精品解析：陕西榆林市子洲中学2025-2026学年下学期期中考试高一数学试题

子洲中学2025~2026学年度第二学期期中检测 高一数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线平行于平面，则下列说法正确的是（ ） A. 与内任意直线平行 B. 与内任意直线相交 C. 与内任意直线异面 D. 与内部分直线平行 4. 下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列说法错误的是（ ） A. 三点唯一确定一个平面 B. 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面 C. 平面不具有边缘，平面无限延展 D. 若A、B两点均在平面内，则直线也在内 6. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知在中，，则（ ） A. B. C. D. 8. 正多面体各个面都是全等的正多边形，其中面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，如图，已知正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，则其棱数与顶点数之和为（ ） A. 30 B. 20 C. 42 D. 44 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，且，则可能为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 四棱锥可以分割成两个三棱锥 B. 圆柱、圆锥的母线都不止一条 C. 有一个面是平行四边形的棱台一定是四棱台 D. 相对的两个面都对应全等的六面体一定是平行六面体 11. 《易经》是中华智慧的源头活水，从太极混沌中孕育阴阳两仪，如天地初开；两仪互动，化出四象，似四季轮转；四象再演，生成八卦，如雷风山水布列八方．一画开天，万象生辉——这不仅是符号的演化，更是古人读懂宇宙的诗意密码．如图是根据八卦模型抽象得到的正八边形，其中是该正八边形的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. 在方向上的投影向量为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则________． 13. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为______． 14. 如图，直角是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（i为虚数单位），． （1）若z为虚数，求实数m的取值范围； （2）若z为纯虚数，求实数m的值． 16. 设为实数，若向量． （1）若与垂直，求的值； （2）当为何值时，三点共线． 17. 如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，E为中点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）证明：平面． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． （1）求角A； （2）求的值． 19. 定义两个多面体，的相似度，其中是多面体，重合部分的体积，，分别是多面体，的体积．如图，在三棱锥中，D，E分别是棱，的中点，F为线段上一点，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H．已知，是等边三角形，且为三棱锥的底面上的高． （1）求三棱锥的体积； （2）求三棱锥与三棱锥的相似度K． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 子洲中学2025~2026学年度第二学期期中检测 高一数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，.    2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数模的定义即可求得 【详解】复数，则. 3. 已知直线平行于平面，则下列说法正确的是（ ） A. 与内任意直线平行 B. 与内任意直线相交 C. 与内任意直线异面 D. 与内部分直线平行 【答案】D 【解析】 【详解】若直线与平面平行，则直线与平面内的直线无公共点， 即直线与平面内的直线平行或异面， 对于A，D，与内部分直线平行，故A错误；D正确； 对于B，与内任意直线不相交，故B错误； 对于C，与内部分直线异面，故C错误． 4. 下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】对A，因为，所以。所以向量，不能作为平面向量的基底； 对B，因为，所以。所以向量，不能作为平面向量的基底； 对C，，所以，所以向量，不能作为平面向量的基底； 对D，因为，所以向量，不共线，故向量，可以作为平面向量的基底. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 三点唯一确定一个平面 B. 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面 C. 平面不具有边缘，平面无限延展 D. 若A、B两点均在平面内，则直线也在内 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，故A错误； 对于B，经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面，故选项B正确； 对于C，由平面的概念可知，平面不具有边缘，平面无限延展，故选项C正确； 对于D，A、B两点均在平面内，则直线也在内，故选项D正确， 6. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 7. 如图所示，已知在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于，则，从而. 8. 正多面体各个面都是全等的正多边形，其中面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，如图，已知正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，则其棱数与顶点数之和为（ ） A. 30 B. 20 C. 42 D. 44 【答案】C 【解析】 【详解】由图可知：其棱数为30，顶点数为12，所以其棱数与顶点数之和为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，且，则可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等角定理求解. 【详解】已知，，， 因此要么与同向平行得到， 要么反向平行得到. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 四棱锥可以分割成两个三棱锥 B. 圆柱、圆锥的母线都不止一条 C. 有一个面是平行四边形的棱台一定是四棱台 D. 相对的两个面都对应全等的六面体一定是平行六面体 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于选项A：如图所示，四棱锥可分为三棱锥和三棱锥， 故A正确； 对于选项B：圆柱：圆柱可以看作是一个矩形绕着它的一条边旋转一周形成的， 矩形的另一条边（垂直于旋转轴的那条）在旋转过程中扫过的每一个位置，都是一条母线， 因此，圆柱的母线也有无数条； 圆锥：因为底面圆周上有无数个点，所以连接顶点和这些点，就能得到无数条母线； 综上所述：圆柱、圆锥的母线都不止一条，故B正确； 对于选项C：因为棱台的侧面为梯形，可知底面为平行四边形， 所以该棱台一定是四棱台，故C正确； 对于选项D：如图所示，相对的两个面都对应全等，但不是平行六面体，故D错误. 11. 《易经》是中华智慧的源头活水，从太极混沌中孕育阴阳两仪，如天地初开；两仪互动，化出四象，似四季轮转；四象再演，生成八卦，如雷风山水布列八方．一画开天，万象生辉——这不仅是符号的演化，更是古人读懂宇宙的诗意密码．如图是根据八卦模型抽象得到的正八边形，其中是该正八边形的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. 在方向上的投影向量为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正八边形的性质和平面向量的共线、数量积、投影向量等知识逐项判断计算即可. 【详解】对于A： 与的夹角为与的夹角，即，A错误； 对于B： ，B正确； 对于C： 在方向上的投影向量为，C正确； 对于D： 因为正八边形的中心角为，所以，所以， 因为，所以，又， 所以，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用圆台的侧面积公式即可求解. 【详解】根据题意可知：圆台的侧面积为. 故答案为：. 14. 如图，直角是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由的斜二测直观图还原得的直观图，再求得的边长并判定形状，即可求得的面积，得到答案. 【详解】由的斜二测直观图还原得的直观图如下， 因为直角中，且，所以， 则在中，，， 所以的面积为. 故答案为：. . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（i为虚数单位），． （1）若z为虚数，求实数m的取值范围； （2）若z为纯虚数，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据z为虚数，即可求解； （2）根据z为纯虚数即可求解. 【小问1详解】 若为虚数，则，且， 解得且， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 若为纯虚数，则， 解得，即， 所以实数的值为． 16. 设为实数，若向量． （1）若与垂直，求的值； （2）当为何值时，三点共线． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意先求，再结合向量垂直的坐标表示运算求解； （2）根据题意先求，再结合向量共线的坐标表示运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 若与垂直，则，解得. 【小问2详解】 由题意可得：，， 若三点共线，则， 可得，解得或． 17. 如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，E为中点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）证明：平面． 【答案】（1）直线与是异面直线，理由如下： 若直线与不是异面直线，则它们相交或平行．设它们确定的平面为，则点D与直线都在内， 由于经过点D和直线有且仅有一个平面，因此与平面重合， 从而也在平面内，进而P点也在平面内， 显然这与四棱锥相矛盾，故直线与是异面直线． （2）连接交于点F，再连接， 由底面为平行四边形，可得F为的中点， 又因为E为中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 【解析】 【分析】（1）结合异面直线的概念，利用反证法判断； （2）连接交于点F，可得，利用线面平行的判定定理证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． （1）求角A； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合余弦定理运算得解； （2）由结合正弦定理边化角，进而求得，再利用二倍角公式求得，最后根据两角和的余弦公式运算得解. 【小问1详解】 由，展开得， 即， 由余弦定理可得，，所以. 【小问2详解】 由及正弦定理得， 因为，所以，即， 由（1）可知A为钝角，所以C为锐角， 所以， ，， 所以. 19. 定义两个多面体，的相似度，其中是多面体，重合部分的体积，，分别是多面体，的体积．如图，在三棱锥中，D，E分别是棱，的中点，F为线段上一点，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H．已知，是等边三角形，且为三棱锥的底面上的高． （1）求三棱锥的体积； （2）求三棱锥与三棱锥的相似度K． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求正△ABC面积，已知棱锥高PA，代入三棱锥体积公式直接计算体积； （2）由线段比例证三角形相似，算出各三角形面积与对应棱锥体积；用割补法求公共部分体积，再按相似度公式求值. 【小问1详解】 由题可知正三角形的面积， 因为三棱锥在底面上的高， 所以． 【小问2详解】 取棱的中点M，连接，， 因为，，所以，且， 所以，且，即，同理可得， 易知，且都是等边三角形， 因为，，所以相似比为， 则， ， 所以三棱锥的体积， 要计算公共部分体积，只需在三棱锥中挖去三棱锥即可， 易知三棱锥的体积， 且三棱锥可分为三棱锥与三棱锥两部分， 两部分底面积相等，高度相等， 所以， 则公共部分的体积． 故三棱锥与三棱锥的相似度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $