四边形为菱形． （1）若抛物线S的顶点在一次函数（且）的图象上，求此时抛物线S的表达式； （2）在（1）的条件下：当时，请在图1的坐标系中画出菱形的示意图，判断点D是否在抛物线S上，并请说明理由； （3）定义：若点，在某抛物线上，点是抛物线上的一个动点，则当的面积取到最大值时，称为抛物线关于点F和点G的内弓三角形．更进一步地，古希腊伟大的数学家阿基米德曾证明出抛物线在的这部分图象（即抛物线上介于点F和点G之间的部分）与线段围成的弓形面积等于其内弓三角形的面积的，这是一个令人惊叹的数学结论，显露出了早期的微积分思想萌芽． 抛物线S上的点F和点G的坐标分别为和，在（1）的条件下，回答下面两个小题： ①当时，是否存在m，使得为抛物线S关于点F和点G的内弓三角形？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由； ②填空：抛物线上介于点F和点G之间的部分与线段围成的弓形面积的大小为______． 53．（25-26学年九上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点在抛物线F：上， （1）当时， ①求的值； ②将抛物线F平移后得抛物线G：，设抛物线F与抛物线G的交点为P，过点P的直线与抛物线F的另一个交点为M，与抛物线G的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． （2）当时，若对于，都有，求的取值范围． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）已知二次函数的部分与的值如下表： … 1 2 4 … … 0 … 根据表格可知，一元二次方程的解是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．（九上·福建厦门湖里中学·期中）二次函数的图象过点，方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（     ） A. 没有交点 B. 只有一个交点 C. 有两个不同的交点 D. 无法判断有没有交点 5．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A.  B.  C.  D. 或 6．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点，则方程的根为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）已知二次函数的图象与轴的交点的坐标为，顶点的坐标为，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（九上·福建厦门湖里中学·期中）如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是（       ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 10．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（　　） A. m≥﹣4 B. m≥0 C. m≥5 D. m≥6 11．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）已知函数，下列说法正确的序号是（     ） ①若该函数图象与x轴只有一个交点，则； ②方程至少有一个整数根； ③若，则的函数值都是负数； ④不存在实数a，使得对任意实数x都成立． A. ①② B. ②④ C. ①②④ D. ①②③④ 13．（25-26学年九上·福建福州·期中）若二次函数的图像与x轴有两个交点，坐标分别为，且，图像上有一点在x轴下方，则下列判断正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）二次函数与y轴交点的纵坐标为　　　　　　． 15．（九上·福建厦门湖里中学·期中）抛物线与y轴的交点坐标为　　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·福建漳州·期中）已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是　　　　　　． 18．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）抛物线（，，是常数，） （1）若，且该抛物线的图象经过、、三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； （2）若抛物线与轴两个交点的横坐标为，，求证：； 21．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）已知抛物线的顶点为Q，抛物线的解析式为：． （1）求抛物线与x轴的交点横坐标． （2）判断将的顶点Q向左平移2个单位长度后是否落在上，并说明理由． 22．（25-26学年九上·福建福州·期中）二次函数 自变量和对应函数值的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式． 的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x 0 1 2 y 13 8 5 4 5 8 13 23．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）已知抛物线与轴交于、两点（在的左边），与轴交于点． （1）求点、两点的坐标； （2）若，点和点在抛物线上，且的横坐标为4，点在第二象限，若，求点的坐标； 考点05 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试，飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，则飞行着陆后停下来需滑行的时间是（       ） A. 40秒 B. 30秒 C. 20秒 D. 10秒 2．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为；④当时，菜园面积为．其中，正确结论的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为 A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）如图，质量为的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图所示．根据图象，下列说法正确的是（     ） A. 小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B. 当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C. 若，则小球的最大速度为 D. 当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 5．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）高尔夫运动员将一个小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示： t（s） 0 0.5 1 1.5 2 … h（m） 0 8.75 15 18.75 20 … （1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）； （2）求小球飞行3s时的高度． 6．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）掷实心球是我市初中学业水平体育考试项目之一，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作抛物线．在一次模拟测试中，小明掷出的实心球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，则该次测试小明的成绩为　　　　　　　m． 7．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．    （1）设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为                         ； （2）当的长是多少米时，围成的花圃面积为最大？最大面积多少平方米？ 8．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）生物学研究表明：在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定的温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值（单位：）与温度（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度为　　　　　　　　时，该种酶的活性最强． 9．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 10．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）商场购进某种新商品每件进价为元．在试销期间发现，当每件商品的售价为元时，每天可销售件．当每件商品的售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件，据此规律，请回答下列问题． （1）写出日销售量（件）与销售单价（元）之间的函数解析式（不需自变量的取值范围）； （2）商场销售该商品每天盈利能否达到元？若能，求出每件该商品的售价；若不能，请说明理由． （3）求商场销售该商品销售单价为多少元时每天销售利润最大，最大利润是多少？ 11．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，抛物线可用表示． （1）求抛物线的表达式和拱顶D到地面的距离． （2）一辆货运汽车装载集装箱后高为，宽为．若隧道内设双向行车道，则这辆货运汽车是否可以通过？ 12．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是200件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围． （2）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 13．（九上·福建厦门湖里中学·期中）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 14．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． （1）请求出与的函数解析式； （2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 15．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）如图是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，当水面下降1米时，水面的宽度增加多少　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）大蒜是我国重要蔬菜品种，尤其山东种植大蒜历史悠久，种植大蒜无疑是脱贫致富的好途径，大蒜刚上市时，张经理按市场价格元/千克在生产基地收购了千克大蒜存放入冷库储存，据预测，大蒜的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批蒜时每天需要支出各种费用合计元，而且大蒜在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的大蒜损坏不能出售． （1）若存放天后，将这批大蒜一次性出售，设这批大蒜的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式； （2）张经理将这批大蒜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 17．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．当水平宽（即的长）为40米时，则离地面高为　　　　　　　　米． 18．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为26米），其余用长为49米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） （1）设菜地的宽为x米，则___________米（用含x的代数式表示）； （2）当x为何值时，围成的菜地面积为200平方米？ （3）当x为何值时，围成的菜地面积最大？ 19．（25-26学年九上·福建福州·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙，墙的最大可用长度为26米，其余用长为49米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门(小门不用篱笆) （1）设菜地的宽为x米，则___________米(用含x的代数式表示)； （2）当x为何值时，围成的菜地面积为200平方米？ （3）能围成的菜地最大面积是多少？ 20．（25-26学年九上·福建福州·期中）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y（单位：m）与水距x（单位：m）近似满足函数关系． 小明进行了两次掷实心球训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据， ①实心球竖直高度的最大的值是________m； ②求出函数解析式________； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的陆点的水平距离为，则________（填“”，“”或“”） 21．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点处）到落地的过程中，其竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． 小石进行了三次训练，每次实心球的出手点的竖直高度为．记实心球运动路线的最高点为，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为（单位：）．训练情况如下： 第一次训练 第二次训练 第三次训练 训练成绩 最高点 满足的函数关系式 根据以上信息， （1）求第二次训练时满足的函数关系式； （2）小石第二次训练的成绩为______； （3）直接写出训练成绩，，的大小关系． 22．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）小静和小林玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，小林在距离地而的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，运动轨迹抛物线的一部分． （1）抛物线的最高点坐标为______； （2）求a，c的值； （3）小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 23．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度（单位：）与时间（单位：h）满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系，下表记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： （） （） （1）求这位患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系； （2）这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为． ①当时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由； ②当该药的血药浓度不低于时，它对治疗疾病有疗效.若要求该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，请直接写出的取值范围． 24．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）某施工队在屋顶上安装太阳能光伏板，发现光伏板的输出功率（瓦）受太阳光入射角影响，与倾斜角有关．实验测定中发现：当倾斜角为时功率为；当倾斜角为时功率为；当倾斜角为时功率为．假设在某范围内（在至之间）可以近似将视为关于的二次函数． （1）请估算出这条二次函数的解析式． （2）某地冬季太阳高度较低，而夏季太阳高度较高．当地屋顶安装太阳能板，若只固定一次倾斜角，则应兼顾全年输出．根据经验，最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间．此外，当倾斜角不当时，反射、阴影和面尘积累都会使功率进一步下降．假设一年中晴天的总时长是某个固定的常数，按照秋冬季、春夏季时间的长短比例分布在秋冬季、春夏季两季． ①已知该地春夏季时间、秋冬季时间之比．实验测定发现秋冬季太阳能板的功率相较于（1）中的下降至，春夏季太阳能板的功率相较于（1）中的上升至．若要使年总功最大，求该地摆放太阳能板的最佳倾斜角．（其中：） ②根据地理学相关知识，一年中春夏季时间、秋冬季时间之比随纬度增高而减小，且变化规律呈一条直线，在北极点（）处．已知①中该地的纬度是．经过一番计算，发现最佳倾斜角和存在关系．为了使年总功尽可能大，试判断“最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间的角度”对于纬度多少的区域是适用的．（仅考虑的地区） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数（5大题型） 5大高频考点概览 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）关于函数的图象特点，下列说法正确的是（　　） A. 关于x轴对称的抛物线，开口向上 B. 关于y轴对称的抛物线，开口向上 C. 关于x轴对称的抛物线，开口向下 D. 关于y轴对称的抛物线，开口向下 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，对称轴，，开口向上；，开口向下；据此作答即可． 【详解】 解：∵二次函数中，， ∴此抛物线开口向上，关于y轴对称． 故选：B． 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）抛物线的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数顶点式的性质，二次函数，顶点坐标为． 直接根据顶点式作答即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 2．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）抛物线y=2(x－1)2－6的对称轴是(     ). A. x=－6 B. x=－1 C. x= D. x=1 【答案】D 【分析】根据抛物线的顶点式，直接得出结论即可． 【详解】解：∵抛物线y=2（x-1）2-6， ∴抛物线的对称轴是x=1． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉二次函数的顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h． 3．（九上·福建厦门湖里中学·期中）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 【答案】D 【分析】 根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值． 【详解】 解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6）， ∴函数有最小值为6． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值． 4．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）抛物线的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点式， 根据抛物线的顶点坐标为解答即可. 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是. 故选：C. 5．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）抛物线的最大值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 3 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线开口向下，顶点处取得最大值，即可得出答案． 【详解】 解：∵抛物线解析式为，其中二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点为最大值点， ∵顶点坐标为， ∴抛物线的最大值为3． 故选：D． 6．（25-26学年九上·福建福州·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据二次函数顶点式的性质即可进行解答． 【详解】 解：∵二次函数， 该函数的顶点坐标为， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标为． 7．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据二次函数平移的规则“左加右减，上加下减”，逐步进行平移变换即可求解． 【详解】 解：将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是， 故选：A． 8．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）抛物线的对称轴是（  ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的顶点式，对称轴，掌握相关知识是解决问题的关键．抛物线 的对称轴为直线解答即可． 【详解】 解：抛物线 的对称轴为直线， ∴的对称轴为直线 ． 故选：A． 9．（25-26学年九上·福建福州·期中）二次函数的图象的顶点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质，根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标． 【详解】 解：∵， ∴二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：B． 10．（25-26学年九上·福建福州·期中）如果将抛物线，向下平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，平移后的解析式为：； 故选B． 11．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）对于二次函数，下列结论：其图象开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象的顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的顶点式确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可． 【详解】 解：， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 故错误，正确， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大， 故正确， 故选：C． 12．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（       ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据抛物线顶点坐标的位置求得，，据此可得一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 【详解】 解：由题意可知，二次函数的图象的顶点坐标为， 由图象可知，此拋物线的顶点在第四象限， ∴，， ∴，， ∴一次函数的图象必经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限， 故选：C． 13．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【分析】 根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】 ∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 14．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）若要得到抛物线，可以将抛物线（     ） A. 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】C 【分析】 本题考查了抛物线平移的规律：根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，分析目标函数相对于原函数的变换. 【详解】 解：∵ 可由 先向右平移2个单位长度得到 （右减），再向上平移3个单位长度得到 （上加）； ∴ 平移方式为先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度. 故选：C. 15．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是抛物线的平移．抛物线图象的平移规律：左加右减，上加下减，直接利用规律解题即可． 【详解】 解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是， 故选：C． 16．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）抛物线经过平移得到抛物线，则平移过程正确的是（       ） A. 先向左平移4个单位，再向下平移3个单位 B. 先向左平移4个单位，再向上平移3个单位 C. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移4个单位，再向上平移3个单位 【答案】B 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】 解：抛物线先向左平移4个单位，再向上平移3个单位得到抛物线． 故选：B． 17．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）对于抛物线，下列说法正确的是（       ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 当时，随的增大而增大 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 抛物线的开口向下 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】 解：抛物线的解析式为， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大， B、C、D选项不符合题意，A选项符合题意． 故选：A． 18．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】 解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是即． 故选：D． 19．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（       ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是6 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的图象和性质，进行判断即可． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值为6，当时，y的值随x值的增大而增大； 故选D． 20．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，则该抛物线的顶点坐标在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 由二次函数解析式可知开口向上，对称轴为，顶点坐标为．根据当时随增大而增大，可知对称轴，从而顶点横坐标负、纵坐标负，在第三象限． 【详解】 解：∵二次函数开口向上，对称轴为，顶点为， 又∵当时，随的增大而增大， ∴对称轴， ∴顶点坐标中横坐标负、纵坐标负， ∴顶点在第三象限． 故选：C． 21．（25-26学年九上·福建福州·期中）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为， 把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， 所以平移后得到的抛物线解析式为． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【详解】 22．（25-26学年九上·福建漳州·期中）抛物线，，共有的特征是（     ） A. 开口向上 B. 随的增大而减小 C. 都有最低点 D. 对称轴是轴 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，通过分析三条抛物线的对称轴，开口方向和增减性，判断共有的特征即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：由得，开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，对称轴为轴， 由得，开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，对称轴为轴， 由知，开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，对称轴为轴， ∴抛物线，，共有的特征是对称轴是轴， 故选：． 23．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据平移法则“左加右减，上加下减”即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】 解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为， 故选：A． 24．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间． 解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1， ∴该二次函数的开口方向是向上； 又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1）， ∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m， 而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小， ∴x≤1， ∴m≥1． 故选C． 25．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）二次函数的对称轴是直线　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的顶点式，由二次函数的顶点式得出顶点坐标，进而即可求解，掌握二次函数的顶点式 是解题的关键． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴是直线， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）抛物线的对称轴是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数顶点式的对称轴知识，解题的关键是掌握顶点式的对称轴为直线，易错点是忽略对称轴是直线这一特点，只写的值而不写“直线”或“”的形式，通过抛物线的顶点式可直接确定对称轴． 【详解】 给定抛物线为 ，该形式是顶点式， 其中，因此对称轴为直线． 故答案为． 27．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　　． 【答案】(1，2) 【分析】 直接根据顶点公式的特点求顶点坐标． 【详解】 ∵是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）． 【点睛】 主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点． 28．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的新的抛物线的函数表达式是   　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，掌握其平移规律是关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”作答即可． 【详解】 解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的新的抛物线的函数表达式是， 故答案为： ． 29．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为　　　　　　． 【答案】 【分析】 该题考查了抛物线的图象与平移变化，牢记平移规则“左加右减、上加下减”是解答本题的关键． 根据平移的性质，向左平移1个单位，即用代替原自变量，再向上平移3个单位，即函数关系式等号右边加3，化简即可． 【详解】 解：抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得： ， 故答案为：． 30．（25-26学年九上·福建漳州·期中）二次函数的顶点坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 31．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的函数解析式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据“上加下减，左加右减”的平移规律可得答案． 【详解】 解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线的函数解析式为． 32．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）． （1）求此二次函数的表达式； （2）求此抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】（1）     （2）此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）      【分析】 （1）设顶点式，然后把（-2,5）代入求出a，即可得到抛物线解析式． （2）将（1）中的y=0,解出一元二次方程的根即可． (1) 小问详解： 解：设二次函数表达式为 ∵ 图像经过（-2，5） ∴ 5= ∴ (2) 小问详解： 解：令y=0，即=0 解得：x=3或x=-1 故此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0） 【点睛】 本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定条件，选择恰当的方法设出解析式，也考查了二次函数的性质． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·福建福州·期中）抛物线的对称轴是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的对称轴求解方法，直接根据二次函数配方后得到对称轴，就是，进而选出正确选项． 【详解】 解：； ； ； 即； 所以对称轴为； 故选：D． 2．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）二次函数的顶点式为，则p的值为（       ） A. 3 B. 2 C. 1 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查二次函数顶点坐标公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．通过二次函数顶点横坐标公式，比较给定顶点式中的横坐标值，直接求出p即可． 【详解】 解：∵二次函数的顶点横坐标为：，顶点式为，即顶点横坐标为2， ∴， 故选：B． 3．（25-26学年九上·福建漳州·期中）已知是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，根据拋物线解析式可确定对称轴为，根据点与对称轴的距离的大小以及函数值的大小关系即可判断的符号，即开口方向． 【详解】 解：∵的对称轴为，且， 若， 则离对称轴近，则抛物线的开口朝上，即，故A不正确； 若， 则离对称轴远，则抛物线的开口朝下，即，故B正确； 其他选项涉及，与对称轴无关，无法保证命题成立． 故选：B． 4．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）已知抛物线经过点中的两点，且当时，x的取值范围是，则下列判断正确的是（　　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由当时，x的取值范围是可知抛物线开口向下，对称轴为直线，即可判断A、B；由抛物线经过点，对称轴为直线可知抛物线必过点，再根据题意得出，即可判断C；由于图象经过点B，则，代入，即可求得，即可判断D． 【详解】 解：当时，x的取值范围是， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ，， ，故A、B错误； 抛物线经过点， 抛物线必过点，不过， 抛物线经过点中的两点， 抛物线经过点A和B， 抛物线经过点，，且当时，x的取值范围是， ， ，故C错误； 抛物线经过点B， ， ， ， ， ，故D正确． 故选：D． 5．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）已知点，，在二次函数的图象上，，，则下列判断正确的是（     ） A. 不存在实数a，使得 B. 存在实数a，使得 C. 无论非零实数a为何值，都有 D. 无论非零实数a为何值，都有 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质．先利用抛物线与y轴的交点坐标为和C点坐标得到抛物线对称轴为直线，再利用已知条件得到，所以点A到直线的距离小于点B到直线的距离，根据二次函数的性质，画出二次函数的草图，得出当时，；当时，，然后即可作出判断． 【详解】 解：∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， ∵抛物线经过， ∴抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴，， ∴点A到直线的距离小于点B到直线的距离， 当时， 如图： 可得，即， ∴； 当时，如图： 可得，即， ∴， 综上，无论非零实数a为何值，都有， 故选：D． 6．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）抛物线图像上有两点，当时，函数值与哪个值有关（       ） A. a B.  C. c D. 和 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数图象上点的特征及二次函数的对称性是解题关键． 由于两点纵坐标相同，它们关于抛物线的对称轴对称，利用对称轴公式可得，将代入抛物线解析式，化简后得，因此函数值与有关． 【详解】 ∵ 点和在抛物线上，且纵坐标相同， ∴ 对称轴 ， 又∵ 抛物线对称轴为， ∴ ， ∴ 。 当 时， ， ∴ 的值与有关． 故选：C． 7．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）若二次函数y=x2＋bx＋5配方后为y=(x-2)2＋k，则b，k的值分别为(            ) A. 0，5 B. 0，1 C. -4，5 D. -4，1 【答案】D 【详解】∵y=（x-2）2+k=x2-4x+4+k=x2-4x+（4+k）， 又∵y=x2+bx+5， ∴x2-4x+（4+k）=x2+bx+5， ∴b=-4，k=1． 故选D 8．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】 解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴； 故选：A． 9．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）二次函数的与的部分对应值如下表： … … … … 则下列判断中正确的是（       ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时 【答案】C 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．根据表格数据，代入二次函数解析式求出、、的值，得到函数表达式，再逐一分析各选项． 【详解】 解：把，，代入解析式， 得 解得 二次函数为， A、，抛物线开口向下，故该选项错误； B、当时，，抛物线与轴交于正半轴，故该选项错误； C、对称轴，，当时，随增大而减小，故该选项正确； D、当时，，故该选项错误． 故选：C． 10．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）已知抛物线上有三点，，．其中．为了比较，，的大小关系，小明认为可以用满足已知条件的特殊的a值和b值来猜测结论，而后再对所猜测的结论进行证明．受到小明想法的启发，我们可以得到，，的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了二次函数的性质，由于，假设，，得到抛物线，然后分别将，，代入求解比较即可；证明：由于，得到抛物线开口向上，且已知，可得且．通过计算 和，利用条件推导出且，因此大小关系为． 【详解】 解：∵抛物线 ∴假设，， ∴抛物线， ∴将，，代入得，，，， ∴． 证明：∵ ()一定过原点，其开口向上，且， ∴，，即， 又， ∴， ∵， ∴，即； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 综上，． 故选：B． 11．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线．以下结论：；；关于的方程一定有两个不相等的实数根；当时，．其中结论正确的个数有（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数系数与图象的关系，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据抛物线的开口方向和对称轴以及与轴的交点即可判断，利用抛物线的对称轴即可判断，由图象结合抛物线的性质即可判断和． 【详解】 解：抛物线开口向上， ， 抛物线交轴于负半轴， ， ， ， ，故正确； 抛物线的对称轴是直线， ， ，故正确； 由图象可知，抛物线与轴交于不同的两点， 关于的方程一定有两个不相等的实数根，故正确； 由抛物线的对称性以及对称轴得：抛物线与轴的两个交点坐标为，， 当时，，故正确； 故选：D． 12．（25-26学年九上·福建漳州·期中）已知二次函数的图象如图所示，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】 解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 13．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）二次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，通过代入点A和点B的坐标，可求出a和b的关系及具体值，再代入点C的坐标，得到m与c的关系，从而比较大小． 【详解】 解：∵ 图象经过点， ∴ 代入得 ， ∴， ∵ 图象经过点， ∴ 代入得， ∴． 将代入，得， 解得，故B错误； ∴，故C、D错误； ∴ ∵ 图象经过点即， ∴， ∴，故A正确； 故选：A． 14．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）已知，两点在抛物线上（常数），若对于，，都有，则a的值不可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式组等知识点是解题关键．利用作差法建立关于和的不等式组，因为不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】 解：由题得，， ， ， ， ①当时，， 或 ， 解得或， ， 或， 或， ， ； ②当时，， 或 ， 解得， ， ，解得， 综上，或． 故选：B． 15．（九上·福建厦门湖里中学·期中）已知点在二次函数 的图象上，且对任意实数m，不等式 都成立，则（     ） A. 一定存在大于1的实数t，使 B. 一定存在大于的负数t，使 C. 一定存在小于的实数t，使 D. 一定存在大于1的实数t，使 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质；由条件  对任意实数  成立，推导出二次项系数  且常数项 ，由于 ，函数开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小，因此必然存在  使得 ，其他选项不一定成立，可构造反例． 【详解】 解：∵ ， ， 且 对任意  成立， ∴ ， 化简得 ，即 ． ∵ 该不等式对任意  成立，且 ， ∴ （若 ，则当  很大时不等式不成立）， 且当 时，，故 ． 对于选项 D： ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小， ∴ 必然存在  使得 ． 故选项 D 正确． 选项 A、B、C 不一定成立： 反例 A：取 ，则对于 ，有 ，不存在 ． 反例 B：取 ，则对于 ，有 ，不存在 ． 反例 C：取 ，则对于 ，有 ，不存在 ． 故选：D． 16．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）对于二次函数和．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数的相关性质，可求出 　　　　　　． x -1 m（m≠-1） y=ax2 c c y=bx2 c+3 d 【答案】3 【分析】 根据二次函数的性质，可知m=1，代入，将d用含c的式子表示出来即可 【详解】 解：由二次函数的性质可得的对称轴为y轴， 故由表可得 故答案为：3 【点睛】 本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 17．（25-26学年九上·福建福州·期中）如果抛物线有最低点，那么的取值范围为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，函数在取得最小值；当时，函数在取得最大值． 根据抛物线有最低点计算即可． 【详解】 解：∵抛物线有最低点， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）下图是抛物线的示意图，则a的值可以是　　　　　　　　（填写符合条件一个数值即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键．由图象可知，抛物线开口向上，，即可写出a的值． 【详解】 解：由图象可知，抛物线开口向上，即， 则a的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 19．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）已知二次函数．如图，在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；并结合图象直接写出当时的y的取值范围． 【答案】如下图： 【分析】 本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质：根据列表，描点，连线，画出二次函数图象；直接观察图象，即可得出结论． 【详解】 解：列表， 观察函数图象可知：当时，的取值范围为． 0 1 2 3 4 5 7 2 2 7 … 20．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （2）若该二次函数顶点为A，且该二次函数图象与函数交于点B和点C，请求出的面积． 【答案】（1） 画出二次函数的图象，如下图：      （2）3      【分析】 此题考查了将函数解析式化为顶点式，求图象与坐标轴的交点，描点法画函数图象，计算三角形的面积，正确掌握二次函数与坐标轴交点坐标的计算方法是解题的关键． （1）先把该二次函数的解析式化为顶点式，再求出函数图象的顶点坐标、对称轴；再令，求出y的值，令，求出x的值，即可得出抛物线与坐标轴的交点； （2）求出点A，B，C的坐标，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴二次函数的图象的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， ∴二次函数的图象与y轴交于点， 当时，， 解得：， ∴二次函数的图象与x轴交于点， ∴点关于直线的对称点为点； (2) 小问详解： 解：由（1）得：， 联立得： ， 解得： 或 ， ∴点, ∴． 21．（25-26学年九上·福建福州·期中）若二次函数的图像经过点，，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了根据抛物线的对称性求对称轴， 由于点A和点B的纵坐标相同，它们关于二次函数的对称轴对称，利用对称轴公式或代入坐标解方程即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的图像经过点和，且两点纵坐标相等， ∴它们关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为， 解得． 故答案为：． 22．（25-26学年九上·福建福州·期中）若抛物线经过点，则　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将点代入抛物线表达式，得到关于的方程，解一元一次方程即可． 【详解】 解：因为抛物线经过， 则， 解得， 故答案为：． 23．（25-26学年九上·福建漳州·期中）已知二次函数，其图象上有不同的两点坐标分别，记y的最小值为p． （1）若，请求出该二次函数图象的顶点坐标． （2）若，求m的值． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据题意求得对称轴为直线，进而根据抛物线开口向上，结合题意，当，最小值，可得顶点坐标； （2）由（1）可得抛物线的解析式为，代入得出，根据，得出方程，解方程，即可求解； (1) 小问详解： 解：∵二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、 ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当，最小值， ∴该二次函数图像的顶点坐标； (2) 小问详解： 在的函数图像上， ， ， ， ， ，； 24．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）已知抛物线经过点． （1）若抛物线还经过点，求出该抛物线的解析式； （2）当时，若点在第一象限，且点为抛物线对称轴上一点，记原点为，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； （3）点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）．当时，若是一个与无关的定值，求的值． 【答案】（1）该抛物线的解析式为；     （2）点的坐标为；     （3）的值为．      【分析】 （1）把和代入，可得，，即可得抛物线的解析式； （2）由待定系数法可得抛物线的解析式为，从而可得对称轴的解析式，可得点的横坐标，对称轴交轴于点，作于点，可证明，对应边相等，可得，代入抛物线的解析式，结合点在第一象限，可得，即可得点的坐标； （3）由已知可得，从而可得，，由，可得，可得，由是一个与无关的定值，可得，即可得的值． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点，点， ∴ ， 解得 ， ∴该抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：当时，抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点为抛物线对称轴上一点， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 对称轴交轴于点，作于点，则，， 由旋转可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵点在上， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． (3) 小问详解： 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值， ∴， ∴． 即的值为． 【点睛】 本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质． 25．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出的长； ②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围． 【答案】（1）     （2）①7；②      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）① 求出时两个函数的函数值，则可得到点M和点N的坐标，进而可得的长；② 可求出直线与抛物线交于点和点，则当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值；再求出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象与x轴的交点为、两点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：①在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴； ② 联立 ，解得 或 ， ∴直线与抛物线交于点和点， ∴当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值； 在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随t的增大而减小． 26．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）已知二次函数的图象经过点，，当时，的取值范围是，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据时，的取值范围是，可求出对称轴以及开口方向，再根据二次函数的性质，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，反之越小，判断出、的位置关系即可求解． 本题考查了二次函数的对称性，抛物线开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，反之越小，掌握以上性质是解题关键． 【详解】 解：二次函数，时，的取值范围是， 二次函数的开口向上，对称轴为直线， 开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，反之越小， 且， ， 故 ， 解得． 故答案为：． 27．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）已知二次函数， （1）求此函数图象的顶点坐标和与轴的交点坐标； （2）当________时，随的增大而增大？ （3）当时，的取值范围为________． 【答案】（1）顶点坐标为；与轴的交点坐标为.     （2）当时     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键． （1）将函数解析式化为顶点式，得到顶点坐标，求出当时，y的值，即可得到答案； （2）根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可； （3）根据函数的开口方向和顶点坐标进行作答即可． (1) 小问详解： 解：, 函数的顶点坐标为， ∵当时，， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为． (2) 小问详解： 解：∵二次函数中的， ∴二次函数的开口方向向上，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x的值增大而增大， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：∵二次函数中的，顶点坐标为， ∴二次函数的开口方向向上，最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 28．（25-26学年九上·福建漳州·期中）已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式； （2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象．（使用描点法画图象：列表，描点，连线） 【答案】（1）该二次函数的解析式为；     （2） 列表， 描点，连线，如图． 【分析】 本题考查了二次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把点，代入解析式即可求解； （）根据列表、描点、连线即可画出图象． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴ ，解得： ， ∴该二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 略 29．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根互为倒数时，求函数的顶点坐标． 【答案】（1） 证明：方程， ， 方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点坐标，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，准确计算是解题的关键． （1）通过计算判别式并证明其非负来证明方程总有两个实数根； （2）利用根与系数的关系，由两根互为倒数得出参数的值，再代入函数求顶点坐标。 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设方程的两个根为和， ， 两根互为倒数， ， ， 代入函数得：， 顶点横坐标为， 纵坐标为， 顶点坐标为． 30．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）已知抛物线． （1）若函数图像经过点，求的值； （2）抛物线的顶点可否落在轴上，请说明理由； （3）若该二次函数图像经过、两点，当时，求的范围． 【答案】（1）或     （2）不可能，理由如下： 由抛物线可得对称轴为直线， ∴当时，则有， ∴顶点坐标为， 假设抛物线的顶点在轴上，则有， ∴，方程无解， ∴抛物线的顶点不可能在轴上；     （3）      【分析】 本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键； （1）把点代入进行求解即可； （2）由题意易得该二次函数的对称轴为直线，然后根据题意可把代入进行求解即可； （3）由题意易得，则有，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． (1) 小问详解： 解：把点代入抛物线得： ， 解得：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由该二次函数图像经过、两点，可知：两点关于对称轴对称， ∴， 解得：， 把点，代入抛物线解析式得： ， 整理得：， ∴开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴． 31．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）抛物线开口向下，且过点，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的是　　　　　　　　　（写序号） 【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 由抛物线开口方向、二次函数对称轴位置及，从而判断① ②，由及可判断③，将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断④． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵过点， ∴，， ∴， ∴，故① 正确； 抛物线开口向下，， 时，，故②正确． 抛物线开口向下， ， ，，时，， ，③正确． 若有两个不相等的实数根， 则，有两个不相等的实数根， 抛物线开口向下， 抛物线顶点纵坐标大于1， 即， ，故④ 错误． 故答案为：① ② ③ 32．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①②（m为任意实数）③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有　　　　　　　　　． 【答案】② ③ 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键．依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解． 【详解】 解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又抛物线交轴正半轴， 当时，． ，故① 不正确． 由题意，当时，取最大值为， 对于抛物线上任意的点对应的函数值都． 对于任意实数，当时，． ，故② 正确． 由图象可得，当时，， 又， ，故③ 正确． 由题意抛物线为， ，故④ 错误． 综上，正确的有② ③ ． 故答案为：② ③ ． 33．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于，点为中点． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； （3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若点与点重合，，且，求证：，，三点共线． 【答案】（1）     （2）     （3） 证明：∵点与点重合，则， ∵点为中点，，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得 ，解得 ， ∴， 将代入，得， 解得，， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴点在直线上，即，，三点共线．      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设则，，可得，，进而得到，解方程即可求解； （3）根据题意可知，，设直线的解析式为，代入，得到解析式，将代入中，求得点，可得到点在直线上，即可证明，，三点共线． (1) 小问详解： 解：把，代入得， ， 解得 ， ∴求二次函数的解析式； (2) 小问详解： 解：对于，令，得， 解得，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴，， ∴， 解得，（舍去），或， ∴当时，， ∴； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 34．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）在二次函数中． （1）若函数图象的顶点在轴上，求的值． （2）若点在抛物线上，令，求证：． （3）如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1）     （2） 证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ；     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论； （3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；① 当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；② 当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． (1) 小问详解： 解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， ∴关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ① 当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ② 当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 35．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． （1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． （2）若，求m的值． （3）在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在请说明理由． 【答案】（1），,；直线的解析式为     （2）     （3）当或时，为等腰直角三角形      【分析】 本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识： （1）令，求出x的值，得点A，B的坐标，令，得，可得点C坐标，再设直线的解析式为，把，代入并求出k，b的值即可； （2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于m的方程，求出方程的解即可． (1) 小问详解： 解：对于，当时，， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，, 当时，， ∴； 设直线的解析式为， 把,代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，，（不合题意，舍去） ∴； (3) 小问详解： 解：由② 知,，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴, 若是等腰直角三角形，则有： ① 当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去） ② 当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形 36．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（），求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过 点和点作 y轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解. 【详解】 解：如图；分别过 点和点作 y轴的垂线，垂足分别为和， ∵四边形正方形 ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 由题意得： ∴ ∴ 整理得： ∵ ∴ ∴ ∴. 37．（九上·福建厦门湖里中学·期中）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； （3）如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）或     （3）或或      【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）分两种情况：若点B恰好落在轴上；若点C恰好落在轴上，利用平移的性质解答即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象过点，， ∴ ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：若点B恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：（不符合题意）， 此时点C的坐标为； 若点C恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移4个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； (3) 小问详解： 解：∵， ∴可设，则， ∴点F的坐标为或 设直线的解析式为， ∴ ，或 解得： 或 ∴直线的解析式为或， ∴， 由旋转的性质得：， 如图，过点E作，交直线于点P，过点A，P作分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，则，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 联立得： ，解得： 或 （舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得： ，解得： 或 （舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得： ，解得： 或 （舍去）， ∴此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用，难度较大． 38．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）如图，函数的图象过点和．有下列结论： ①； ②关于x的方程必有两个不相等的实数根； ③； ④ 其中正确的结论是　　　　　　　　 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，一元二次方程与二次函数的关系，理解相关知识是解答关键. 利用图象信息进行判定① ；根据直线与抛物线的有两个交点赤求解② ；③ 利用两根之和不进行求解；④ 利用根的判别来求解. 【详解】 解：抛物线开口向下， . 抛物线交轴的正半轴， . 抛物线的对称轴在轴的左侧， , , ，故① 正确； 方程， . 由图象可知，当时， 直线与抛物线在顶点以下有两个交点，顶点时只有一个交点，顶点以上没有交点， 关于x的方程必有两个不相等的实数根不一定成立， 故② 错误； 函数的图象过点和， ，， ，， ， ， ， ，故③ 正确； 对于二次函数， 其判别式，由求根公式可得, , 已知两根为，， 由图象可知， 则 ∴， ∵， ∴， ∴，故④ 正确. 综上所述，正确的结论有：① ③ ④ . 故答案为：① ③ ④ . 39．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）我们定义：如果一条抛物线的顶点P绕着它的对称轴上的另一个点Q逆时针旋转，顶点P的对应点也在这条抛物线上，那么称线段PQ的长为该抛物线的开口半径，点Q为该抛物线的开口中心． （1）已知一条抛物线的开口向上，开口半径为1，开口中心为，求这条抛物线的表达式； （2）已知抛物线顶点为点A，与y轴交于点B，开口中心点C．求它的开口半径． 【答案】（1）     （2）4      【分析】 本题考查了旋转的性质，二次函数的图象与性质. （1）根据新定义可求抛物线的对称轴为直线，，设抛物线的表达式为，根据旋转得出，，分P在Q上方和P在Q下方讨论即可； （2）求出顶点，对称轴为直线，，设开口中心点C的坐标为，则，则可求，代入，求出或，即可求解； (1) 小问详解： 解∶∵开口中心为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的表达式为， ∴， ∵开口半径为1， ∴， ∵顶点P绕着点逆时针旋转得到点 ， ∴，， ∴当P在Q上方时，， ∵抛物线的开口向上， ∴点P是抛物线的最低点， ∴，不符合题意，舍去； 当P在Q下方时，，， ∴ 把代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设开口中心点C的坐标为，点A绕点C逆时针旋转后的对应点为， ∴， ∴， ∴， 代入，得， ∴， ∴或， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴开口半径为4； 40．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的负半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．    （1）直接写出：点的坐标是（________），________，________． （2）直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时，求证：． （3）二次函数（）与二次函数（）组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求的取值范围． 【答案】（1）；；     （2） 证明：如图，    设直线的函数解析式为， ∵点的坐标是，点的坐标为， ∴ ，解得 ， ∴直线的函数解析式为， ∵直线与直线相交于点， ∴点， 直线与二次函数，的图象分别相交于点，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴．     （3）      【分析】 本题考查二次函数的图象综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数解析式的求解，解决本题的关键是使用待定系数法求解函数解析式并正确作出辅助线． （1）先令求解x的值，即可求解点A的坐标，再将代入函数解析式可求解点B的坐标，再将点代入二次函数中求解即可 （2）设直线的解析式为，将，分别代入，得直线的解析式为，由此可表示出点的坐标，再表示出与即可解答． （3）易得 ，分析的增减性，可得当时，新函数取得最大值，由此可求解出t的值，由此可得最小值，再根据最小值的取值由此可得n的取值范围． (1) 小问详解： 解：令，即， 解得，， ∵点位于轴的负半轴， ∴点的坐标是， ∵点的横坐标为． ∴当时，可得， ∴点的坐标为， ∵二次函数的图象经过点与点， ∴ ，解得 ， ∴二次函数． 故答案为：；；． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由条件可知， ，如图，    ∴可知当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 且当时，新函数取得最大值， ∵当时，函数的最大值为，最小值为， ∴当时，新函数取得最大值为， 即，解得， ∵当时，最小值为， 令，即， 解得，， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 41．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）综合与实践 问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，有一个休息室，一个洗手间，休息室与洗手间要关于场地的中轴线对称． 设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸先对折，得到的垂直平分线，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到上且折叠后点D与点C重合，记为点P，折痕为，，再次摊开，铺平，连接，，，，得到，，四边形，四边形四个区域．一条抛物线形的路把这四个区串起来，抛物线经过A，P，B三点，点P是抛物线的顶点． 1．在四边形区域内的抛物线上找一点N，使得的面积最大，在此处建一个休息室； 2．…… 工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）求出面积的最大值； （3）根据对称性，请你直接写出小红把洗手间（用点H表示）设计在四边形区域内的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由已知可求得， ，则可得，．设设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求得，，进而可得抛物线的函数表达式为． （2）过点作于点，交于点，先求出直线的表达式为．设，则，根据可得，则可得时的值最大，为． （3）由（2）得，则可得，根据与点关于轴对称 ，即可得． (1) 小问详解： 解：由题知，， ， ，． 设抛物线的函数表达式为， 则 ， 解得 ， ∴抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点，交于点， 设直线的表达式为， 则 ，解得 ， ∴直线的表达式为． 设，则， 则， ， ， ∴当时，的值最大，为． ∴面积的最大值为． (3) 小问详解： 由（2）得， ， ， ∵与点关于轴对称， ∴． 【点睛】 本题主要考查了二次函数与几何的综合运用，二次函数的对称性，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质及数形结合的思想方法是解题的关键． 42．（25-26学年九上·福建福州·期中）抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，且．下列结论：①；②关于的一元二次方程一定有一个根小于；③；④若，抛物线过点，，，，且，则． 其中正确的结论是　　　　　（填写序号） 【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质， 将点代入抛物线解析式可得b的表达式，结合条件判断符号；根据二次函数与一元二次方程的关系，结合函数值符号判断根的范围；利用对称性和函数单调性判断函数值符号． 【详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴， 令，得， 由根与系数的关系，，， ∴两根均为负， 又∵当时，， ∴抛物线与x轴的一个交点在与之间，另一个交点小于， 故②正确； ∵，且， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴当时，， ∴点 在抛物线上，与点 对称， ∴对称轴为， 点到对称轴距离为，点距离为，点距离为，点距离为 ， ∵抛物线开口向下， ∴函数值随距离增大而减小， 故， ∵，且， ∴，， ∴，， ∴，故④正确． 所以正确的是① ② ④． 故答案为：① ② ④． 43．（25-26学年九上·福建福州·期中）无人机技术正在蓬勃发展，其应用越来越广泛，2025年中国工业级无人机市场规模将达1200亿元．有一个无人机物流配送站，无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线，现以仓库为原点，地面(水平方向)为x轴,垂直于地面的方向(竖直方向)为y轴建立平面直角坐标系．已知无人机飞行轨迹是抛物线的一部分． 【任务一：调整仓库位置】 （1）因周边施工，仓库需向右平移米，并向上平移3米．无人机轨迹形状不变(开口方向与大小均不变)，调整后的轨迹需经过某配送目标对象坐标．求满足这些条件的h的值． 【任务二：优化重型包裹投递路径】 （2）将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量，记作．当无人机投递重型包裹时，因仓库周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与任务一中调整后的轨迹顶点相同，同时需要增大抛物线开口以降低晃动．若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求p的值． 【任务三：评估调整后的投递高度波动性】 （3）任务一中调整后的轨迹在水平范围内的垂直波动量米，且．直接写出这时n的值是___________． 【答案】（1）5；（2）；（3）6 【分析】 本题考查的是二次函数的应用，涉及二次函数的平移、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值，理解题意是解题的关键． （1）平移后的抛物线解析式为，再代入到抛物线，求出的值即可解答； （2）由题意得，新抛物线的解析式为，根据二次函数的性质可知，当时，飞行高度取得最小值；当时，飞行高度取得最大值，再结合垂直波动量米，列出方程，求出的值即可解答； （3）分4种情况讨论：①；②；③；④，用含的代数式表示出飞行高度的最大值和最小值，再结合垂直波动量米，列出方程，求出的值即可解答． 【详解】 解：（1）由题意得，平移后的抛物线解析式为， 代入，得， 解得，（舍去）， ∴h的值为5； （2）由（1）得，任务一中调整后的轨迹解析式为， ∴调整后的轨迹顶点为， ∴新抛物线的解析式为， ∵， ∴当时，随增大而增大， 当时，飞行高度取得最小值，此时， 当时，飞行高度取得最大值，此时， ∵垂直波动量米， ∴， 解得， ∴p的值为； （3）任务一中调整后的轨迹解析式为， ∴对称轴为， ① 当时， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得； ② 当时，即， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得，，均不符合题意，舍去； ③ 当时，即， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得，，均不符合题意，舍去； ④ 当 时，即， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得，不符合题意，舍去； ∴综上所述，n的值是6． 故答案为：6． 44．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）如图1，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，过点A直线交y轴于点D，交抛物线于点． （1）抛物线解析式为                              ； （2）如图2，点F为抛物线上曲线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值； （3）如图3，点P为线段上一动点，Q为线段上一动点，且，连接，，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，最小值是      【分析】 （1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）过点F作轴于点G，求出，待定系数法求出直线的解析式为，设点F的坐标为，则，根据得出当时，取最大值，根据面积一定，，当面积最大时，四边形面积的最大，求出最大值即可； （3）过点D作轴，截取，连接、，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当M、P、O三点共线时，最小，且最小值为，根据勾股定理求出最小值即可． (1) 小问详解： 解：把，，代入抛物线解析式得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：过点F作轴于点G，如图所示： 把代入得：， 解得：，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 设点F的坐标为，则， ∴， ， ∵， ∴当时，取最大值， ∵面积一定，， ∴当面积最大时，四边形面积的最大， ∴四边形面积的最大值为． (3) 小问详解： 解：存在；过点D作轴，截取，连接、，如图所示： 把代入的解析式得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当M、P、O三点共线时，最小，且最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，求二次函数解析式，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 45．（25-26学年九上·福建福州·期中）抛物线(a,b,c是常数,,)经过点，且．下列结论：①；②关于x的一元二次方程一定有一个根是小于；③；④若，抛物线过点，，，，且，则．其中正确的结论是　　　　　　　　　　　(填写序号) 【答案】② ④ 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 把点代入抛物线，可得，根据a，c，m的值可判断b的值，即可判断① ；令，则，可判断抛物线与x轴的两个交点都在负半轴，结合当时，，即可判断② ；由，，可得，即可判断③ ；由，得到抛物线过点，因此抛物线对称轴为，判断四个点与对称轴的距离，得到，结合，，即可得到，从而判断④ ． 【详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴．故① 错误． ∵，，， ∴抛物线开口向下，交y轴于负半轴，对称轴， 令，则， ∴，， ∴，， ∴抛物线与x轴的两个交点都在负半轴， ∵抛物线经过点， ∴当时，， ∴抛物线与x轴有一个交点在与0之间， 即关于x的一元二次方程一定有一个根是大于的负数． ∴另一个根一定是小于；故② 正确． ∵抛物线经过点，， ∴， ∵， ∴， ∴．故③ 错误． ∵， ∴对于抛物线，当时，， ∴抛物线过点， ∵抛物线过点， ∴抛物线对称轴为， ∵， ，，， 又， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴．故④ 正确． 综上，正确的结论是② ④ ． 故答案为：② ④ ． 46．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知抛物线． （1）求此抛物线的顶点的坐标； （2）若点，均在抛物线上，求线段的长度； （3）若这条抛物线经过点，，且，求的取值范围． 【答案】（1）；     （2）；     （3）或．      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的对称性．解决本题的关键是根据二次函数的对称性判断的取值范围． 把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，可得：，根据顶点坐标式解析式即可得到抛物线的顶点坐标； 因为点和点的纵坐标相等，所以点与关于对称轴对称，由可知抛物线的对称轴是，所以点到对称轴的距离是，根据二次函数的对称性可知点到对称轴的距离是，所以可得：； 因为，可知点在对称轴的右侧，根据二次函数的对称性，可知点的对称点的坐标是，若要，则点在点的右侧，或在点的对称点的左侧，从而可得的取值范围． (1) 小问详解： 解：把抛物线的解析式整理成顶点坐标式， 可得：， 抛物线的顶点坐标是； (2) 小问详解： 解：点和点的纵坐标相等， 点与关于对称轴对称， 点到对称轴的距离是， 点到对称轴的距离也是， ； (3) 小问详解： 解：抛物线的解析式中， 抛物线开口向上， 由可知，抛物线的解析可以整理为， 抛物线的对称轴是， 点的坐标为， 点关于的对称点的坐标是， 当点，在对称轴左侧时， 若，则， 解得：； 当点，在对称轴右侧时， 若，则， 解得：； 综上所述，若，则或． 47．（25-26学年九上·福建漳州·期中）某中学组织秋季运动会，九（）班分配到了一块正方形大本营和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图）．初始时，正方形大本营与遮阳伞投影的平面图如图所示，在上，，，，．由于场地限制，守护大本营的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上，且形状大小保持不变，但落在大本营内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】小余同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【初步探究】（1）求图情形的与的值； 【深入研究】（2）从图情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（3）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？ 【答案】（），的值为；（）关于的解析式为；（）向右移动了． 【分析】 （）根据题意初始位置时在上，右移至图时，在上，则向右移动的距离，此时，向右移动到上，然后通过梯形面积公式即可求解； （）如图得，，从图情形起右移至与重合的过程中，设交于，交于，交于，连接，由平移的性质可知，，则有，， 所以，，，证明，所以，从而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形性质得，，然后通过即可求解； （）分当时，当时，当时得出最值，然后比较即可． 【详解】 解：（）根据题意，初始位置时在上，右移至图时，在上， 向右移动的距离，此时，向右移动到上， ，， ； 图3情形的的值为，的值为； （）由如图可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 从图情形起右移至与重合的过程中，设交于，交于，交于，连接，如图： 由平移的性质可知，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形，四边形都是梯形， ， 关于的解析式为：； （）当时，随的增大而增大，故当时，由（）知，最大为； 当时，， 当时，最大为； 当时，随的增大而减小，此时； ， 遮阳区面积最大时，向右移动了． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，平行四边形的判定与性质，二次函数的最值，二次函数的应用——面积问题，平移性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 48．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则_________； （2）若是“倍根方程”，求代数式的值； （3）若方程是倍根方程，且不同的两点都在抛物线上，求一元二次方程的根． 【答案】（1）8     （2）1或     （3）一元二次方程的根为和      【分析】 本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系以及抛物线的对称性，解题的关键是熟练运用倍根方程的定义和相关数学性质． （1）利用倍根方程的定义设出两根，结合根与系数的关系求解； （2）先求出方程的根，根据倍根方程的定义分情况讨论，再结合分式的性质求值； （3）利用抛物线的对称性求出对称轴，再结合倍根方程的定义求解方程的根． (1) 小问详解： 解：设方程的两根为，且． 根据根与系数的关系，，即，解得，则． 又， ． 故答案为：8； (2) 小问详解： 解：解方程， 得． 因为方程是“倍根方程”分两种情况： ① 当时，即，则， 此时； ② 当时，即， 此时； 综上，的值为1或； (3) 小问详解： 解：不同的两点都在抛物线上， 抛物线的对称轴为直线． 设方程的两根为，且． 根据抛物线对称轴公式，即， 解得，则， 同理，设，解得，则， 综上，一元二次方程的根为和． 49．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）已知抛物线，顶点为． （1）求b，c的值； （2）若，抛物线与直线相交，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线轴交x轴于点N，交直线L于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值； （3）已知点、，若点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，且，求证：直线经过一个定点． 【答案】（1），     （2）或     （3） 证明：作点A关于y轴对称的对应点M， ∵抛物线关于y轴对称， ∴点M在抛物线上， 连接， ∵， ∴M，P，B三点共线， 设，则点， 设直线的解析式为， 得 ， ∴ ， ∴直线的解析式为， ∵点B，点M是抛物线C与直线的交点， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 把的值代入得，， ∴点B的坐标为． ∵， ∴同理可求直线的解析式为． 当时，， ∴直线恒过一个定点，定点坐标为．      【分析】 本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特点、二次函数与一次函数的交点、二次函数与一元二次方程的关系等知识，熟练掌握二次函数的相关知识，灵活应用数形结合思想是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点式即可解答； （2）设点的坐标为，则点，根据构建关于的方程求解即可，注意取舍； （3）作点关于轴的对称点，连接，如图，先证明三点共线，设点，则点，联立方程组利用根与系数的关系求出，再利用待定系数法求出直线的解析式是，进而可得结论． (1) 小问详解： 解：设这个抛物线的表达式为， ∵这个抛物线的顶点是， ∴这个抛物线的表达式， ∴，； (2) 小问详解： 解：当时，抛物线的表达式为， ∵P为y轴右侧抛物线C上一动点， ∴设点P的坐标为，则点， ∵， ∴， ∴（舍去）或或或（舍去）， ∴或； (3) 小问详解： 略 50．（九上·福建厦门湖里中学·期中）如图，函数 的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线（m为常数）相交于三个不同的点，设，则t的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据A、B关于对称轴对称，可知，由直线（m为常数）相交于三个不同的点，可得，进而求出t的范围． 【详解】 解：∵二次函数， ∴图象开口向上，对称轴为，顶点． ∴当时函数有最小值为2，． ∵一次函数（）， ∴当时，有最大值3，当时． ∵抛物线和射线与直线（m为常数）相交于三个不同的点， ， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数的对称性质，一次函数的增减性质，二次函数与直线交点，一次函数与直线交点，函数值的取值范围，是解答本题的关键． 51．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．M是抛物线上任意一点． （1）求抛物线的解析式、直接写出直线解析式． （2）如图1，设M的横坐标为m（），连接，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． （3）当时，求点M的坐标 【答案】（1）抛物线的解析式为：；直线的解析式为：     （2） ∵， ∴当时取得最大值2；     （3）M的坐标为或      【分析】 （1）利用两点式求抛物线的表达式，进而得出直线的解析式； （2）先用表示出，再利用配方法求出最值； （3）分M在直线下方，M在直线上方两种情况讨论，分别求出M点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：设抛物线的表达式为， 则， 则，解得， ∴抛物线的解析式为：， 直线的解析式为：； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： ① 当M在直线下方时， 作点A关于y轴的对称点D， 由对称可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M在直线上， ∵， ∴， 设直线的解析式为：， 将、代入得： 解得： ， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：， 解得： (舍去），， 将代入，得， ∴； ② 当M在直线上方时， 作点D关于直线的对称点， ∴， ∴， ，(由① 得)，， ∴， ∴点M在直线上， 设直线的解析式为：， 将、代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：， 解得： (舍去），， 将代入，解得， ∴， 综上所述M的坐标为或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，的最值，角度问题(二次函数综合)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 52．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）已知：在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，点B在抛物线的对称轴上，四边形为菱形． （1）若抛物线S的顶点在一次函数（且）的图象上，求此时抛物线S的表达式； （2）在（1）的条件下：当时，请在图1的坐标系中画出菱形的示意图，判断点D是否在抛物线S上，并请说明理由； （3）定义：若点，在某抛物线上，点是抛物线上的一个动点，则当的面积取到最大值时，称为抛物线关于点F和点G的内弓三角形．更进一步地，古希腊伟大的数学家阿基米德曾证明出抛物线在的这部分图象（即抛物线上介于点F和点G之间的部分）与线段围成的弓形面积等于其内弓三角形的面积的，这是一个令人惊叹的数学结论，显露出了早期的微积分思想萌芽． 抛物线S上的点F和点G的坐标分别为和，在（1）的条件下，回答下面两个小题： ①当时，是否存在m，使得为抛物线S关于点F和点G的内弓三角形？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由； ②填空：抛物线上介于点F和点G之间的部分与线段围成的弓形面积的大小为______． 【答案】（1）     （2） 点D在抛物线S上； 理由：画图如下： 点D在抛物线S上，理由如下： 当时，点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为y轴， ∴点B在y轴上， ∴设点B的坐标为， ∵， ∴在y轴上， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点D的横坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D的坐标为， 即， 把代入得， ∴点在抛物线S上．     （3）①存在；；②      【分析】 （1）先求出抛物线的顶点坐标为，根据抛物线S的顶点在一次函数的图象上，得出，求出，即可得出答案； （2）设点B的坐标为，根据菱形的性质得出，，根据两点间距离公式得出，求出，根据，得出点D的坐标为，再验证点在抛物线S上即可； （3）①先求出直线的解析式为，设点H为抛物线上介于点F和点G之间的任意一点，且点H的坐标为，过点H作轴，交于点M，得出，求出，表示出，求出面积的最大值时点H的坐标，从而得出点D的坐标，再求出点C的坐标，再令点B的坐标为，证明四边形为菱形，即可得出答案； ② 最后根据弓形面积等于其内弓三角形的面积的，求出结果即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线S的顶点在一次函数（且）的图象上， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 即此时抛物线S的表达式为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 存在；理由如下： 设直线的解析式为，把点和代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 设点H为抛物线上介于点F和点G之间的任意一点，且点H的坐标为， 过点H作轴，交于点M，如图所示： 则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值，且最大值为2， ∴此时点H的坐标为， ∴当点的坐标为时，为抛物线关于点F和点G的内弓三角形， 假设存在m，使得为抛物线S关于点F和点G的内弓三角形， ∴此时点D与点H重合，即点D坐标为， ∵抛物线的对称轴为y轴， ∴点B在y轴上， ∵， ∴在y轴上， ∵， ∴平行于y轴， ∴此时点C的横坐标为2，即， ∴点C的坐标为， ∴，， 当点B的坐标为时，，， ∴， ∴四边形为菱形，符合题意， 又∵， ∴存在m，使得为抛物线S关于点F和点G的内弓三角形； ② 根据解析① 可知：抛物线关于点F和点G的内弓三角形的面积为2， ∵弓形面积等于其内弓三角形的面积的， ∴抛物线上介于点F和点G之间的部分与线段围成的弓形面积的大小为． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，菱形的性质，两点间距离公式，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 53．（25-26学年九上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点在抛物线F：上， （1）当时， ①求的值； ②将抛物线F平移后得抛物线G：，设抛物线F与抛物线G的交点为P，过点P的直线与抛物线F的另一个交点为M，与抛物线G的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． （2）当时，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）①；② 是定值，为     （2）      【分析】 （1）①在抛物线F：上，再根据对称轴公式即可求解； ② 设，，，由① 得，抛物线：，联立 整理得到，则有，同理可得，推出，再利用勾股定理求出的长即可解答； （2）由可得，则问题转化为对于，都有，设，则函数图象开口向上，对称轴为，根据二次函数的性质可知当时，随着的增大而减小，要满足题意只需当时，据此列出关于的不等式，即可求解． (1) 小问详解： 解：① 当时，， ∵在抛物线F：上， ∴， ∴； ②的长为定值， 设，，， 由① 得，抛物线：， 联立 ， 整理得：， ∴， 联立 ， 整理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的长为定值； (2) 小问详解： 解：∵点在抛物线：上，且， ∴， ∴， ∵对于，都有， ∴对于，都有， 设，则函数图象开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数与轴的交点，根据，二次函数与轴有两个不同的交点即可求解． 【详解】 解：根据题意，，且， 解得，且， 故选：B ． 2．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）已知二次函数的部分与的值如下表： … 1 2 4 … … 0 … 根据表格可知，一元二次方程的解是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则或时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到方程的解． 【详解】 解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，， ∴时，， ∴关于x的一元二次方程的解为，． 故选：D． 【点睛】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 3．（九上·福建厦门湖里中学·期中）二次函数的图象过点，方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系；二次函数与x轴的两个交点的横坐标就是一元二次方程的两个根．熟练掌握以上知识是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，进而得出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案． 【详解】 解：抛物线的对称轴为直线 抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标 ∴方程的解为， 故选：B． 4．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（     ） A. 没有交点 B. 只有一个交点 C. 有两个不同的交点 D. 无法判断有没有交点 【答案】C 【分析】 本题主要考查了抛物线与轴的交点，利用一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】 解：对于抛物线， 当时，即， ∵ ∴抛物线与轴的交点情况是有两个不同的交点， 故选：C． 5．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A.  B.  C.  D. 或 【答案】C 【分析】 本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】 解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 6．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点，则方程的根为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．同时考查了二次函数的性质．根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的两个交点坐标为，，从而得到一元二次方程的解． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为． 故选：A． 7．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）已知二次函数的图象与轴的交点的坐标为，顶点的坐标为，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象上点的特征，熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键，由顶点坐标和交点坐标的关系，结合对称性求出另一个交点，利用交点式表示函数，通过比较系数求出的值，再代入顶点坐标求即可． 【详解】 解：∵ 顶点的坐标为，且， ∴ 对称轴为直线， ∵ 函数与轴交于点， ∴ 另一个交点为 ， 设函数为， 与比较常数项，得， ∴ ， 当时， ， ∴ ． 故选：B． 8．（九上·福建厦门湖里中学·期中）如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了利用二次函数确定一元二次方程的根的取值范围．从表中可以看出当时，，当时，，所以能使成立的一定在范围内． 【详解】 解：整理方程 得到：， 令， 由表中数据可知：当时，， 当时，， 当时，即时， 一定有． 故选：B． 9．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是（       ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【分析】 根据图象得出，结合图象上的点和与x轴交点个数即可逐项判断．本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力． 【详解】 解：∵二次函数的图象的开口向下， ∵二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ， ∴ ∴① 错误，② 正确； ∵二次函数图象与x轴有两交点， ∴，故③ 正确； ∵二次函数图象可知，当时，， ∴，故④ 错误； 故选：B． 10．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（　　） A. m≥﹣4 B. m≥0 C. m≥5 D. m≥6 【答案】A 【分析】利用函数图象，当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，从而可判断方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件． 【详解】∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣4）， 即x＝6时，二次函数有最小值为﹣4， ∴当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点， ∴方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣4． 故选A． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； 11．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入，得：， 将代入，得：， 设，如图： 联立 ， 整理得：， 当时，抛物线与直线有两个交点，即， 解得：， 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 解得：， ， 故选：B． 12．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）已知函数，下列说法正确的序号是（     ） ①若该函数图象与x轴只有一个交点，则； ②方程至少有一个整数根； ③若，则的函数值都是负数； ④不存在实数a，使得对任意实数x都成立． A. ①② B. ②④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质，包括与轴的交点、方程的根、函数值的符号以及恒成立问题；需要分类讨论和的情况. 【详解】 解：对于① ：当时，函数与轴有一个交点；当时，判别式，得， ∴或时，图象与轴只有一个交点，故① 错误； 对于② ：当时，方程，根为整数；当时，方程因式分解为 ，根或，其中为整数根； ∴方程至少有一个整数根，故② 正确； 对于③ ：当 时，，函数开口向上，在内；但当时，函数开口向下，在内， ∴结论不一定成立，故③ 错误； 对于④ ：当时，的函数值有正有负，故不恒成立； 当时，若，开口向下，但，有两实根，在根之间； 若 ，函数图象为开口向上的抛物线，函数值可以取到任意大的正数；特别地，时，； ∴不存在实数使对任意成立，故④ 正确； 综上所述，② ④ 正确， 故选：B. 13．（25-26学年九上·福建福州·期中）若二次函数的图像与x轴有两个交点，坐标分别为，且，图像上有一点在x轴下方，则下列判断正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象性质，一元二次方程根的判别式及数形结合思想．根据每个选项的结论逐一分析判断即可得到结果． 【详解】 解：A项：二次函数与x轴有两个交点，无法判断a的正负情况，不符合题意； B项：若，则有，即，， ∴， 若，则有或，即与同号， ∴，不符合题意； C项：若，则有；若，则有或，由于a的正负不能确定，不符合题意； D项：若，由B项知，， ∴， 若，由B项知，， ∴，符合题意． 14．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）二次函数与y轴交点的纵坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题，根据二次函数与 y轴交点的特点，交点的横坐标为0，代入函数解析式即可求出纵坐标． 【详解】 解：当时，， 故答案为：． 15．（九上·福建厦门湖里中学·期中）抛物线与y轴的交点坐标为　　　　　　　　　　　　． 【答案】（0，－4） 【分析】 抛物线与y轴的交点即令x=0, 抛物线与x轴的交点即令y=0,据此解题． 【详解】 解：由题意：令x＝0时，则y＝－4， ∴与y轴的交点坐标为（0，－4） 故答案：（0，－4）． 【点睛】 本题考查抛物线与坐标轴的交点，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 16．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数与不等式的关系；根据函数图象写出抛物线在直线下方部分的的取值范围即可． 【详解】 解：观察图象得：当时，， 即当时，，此时， 所以当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 17．（25-26学年九上·福建漳州·期中）已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】 解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 18．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】 解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， 设另一个交点为， ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 19．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查二次函数图象的应用，能够根据二次函数图象特点求出函数与轴的两个交点，数形结合解不等式是解题的关键． 由图象判断是对称轴，与轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】 解：由图象可知二次函数的对称轴是直线， 与轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，，则与轴另一个交点是， ∴的解集为或， 故答案为：或． 20．（25-26学年九上·福建厦门莲花中学·期中）抛物线（，，是常数，） （1）若，且该抛物线的图象经过、、三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； （2）若抛物线与轴两个交点的横坐标为，，求证：； 【答案】（1）     （2） 证明：∵抛物线与轴两个交点的横坐标为，， ∴方程的两个根为：和， ∴， ∴，将代入，得，即 ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系列式证明即可． (1) 小问详解： 解：∵当时，代入可得：，且 ∴该二次函数经过点，不经过点， ∴把、、分别代入可得： ， 解得： ， ∴该抛物线的函数解析式为：； (2) 小问详解： 略 21．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）已知抛物线的顶点为Q，抛物线的解析式为：． （1）求抛物线与x轴的交点横坐标． （2）判断将的顶点Q向左平移2个单位长度后是否落在上，并说明理由． 【答案】（1）0和4     （2）解：是，理由： 由：得，， ∴顶点为， ∴的顶点向左平移个单位长度后坐标为， 当时，， ∴点在图象上， ∴无论为何值，将的顶点向左平移个单位长度后一定落在上．      【分析】 本题考查抛物线与坐标轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）将代入，得，解出x的值即可； （2）由：得，，得顶点为，然后求出向左平移个单位长度后坐标为，再代入即可得到结论；掌握二次函数的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：将代入，得 ， ， ， 解得． ∴抛物线与x轴的交点横坐标为0，4． (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年九上·福建福州·期中）二次函数 自变量和对应函数值的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式． 的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x 0 1 2 y 13 8 5 4 5 8 13 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与不等式解集等知识，由，即，由题意可知，当，时，，且时，二次函数 有最小值4，可得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合二次函数的图像即可得出答案． 【详解】 解：，即， 由题意可知，当，时，， 且时，二次函数 有最小值4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当解集为：， 故答案为：． 23．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）已知抛物线与轴交于、两点（在的左边），与轴交于点． （1）求点、两点的坐标； （2）若，点和点在抛物线上，且的横坐标为4，点在第二象限，若，求点的坐标； 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查二次函数综合应用，涉及求二次函数图象与x轴的交点坐标、待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、数形结合等知识，解题的关键是添加辅助线求得相关点的坐标． （1）令，解方程即可求解； （2）连接交y轴于D，过M作轴交y轴于E，在y轴上取F，使，作直线交抛物线于N，根据，是的垂直平分线，可证，而时，抛物线为，知，直线的解析式为，可求出，从而求出，，即可得直线的解析式为，最后联立方程组，即可得到N的坐标． (1) 小问详解： 解：对于， 令，则，即， 解得，， ∴，； (2) 小问详解： 解：连接交y轴于D，过M作轴交y轴于E，在y轴上取F，使，作直线交抛物线于N，如图： 由作图可知：，， ∴直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 而时，抛物线为， ∵M的横坐标为4， ∴当时，， ∴，则； 设直线的解析式为， 由，得 ，解得 ， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴，则， ∴， 故设直线的解析式为，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为， 由 ，得： 或 （舍去）， ∴． 考点05 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·福建厦门松柏中学·期中）某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试，飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，则飞行着陆后停下来需滑行的时间是（       ） A. 40秒 B. 30秒 C. 20秒 D. 10秒 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的实际运用，由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当s取得最大值时，t也取得最大值，即为飞行着陆后停下来需滑行的时间． 【详解】 解：， 当时，s取最大值， 即飞行着陆后停下来需滑行的时间为20秒， 故选C． 2．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为；④当时，菜园面积为．其中，正确结论的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，矩形面积的计算，正确列方程及函数思想的应用是解题的关键．设边长为 ，设矩形菜园的面积为，根据每一个结论的条件列出相应的方程或函数解析式，结合给定条件的限制逐一进行判断即可． 【详解】 解：设边长为 ，则边长为， 当时，， 解得， 的长不能超过， ，故① 不正确； 菜园的面积为， , 整理得 解得，（不合题意，舍去）或， 的长有一个值满足菜园的面积为 ，故② 不正确； 设矩形菜园的面积为， 根据题意，得， ， 当时 ，有最大值，最大值为200，故③ 正确； 当时，，解得，，故正确； 正确的有2个， 故选：． 3．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】① 0≤x≤4时，y=S△ABD﹣S△APQ=×4×4﹣•x•x=﹣x2+8， ② 4≤x≤8时，y=S△BCD﹣S△CPQ=×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x）=﹣（8﹣x）2+8， ∴y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．故选B． 4．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）如图，质量为的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图所示．根据图象，下列说法正确的是（     ） A. 小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B. 当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C. 若，则小球的最大速度为 D. 当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可． 【详解】 解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意， B、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，故不符合题意； C、由图象，抛物线的对称轴为直线， ∴的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得： ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， ∴在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，该选项正确，符合题意； D、当弹簧的长度为时，被压缩了，即, 由图象可知，二次函数的对称轴是，则与对应的速度相等，所以时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意． 故选：C． 5．（25-26学年九上·福建厦门三中与厦门龙湫亭学校·期中）高尔夫运动员将一个小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示： t（s） 0 0.5 1 1.5 2 … h（m） 0 8.75 15 18.75 20 … （1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）； （2）求小球飞行3s时的高度． 【答案】（1）h与t之间的函数关系式为h=﹣5t2+20t；（2）小球飞行3s时的高度为15米． 【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h=at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t=1时，h=15；t=2时，h=20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式； （2）根据函数解析式，代入t=3可得h的值； 【详解】（1）∵t=0时，h=0， ∴设h与t之间的函数关系式为h=at2+bt（a≠0）， ∵t=1时，h=15；t=2时，h=20， ∴   解得   ∴h与t之间的函数关系式为h=﹣5t2+20t； （2）小球飞行3秒时，t=3（s），此时h=﹣5×32+20×3=15（m）． 答：小球飞行3s时的高度为15米． 【点睛】考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键. 6．（25-26学年九上·福建厦门第十一中学·期中）掷实心球是我市初中学业水平体育考试项目之一，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作抛物线．在一次模拟测试中，小明掷出的实心球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，则该次测试小明的成绩为　　　　　　　m． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．求出当时，x的值即可． 【详解】 解：把代入得：， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：10． 7．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．    （1）设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为                         ； （2）当的长是多少米时，围成的花圃面积为最大？最大面积多少平方米？ 【答案】（1）     （2）当的长是米时，围成的花圃面积为最大，最大面积为平方米      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键； （1）根据图形可知，用篱笆的周长减去3个长即可； （2）设围成的花圃面积为y，根据长方形的面积求出二次函数的解析式，再根据求出x的范围，再根据二次函数的图象和性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：的长可用含的代数式表示为． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设围成的花圃面积为y， 依题意，得， ， ， ， 当时，y有最大值，y最大． 即当的长是米时，围成的花圃面积为最大，最大面积为平方米 8．（25-26学年九上·福建福州平潭县·期中）生物学研究表明：在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定的温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值（单位：）与温度（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度为　　　　　　　　时，该种酶的活性最强． 【答案】14 【分析】 本题考查了二次函数图象的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．将化为顶点式求解即可． 【详解】 解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，的最大值为， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·福建厦门思明区第九中学·期中）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【分析】 本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】 解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2）    当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 10．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）商场购进某种新商品每件进价为元．在试销期间发现，当每件商品的售价为元时，每天可销售件．当每件商品的售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件，据此规律，请回答下列问题． （1）写出日销售量（件）与销售单价（元）之间的函数解析式（不需自变量的取值范围）； （2）商场销售该商品每天盈利能否达到元？若能，求出每件该商品的售价；若不能，请说明理由． （3）求商场销售该商品销售单价为多少元时每天销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）；     （2） 解：不能，理由， ， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴不能达到元；     （3）元，元．      【分析】 本题考查了一次函数与二次函数的应用，一元二次方程根的判别式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出函数解析式即可； （）根据题意可得，然后通过即可判断； （）设销售利润为元，则，然后通过二次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：设销售单价元，日销售量件， 由题意，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设日销售利润为元， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为元， 答：当销售该商品销售单价为元时每天销售利润最大，最大利润是元． 11．（25-26学年九上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，抛物线可用表示． （1）求抛物线的表达式和拱顶D到地面的距离． （2）一辆货运汽车装载集装箱后高为，宽为．若隧道内设双向行车道，则这辆货运汽车是否可以通过？ 【答案】（1）抛物线的表达式为，拱顶到地面的距离为     （2）这辆货运汽车可以通过      【分析】 本题主要考查了利用待定系数法求抛物线解析式、二次函数的实际应用，结合函数性质分析实际问题是解题的关键． （1）先确定点和点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法化成顶点式，从而得到点到地面的距离； （2）由于抛物线的对称轴为直线，而隧道内设双向行车道，车宽为，计算自变量为的函数值，再将函数值与进行大小比较即可判断． (1) 小问详解： 解：根据题意，将，分别代入，得 解得 ， ∴抛物线的表达式为； ∵， ∴， ∴拱顶到地面的距离为． (2) 小问详解： 解：隧道内设双向行车道，车宽，对称轴为，取，代入抛物线解析式得 ， ∴这辆货运汽车可以通过． 12．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是200件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围． （2）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】（1）依题意得；（也正确）且为正整数，（2）每件玩具的售价定为35元时，每个月可获得最大利润．最大的月利润是2250元． 【分析】 （1）根据题意知每件玩具的利润为（30+x-20）元，月销售量为（200-10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式． （2）把y=-10x2+100x+2000化成顶点式，求得当x=5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，计算出当x=5时 y的值即可． 【详解】 解：（1）依题意得； 自变量x的取值范围是：（也正确）且为正整数， （2）， ， 当时，y有最大值，              （也正确）且为正整数， 当时，，（元）．    所以，每件玩具的售价定为35元时，每个月可获得最大利润．最大的月利润是2250元． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和配方法． 13．（九上·福建厦门湖里中学·期中）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】 解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 14．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． （1）请求出与的函数解析式； （2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）与的函数解析式为；     （2）销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．      【分析】 本题主要考查了一次函数，二次函数在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，运用待定系数法求解即可； （）依据题意，根据与的函数解析式为，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． (1) 小问详解： 解：设该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， 由图可得： ，解得： ， ∴该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， ∵销售单价不低于成本价，且不高于元销售， ∴， ∴每天的销售利润为， ∴与的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：由（）得与的函数解析式为， ∴， ∵，， ∴当时，每天获得的利润最大，最大利润是元， 答：销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 15．（25-26学年九上·福建莆田莆田第二中学·期中）如图是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，当水面下降1米时，水面的宽度增加多少　　　　　　　． 【答案】米 【分析】 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点代入求出解析式可解． 【详解】 解：如图，建立直角坐标， 可设这条抛物线为， 把点代入，得， 解得 ∴， 当时，， 解得 ∴水面下降米时，水面宽度增加米， 故答案为：米． 16．（25-26学年九上·福建莆田仙游县·期中）大蒜是我国重要蔬菜品种，尤其山东种植大蒜历史悠久，种植大蒜无疑是脱贫致富的好途径，大蒜刚上市时，张经理按市场价格元/千克在生产基地收购了千克大蒜存放入冷库储存，据预测，大蒜的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批蒜时每天需要支出各种费用合计元，而且大蒜在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的大蒜损坏不能出售． （1）若存放天后，将这批大蒜一次性出售，设这批大蒜的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式； （2）张经理将这批大蒜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，且为整数）；     （2）存放100天后出售可获得最大利润，最大利润是元．      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数的应用． （1）根据题意可得与之间的函数解析式； （2）设利润为，根据题意可得与之间的函数关系式，根据二次函数的图象和性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意与之间的函数关系式为： （，且为整数）， ∴与之间的函数解析式为（，且为整数）． (2) 小问详解： 解：设利润为， ， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∵大蒜在冷库中最多保存天， ∴时，利润最大，（元）． ∴张经理将这批大蒜存放天后出售可获得最大利润，最大利润是元． 17．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．当水平宽（即的长）为40米时，则离地面高为　　　　　　　　米． 【答案】150 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是建立坐标系． 建立坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，然后求出函数值即可． 【详解】 解：根据题意建立坐标系，可假设抛物线顶点坐标为，抛物线解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴离地面高为150米， 故答案为：150． 18．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为26米），其余用长为49米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） （1）设菜地的宽为x米，则___________米（用含x的代数式表示）； （2）当x为何值时，围成的菜地面积为200平方米？ （3）当x为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，结合篱笆总长为49米列式求解即可； （2）根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （3）设围成的菜地的面积为S平方米，根据矩形面积计算公式用含x的式子表示出S，再利用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，米； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为200平方米； (3) 小问详解： 解：设围成的菜地的面积为S平方米， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，符合题意， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：当围成的菜地面积最大． 19．（25-26学年九上·福建福州·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙，墙的最大可用长度为26米，其余用长为49米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门(小门不用篱笆) （1）设菜地的宽为x米，则___________米(用含x的代数式表示)； （2）当x为何值时，围成的菜地面积为200平方米？ （3）能围成的菜地最大面积是多少？ 【答案】（1）     （2）     （3）平方米      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，结合篱笆总长为39米列式求解即可； （2）根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （3）设围成的菜地的面积为S平方米，根据矩形面积计算公式用含x的式子表示出S，再利用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，米； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为200平方米； (3) 小问详解： 解：设围成的菜地的面积为S平方米， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， 当时，，符合题意， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：能围成的菜地的最大面积为平方米． 20．（25-26学年九上·福建福州·期中）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y（单位：m）与水距x（单位：m）近似满足函数关系． 小明进行了两次掷实心球训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据， ①实心球竖直高度的最大的值是________m； ②求出函数解析式________； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的陆点的水平距离为，则________（填“”，“”或“”） 【答案】（1）①；②     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，读懂题意是解题的关键． （1）① 根据表中的数据找出顶点坐标即可； ② 用待定系数法求函数解析式； （2）分别将代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用表示出和进行比较即可． (1) 小问详解： 解：① 根据表格中的数据可得竖直高度的最大值是， 故答案为：； ② 由① 可知，顶点坐标为， 故函数关系为， 把代入得， ， ， 故函数解析式为； (2) 小问详解： 解：由（1）可知函数解析式为， 当时，（负值舍去）， ， 在中， 令得， 解得（负值舍去）， ， ， ． 21．（25-26学年九上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点处）到落地的过程中，其竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． 小石进行了三次训练，每次实心球的出手点的竖直高度为．记实心球运动路线的最高点为，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为（单位：）．训练情况如下： 第一次训练 第二次训练 第三次训练 训练成绩 最高点 满足的函数关系式 根据以上信息， （1）求第二次训练时满足的函数关系式； （2）小石第二次训练的成绩为______； （3）直接写出训练成绩，，的大小关系． 【答案】（1）；     （2）；     （3）．      【分析】 （）利用待定系数法求解即可； （）令，求出的值即可； （）根据函数解析式分别求出三个距离，根据大小即可比较； 此题考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质的应用． (1) 小问详解： 由题意得：， ∵当时，， ∴，解得：， ∴第二次训练时满足的函数关系式为； (2) 小问详解： 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 小石第二次训练的成绩为， 故答案为：； (3) 小问详解： 根据表格可知：， 由（）得：， 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∴． 22．（25-26学年九上·福建福州鼓楼区福州黎明中学·期中）小静和小林玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，小林在距离地而的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，运动轨迹抛物线的一部分． （1）抛物线的最高点坐标为______； （2）求a，c的值； （3）小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 【答案】（1）     （2），     （3）4或5      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）依据题意，由抛物线可得最高点坐标，进而可以得解； （2）依据题意，可得，将代入抛物线，从而得解析式，再令，可得的值； （3）依据题意，根据点的取值范围代入解析式可求解． (1) 小问详解： 由题意，抛物线， 抛物线 的最高点坐标为的． 故答案为：． (2) 小问详解： 由题得，． 将代入抛物线， ． 抛物线． 当时，． (3) 小问详解： 小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， 此时，点的坐标范围是，，， 当经过时，， 解得：． 当经过时，， 解得：， ， 为整数， 符合条件的的整数值为4和5． 故答案为：4或5． 23．（25-26学年九上·福建厦门思明区外国语学校·期中）通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度（单位：）与时间（单位：h）满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系，下表记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： （） （） （1）求这位患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系； （2）这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为． ①当时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由； ②当该药的血药浓度不低于时，它对治疗疾病有疗效.若要求该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （）由表格可知二次函数的顶点坐标为，进而可得，再利用待定系数法解答即可； （）① 由题意可得，利用二次函数的性质可得的最大值为，据此即可判断求解；② 当时，，可得当时，有最大值为，刚好中毒，即得，当时，可得，，由二次函数的性质可得当时，随的增大而减小，得到，综上即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵时，；时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴， 把代入得，， 解得， ∴患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系为； (2) 小问详解： 解：① 患者存在中毒风险，理由如下： ∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时， ∴血药总浓度， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴存在中毒风险； ② 由① 知，当时，存在中毒风险， 当时，， 此时，当时，有最大值为，刚好中毒， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 综上，的取值范围为． 24．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）某施工队在屋顶上安装太阳能光伏板，发现光伏板的输出功率（瓦）受太阳光入射角影响，与倾斜角有关．实验测定中发现：当倾斜角为时功率为；当倾斜角为时功率为；当倾斜角为时功率为．假设在某范围内（在至之间）可以近似将视为关于的二次函数． （1）请估算出这条二次函数的解析式． （2）某地冬季太阳高度较低，而夏季太阳高度较高．当地屋顶安装太阳能板，若只固定一次倾斜角，则应兼顾全年输出．根据经验，最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间．此外，当倾斜角不当时，反射、阴影和面尘积累都会使功率进一步下降．假设一年中晴天的总时长是某个固定的常数，按照秋冬季、春夏季时间的长短比例分布在秋冬季、春夏季两季． ①已知该地春夏季时间、秋冬季时间之比．实验测定发现秋冬季太阳能板的功率相较于（1）中的下降至，春夏季太阳能板的功率相较于（1）中的上升至．若要使年总功最大，求该地摆放太阳能板的最佳倾斜角．（其中：） ②根据地理学相关知识，一年中春夏季时间、秋冬季时间之比随纬度增高而减小，且变化规律呈一条直线，在北极点（）处．已知①中该地的纬度是．经过一番计算，发现最佳倾斜角和存在关系．为了使年总功尽可能大，试判断“最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间的角度”对于纬度多少的区域是适用的．（仅考虑的地区） 【答案】（1）     （2）①② “最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间的角度”对于纬度在到之间的区域是适用的．      【分析】 本题考查二次函数的应用，根据题意求出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设关于的二次函数解析式为，把题中的三组数据代入即可求解； （2）① 将（1）中关于的二次函数解析式代入，中，再将，代入中，得到关于的二次函数解析式，再由二次函数的顶点求最值； ② 由题意可得与满足一次函数关系，当时，，当时，，由此可得出关于的函数解析式，再根据最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间的角度列出不等式求解即可． (1) 小问详解： 解：设关于的二次函数解析式为， 由题意得： 解得 故关于的二次函数解析式为． (2) 小问详解： ① ， ， 、之比， ． ， 当时，最大， ． ② 设关于的函数解析式为：， 依题意得： 解得 ， 关于的函数解析式为：． ． ， ． ∵， ∴， 解不等式：，即， ∴， 解得：（，不合题意的已舍去）， 解不等式：，即， 解得：（，不合题意的已舍去）， ． “最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间的角度”对于纬度在到之间的区域是适用的． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数（5大题型） 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 1．B 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．C 2．D 3．D 4．C 5．D 6．A 7．A 8．A 9．B 10．B 11．C 12．C 13．D 14．C 15．C 16．B 17．A 18．D 19．D 20．C 21．D 22．D 23．A 24．C 25．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的顶点式，由二次函数的顶点式得出顶点坐标，进而即可求解，掌握二次函数的顶点式 是解题的关键． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴是直线， 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数顶点式的对称轴知识，解题的关键是掌握顶点式的对称轴为直线，易错点是忽略对称轴是直线这一特点，只写的值而不写“直线”或“”的形式，通过抛物线的顶点式可直接确定对称轴． 【详解】 给定抛物线为 ，该形式是顶点式， 其中，因此对称轴为直线． 故答案为． 27．【答案】(1，2) 【分析】 直接根据顶点公式的特点求顶点坐标． 【详解】 ∵是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）． 【点睛】 主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点． 28．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，掌握其平移规律是关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”作答即可． 【详解】 解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的新的抛物线的函数表达式是， 故答案为： ． 29．【答案】 【分析】 该题考查了抛物线的图象与平移变化，牢记平移规则“左加右减、上加下减”是解答本题的关键． 根据平移的性质，向左平移1个单位，即用代替原自变量，再向上平移3个单位，即函数关系式等号右边加3，化简即可． 【详解】 解：抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得： ， 故答案为：． 30．【答案】 【分析】 根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 31．【答案】 【分析】 根据“上加下减，左加右减”的平移规律可得答案． 【详解】 解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线的函数解析式为． 32．【答案】（1）     （2）此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）      【分析】 （1）设顶点式，然后把（-2,5）代入求出a，即可得到抛物线解析式． （2）将（1）中的y=0,解出一元二次方程的根即可． (1) 小问详解： 解：设二次函数表达式为 ∵ 图像经过（-2，5） ∴ 5= ∴ (2) 小问详解： 解：令y=0，即=0 解得：x=3或x=-1 故此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0） 【点睛】 本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定条件，选择恰当的方法设出解析式，也考查了二次函数的性质． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．D 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．A 9．C 10．B 11．D 12．C 13．A 14．B 15．D 16．【答案】3 【分析】 根据二次函数的性质，可知m=1，代入，将d用含c的式子表示出来即可 【详解】 解：由二次函数的性质可得的对称轴为y轴， 故由表可得 故答案为：3 【点睛】 本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 17．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，函数在取得最小值；当时，函数在取得最大值． 根据抛物线有最低点计算即可． 【详解】 解：∵抛物线有最低点， ∴， ∴， 故答案为：． 18．【答案】1（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键．由图象可知，抛物线开口向上，，即可写出a的值． 【详解】 解：由图象可知，抛物线开口向上，即， 则a的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 19．【答案】如下图： 【分析】 本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质：根据列表，描点，连线，画出二次函数图象；直接观察图象，即可得出结论． 【详解】 解：列表， 观察函数图象可知：当时，的取值范围为． 0 1 2 3 4 5 7 2 2 7 … 20．【答案】（1） 画出二次函数的图象，如下图：      （2）3      【分析】 此题考查了将函数解析式化为顶点式，求图象与坐标轴的交点，描点法画函数图象，计算三角形的面积，正确掌握二次函数与坐标轴交点坐标的计算方法是解题的关键． （1）先把该二次函数的解析式化为顶点式，再求出函数图象的顶点坐标、对称轴；再令，求出y的值，令，求出x的值，即可得出抛物线与坐标轴的交点； （2）求出点A，B，C的坐标，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴二次函数的图象的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， ∴二次函数的图象与y轴交于点， 当时，， 解得：， ∴二次函数的图象与x轴交于点， ∴点关于直线的对称点为点； (2) 小问详解： 解：由（1）得：， 联立得： ， 解得： 或 ， ∴点, ∴． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查了根据抛物线的对称性求对称轴， 由于点A和点B的纵坐标相同，它们关于二次函数的对称轴对称，利用对称轴公式或代入坐标解方程即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的图像经过点和，且两点纵坐标相等， ∴它们关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为， 解得． 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将点代入抛物线表达式，得到关于的方程，解一元一次方程即可． 【详解】 解：因为抛物线经过， 则， 解得， 故答案为：． 23．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据题意求得对称轴为直线，进而根据抛物线开口向上，结合题意，当，最小值，可得顶点坐标； （2）由（1）可得抛物线的解析式为，代入得出，根据，得出方程，解方程，即可求解； (1) 小问详解： 解：∵二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、 ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当，最小值， ∴该二次函数图像的顶点坐标； (2) 小问详解： 在的函数图像上， ， ， ， ， ，； 24．【答案】（1）该抛物线的解析式为；     （2）点的坐标为；     （3）的值为．      【分析】 （1）把和代入，可得，，即可得抛物线的解析式； （2）由待定系数法可得抛物线的解析式为，从而可得对称轴的解析式，可得点的横坐标，对称轴交轴于点，作于点，可证明，对应边相等，可得，代入抛物线的解析式，结合点在第一象限，可得，即可得点的坐标； （3）由已知可得，从而可得，，由，可得，可得，由是一个与无关的定值，可得，即可得的值． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点，点， ∴ ， 解得 ， ∴该抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：当时，抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点为抛物线对称轴上一点， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 对称轴交轴于点，作于点，则，， 由旋转可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵点在上， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． (3) 小问详解： 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值， ∴， ∴． 即的值为． 【点睛】 本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质． 25．【答案】（1）     （2）①7；②      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）① 求出时两个函数的函数值，则可得到点M和点N的坐标，进而可得的长；② 可求出直线与抛物线交于点和点，则当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值；再求出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象与x轴的交点为、两点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：①在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴； ② 联立 ，解得 或 ， ∴直线与抛物线交于点和点， ∴当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值； 在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随t的增大而减小． 26．【答案】 【分析】 根据时，的取值范围是，可求出对称轴以及开口方向，再根据二次函数的性质，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，反之越小，判断出、的位置关系即可求解． 本题考查了二次函数的对称性，抛物线开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，反之越小，掌握以上性质是解题关键． 【详解】 解：二次函数，时，的取值范围是， 二次函数的开口向上，对称轴为直线， 开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，反之越小， 且， ， 故 ， 解得． 故答案为：． 27．【答案】（1）顶点坐标为；与轴的交点坐标为.     （2）当时     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键． （1）将函数解析式化为顶点式，得到顶点坐标，求出当时，y的值，即可得到答案； （2）根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可； （3）根据函数的开口方向和顶点坐标进行作答即可． (1) 小问详解： 解：, 函数的顶点坐标为， ∵当时，， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为． (2) 小问详解： 解：∵二次函数中的， ∴二次函数的开口方向向上，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x的值增大而增大， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：∵二次函数中的，顶点坐标为， ∴二次函数的开口方向向上，最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 28．【答案】（1）该二次函数的解析式为；     （2） 列表， 描点，连线，如图． 【分析】 本题考查了二次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把点，代入解析式即可求解； （）根据列表、描点、连线即可画出图象． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴ ，解得： ， ∴该二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 略 29．【答案】（1） 证明：方程， ， 方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点坐标，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，准确计算是解题的关键． （1）通过计算判别式并证明其非负来证明方程总有两个实数根； （2）利用根与系数的关系，由两根互为倒数得出参数的值，再代入函数求顶点坐标。 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设方程的两个根为和， ， 两根互为倒数， ， ， 代入函数得：， 顶点横坐标为， 纵坐标为， 顶点坐标为． 30．【答案】（1）或     （2）不可能，理由如下： 由抛物线可得对称轴为直线， ∴当时，则有， ∴顶点坐标为， 假设抛物线的顶点在轴上，则有， ∴，方程无解， ∴抛物线的顶点不可能在轴上；     （3）      【分析】 本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键； （1）把点代入进行求解即可； （2）由题意易得该二次函数的对称轴为直线，然后根据题意可把代入进行求解即可； （3）由题意易得，则有，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． (1) 小问详解： 解：把点代入抛物线得： ， 解得：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由该二次函数图像经过、两点，可知：两点关于对称轴对称， ∴， 解得：， 把点，代入抛物线解析式得： ， 整理得：， ∴开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴． 31．【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 由抛物线开口方向、二次函数对称轴位置及，从而判断① ②，由及可判断③，将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断④． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵过点， ∴，， ∴， ∴，故① 正确； 抛物线开口向下，， 时，，故②正确． 抛物线开口向下， ， ，，时，， ，③正确． 若有两个不相等的实数根， 则，有两个不相等的实数根， 抛物线开口向下， 抛物线顶点纵坐标大于1， 即， ，故④ 错误． 故答案为：① ② ③ 32．【答案】② ③ 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键．依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解． 【详解】 解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又抛物线交轴正半轴， 当时，． ，故① 不正确． 由题意，当时，取最大值为， 对于抛物线上任意的点对应的函数值都． 对于任意实数，当时，． ，故② 正确． 由图象可得，当时，， 又， ，故③ 正确． 由题意抛物线为， ，故④ 错误． 综上，正确的有② ③ ． 故答案为：② ③ ． 33．【答案】（1）     （2）     （3） 证明：∵点与点重合，则， ∵点为中点，，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得 ，解得 ， ∴， 将代入，得， 解得，， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴点在直线上，即，，三点共线．      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设则，，可得，，进而得到，解方程即可求解； （3）根据题意可知，，设直线的解析式为，代入，得到解析式，将代入中，求得点，可得到点在直线上，即可证明，，三点共线． (1) 小问详解： 解：把，代入得， ， 解得 ， ∴求二次函数的解析式； (2) 小问详解： 解：对于，令，得， 解得，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴，， ∴， 解得，（舍去），或， ∴当时，， ∴； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 34．【答案】（1）     （2） 证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ；     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论； （3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；① 当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；② 当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． (1) 小问详解： 解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， ∴关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ① 当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ② 当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 35．【答案】（1），,；直线的解析式为     （2）     （3）当或时，为等腰直角三角形      【分析】 本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识： （1）令，求出x的值，得点A，B的坐标，令，得，可得点C坐标，再设直线的解析式为，把，代入并求出k，b的值即可； （2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于m的方程，求出方程的解即可． (1) 小问详解： 解：对于，当时，， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，, 当时，， ∴； 设直线的解析式为， 把,代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，，（不合题意，舍去） ∴； (3) 小问详解： 解：由② 知,，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴, 若是等腰直角三角形，则有： ① 当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去） ② 当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形 36．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过 点和点作 y轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解. 【详解】 解：如图；分别过 点和点作 y轴的垂线，垂足分别为和， ∵四边形正方形 ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 由题意得： ∴ ∴ 整理得： ∵ ∴ ∴ ∴. 37．【答案】（1）     （2）或     （3）或或      【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）分两种情况：若点B恰好落在轴上；若点C恰好落在轴上，利用平移的性质解答即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象过点，， ∴ ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：若点B恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：（不符合题意）， 此时点C的坐标为； 若点C恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移4个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； (3) 小问详解： 解：∵， ∴可设，则， ∴点F的坐标为或 设直线的解析式为， ∴ ，或 解得： 或 ∴直线的解析式为或， ∴， 由旋转的性质得：， 如图，过点E作，交直线于点P，过点A，P作分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，则，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 联立得： ，解得： 或 （舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得： ，解得： 或 （舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得： ，解得： 或 （舍去）， ∴此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用，难度较大． 38．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，一元二次方程与二次函数的关系，理解相关知识是解答关键. 利用图象信息进行判定① ；根据直线与抛物线的有两个交点赤求解② ；③ 利用两根之和不进行求解；④ 利用根的判别来求解. 【详解】 解：抛物线开口向下， . 抛物线交轴的正半轴， . 抛物线的对称轴在轴的左侧， , , ，故① 正确； 方程， . 由图象可知，当时， 直线与抛物线在顶点以下有两个交点，顶点时只有一个交点，顶点以上没有交点， 关于x的方程必有两个不相等的实数根不一定成立， 故② 错误； 函数的图象过点和， ，， ，， ， ， ， ，故③ 正确； 对于二次函数， 其判别式，由求根公式可得, , 已知两根为，， 由图象可知， 则 ∴， ∵， ∴， ∴，故④ 正确. 综上所述，正确的结论有：① ③ ④ . 故答案为：① ③ ④ . 39．【答案】（1）     （2）4      【分析】 本题考查了旋转的性质，二次函数的图象与性质. （1）根据新定义可求抛物线的对称轴为直线，，设抛物线的表达式为，根据旋转得出，，分P在Q上方和P在Q下方讨论即可； （2）求出顶点，对称轴为直线，，设开口中心点C的坐标为，则，则可求，代入，求出或，即可求解； (1) 小问详解： 解∶∵开口中心为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的表达式为， ∴， ∵开口半径为1， ∴， ∵顶点P绕着点逆时针旋转得到点 ， ∴，， ∴当P在Q上方时，， ∵抛物线的开口向上， ∴点P是抛物线的最低点， ∴，不符合题意，舍去； 当P在Q下方时，，， ∴ 把代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设开口中心点C的坐标为，点A绕点C逆时针旋转后的对应点为， ∴， ∴， ∴， 代入，得， ∴， ∴或， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴开口半径为4； 40．【答案】（1）；；     （2） 证明：如图，    设直线的函数解析式为， ∵点的坐标是，点的坐标为， ∴ ，解得 ， ∴直线的函数解析式为， ∵直线与直线相交于点， ∴点， 直线与二次函数，的图象分别相交于点，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴．     （3）      【分析】 本题考查二次函数的图象综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数解析式的求解，解决本题的关键是使用待定系数法求解函数解析式并正确作出辅助线． （1）先令求解x的值，即可求解点A的坐标，再将代入函数解析式可求解点B的坐标，再将点代入二次函数中求解即可 （2）设直线的解析式为，将，分别代入，得直线的解析式为，由此可表示出点的坐标，再表示出与即可解答． （3）易得 ，分析的增减性，可得当时，新函数取得最大值，由此可求解出t的值，由此可得最小值，再根据最小值的取值由此可得n的取值范围． (1) 小问详解： 解：令，即， 解得，， ∵点位于轴的负半轴， ∴点的坐标是， ∵点的横坐标为． ∴当时，可得， ∴点的坐标为， ∵二次函数的图象经过点与点， ∴ ，解得 ， ∴二次函数． 故答案为：；；． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由条件可知， ，如图，    ∴可知当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 且当时，新函数取得最大值， ∵当时，函数的最大值为，最小值为， ∴当时，新函数取得最大值为， 即，解得， ∵当时，最小值为， 令，即， 解得，， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 2．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由已知可求得， ，则可得，．设设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求得，，进而可得抛物线的函数表达式为． （2）过点作于点，交于点，先求出直线的表达式为．设，则，根据可得，则可得时的值最大，为． （3）由（2）得，则可得，根据与点关于轴对称 ，即可得． (1) 小问详解： 解：由题知，， ， ，． 设抛物线的函数表达式为， 则 ， 解得 ， ∴抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点，交于点， 设直线的表达式为， 则 ，解得 ， ∴直线的表达式为． 设，则， 则， ， ， ∴当时，的值最大，为． ∴面积的最大值为． (3) 小问详解： 由（2）得， ， ， ∵与点关于轴对称， ∴． 【点睛】 本题主要考查了二次函数与几何的综合运用，二次函数的对称性，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质及数形结合的思想方法是解题的关键． 42．【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质， 将点代入抛物线解析式可得b的表达式，结合条件判断符号；根据二次函数与一元二次方程的关系，结合函数值符号判断根的范围；利用对称性和函数单调性判断函数值符号． 【详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴， 令，得， 由根与系数的关系，，， ∴两根均为负， 又∵当时，， ∴抛物线与x轴的一个交点在与之间，另一个交点小于， 故②正确； ∵，且， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴当时，， ∴点 在抛物线上，与点 对称， ∴对称轴为， 点到对称轴距离为，点距离为，点距离为，点距离为 ， ∵抛物线开口向下， ∴函数值随距离增大而减小， 故， ∵，且， ∴，， ∴，， ∴，故④正确． 所以正确的是① ② ④． 故答案为：① ② ④． 43．【答案】（1）5；（2）；（3）6 【分析】 本题考查的是二次函数的应用，涉及二次函数的平移、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值，理解题意是解题的关键． （1）平移后的抛物线解析式为，再代入到抛物线，求出的值即可解答； （2）由题意得，新抛物线的解析式为，根据二次函数的性质可知，当时，飞行高度取得最小值；当时，飞行高度取得最大值，再结合垂直波动量米，列出方程，求出的值即可解答； （3）分4种情况讨论：①；②；③；④，用含的代数式表示出飞行高度的最大值和最小值，再结合垂直波动量米，列出方程，求出的值即可解答． 【详解】 解：（1）由题意得，平移后的抛物线解析式为， 代入，得， 解得，（舍去）， ∴h的值为5； （2）由（1）得，任务一中调整后的轨迹解析式为， ∴调整后的轨迹顶点为， ∴新抛物线的解析式为， ∵， ∴当时，随增大而增大， 当时，飞行高度取得最小值，此时， 当时，飞行高度取得最大值，此时， ∵垂直波动量米， ∴， 解得， ∴p的值为； （3）任务一中调整后的轨迹解析式为， ∴对称轴为， ① 当时， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得； ② 当时，即， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得，，均不符合题意，舍去； ③ 当时，即， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得，，均不符合题意，舍去； ④ 当 时，即， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得，不符合题意，舍去； ∴综上所述，n的值是6． 故答案为：6． 44．【答案】（1）     （2）     （3）存在，最小值是      【分析】 （1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）过点F作轴于点G，求出，待定系数法求出直线的解析式为，设点F的坐标为，则，根据得出当时，取最大值，根据面积一定，，当面积最大时，四边形面积的最大，求出最大值即可； （3）过点D作轴，截取，连接、，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当M、P、O三点共线时，最小，且最小值为，根据勾股定理求出最小值即可． (1) 小问详解： 解：把，，代入抛物线解析式得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：过点F作轴于点G，如图所示： 把代入得：， 解得：，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 设点F的坐标为，则， ∴， ， ∵， ∴当时，取最大值， ∵面积一定，， ∴当面积最大时，四边形面积的最大， ∴四边形面积的最大值为． (3) 小问详解： 解：存在；过点D作轴，截取，连接、，如图所示： 把代入的解析式得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当M、P、O三点共线时，最小，且最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，求二次函数解析式，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 45．【答案】② ④ 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 把点代入抛物线，可得，根据a，c，m的值可判断b的值，即可判断① ；令，则，可判断抛物线与x轴的两个交点都在负半轴，结合当时，，即可判断② ；由，，可得，即可判断③ ；由，得到抛物线过点，因此抛物线对称轴为，判断四个点与对称轴的距离，得到，结合，，即可得到，从而判断④ ． 【详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴．故① 错误． ∵，，， ∴抛物线开口向下，交y轴于负半轴，对称轴， 令，则， ∴，， ∴，， ∴抛物线与x轴的两个交点都在负半轴， ∵抛物线经过点， ∴当时，， ∴抛物线与x轴有一个交点在与0之间， 即关于x的一元二次方程一定有一个根是大于的负数． ∴另一个根一定是小于；故② 正确． ∵抛物线经过点，， ∴， ∵， ∴， ∴．故③ 错误． ∵， ∴对于抛物线，当时，， ∴抛物线过点， ∵抛物线过点， ∴抛物线对称轴为， ∵， ，，， 又， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴．故④ 正确． 综上，正确的结论是② ④ ． 故答案为：② ④ ． 46．【答案】（1）；     （2）；     （3）或．      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的对称性．解决本题的关键是根据二次函数的对称性判断的取值范围． 把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，可得：，根据顶点坐标式解析式即可得到抛物线的顶点坐标； 因为点和点的纵坐标相等，所以点与关于对称轴对称，由可知抛物线的对称轴是，所以点到对称轴的距离是，根据二次函数的对称性可知点到对称轴的距离是，所以可得：； 因为，可知点在对称轴的右侧，根据二次函数的对称性，可知点的对称点的坐标是，若要，则点在点的右侧，或在点的对称点的左侧，从而可得的取值范围． (1) 小问详解： 解：把抛物线的解析式整理成顶点坐标式， 可得：， 抛物线的顶点坐标是； (2) 小问详解： 解：点和点的纵坐标相等， 点与关于对称轴对称， 点到对称轴的距离是， 点到对称轴的距离也是， ； (3) 小问详解： 解：抛物线的解析式中， 抛物线开口向上， 由可知，抛物线的解析可以整理为， 抛物线的对称轴是， 点的坐标为， 点关于的对称点的坐标是， 当点，在对称轴左侧时， 若，则， 解得：； 当点，在对称轴右侧时， 若，则， 解得：； 综上所述，若，则或． 47．【答案】（），的值为；（）关于的解析式为；（）向右移动了． 【分析】 （）根据题意初始位置时在上，右移至图时，在上，则向右移动的距离，此时，向右移动到上，然后通过梯形面积公式即可求解； （）如图得，，从图情形起右移至与重合的过程中，设交于，交于，交于，连接，由平移的性质可知，，则有，， 所以，，，证明，所以，从而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形性质得，，然后通过即可求解； （）分当时，当时，当时得出最值，然后比较即可． 【详解】 解：（）根据题意，初始位置时在上，右移至图时，在上， 向右移动的距离，此时，向右移动到上， ，， ； 图3情形的的值为，的值为； （）由如图可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 从图情形起右移至与重合的过程中，设交于，交于，交于，连接，如图： 由平移的性质可知，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形，四边形都是梯形， ， 关于的解析式为：； （）当时，随的增大而增大，故当时，由（）知，最大为； 当时，， 当时，最大为； 当时，随的增大而减小，此时； ， 遮阳区面积最大时，向右移动了． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，平行四边形的判定与性质，二次函数的最值，二次函数的应用——面积问题，平移性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 48．【答案】（1）8     （2）1或     （3）一元二次方程的根为和      【分析】 本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系以及抛物线的对称性，解题的关键是熟练运用倍根方程的定义和相关数学性质． （1）利用倍根方程的定义设出两根，结合根与系数的关系求解； （2）先求出方程的根，根据倍根方程的定义分情况讨论，再结合分式的性质求值； （3）利用抛物线的对称性求出对称轴，再结合倍根方程的定义求解方程的根． (1) 小问详解： 解：设方程的两根为，且． 根据根与系数的关系，，即，解得，则． 又， ． 故答案为：8； (2) 小问详解： 解：解方程， 得． 因为方程是“倍根方程”分两种情况： ① 当时，即，则， 此时； ② 当时，即， 此时； 综上，的值为1或； (3) 小问详解： 解：不同的两点都在抛物线上， 抛物线的对称轴为直线． 设方程的两根为，且． 根据抛物线对称轴公式，即， 解得，则， 同理，设，解得，则， 综上，一元二次方程的根为和． 49．【答案】（1），     （2）或     （3） 证明：作点A关于y轴对称的对应点M， ∵抛物线关于y轴对称， ∴点M在抛物线上， 连接， ∵， ∴M，P，B三点共线， 设，则点， 设直线的解析式为， 得 ， ∴ ， ∴直线的解析式为， ∵点B，点M是抛物线C与直线的交点， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 把的值代入得，， ∴点B的坐标为． ∵， ∴同理可求直线的解析式为． 当时，， ∴直线恒过一个定点，定点坐标为．      【分析】 本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特点、二次函数与一次函数的交点、二次函数与一元二次方程的关系等知识，熟练掌握二次函数的相关知识，灵活应用数形结合思想是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点式即可解答； （2）设点的坐标为，则点，根据构建关于的方程求解即可，注意取舍； （3）作点关于轴的对称点，连接，如图，先证明三点共线，设点，则点，联立方程组利用根与系数的关系求出，再利用待定系数法求出直线的解析式是，进而可得结论． (1) 小问详解： 解：设这个抛物线的表达式为， ∵这个抛物线的顶点是， ∴这个抛物线的表达式， ∴，； (2) 小问详解： 解：当时，抛物线的表达式为， ∵P为y轴右侧抛物线C上一动点， ∴设点P的坐标为，则点， ∵， ∴， ∴（舍去）或或或（舍去）， ∴或； (3) 小问详解： 略 50．【答案】 【分析】 根据A、B关于对称轴对称，可知，由直线（m为常数）相交于三个不同的点，可得，进而求出t的范围． 【详解】 解：∵二次函数， ∴图象开口向上，对称轴为，顶点． ∴当时函数有最小值为2，． ∵一次函数（）， ∴当时，有最大值3，当时． ∵抛物线和射线与直线（m为常数）相交于三个不同的点， ， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数的对称性质，一次函数的增减性质，二次函数与直线交点，一次函数与直线交点，函数值的取值范围，是解答本题的关键． 51．【答案】（1）抛物线的解析式为：；直线的解析式为：     （2） ∵， ∴当时取得最大值2；     （3）M的坐标为或      【分析】 （1）利用两点式求抛物线的表达式，进而得出直线的解析式； （2）先用表示出，再利用配方法求出最值； （3）分M在直线下方，M在直线上方两种情况讨论，分别求出M点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：设抛物线的表达式为， 则， 则，解得， ∴抛物线的解析式为：， 直线的解析式为：； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： ① 当M在直线下方时， 作点A关于y轴的对称点D， 由对称可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M在直线上， ∵， ∴， 设直线的解析式为：， 将、代入得： 解得： ， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：， 解得： (舍去），， 将代入，得， ∴； ② 当M在直线上方时， 作点D关于直线的对称点， ∴， ∴， ，(由① 得)，， ∴， ∴点M在直线上， 设直线的解析式为：， 将、代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：， 解得： (舍去），， 将代入，解得， ∴， 综上所述M的坐标为或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，的最值，角度问题(二次函数综合)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 52．【答案】（1）     （2） 点D在抛物线S上； 理由：画图如下： 点D在抛物线S上，理由如下： 当时，点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为y轴， ∴点B在y轴上， ∴设点B的坐标为， ∵， ∴在y轴上， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点D的横坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D的坐标为， 即， 把代入得， ∴点在抛物线S上．     （3）①存在；；②      【分析】 （1）先求出抛物线的顶点坐标为，根据抛物线S的顶点在一次函数的图象上，得出，求出，即可得出答案； （2）设点B的坐标为，根据菱形的性质得出，，根据两点间距离公式得出，求出，根据，得出点D的坐标为，再验证点在抛物线S上即可； （3）①先求出直线的解析式为，设点H为抛物线上介于点F和点G之间的任意一点，且点H的坐标为，过点H作轴，交于点M，得出，求出，表示出，求出面积的最大值时点H的坐标，从而得出点D的坐标，再求出点C的坐标，再令点B的坐标为，证明四边形为菱形，即可得出答案； ② 最后根据弓形面积等于其内弓三角形的面积的，求出结果即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线S的顶点在一次函数（且）的图象上， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 即此时抛物线S的表达式为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 存在；理由如下： 设直线的解析式为，把点和代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 设点H为抛物线上介于点F和点G之间的任意一点，且点H的坐标为， 过点H作轴，交于点M，如图所示： 则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值，且最大值为2， ∴此时点H的坐标为， ∴当点的坐标为时，为抛物线关于点F和点G的内弓三角形， 假设存在m，使得为抛物线S关于点F和点G的内弓三角形， ∴此时点D与点H重合，即点D坐标为， ∵抛物线的对称轴为y轴， ∴点B在y轴上， ∵， ∴在y轴上， ∵， ∴平行于y轴， ∴此时点C的横坐标为2，即， ∴点C的坐标为， ∴，， 当点B的坐标为时，，， ∴， ∴四边形为菱形，符合题意， 又∵， ∴存在m，使得为抛物线S关于点F和点G的内弓三角形； ② 根据解析① 可知：抛物线关于点F和点G的内弓三角形的面积为2， ∵弓形面积等于其内弓三角形的面积的， ∴抛物线上介于点F和点G之间的部分与线段围成的弓形面积的大小为． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，菱形的性质，两点间距离公式，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 53．【答案】（1）①；② 是定值，为     （2）      【分析】 （1）①在抛物线F：上，再根据对称轴公式即可求解； ② 设，，，由① 得，抛物线：，联立 整理得到，则有，同理可得，推出，再利用勾股定理求出的长即可解答； （2）由可得，则问题转化为对于，都有，设，则函数图象开口向上，对称轴为，根据二次函数的性质可知当时，随着的增大而减小，要满足题意只需当时，据此列出关于的不等式，即可求解． (1) 小问详解： 解：① 当时，， ∵在抛物线F：上， ∴， ∴； ②的长为定值， 设，，， 由① 得，抛物线：， 联立 ， 整理得：， ∴， 联立 ， 整理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的长为定值； (2) 小问详解： 解：∵点在抛物线：上，且， ∴， ∴， ∵对于，都有， ∴对于，都有， 设，则函数图象开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．B 2．D 3．B 4．C 5．C 6．A 7．B 8．B 9．B 10．A 11．B 12．B 13．D 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题，根据二次函数与 y轴交点的特点，交点的横坐标为0，代入函数解析式即可求出纵坐标． 【详解】 解：当时，， 故答案为：． 15．【答案】（0，－4） 【分析】 抛物线与y轴的交点即令x=0, 抛物线与x轴的交点即令y=0,据此解题． 【详解】 解：由题意：令x＝0时，则y＝－4， ∴与y轴的交点坐标为（0，－4） 故答案：（0，－4）． 【点睛】 本题考查抛物线与坐标轴的交点，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数与不等式的关系；根据函数图象写出抛物线在直线下方部分的的取值范围即可． 【详解】 解：观察图象得：当时，， 即当时，，此时， 所以当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】 解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】 解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， 设另一个交点为， ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 19．【答案】或 【分析】 本题考查二次函数图象的应用，能够根据二次函数图象特点求出函数与轴的两个交点，数形结合解不等式是解题的关键． 由图象判断是对称轴，与轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】 解：由图象可知二次函数的对称轴是直线， 与轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，，则与轴另一个交点是， ∴的解集为或， 故答案为：或． 20．【答案】（1）     （2） 证明：∵抛物线与轴两个交点的横坐标为，， ∴方程的两个根为：和， ∴， ∴，将代入，得，即 ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系列式证明即可． (1) 小问详解： 解：∵当时，代入可得：，且 ∴该二次函数经过点，不经过点， ∴把、、分别代入可得： ， 解得： ， ∴该抛物线的函数解析式为：； (2) 小问详解： 略 21．【答案】（1）0和4     （2）解：是，理由： 由：得，， ∴顶点为， ∴的顶点向左平移个单位长度后坐标为， 当时，， ∴点在图象上， ∴无论为何值，将的顶点向左平移个单位长度后一定落在上．      【分析】 本题考查抛物线与坐标轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）将代入，得，解出x的值即可； （2）由：得，，得顶点为，然后求出向左平移个单位长度后坐标为，再代入即可得到结论；掌握二次函数的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：将代入，得 ， ， ， 解得． ∴抛物线与x轴的交点横坐标为0，4． (2) 小问详解： 略 22．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与不等式解集等知识，由，即，由题意可知，当，时，，且时，二次函数 有最小值4，可得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合二次函数的图像即可得出答案． 【详解】 解：，即， 由题意可知，当，时，， 且时，二次函数 有最小值4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当解集为：， 故答案为：． 23．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查二次函数综合应用，涉及求二次函数图象与x轴的交点坐标、待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、数形结合等知识，解题的关键是添加辅助线求得相关点的坐标． （1）令，解方程即可求解； （2）连接交y轴于D，过M作轴交y轴于E，在y轴上取F，使，作直线交抛物线于N，根据，是的垂直平分线，可证，而时，抛物线为，知，直线的解析式为，可求出，从而求出，，即可得直线的解析式为，最后联立方程组，即可得到N的坐标． (1) 小问详解： 解：对于， 令，则，即， 解得，， ∴，； (2) 小问详解： 解：连接交y轴于D，过M作轴交y轴于E，在y轴上取F，使，作直线交抛物线于N，如图： 由作图可知：，， ∴直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 而时，抛物线为， ∵M的横坐标为4， ∴当时，， ∴，则； 设直线的解析式为， 由，得 ，解得 ， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴，则， ∴， 故设直线的解析式为，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为， 由 ，得： 或 （舍去）， ∴． 考点05 实际问题与二次函数 1．C 2．B 3．B 4．C 5．【答案】（1）h与t之间的函数关系式为h=﹣5t2+20t；（2）小球飞行3s时的高度为15米． 【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h=at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t=1时，h=15；t=2时，h=20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式； （2）根据函数解析式，代入t=3可得h的值； 【详解】（1）∵t=0时，h=0， ∴设h与t之间的函数关系式为h=at2+bt（a≠0）， ∵t=1时，h=15；t=2时，h=20， ∴   解得   ∴h与t之间的函数关系式为h=﹣5t2+20t； （2）小球飞行3秒时，t=3（s），此时h=﹣5×32+20×3=15（m）． 答：小球飞行3s时的高度为15米． 【点睛】考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键. 6．【答案】10 【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．求出当时，x的值即可． 【详解】 解：把代入得：， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：10． 7．【答案】（1）     （2）当的长是米时，围成的花圃面积为最大，最大面积为平方米      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键； （1）根据图形可知，用篱笆的周长减去3个长即可； （2）设围成的花圃面积为y，根据长方形的面积求出二次函数的解析式，再根据求出x的范围，再根据二次函数的图象和性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：的长可用含的代数式表示为． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设围成的花圃面积为y， 依题意，得， ， ， ， 当时，y有最大值，y最大． 即当的长是米时，围成的花圃面积为最大，最大面积为平方米 8．【答案】14 【分析】 本题考查了二次函数图象的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．将化为顶点式求解即可． 【详解】 解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，的最大值为， 故答案为：． 9．【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【分析】 本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】 解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2）    当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 10．【答案】（1）；     （2） 解：不能，理由， ， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴不能达到元；     （3）元，元．      【分析】 本题考查了一次函数与二次函数的应用，一元二次方程根的判别式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出函数解析式即可； （）根据题意可得，然后通过即可判断； （）设销售利润为元，则，然后通过二次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：设销售单价元，日销售量件， 由题意，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设日销售利润为元， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为元， 答：当销售该商品销售单价为元时每天销售利润最大，最大利润是元． 11．【答案】（1）抛物线的表达式为，拱顶到地面的距离为     （2）这辆货运汽车可以通过      【分析】 本题主要考查了利用待定系数法求抛物线解析式、二次函数的实际应用，结合函数性质分析实际问题是解题的关键． （1）先确定点和点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法化成顶点式，从而得到点到地面的距离； （2）由于抛物线的对称轴为直线，而隧道内设双向行车道，车宽为，计算自变量为的函数值，再将函数值与进行大小比较即可判断． (1) 小问详解： 解：根据题意，将，分别代入，得 解得 ， ∴抛物线的表达式为； ∵， ∴， ∴拱顶到地面的距离为． (2) 小问详解： 解：隧道内设双向行车道，车宽，对称轴为，取，代入抛物线解析式得 ， ∴这辆货运汽车可以通过． 12．【答案】（1）依题意得；（也正确）且为正整数，（2）每件玩具的售价定为35元时，每个月可获得最大利润．最大的月利润是2250元． 【分析】 （1）根据题意知每件玩具的利润为（30+x-20）元，月销售量为（200-10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式． （2）把y=-10x2+100x+2000化成顶点式，求得当x=5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，计算出当x=5时 y的值即可． 【详解】 解：（1）依题意得； 自变量x的取值范围是：（也正确）且为正整数， （2）， ， 当时，y有最大值，              （也正确）且为正整数， 当时，，（元）．    所以，每件玩具的售价定为35元时，每个月可获得最大利润．最大的月利润是2250元． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和配方法． 13．【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】 解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 14．【答案】（1）与的函数解析式为；     （2）销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．      【分析】 本题主要考查了一次函数，二次函数在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，运用待定系数法求解即可； （）依据题意，根据与的函数解析式为，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． (1) 小问详解： 解：设该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， 由图可得： ，解得： ， ∴该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， ∵销售单价不低于成本价，且不高于元销售， ∴， ∴每天的销售利润为， ∴与的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：由（）得与的函数解析式为， ∴， ∵，， ∴当时，每天获得的利润最大，最大利润是元， 答：销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 15．【答案】米 【分析】 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点代入求出解析式可解． 【详解】 解：如图，建立直角坐标， 可设这条抛物线为， 把点代入，得， 解得 ∴， 当时，， 解得 ∴水面下降米时，水面宽度增加米， 故答案为：米． 16．【答案】（1）（，且为整数）；     （2）存放100天后出售可获得最大利润，最大利润是元．      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数的应用． （1）根据题意可得与之间的函数解析式； （2）设利润为，根据题意可得与之间的函数关系式，根据二次函数的图象和性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意与之间的函数关系式为： （，且为整数）， ∴与之间的函数解析式为（，且为整数）． (2) 小问详解： 解：设利润为， ， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∵大蒜在冷库中最多保存天， ∴时，利润最大，（元）． ∴张经理将这批大蒜存放天后出售可获得最大利润，最大利润是元． 17．【答案】150 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是建立坐标系． 建立坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，然后求出函数值即可． 【详解】 解：根据题意建立坐标系，可假设抛物线顶点坐标为，抛物线解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴离地面高为150米， 故答案为：150． 18．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，结合篱笆总长为49米列式求解即可； （2）根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （3）设围成的菜地的面积为S平方米，根据矩形面积计算公式用含x的式子表示出S，再利用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，米； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为200平方米； (3) 小问详解： 解：设围成的菜地的面积为S平方米， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，符合题意， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：当围成的菜地面积最大． 19．【答案】（1）     （2）     （3）平方米      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，结合篱笆总长为39米列式求解即可； （2）根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （3）设围成的菜地的面积为S平方米，根据矩形面积计算公式用含x的式子表示出S，再利用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，米； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为200平方米； (3) 小问详解： 解：设围成的菜地的面积为S平方米， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， 当时，，符合题意， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：能围成的菜地的最大面积为平方米． 20．【答案】（1）①；②     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，读懂题意是解题的关键． （1）① 根据表中的数据找出顶点坐标即可； ② 用待定系数法求函数解析式； （2）分别将代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用表示出和进行比较即可． (1) 小问详解： 解：① 根据表格中的数据可得竖直高度的最大值是， 故答案为：； ② 由① 可知，顶点坐标为， 故函数关系为， 把代入得， ， ， 故函数解析式为； (2) 小问详解： 解：由（1）可知函数解析式为， 当时，（负值舍去）， ， 在中， 令得， 解得（负值舍去）， ， ， ． 21．【答案】（1）；     （2）；     （3）．      【分析】 （）利用待定系数法求解即可； （）令，求出的值即可； （）根据函数解析式分别求出三个距离，根据大小即可比较； 此题考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质的应用． (1) 小问详解： 由题意得：， ∵当时，， ∴，解得：， ∴第二次训练时满足的函数关系式为； (2) 小问详解： 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 小石第二次训练的成绩为， 故答案为：； (3) 小问详解： 根据表格可知：， 由（）得：， 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∴． 22．【答案】（1）     （2），     （3）4或5      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）依据题意，由抛物线可得最高点坐标，进而可以得解； （2）依据题意，可得，将代入抛物线，从而得解析式，再令，可得的值； （3）依据题意，根据点的取值范围代入解析式可求解． (1) 小问详解： 由题意，抛物线， 抛物线 的最高点坐标为的． 故答案为：． (2) 小问详解： 由题得，． 将代入抛物线， ． 抛物线． 当时，． (3) 小问详解： 小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， 此时，点的坐标范围是，，， 当经过时，， 解得：． 当经过时，， 解得：， ， 为整数， 符合条件的的整数值为4和5． 故答案为：4或5． 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （）由表格可知二次函数的顶点坐标为，进而可得，再利用待定系数法解答即可； （）① 由题意可得，利用二次函数的性质可得的最大值为，据此即可判断求解；② 当时，，可得当时，有最大值为，刚好中毒，即得，当时，可得，，由二次函数的性质可得当时，随的增大而减小，得到，综上即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵时，；时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴， 把代入得，， 解得， ∴患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系为； (2) 小问详解： 解：① 患者存在中毒风险，理由如下： ∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时， ∴血药总浓度， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴存在中毒风险； ② 由① 知，当时，存在中毒风险， 当时，， 此时，当时，有最大值为，刚好中毒， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 综上，的取值范围为． 24．【答案】（1）     （2）①② “最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间的角度”对于纬度在到之间的区域是适用的．      【分析】 本题考查二次函数的应用，根据题意求出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设关于的二次函数解析式为，把题中的三组数据代入即可求解； （2）① 将（1）中关于的二次函数解析式代入，中，再将，代入中，得到关于的二次函数解析式，再由二次函数的顶点求最值； ② 由题意可得与满足一次函数关系，当时，，当时，，由此可得出关于的函数解析式，再根据最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间的角度列出不等式求解即可． (1) 小问详解： 解：设关于的二次函数解析式为， 由题意得： 解得 故关于的二次函数解析式为． (2) 小问详解： ① ， ， 、之比， ． ， 当时，最大， ． ② 设关于的函数解析式为：， 依题意得： 解得 ， 关于的函数解析式为：． ． ， ． ∵， ∴， 解不等式：，即， ∴， 解得：（，不合题意的已舍去）， 解不等式：，即， 解得：（，不合题意的已舍去）， ． “最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间的角度”对于纬度在到之间的区域是适用的． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $