专题04 圆锥曲线的方程（期中真题汇编，江西专用）高二数学上学期

专题04 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积. 【详解】 由椭圆方程得.. 故选：D. 2．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）（多选）已知椭圆，则下列说法正确的是（     ） A. 是椭圆的一个顶点 B. 是椭圆的一个焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆的短轴长为 【答案】BCD 【分析】 根据椭圆方程，判断焦点位置，求得的值，继而写出顶点，焦点,离心率，长短轴，根据选项逐一判断即可. 【详解】 由，可知椭圆的焦点在轴上，且， 椭圆有四个顶点，分别为， 焦点有两个，分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 故A错误；B,C,D均正确. 故选：BCD. 3．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知椭圆的离心率为，则（       ） A. 3 B.  C. 2 D.  【答案】C 【分析】 先分别表示出，结合离心率公式列出方程即可求解. 【详解】 ，解得. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）椭圆的焦距为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据条件，直接求出，即可求解. 【详解】 由题知，所以， 所以焦距为， 故选：A. 5．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 【答案】A 【分析】 根据圆与圆的位置关系可得，再根据椭圆的定义可得动圆圆心的轨迹. 【详解】 设动圆的圆心为，半径为，圆，圆， 则，. 又，所以点在以为焦点的椭圆上． 故选：A． 6．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）国家体育场（鸟巢），位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场，也是2022年北京冬季奥运会开幕式、闭幕式举办地.某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的短轴长为，则大椭圆的长轴长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据椭圆的离心率的公式以及的关系求解. 【详解】 设小椭圆的短轴为，长轴为，大椭圆的短轴为，长轴为， 所以有，所以， 则有，所以小椭圆的离心率， 依题意可知，大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率， 所以，且，， 所以解得所以大椭圆的长轴长为， 故选：A. 7．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）（多选）若方程所表示的曲线为，则（     ） A. 曲线可能是圆 B. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 C. 若，则为椭圆 D. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 【答案】AD 【分析】 根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】 对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确； 对于B，当时，方程为表示焦点在轴上的椭圆， 且，所以，解得，焦距为，故B错误； 对于C，由A知，表示圆，故C错误； 对于D，若为椭圆，且焦点在轴上，则 ，解得，故D正确. 故选：AD. 8．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）已知为实数，椭圆的离心率为，则（       ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【分析】 先判断椭圆焦点位置，然后根据离心率的公式列方程求解即可. 【详解】 因为该方程为椭圆方程，所以且，解得， ，所以，， 则，所以， 由题意得，解得. 故选：D. 9．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由求解即可. 【详解】 由题意可得：， 解得， 即的取值范围为， 故选：B 10．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】 根据题意设, 由在椭圆上， 则 ，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 11．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（       ） A. 9 B. 18 C. 20 D. 36 【答案】B 【分析】 由得，设得，然后由勾股定理建立方程组，然后化简得到. 【详解】 ∵，∴， 设，则， ∵，∴，∴， 即. 故选：B. 12．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用三边长与椭圆相等，先求，再利用勾股定理求出，即可得离心率. 【详解】 由，可得，所以， 又由椭圆定义可知：， 所以， 则，所以， 故离心率为, 故选：C. 13．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义可得，然后结合图形可得答案. 【详解】 由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义知， 所以. 又， 如图，设直线交椭圆于，两点.当为点时，最小，最小值为. 故选：B 【点睛】 本题考查的是椭圆的定义的应用，属于常考题型. 14．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l交C于A、B两点，则的周长为（       ） A. 2 B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 由椭圆定义可知，的周长为. 【详解】 由，得，由椭圆定义可知，的周长为 故选：D 15．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）“”是“方程表示椭圆”的（       ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】 先利用椭圆方程转化的范围，再结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】 “方程表示椭圆”可以得出 或 ，所以或； 所以“”不可以推出“方程表示椭圆”； “方程表示椭圆”可以推出“”； 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：A. 16．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知，是椭圆的两个焦点，点在上且，则的面积为（     ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】C 【分析】 由椭圆的定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】 由椭圆，可得，所以， 由椭圆的定义可得， 故，又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C. 17．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由几何图形分析椭圆的长半轴及短半轴长，结合椭圆离心率公式进行求解. 【详解】 设球的半径为， 球的大圆在光线照射下形成椭圆形，易知椭圆的长半轴长，短半轴长， 因为，所以. 故选：B 18．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为,是椭圆上一点，且，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 椭圆的焦距为2 C. 的周长为 D. 点在圆上 【答案】CD 【分析】 根据椭圆方程和椭圆的定义，结合条件可求出，易判断A，B，C项，利用勾股定理逆定理可得，即得，从而判断D项. 【详解】 由可得，则，则椭圆焦距为，故B错误； 又因，，联立解得，故A错误； 的周长为，故C正确； 又因，则， 因w为点是的中点，则，即点在圆上，故D正确. 故选：CD. 19．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（       ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 【答案】D 【分析】 由椭圆方程可得参数的值，进而求出的值，根据椭圆的定义求焦点三角形的周长. 【详解】 由椭圆可得，所以， 故的周长为. 故选：. 20．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（        ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【分析】 根据椭圆方程标准形式可判断A，根据椭圆定义可判断B，根据焦半径范围判断C，根据基本不等式可判断D即可. 【详解】 由椭圆，可得， 所以，故离心率为，故A错误； 根据椭圆的定义可知的周长为，故B正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知，故C错误； 根据基本不等式可得， 取等号条件是，故D正确. 21．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）（多选）已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（     ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为 C. 不存在点Q，使得 D. 的最小值为 【答案】CD 【分析】 由题设，可得，， 对于A,由离心率公式可判断； 对于B，由即可判断； 对于C，由，即，即可判断； 对于D，由椭圆的定义有，然后利用基本不等式求解即可判断. 【详解】 由题设，，则，又在椭圆内部，则，即， 对A：，故选项A错误； 对B：当时，有，则，故选项B错误； 对C：由，即，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点， 所以椭圆上不存在点Q使得，故选项C正确； 对D：由椭圆的定义有， 所以，当且仅当时等号成立， 当时，,由于，则能取到，满足条件； 当时，,由于，则不能取到，此时, 综上选项D正确. 故选：CD. 22．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）已知椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，若点，则的最大值为（     ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 【答案】D 【分析】 由，结合图形即得. 【详解】 因为椭圆， 所以，， 则椭圆的右焦点为， . 由椭圆的定义得： ， 当点Q在点处，取等号， 所以的最大值为5， 故选：D. 23．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列说法正确的是（     ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的面积可能为2 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【分析】 根据椭圆方程，求出a，c的值，代入离心率公式，即可判断A的正误；当P位于短轴端点时，的面积最大，求出面积最大值，分析即可判断B的正误；根据椭圆定义及基本不等式，即可判断C的正误；设，可求出，坐标，根据数量积公式，结合椭圆方程及x的范围，即可判断D的正误. 【详解】 选项A：由题意，所以， 求得，所以离心率，故A正确； 选项B：当P位于短轴端点时，不妨取上端点，则， 此时的面积最大，且为， 所以的面积最大为，不可能为2，故B错误； 选项C：由椭圆定义得， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为4，故C正确； 选项D：设，由题意， 所以， 所以， 因为P在椭圆上，所以，且， 所以， 所以当时，的最小值为-2，故D正确. 故选：ACD 24．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）（多选）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A. 存在使得 B. 的最小值为 C. ，则的面积为 D. 直线与直线斜率乘积为定值 【答案】BC 【分析】 由椭圆方程得，，，利用向量的数量积得最大张角的余弦符号，可判断张角的大小，对焦点三角形使用余弦定理可得的最值，利用三角形公式可求得焦点三角形面积，设椭圆上一点，通过坐标运算可以得到的值. 【详解】 设椭圆短轴上下顶点分别为，， 由题知椭圆：中，，，， 所以，，，，，， 对于A选项，由于，，， 所以的最大角为锐角，故不存在使得，A错误； 对于B选项，记，，则， 由余弦定理： ， 当且仅当时等号成立，B正确； 对于C选项，由于， 由焦点三角形面积公式得到，C正确； 对于D选项，设（），， 则，，， 于是，D错误. 故选：BC. 25．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）设、是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在上，且的面积为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据三角形的面积可求得点的坐标，由此可求得的值. 【详解】 在椭圆中，，，则，所以，， ，所以，所以， 则， 故选：A. 26．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用点差法结合焦点坐标可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程. 【详解】 设点、，则 ，可得 ，且，① 记线段的中点为， 若与坐标轴垂直，则的中点在坐标轴上，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在且不为零， 因为 ，作差可得， 即，所以，，② 联立① ② 可得，， 因此，椭圆的方程为. 故选：C. 27．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）（多选）如图，“倒形”曲线由两部分组成，轴左侧部分曲线为轴及其右侧部分曲线为，且，若为“倒形”曲线上一动点，则下列说法正确的是（       ） A. 曲线与轴所围成区域的面积为 B. 曲线的方程为 C. 的最大值为2 D. 若直线与曲线有四个交点，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】 化简曲线的方程，确定轨迹形状，结合面积公式判断A，化简曲线的方程可得，，结合条件求，由此判断B，结合曲线方程的最大值不小于，判断C，结合图象确定满足条件的直线的临界位置，由此确定其范围，判断D. 【详解】 曲线0可化为， 表示以为圆心，半径为1的两个半圆， 易得与轴所围成的区域的面积为，A错误； 因为，曲线， 化为，，表示右焦点为的椭圆在轴上及轴右侧的部分， 由图可知，，又，解得， 所以曲线的方程为，B正确； 点在曲线上，该点到原点的距离为， 所以曲线上的动点到原点的距离的最大值不小于，C错误； 由图可知，若直线与曲线有四个交点， 则直线位于和之间（与不重合）， 其中过原点，是第二象限的半圆的切线， 当直线与第二象限的半圆相切时，， 解得舍去）， 所以实数的取值范围为，D正确. 故选：BD. 28．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（       ） A. 面积的最大值为 B. 的最大值为8 C. 若，则 D. 若，垂足为，则 【答案】ACD 【分析】 对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长，交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】 由椭圆方程可知：，，. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，取到最大， 所以的最大值为7，故B错误； 对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则，， 可得，，，， 则， 即， 整理可得，解得或， 当时，，与重合，不合题意， 所以，即，故C正确： 对于D：如图，延长，交于点， 则在中，，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确. 故选：ACD. 29．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，的内切圆与切于点，过点的直线与交于两点，则下列结论中 ①的最大值为；②的内切圆面积最大值为； ③为定值；④若为中点，则的方程为， 正确结论的个数有（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 根据椭圆的定义及两点之间线段最短结论判断命题① ，结合椭圆的定义及内切圆的性质判断命题② ③ ，利用点差法求直线的方程判断命题④ ，由此可得结论. 【详解】 设椭圆的长半轴为。短半轴长为，半焦距为， 根据题意可得，，，，，， ∵， 当且仅当P，，Q三点共线时，等号成立， ∴的最大值为，∴命题① 正确； 设的内切圆的半径为，则根据的等面积算法可得： ， ∴， 当且仅当为短轴顶点时，等号成立， ∴的内切圆面积最大值为，∴命题② 错误； 根据的内切圆的性质易得：， ∴，∴，∴命题③ 正确； 若为中点，设，， 则 ，两式相减可得：， ∴，∴，∴， ∴的方程为，即， 又，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交， 所以直线满足条件，命题④ 正确.    故选：C. 30．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据椭圆的定义以及三角形面积公式先求出的纵坐标，然后根据椭圆方程求出横坐标，最后根据向量的数量积的坐标公式求出结果. 【详解】 根据题意知，. 因为的内切圆半径为， 所以. 设，所以， 所以，解得. 因为在椭圆上，且在第一象限，所以满足， 解得，所以. 所以，所以. 故选：A. 31．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知是椭圆的左焦点，为坐标原点，若上存在一点，使得是以为底边的等腰三角形，则的离心率的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 令是的右焦点，根据题设知，存在点使得，由，即可求解. 【详解】 令是的右焦点，由题可知，得到，所以存在点使得， 设为椭圆的上顶点，所以，得到的离心率， 所以，又，所以， 故选：A. 32．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）动圆过点，且与圆内切，设P是动圆圆心的轨迹上一点，，则的最大值是（       ） A. 5 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设动圆的半径为，，，根据椭圆的定义得到点的轨迹是以，为焦点的椭圆，即可求出的轨迹方程，再判断再椭圆内部，结合椭圆的定义得到，即可得解. 【详解】 因为，所以点在圆内， 又圆的半径为，圆心为， 设动圆的半径为，则，， ， ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且长半轴长为，半焦距为， 所以短半轴长为， 点轨迹方程为. 又，所以点在椭圆内部， 又， 所以， 当且仅当在的延长线与椭圆的交点时取等号， 所以的最大值是. 故选：A 33．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 【答案】ABD 【分析】 根据椭圆的性质，结合向量的数量积公式、直线的斜率公式以及椭圆的离心率范围逐一分析选项 【详解】 由题意知，设，则， 对于A，， 则， 当时，取最大值，所以的最大值为正确. 对于B，， 所以，当时，取最大值， 所以的最大值为，B正确； 对于C、D，设 ，因为，所以，得，又，所以，C错误，D正确. 故选：ABD 34．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 【答案】ABD 【分析】 设，，对A和B，利用数量积的坐标运算及，直接求出和，再利用的取值范围，即可求解；对C和D，根据条件得，结合的取值范围，得，即可判断出C和D的正误. 【详解】 由题知，设， 对于A，因为， 则，又， 则， 又，所以，故A正确， 对于B，因为， 则，又， 则， 又，所以，故B正确， 若，的斜率分别为，，又，且， 则，整理得到，由，得到， 所以选项C错误，选项D正确， 故选：ABD. 35．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（       ） A. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【分析】 设点的坐标，然后根据列出等式，代入圆的方程中即可得到的轨迹为椭圆. 【详解】 设，则， 所以. 因为，所以 代入，得，即， 则动点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆. 故选：C. 36．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）已知点，椭圆上两点，满足，则当点横坐标的绝对值最大，的值为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【分析】 设，由得将，代入椭圆方程，消元得到关于的二次函数，根据二次函数性质，当时，最大。 【详解】 设，由，得： 即有又，在椭圆上，那么 ， 将代入可得： ， 两式相减得：， 即，由可得， 两式相加，解得， 则， ， 即有时，有最大值4，即点横坐标的绝对值最大. 故选：D. 37．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知分别是椭圆的左､右顶点，点满足，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 构造直角三角形，利用角度关系和正切函数建立的联系，进而求得离心率. 【详解】 过作垂直于轴，垂足为. 由于，所以， ， 则. 在中，由，得， . 故选：C 38．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果. 【详解】 由题意可知的蒙日圆方程为， 因为圆与圆仅有一个公共点， 所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值， 所以或， 由此解得， 故选：B. 39．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意作图，利用椭圆的定义结合三角形的三边关系得出，再根据两点间距离公式计算即可. 【详解】    如图，为椭圆上任意一点，则， 所以， 因为为圆上任意一点，则， 所以， 当且仅当共线且在和之间时，等号成立． 由题意知，，则， 所以的最小值为． 故选：B． 40．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）（多选）椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于左、右顶点的任意一点，下列说法正确的是（     ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 存在点，使得 D. 的取值范围为 【答案】AB 【分析】 根据已知求得，，.又椭圆的定义，即可判断AB项；设出点的坐标，表示出，根据椭圆的范围即可得到范围，进而判断C项；由椭圆的定义可得，，，求出时的值域，即可判断D项. 【详解】 对于A：由椭圆方程可得， 即， 所以椭圆的离心率为，正确， 对于B：的周长为，正确； 对于C项，设，，，，. 则，， 则.因为， 所以， 所以，又， 所以， 所以的取值范围为， 即不成立，故C错误； 对于D项，由可得，， 由C知，，则， 因为，所以，所以，同理有. 所以， 当时有最大值4，当或时，值为3， 但是且， 所以的取值范围为，故D错误. 故选：AB 41．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）斜椭圆是由焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定角度得到的图象.已知曲线的图象是如图所示的斜椭圆，点是上任意一点，点，，为坐标原点，则下列说法错误的为（       ） A. 该椭圆的焦点在直线上 B. 该椭圆的离心率为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】D 【分析】 通过验证点关于直线，对称的点在曲线上，结合图象可知A正确；将，与曲线方程联立可得顶点坐标，由此可长轴长和短轴长，结合椭圆之间关系和离心率定义可求得B正确；当直线与曲线相切时，取得最大值，联立后利用可求得C正确；将转化为，根据可求得D错误. 【详解】 对于A，点关于直线，对称的点分别为，，可知点，在曲线上， 曲线的图象关于直线和对称； 由图象可知：曲线的长轴在上，则焦点在直线上，A正确； 对于B，由 得： 或 ， 椭圆长轴长，则； 由 得： 或 ， 椭圆短轴长，则； ，离心率，B正确； 对于C，当直线与曲线相切时，取得最大值； 由 得：， ，解得：（舍）或， 的最大值为，C正确； 对于D，中点为椭圆的焦点， ， ，， ，D错误. 故选：D. 42．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）（多选）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A. 的最大值为 B. 若为的中点，则的离心率的最小值为 C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】ABD 【分析】 根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据为的中点建立关于的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D. 【详解】 对于A，因为圆的圆心为，半径为， 又椭圆，所以， 所以，故A正确； 对于B，若为的中点，则， 则，故，B正确； 对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误； 对于D，因为点在上，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的蒙日圆面积最小为，D正确. 故选：ABD. 43．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（       ） A.  B. 上存在点，使得 C. 若直线与只有一个公共点，则的取值范围为 D. 上的点的纵坐标的最大值为 【答案】D 【分析】 根据图象所过的定点，即可判断A，根据方程可得，即可判断B，联立方程后，方程的根只有0，求的取值范围，即可判断C，根据方程的转化，变量的转化，利用韦达定理和判别式求得到取值范围，判断D. 【详解】 对于A，由图可知，点在上，则，所以，故A错误； 对于B，设曲线上任一点（且）， 由，可得，则， 即上不存在点，使得，故B错误； 对于C，直线与均经过原点，则直线与除原点外无其他公共点， 联立方程组 ，整理得， 当时，方程仅有一解，满足题意， 当时，整理得， 当时，方程恒成立，因为恒有一解， 所以无解，即当时，方程无解， 综上，，解得或，即的取值范围为，故C错误； 对于D，方程可化为， 令，得， 由 ，可得， 即，易知等号成立，故上的点的纵坐标的最大值为，故D正确； 故选：D. 44．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）（多选）已知椭圆的两焦点分别为，若点在的内部，点在的外部，则的离心率可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 设出椭圆方程，分别代入的坐标列不等式，由此求得离心率的取值范围. 【详解】 由椭圆焦点，，得椭圆中心为，. 设椭圆方程为，其中. 因为点在椭圆外部，所以， 因，故，即. 因为点在椭圆内部，所以，通分整理得， 因式分解得. 因，故，即. 综上，，， 离心率，则. 所以AB选项符合，CD选项不符合. 故选：AB 45．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）（多选）某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（       ） A. 椭圆的“蒙日圆”的面积为 B. 对直线上任意点，都有 C. 椭圆的标准方程为 D. 椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3 【答案】ACD 【分析】 根据条件，得出，，从而得出椭圆的方程，进而判断出选项C的正误；对于选项A，根据“蒙日圆”的定义，作出椭圆的两条特殊切线，从而找出蒙日圆上的一个点，得出蒙日圆方程的半径，即可判断出选项A的正误；对于选项B，根据直线与椭圆位置关系的判断方法，得出直线与椭圆相切，从而得出切点不合条件，即可判断出选项B的正误；对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，设，，得到，再利用重要不等式及面积公式即可得出结果. 【详解】 已知椭圆的离心率为， ，为的左、右焦点且，故， 所以，， 故椭圆方程为：，故C正确； 对于选项A，设蒙日圆的半径为，所以蒙日圆方程为， 如图1，过椭圆右顶点和上顶点分别作椭圆的切线，相交于点， 易知点，且点在蒙日圆上， 所以故蒙日圆的面积为，故A正确；   对于选项B，因为直线的方程为，椭圆方程， 由 得， 则， 所以直线与椭圆相切，切点到两焦点的距离和为，故B错误； 对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，如图2，   连接，设，则， ， 设，， 所以， 又（当且仅当时取等号）， 所以，即， 所以，故D正确； 故选：ACD 46．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）已知. （1）求AB的中垂线方程； （2）求经过A、B两点的椭圆的标准方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求得的斜率，可求得中垂线的斜率，进而求得的中点，利用点斜式可求得中垂线方程； （2）设过两点的椭圆的方程为，代入坐标求解即可. (1) 小问详解： 由，可得的斜率为， 所以中垂线的斜率等于，又的中点为， 所以中垂线的直线方程为，即； (2) 小问详解： 设过两点的椭圆的方程为， 所以 ，解得 ，所以， 所以经过A、B两点的椭圆的标准方程. 47．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______． 【答案】 【详解】设正方形边长为1，则 48．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）已知椭圆的左焦点为，点在E上． （1）求椭圆E的离心率； （2）若O为坐标原点，直线与E相交的另一个交点为B，B关于y轴对称点为C，若四边形的面积为，求． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将点坐标代入椭圆方程中即可； （2）利用椭圆的对称性得出坐标，再分别求出的面积，结合即可求出的值，最后利用即可. (1) 小问详解： 因点在E上，所以，即，所以椭圆E的离心率为． (2) 小问详解： 因，结合椭圆的对称性可得，，， 因，轴， 则，， 四边形的面积为，则， 则， 由（1）可得，，则，则， 则． 49．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为 （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 【答案】（1）;     （2）,.      【分析】 （1）由椭圆的上顶点坐标求得由离心率及椭圆中的关系可求得，从而得椭圆的方程； （2）根据椭圆的定义得及焦距长可得，由平方及余弦定理解焦点三角形，得，再结合三角形面积公式求得. (1) 小问详解： 由题意知 ，解得，. ∴椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，∴ 又∵P为椭圆上一点，∴， ∴焦点三角形的周长. 在△中，由余弦定理，得 即 ① 由平方，得 ② ② -① ，整理得， 所以三角形的面积. 50．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 依题设椭圆方程，求出相关点坐标，设，利用求得，即得，代入椭圆方程计算即得离心率. 【详解】 不妨设椭圆方程为，如图，，设， 由可得，解得，即， 因点在椭圆上，可得，解得. 故答案为：. 51．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）若曲线表示椭圆，则的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由椭圆定义列出不等式组即可求解. 【详解】 曲线表示椭圆， 所以 或， 所以的取值范围为. 故答案为： 52．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）由椭圆的离心率及过点，结合，列方程求解即可. （2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，由题意，结合韦达定理利用数量积的坐标运算求解，即可得解. (1) 小问详解： 因为椭圆C的离心率为，且过点， 所以，， 又，解得，，则椭圆C的方程. (2) 小问详解： 设直线l的方程为， 联立 ，消去y并整理得，， 由韦达定理得，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，所以， 即， 整理得， 因为，， 所以， 即，解得或， 因为， 所以当或时，满足条件， 则直线的方程为或. 53．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知椭圆C的两焦点为，P，Q为椭圆C上的动点，的周长为10，则 的最大值为　　　． 【答案】 【分析】 利用椭圆的定义得到和的关系，再结合椭圆的性质即可求出. 【详解】 椭圆C的两焦点为，P为椭圆C上的动点，的周长为10，，即， 又Q为椭圆C上的动点，到焦点距离的最大值为， 的最大值为. 故答案为：. 54．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且椭圆经过点 （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上任意一点，求证：到距离与到直线距离之比为定值； （3）设为椭圆上任意一点，当最大时，求的面积． 【答案】（1）     （2）证明：由（1）得，设，则， 令到直线距离为，则 ， 所以到距离与到直线距离之比为定值.      （3）.      【分析】 （1）根据给定条件，结合椭圆离心率的定义列式求出. （2）由（1）的结论，利用椭圆范围，结合两点间距离、点到直线距离公式计算得证. （3）利用椭圆定义、余弦定理及三角形面积公式求解. (1) 小问详解： 由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆经过点，得，于是， 所以所求椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知，， 在中，由余弦定理，得 ，当且仅当时取等号， 由余弦函数在上单调递减，得当时，取最大值， 此时， 所以当最大时，的面积为. 55．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点，经过点且斜率为1的直线与椭圆相交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求的中点和． 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）由点在椭圆上得到，再结合即可求解； （2）直线方程、椭圆方程联立，由韦达定理和弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 设椭圆方程为， 由题意，， 又椭圆上， 所以， 所以，解得：， 所以椭圆方程为， (2) 小问详解： 的方程：，联立椭圆方程 消去可得： ， 设，中点为， 则 则，， 即中点坐标为， 56．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 取AC中点O，连接BO，因为，根据勾股定理，可得，根据正弦定理角化边可得，如图建系，求得各点坐标，根据椭圆定义，可得D点轨迹为椭圆，进而可得其方程，根据两点间距离公式，可得，根据二次函数的性质，结合y的范围，即可得答案. 【详解】 取AC中点O，连接BO，因为， 所以，又，则， 所以， 因为 由正弦定理角化边得， 以O为原点，AC所在直线为x轴，BO所在直线为y轴，建系，如图所示， 则，设， 因为， 由椭圆的定义可得D点轨迹是以A、C为焦点的椭圆， 所以，解得，又， 则，所以D点轨迹方程为：， 即，且， 则， 因为，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以当时，有最大值10， 则. 故答案为： 57．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）设，两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为.设点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过原点的直线与交于，两点（与不重合），证明：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【答案】（1）     （2） 当直线的斜率不存在时，交点为的上､下顶点，不妨设， 则； 当直线的斜率存在时，设，与的方程联立､化简得， 不妨设， 则， 综上所述，直线与直线的斜率之积为定值. 【分析】 （1）依题意求出与的斜率，写出并化简曲线的轨迹方程即可； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，分别写出直线与直线的斜率，化简并计算斜率之积即得结论. (1) 小问详解： 设，则，， 由题意有， 化简得点的轨迹的方程为：； (2) 小问详解： 略 58．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，AB是椭圆C的任意两点，四边形是平行四边形，且，则椭圆C的离心率的最大值是　　　　　　. 【答案】 【分析】 四边形是平行四边形分析可得，，再根据可得，结合及运算求解. 【详解】 因为四边形是平行四边形，则且， 根据椭圆的对称性知，所以，则，若，即， 所以，即， 同除以可得：，解得， 因为，所以，即椭圆C的离心率的最大值是. 故答案为：. 59．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）椭圆上的点到直线的距离的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 方法一：切线法，将点到直线的距离的最值转化为平行线之间的距离，设与直线平行且与椭圆相切的直线为，与椭圆联立方程组，由，求得，得解；法2，利用圆锥曲线的参数方程设点，然后用点到直线的距离公式表示出所求距离，结合三角函数的值域求解 【详解】 方法一：切线法，设直线与直线的距离为， 将代入，得关于的方程， 所以，解得， 当时，，即所求最小值． 方法二：参数法 设椭圆上任意一点为，， 则点到直线的距离， 当，即时，. 故答案为：. 60．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知椭圆的离心率为，且过点（2，1），直线与交于，两点. （1）求的方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若直线的斜率不为0且经过的左焦点，点是轴上的一点，且，，求直线的斜率. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据椭圆上过的点及离心率列出方程组，求出椭圆方程； （2）设，，利用点差法可求直线直线的斜率，进而可求直线的方程； （3）设直线，利用根与系数的关系求得点的坐标，求得，利用已知得，求解即可. (1) 小问详解： 由题意知 ， 解得，，， 所以的方程为. (2) 小问详解： 设，， 又线段的中点为，所以 ，即 ， 又，是上的点，所以 ， 所以，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即. (3) 小问详解： 由题意左焦点，直线的斜率不为0，设直线， 由 得，所以， ，，. 设的中点为，则， 点在轴上，且，，则垂直平分，且， 所以的中垂线方程为，令，得，        所以， 又， 所以， 解得，所以直线的斜率是. 61．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知椭圆的长轴长为短轴长的倍，焦距为4. （1）求椭圆的方程； （2）若坐标原点为，平行四边形的四个顶点，，，均在椭圆上，且圆内切于四边形. （i）证明：四边形为菱形； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】（1）     （2）（i）证明：当直线的斜率不存在或为零时，圆内切于正方形， 四个顶点为，显然满足椭圆的方程，符合题意， 此时四边形为菱形； 当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，，， 由 得， 则， ，， 所以， 因为圆内切于平行四边形，所以到直线的距离为， 则，整理得， 所以， 则，此时平行四边形为菱形. 综上可知，四边形为菱形. （ii）      【分析】 （1）由长轴长为短轴长的倍得，由焦距为4得，进而，求得，，即可得解； （2）（i）当直线的斜率不存在或为零时，四边形为正方形，符合题意；当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，与椭圆方程联立韦达定理，根据圆内切于四边形求得，结合韦达定理，利用数量积坐标运算得，则，此时平行四边形为菱形，即可证明. （ii）当四边形为正方形时，；当四边形不为正方形，而为菱形时，先求出，再代入面积公式得，令，根据二次函数性质求得的最大值，对比即可求解菱形的面积最大值. (1) 小问详解： 由题意可知，，则， 又，则，所以，解得，， 故椭圆的方程为； (2) 小问详解： （i）略 （ii）由（i）知，当四边形为正方形时，； 当四边形不为正方形，而为菱形时， 因为， 所以的面积为， 令，则，， 所以， 当，即时，取得最大值. 因为菱形的面积等于，所以菱形的面积的最大值为， 因为，所以菱形的面积最大为. 62．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，则，从而得到 ，相减变形，结合和直线斜率得到，故，椭圆的焦点在轴上，利用求出离心率. 【详解】 直线的斜率为， 设，则， ， 两式相减得， 即， 所以， 由于，故， 所以，故，所以椭圆的焦点在轴上， 则的离心率为. 故答案为： 63．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设，可得，，利用向量的坐标运算结合条件即可求解. 【详解】 设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则， 所以 若，则，即； 则点的轨迹方程为：； 故答案为： 64．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线交于两点． （1）若是上一动点，求的周长； （2）探究是否成立，若成立，求出的方程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）6     （2）结论不成立，理由如下： 假定成立，设， 由 得， 则，解得或， 且， 设的中点为，则，， 而，由得， 则，整理得， 此方程无解，所以结论不成立. 【分析】 （1）利用椭圆的定义计算出的周长； （2）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合建立方程求解. (1) 小问详解： 由题意得，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 所以的周长为. (2) 小问详解： 略 65．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）椭圆的左、右顶点分别为，点为第一象限内的动点，直线，与分别交于另外的两点，已知的斜率之比为． （1）证明：直线过定点： （2）设和的面积分别为和，求的最大值． 【答案】（1） 由题知，设 所以， 因为的斜率之比为，即， 所以，解得， 所以，点在直线上， 设，则， 代入得， 所以，即， 所以， 同理 取点，则， 又因为， 所以，，即直线过定点.     （2）      【分析】 （1）设，进而根据题意得点在直线上，设，再结合，与椭圆联立得，，再取取点，利用向量关系证明即可得答案； （2）由，得，进而得，再设，代入，结合韦达定理，基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题知，椭圆的长半轴长为，由（1）得直线过定点， 所以，， 所以，点到直线的距离为点到直线的距离的倍， 所以，， 因为， 所以 设，代入得， 所以，， 所以 所以，当时，取得最大值. 66．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆被一条横线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为，底部的宽度为，则该镜子的高度为　　　　　　　　　　. 【答案】9 【分析】 建立平面直角坐标系，根据已知条件求得椭圆方程，进而计算出镜子的高度. 【详解】 如图，以椭圆的中心为原点，建立直角坐标系， 设椭圆的方程为，焦距为. 由 ，得 ， 所以椭圆的方程为. 当时，，得. 由图可知，镜子的高度为（）. 故答案为： 67．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. 已知椭圆:. （1）若椭圆:，试判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由. （2）写出与椭圆相似，且短半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程. 若在椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围. 【答案】（1）椭圆和相似，且相似比为；     （2），.      【分析】 （1）根据给定条件，求出椭圆与的“特征三角形”的边长，再判断并求出相似比. （2）由（1）求出椭圆的方程，设出直线的方程，并与的方程联立，利用韦达定理及判别式求解即得. (1) 小问详解： 椭圆与相似. 如图，在同一平面直角坐标系中作出椭圆，， 椭圆的“特征三角形”是腰长为4，底边长为的等腰三角形， 而椭圆的“特征三角形”是腰长为2，底边长为的等腰三角形， 因此椭圆与椭圆的“特征三角形”的三边对应成比例，即两个“特征三角形”相似，且相似比为， 所以椭圆和相似，且相似比为. (2) 小问详解： 椭圆的“特征三角形”是等腰三角形，其腰长为长半轴长，底边长为焦距， 由椭圆与椭圆相似及（1）得，即，而椭圆的短半轴长为， 则，解得，， 所以椭圆的标准方程为， 设直线的方程为，，线段的中点为， 由 消去并整理得， 则，即，，， 由的中点在直线上，得，解得， 因此，而，解得， 所以实数的取值范围是. 68．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若，求点的坐标． 【答案】（1）且，曲线是不含长轴端点的椭圆     （2）或      【分析】 （1）首先设，然后直接根据坐标表示条件，化简整理即可得到轨迹方程； （2）首先根据已知条件求解及的值，然后分别求解直线及的方程，最后根据联立方程求解点的坐标. (1) 小问详解： 设，又， 则由题意得． 化简得且， 所以曲线的方程为且，曲线是不含长轴端点的椭圆． (2) 小问详解： 由题意，得 解得 或 若 则直线的方程为① ，直线的方程为② ． 由① ② 可得 即． 若 则直线的方程为③ ，直线的方程为④ ． 由③ ④ 可得 即． 综上，点的坐标为或． 69．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 【答案】（1）     （2）证明：法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立 ，化简得， 因为，所以 ，即， 联立 ，化简得， 因为，所以 ，即， 则， 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过定点． 法二：设，又由（1）知， 所以， 则有， 又，则，代入上式可得. 又因为，所以. 设直线的方程为， 联立 ，得， 所以 ， 且， 所以 ， 由， 化简得且， 即，解得或（舍），所以直线过定点．      【分析】 （1）设，，，表示出，故最大值为，又，从而得到，求出，得到椭圆方程； （2）法一：设，直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆方程，求出的坐标，得到直线的方程为，所以直线过定点； 法二：设，求出，所以，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到，由得到方程，求出，所以直线过定点. (1) 小问详解： 设，则，，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 又为椭圆上顶点时，为等边三角形，故， 联立 ，解得， 因为，所以椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： 略 70．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，且点在圆上． （1）求的方程； （2）设为圆上三等分圆周的任意三点，设的延长线与分别交于点． （ⅰ）设，求关于的表达式; （ⅱ）求的值． 【答案】（1）     （2）(i)   (ii)      【分析】 （1）根据右顶点在圆上求出，然后求出即可得出椭圆方程； （2）（i）设直线的参数方程为：，，代入椭圆求出即的长； （ii）取特殊位置计算出，再根据对称性说明无论在什么位置都为定值. (1) 小问详解： 点满足圆的方程：，解得或(舍去)， 又，所以，因此，椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）直线的方向角为，参数方程为：，，. 代入椭圆方程得：， 整理得，， 所以该方程的正根（对应射线方向为）：， 因此，. （ii）三点为圆周的三等分点， 取标准位置：(对应角度)，（对应）(对应)， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 所以. 由于三等分点的对称性和固定位置，该值恒定为. 71．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（多选）已知椭圆的右顶点为，的两个焦点为，且. （1）求的方程. （2）设直线与相交于A，B两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线AD的斜率. （ii）试问直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）直线AD过定点，且定点的坐标为      【分析】 （1）在中利用正弦定理可得：，结合椭圆的定义和右顶点坐标即可解得a，b，c，从而写出椭圆方程·； （2）（i）联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，求出A，D两点坐标，进而求直线AD的斜率； （ii）通过对称性可知，该定点必在轴上，使，结合韦达定理，去解y的具体值即可. (1) 小问详解： 因为， 所以由正弦定理得，        则，             \ 则，又因为椭圆C的右顶点为，故，        所以，所以的方程为. (2) 小问详解： 设，将代入， 得，        则恒成立，        .        （i）若，则有，解得或. 依题意得，则， 因为点关于轴的对称点为，所以， 则.        （ii）当时，重合，与条件矛盾， 直线AD的方程为，        假设直线AD过定点，根据对称性可知，定点必在轴上， 令，得               ，        所以直线AD过定点，且定点的坐标为. 72．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知椭圆的右顶点为，离心率为. （1）求的方程. （2）设直线与相交于，两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线的斜率. （ii）试问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）；     （2）（i）；（ii）过定点，坐标为.      【分析】 （1）根据题意列出关于的方程组，计算可得； （2）（i）联立直线和椭圆方程，用坐标表示出直线的斜率，利用韦达定理代入化简即可；（ii）利用韦达定理表示出直线的斜率，进而表示出直线的方程，令，结合韦达定理化简可得定点. (1) 小问详解： 由题知， ，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）设，则， 联立 消去整理得， 则，， 所以， 若，则， 因为的横坐标大于的横坐标，所以， 所以， 所以. （ii）过定点，证明如下： 由上可知， 所以直线的方程为， 令，得 ， 所以直线过定点. 73．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）． 步骤1：用圆规作一个圆：，设圆心为，在圆内异于圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕． 已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．且折痕均与椭圆相切，设点为两条折痕的交点，且过点的两条折痕与椭圆相切与、两点，为坐标原点，、分别表示直线与直线的斜率． （1）求的值； （2）若； ①求点轨迹方程； ②的取值范围． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）根据给定条件，利用椭圆的定义求出椭圆方程，设出一条切线方程，与椭圆方程联立，利用判别式为0建立方程，进而求出直线的方程即可求得斜率积. （2）① 按过点的切线斜率存在与否分类讨论，在斜率存在时设出切线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理结合（1）的结论求出轨迹方程；② 将（1）中直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示建立函数关系，进而求出范围. (1) 小问详解： 如图，设为椭圆上一点，依题意，， 因此点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，虚半轴长， 椭圆方程为，设， 两条切线的斜率存在，设其中一条的斜率为，直线方程为， 由 消去有， 由， 整理得，由在椭圆上，得， ， 于是方程有两个相等的实根，即， 又，整理有， 同理点也满足方程， 因此直线方程为，即，而， 所以的值为. (2) 小问详解： ① 当两条切线中有一条斜率不存在时，即两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时， 当两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为，交点为， 则过的切线方程为， 由 消去有． ， 整理得，，是关于的一元二次方程的两个根， 则，由，得， 即，点也在圆上， 所以动点的轨迹方程为. ② 由（1）知，直线方程为：， 由 消去有， 于是 ，又，且， 则， 且满足，即，， 又，因此， 所以的取值范围为. 74．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅助圆”.已知椭圆的焦距为，短轴长为2. （1）求及的辅助圆的方程. （2）已知与轴平行，且不经过原点的直线与及的辅助圆分别交于两点（均在同一个象限），过作的辅助圆的切线与轴交于点，且直线的斜率为，记的面积为，证明：. （3）已知斜率不为0，且不经过原点的直线与交于两点，判断在的辅助圆上是否存在点，使得四边形是平行四边形.若存在，求面积的最大值；若不存在，说明理由. 【答案】（1），     （2） 方法一：证明：设，直线与轴交于点，则. 由 得. 易证，则，得， 所以. 方法二：证明：不妨假设均在第一象限或第二象限， 设直线的方程为或0）， 由，得，得. 直线，令，得. 故. 同理可证在第三象限或第四象限时，. 故.      （3）存在，最大值为1      【分析】 （1）根据条件可求出，按照定义可得及的辅助圆的方程； （2）方法一：设，利用，用表示出来，进而计算可得答案；方法二：直线的方程为或0），可得到点坐标，进而得到切线的方程，进而得到点坐标，进而计算可得答案. （3）设直线，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，求出的坐标，假设在的辅助圆上存在点，使得四边形是平行四边形，则，得到一个方程，说明此方程有解即可证明；同样利用韦达定理把面积表示成关于的函数，根据基本不等式求最值即可. (1) 小问详解： 设的焦距为，则 得 所以的方程为， 的辅助圆的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设点. 由 得， 由，得， 得 假设在的辅助圆上存在点，使得四边形是平行四边形，则， 得. 因为在的辅助圆上，所以，得， 满足，所以在的辅助圆上存在点，使得四边形是平行四边形. 直线在轴上的截距为， 则 ， 将， 得 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故面积的最大值为1. 75．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数. （1）求点的轨迹的方程； （2）已知定点，直线的方程为，直线上有一动点，轨迹上有一动点，求的最小值； （3）若，为轨迹上不同的两点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点S，T，使为定值？若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；     （2）；     （3）存在两定点S，T，使为定值.      【分析】 （1）根据题意得到方程，化简后得到轨迹方程； （2）设为的左焦点，由椭圆定义和三点共线转化为直线上找到一点，使得最小，求出点关于直线的对称点为的坐标，由对称可得最小值为； （3）考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，求出点的轨迹方程为椭圆，由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或，使为定值. (1) 小问详解： 由题意得， 两边平方得， 整理得，点的轨迹的方程为； (2) 小问详解： 中，，则， 为的右焦点，设为的左焦点， 连接，则，， 则， 其中当三点共线时，取得最小值， 问题转化为在直线上找到一点，使得最小， 设点关于直线的对称点为， 则 ，解得 ， 故，连接，与直线的交点即为所求点， 使得最小，最小值为， 故的最小值为. (3) 小问详解： 存在两定点S，T，使为定值,理由如下： 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立直线与椭圆方程得， ，即， 设，则， 故 ， 故当时，取得最大值，最大值为， 此时，满足， 因为，所以， 故， 故， 令 ，两式相除得，故， 将其代入得，结合得， 化简得， 因为，所以，故，即， 当直线的斜率不存在时，设，则， 则， 不妨设点在第一象限，则当时，取得最大值， 此时的中点坐标为，满足， 故当取得最大值时，点的轨迹方程为椭圆， 两焦点坐标为， 由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或， 使为定值. 76．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）平面内有椭圆与点，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，椭圆的焦距为，且，过点M的直线交椭圆于两点，直线交轴于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求直线斜率的取值范围； （3）将平面沿轴翻折成大小为的二面角，若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）用表示面积与焦距，利用方程组求解，求得椭圆方程； （2）设直线方程，联立椭圆方程，由直线方程令，表示坐标及，代入韦达定理化简整理，再由不等式求解的范围即可； （3）由题意判断点位置，设坐标，利用已知条件求解，再利用法向量求解线面角. (1) 小问详解： 由椭圆的焦距为，得，即① ； 由，，得，即② ； 联立① ② 解得 ， 故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，在平面直角坐标系中，， 由题意知直线斜率存在，可设直线方程为，设， 联立 ，消得 ，其中. 由韦达定理得，， 则直线的方程为，令，得； 同理的方程为，令，得； ， 由，即，解得， 故直线斜率的取值范围为. (3) 小问详解： 由，得，即. 如图2，在平面直角坐标系中，设，， 则，设，则， 设直线与椭圆交于点， 联立 ，解得 ，此时， 直线与椭圆另一交点恰为， 由，可知点坐标应满足， 即直线的斜率，故直线与椭圆的另一交点在轴下方， 故与轴的交点也在轴下方，且. 同理，联立直线与椭圆方程 ， 解得，又， 则， 由（2）知，所以有， 化简得③ ， 因此，如图3，在空间直角坐标系中， 则，设， 由可得，整理得④ ； 联立③ ④ 解得 ，故， 则， 由三点共线，故平面即平面， 设平面的法向量， 则 ，令，得， 则平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则 . 故直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 关键点点睛：解决此题的关键有二，一是利用韦达定理表示；二是判断点位置，确定坐标，进而求解线面角. 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据双曲线几何性质解决即可. 【详解】 由题知双曲线中， 所以，双曲线焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：C. 2．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）已知动点满足，则动点的轨迹是（       ） A. 射线 B. 直线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支 【答案】A 【分析】 利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得. 【详解】 设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线. 故选：A. 3．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，是上一点，且，则（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【分析】 根据双曲线的定义求解即可. 【详解】 由题意得 ，得. 故选：D 4．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）（多选）以为渐近线的双曲线可以是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解. 【详解】 对于选项A，由得渐近线方程为，所以选项A错误， 对于选项B，由得渐近线方程为，所以选项B正确， 对于选项C，由得渐近线方程为，所以选项C错误， 对于选项D，由得渐近线方程为，所以选项D正确， 故选：BD. 5．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）方程的化简结果为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设，将条件中的等式转化为，即动点的轨迹为双曲线，然后得到双曲线的，求出，即可写出双曲线方程. 【详解】 设，，点， 则，， ∴， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，， ∴，，，则， ∴动点的轨迹为双曲线方程为：. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第一象限内一点，若直线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由焦点到渐近线的距离为，由垂直平分线可得，进而可得离心率. 【详解】 ，渐近线方程为，即， 点到渐近线的距离为， 直线垂直平分线段，所以， 故离心率为. 故选：A 7．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知直线l与双曲线交于A，B两点，且AB的中点坐标为（1，2），则直线l的斜率为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 设，由点差法可得直线l的斜率，再检验，可得答案. 【详解】 设，由AB的中点坐标为（1，2），则 ，且 所以又A，B两点在双曲线上， 所以，， 由两式相减可得，即 所以，即,所以 此时直线l的方程为： 由 ，得，满足条件. 故选：C 8．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知双曲线的两个顶点为，双曲线上任意一点（与不重合）都满足，的斜率之积为，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先设，根据题意直接求，再由代入可得，再利用，即可得解. 【详解】 设，由， 由，所以， 可得， 所以， 即，所以，所以离心率. 故选：B 9．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】设，根据椭圆和双曲线的定义可得出和的值，进而可得出和的值，再求出的值，最后利用计算即可得解． 【详解】由椭圆和双曲线定义，不妨设，根据椭圆和双曲线的定义可得： ，， 联立上面两式 ，解之得：，， 由椭圆的方程可得，所以焦距， 所以. 故选：A． 【点睛】本题考查圆锥曲线定义的应用，解题关键是由定义得出和的值，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 10．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D.  【答案】C 【分析】 由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】 由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 11．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）（多选）方程，则下列说法正确的是（       ） A. 当时，方程表示椭圆 B. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C. 当时，方程表示圆 D. 当或时，方程表示双曲线 【答案】BCD 【分析】 根据方程中分母的正负及是否相等可判断选项即可. 【详解】 当时，由，且即时，此方程表示圆，故A不正确； 当时，，，由方程可知表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 由A可知，当时，方程表示圆，故C正确； 当时，，，故方程表示焦点在轴上的双曲线，当时，由B可知，方程表示双曲线，故D正确. 故选：BCD 12．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出，，求出双曲线的渐近线方程. 【详解】 根据题意，. 故选：A. 13．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）双曲线的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由渐近线方程的定义求解即可. 【详解】 由标准方程可得其渐近线方程为. 故选：D. 14．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（     ） A.  B.  C.  D. 10 【答案】A 【分析】 由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【详解】 由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A 15．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为（     ） A. 9 B. 18 C. 36 D. 72 【答案】C 【分析】 根据双曲线的定义，以及焦点三角形的性质，即可列式求解. 【详解】 由条件可知，，， ，则， 则, 所以面积为. 故选：C 16．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）（多选）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，点在上，则下列结论正确的为（       ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C.  D. 点到的焦点的距离为5 【答案】BD 【分析】 由双曲线离心率与渐近线方程定义计算可得A、B；由抛物线焦点与双曲线焦点定义可得C；借助抛物线定义可得D. 【详解】 对A：的离心率，故A错误； 对B：的渐近线方程为，故B正确； 对C：的焦点为，的焦点为， 由，则有，故，故C错误； 对D：由抛物线定义可得，到的焦点的距离与其到准线的距离相等， 的准线方程为，则到的焦点的距离为，故D正确. 故选：BD. 17．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，若斜率为的直线过原点且与相交于两点，，则的离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 写出直线方程和双曲线交点坐标，联立方程组解得交点坐标，然后得到向量，由得建立方程，解得，然后由离心率公式求得结果. 【详解】 直线， 联立方程组得 ，整理得 或 ， 即，， 则，， ∵，∴， 即，∴或（舍去）， ∴离心率. 故选：A. 18．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，则，勾股定理求m，应用和角余弦公式求的大小. 【详解】 由得：，，． 设，则． 所以，解得（舍去）， 所以，， ， 所以． 故选：D． 19．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由双曲线焦点为，可得，且焦点在轴上，再根据渐近线方程求解，即可. 【详解】 由双曲线的一个焦点是，可知，且焦点在轴上， 由渐近线方程为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以的方程是. 故选：C. 20．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）（多选）已知曲线C： ，则下列命题中为真命题的是（       ） A. 若，则C是圆 B. 若，且，则C是椭圆 C. 若，则C是双曲线，且渐近线方程为 D. 若，则C是椭圆，其离心率为 【答案】BC 【分析】 对于A：取特值，则，代入原方程可判断； 对于B：由已知得，由椭圆的标准方程可判断； 对于C：由双曲线的标准方程和渐近线方程可判断； 对于D：由已知得，可判断曲线C是焦点在y轴上的椭圆，再由椭圆的离心率公式可判断. 【详解】 解：对于A：若，则，原方程为，此时曲线C不存在，故A不正确； 对于B：由已知得，又，且，所以表示椭圆，故B正确； 对于C：若，则C是双曲线，但渐近线方程为，故C正确； 对于D：由已知得，又，所以，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆，所以，，其离心率为，故D不正确， 故选：BC. 21．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，双曲线的两条渐近线分别交椭圆于A、C和B、D四点，若多边形为正六边形，则椭圆与双曲线的离心率之和为（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据正六边形的几何性质及离心率的定义即可求解． 【详解】 ∵多边形为正六边形，设边长为， ∴， ， 故选：C． 22．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）过点（1，2）且与双曲线没有交点的直线l斜率的取值范围是（　　） A. （2，+∞） B. [2，+∞） C. [﹣2，2] D. [﹣2，+∞） 【答案】B 【分析】 设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），与双曲线方程联立方程组，由方程组无解（相应方程无解）得结论． 【详解】 解：由题意l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1）， 与双曲线方程联立 ， 消去y，并整理得（4﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣8＝0， 若4﹣k2＝0，即k＝±2， 当k＝2时，方程即为﹣4＝0，方程无解，直线l与双曲线无交点，符合题意； 当k＝﹣2是，方程即为16x﹣20＝0，方程有一个解，此时直线l与双曲线有一个交点，不符合题意； 若4﹣k2≠0，∵过点P（1，2）直线l与双曲线没有交点， ∴△＝[2（k2﹣2k）]2﹣4（4﹣k2）（﹣k2+4k﹣8）＝64（﹣k+2）＜0， 解得k＞2． 综上所述，直线l斜率的取值范围是[2，+∞）． 故选：B． 23．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（       ） A. 28 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】B 【分析】 根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】 由双曲线方程可知： 可知双曲线方程的左、右焦点分别为， 圆的圆心为（即），半径为； 圆的圆心为（即），半径为． 连接，则 可得 ， 当且仅当为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30． 故选：B． 24．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】A 【分析】 结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解. 【详解】 由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 故选：A. 25．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为.若，则（     ） A.  B.  C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 根据题意，则，再解方程即可． 【详解】 易知， 则，即， 由，可知，于是． 故选：C． 26．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】 根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率. 【详解】 由题可知，解得. 所以双曲线. 若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在. 设，则 ，整理得. 因为线段的中点为，所以. 所以. 直线的斜率为2. 故选：D. 27．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）将双曲线绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数的图象（其渐近线分别为轴和轴），所以我们也称反比例函数的图象为双曲线.同样“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（       ） A.  B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 求出旋转后实轴所在直线方程，求出双曲线的两个顶点坐标，再由两点间的距离公式可得解. 【详解】 旋转后两条渐近线分别为和，夹角为， 旋转前后两条渐近线的夹角不变，实轴所在直线是两条渐近线所夹角的平分线， 所以旋转后，双曲线的实轴所在直线的倾斜角为，斜率为，方程为， 联立 ，解得 或 ， 所以旋转后的双曲线的两个顶点为或， 所以实轴长为. 故选：D. 28．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设圆与线段，，分别相切于点,由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】 由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，， 所以， 所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为. 故选：C 29．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）（多选）下列命题错误的是（       ） A. 两圆与的公共弦的直线方程为 B. 若双曲线焦距为6，则 C. 若动点满足，则点的轨迹是双曲线的一支 D. 若动点到直线的距离等于到定点的距离，则点的轨迹是抛物线 【答案】ABD 【分析】 判断两圆的位置关系为相离，即可判断A；由双曲线的焦距求出，再根据的关系，分焦点在轴两种情况分别求出，即可判断B；根据两点间距离公式分析等式的几何意义，再根据双曲线的定义得到点的轨迹，即可判断C；先判断点与直线的位置关系，再根据抛物线的定义即可判断D. 【详解】 将圆化为标准方程为， 所以圆心； 将化为标准方程为 所以圆心. 因为， 所以两圆相离，无公共弦，故命题A错误； 因为双曲线焦距为6，所以. 当焦点在轴时，，解得， 当焦点在轴时，，解得， 故命题B错误； 式子表示点到定点的距离，即， 式子表示点到定点的距离，即， 等式 表示点到两定点的距离之差为4，即 因为，所以由双曲线的定义可知， 点的轨迹是双曲线的一支（靠近的那一支），故命题C正确； 根据抛物线的定义，只有当定点不在定直线上时， 到定点与到定直线距离相等的点的轨迹才是抛物线. 将点代入直线方程，可得， 说明定点在直线上. 由动点到直线的距离等于到定点的距离， 可知此时点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线， 因此，点的轨迹不是抛物线，故命题D错误. 故选：ABD 30．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）（多选）如图，在等腰梯形中.为线段上的一点.以，为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率可能为（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】BCD 【分析】 如图，建系，设，通过题中条件写出的坐标，得到的坐标，求出.设，则有，代入坐标得到用表示的的坐标，将的坐标代入，得到，利用在上单调递减，得到离心率的范围. 【详解】 如图，以的中点为原点，建立直角坐标系，如图所示，设，得，易得， 则. 设，则，得， 则，将， 代入的方程，得，得， 则. 因为函数在上单调递减， 所以，故. 故选：BCD. 31．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，为双曲线的左焦点，延长至点，使，连接交轴于点，若，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 利用直线平行于轴，可得三角形相似，得出，再利用已知条件中的线段的关系进行转化列出等式，化简即可求解. 【详解】 根据题意设，， ，其中， 则，，， 直线平行于轴，，， ，， ， 即 ， 点在双曲线上，， ，. 故选：C. 【点睛】 关键点点晴：本题的关键在于利用直线平行于轴，得到，从而得到，设，，，求出，，，化简并结合双曲线定义，即可求解. 32．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用圆的弦长公式，由求解. 【详解】 ∵点F到渐近线的距离为b， ∴，即， 所以． 故答案为： 33．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据直线与双曲线只有一个公共点，所以联立方程组，若相切则即可，若不相切则直线与渐近线平行即可； （2）根据双曲线的定义和余弦定理即可求得三角形的面积. (1) 小问详解： 当时，，则直线l的方程为， 当时，联立方程组 ，得， 由直线和双曲线相切的条件，可得，解得； 双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； (2) 小问详解： 由双曲线，则， 又点P在双曲线上，即，即， 在中，由余弦定理， 即，解得， 所以的面积. 34．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知双曲线的左，右焦点为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若为等边三角形，则的边长为　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据题意，结合双曲线的定义求解即可. 【详解】 解：如图，设的边长为，， 因为为等边三角形，所以， 由双曲线的方程知， 所以由双曲线的定义得， 即，解得，. 所以的边长为. 故答案：. 35．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）求符合下列要求的曲线的标准方程： （1）已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为； （2）已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据已知条件求得的值，由此求得椭圆方程. （2）由题意，先求出，然后，设双曲线的标准方程，利用和过点，列方程求解即可 (1) 小问详解： 由已知条件可设所求的椭圆标准方程为（其中） 则，∴， 且离心率为，∴ ∴ 故所求的椭圆的标准方程为 (2) 小问详解： 由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且. 设双曲线的标准方程为， 则有，， 解得，. 故所求双曲线的标准方程为. 36．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）（1）求经过和两点的椭圆标准方程； （2）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线标准方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据椭圆的焦点分别在轴或轴上设椭圆方程，代入两点列方程组求解即得所求椭圆方程； （2）设所求双曲线为（，），根据条件得出关于的方程组，求解即得所求双曲线方程. 【详解】 （1）当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为（）， 将两点坐标代入方程可得： ，解得 ，因，不合题意，舍去； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为（）， 将两点坐标代入方程可得 ，解得 ，符合题意， 此时椭圆的标准方程为. 综上，椭圆的标准方程为. （2）依题意，设所求双曲线为（，）. 因两曲线有相同的焦点，所以①. 又点在双曲线上，所以②. 由① ② 联立，解得. 故所求的双曲线方程为. 37．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率是　　　　　　　　 . 【答案】 【分析】 根据所给条件可得是的中点，利用中位线的性质可求出，再由双曲线定义求出，由直角三角中勾股定理建立方程可得离线率. 【详解】 设右焦点为， ， 是的中点，是的中点， 且, 由双曲线定义可知， ，， ， 即 ， 故答案为：. 38．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为，求弦长； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】（1）     （2）     （3）证明：依题意，设直线的方程为，，， 联立 ，即， 则， 且，，即， 而，， 所以 为定值.      【分析】 （1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可； （2）先求出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可； （3）设出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. (1) 小问详解： 由题意，双曲线的焦距为， 则，即， 由，得， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 依题意，直线的方程为， 联立 ，即， 设，， 则，， 所以弦长. (3) 小问详解： 略 39．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）设，是双曲线C：的左、右焦点，若点P在双曲线C上，且，则　　　　　　　　　　. 【答案】9 【分析】 根据双曲线定义先求出的值，再根据三角形两边之和大于第三边验证，即可得解. 【详解】 由双曲线方程可知，则，所以. 因为点P在双曲线C上，所以， 又，所以，解得或. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 所以. 故答案为：9 40．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）设，则动点P的轨迹方程为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据双曲线的定义可得答案. 【详解】 因为，所以动点P的轨迹是焦点为A，B，实轴长为4的双曲线的上支．因为，所以，所以动点P的轨迹方程为． 故答案为：. 41．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知点在离心率为的双曲线上． （1）求的方程； （2）过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 【答案】（1）；     （2）证明：显然直线的斜率存在，设其方程为，，则， 由 消去并整理得， ，解得且， ， 当直线与轴不重合时，，直线：， 令，得 ，此时直线过定点， 当直线与轴重合时，直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点，该定点坐标为. 【分析】 （1）根据给定条件，利用离心率及双曲线所过点求出即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理，求出直线与轴交点横坐标即可推理得证. (1) 小问详解： 由双曲线的离心率为，得，解得， 又点在双曲线上，则，解得， 所以的方程为. (2) 小问详解： 略 42．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. （1）求的方程； （2）若，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，由点在上和即可求解； （2）由点在上和数量积运算即可求出点P，再由即可计算求解. (1) 小问详解： 设， 由题意可知，当时，， 由点在上可得，即， 又，所以， 所以的方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知， 则， 由题得 ， 解得， 所以的面积. 43．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）若两焦点为，的双曲线上一点满足，则称为该双曲线的“阶和谐点”.若双曲线存在“阶和谐点”，则的最小值为　　　　　. 【答案】3 【分析】 由双曲线定义可得，再设，计算可得、，再结合的范围计算即可得. 【详解】 对于双曲线，有，，， 所以，设，则， 所以， ， 故，因为，所以， 所以，即的最小值为.    故答案为：. 44．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是　　　　　　　　　　　，的离心率的取值范围是　　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 由双曲线方程写出，即可表示出离心率，由双曲线与椭圆有公共点得不等式，然后解得双曲线中的范围，即得实轴长的取值范围，由不等式可以解得的取值范围，可得的离心率的取值范围. 【详解】 由，得，则，所以. 因为的上顶点的坐标为的上顶点的坐标为，则， 即，，所以的实轴长的取值范围为. 且，所以. 故答案为：；. 45．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为　　　　　　　　　　　　　；的取值范围为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 根据双曲线的性质和三角形内心性质得到垂足的位置，再由得到双曲线中的关系，即可得到渐近线的夹角；根据对所求式进行化简，再根据基本不等式求得范围即可. 【详解】 如图所示，设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为. 设的内心为，过点向三边作垂线，垂足分别为.    根据三角形内心的性质可知，， 又因为双曲线E以B，C为焦点，且经过点A， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以点在双曲线的左支上，所以. 而， 所以， 所以为双曲线的左顶点. 所以， 所以，即， 所以，渐近线的倾斜角为， 所以两条渐近线的夹角为. 又因为， 所以， 而， 所以. 故答案为：； 【点睛】 关键点点睛：本题考查双曲线的性质和三角形的最值.本题的关键点在于根据作出三角形的内心，从而根据内心性质和双曲线的定义进行求解. 46．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）已知双曲线的中心在原点，右焦点为，且经过点，则的标准方程为　　　　　　　　　；直线与轴交于点，点是右支上一动点，直线与以为直径的圆相交于另一点，若在该圆内部，则的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 设双曲线的方程为，由 求解；得到直线AF的方程为，令得到，易得点F为线段AB的中点，以AB为直径的圆是以点F为圆心，以为半径，且，再由求解. 【详解】 由题意可设双曲线的方程为， 则 ，解得 ， 所以双曲线的方程为：； ，则直线AF的方程为， 令，得，则， 又， 所以点F为线段AB的中点， 所以以AB为直径的圆是以点F为圆心，以为半径， 如图所示： 且， 由双曲线的几何性质得， 则，， 所以， ， ， ， 故答案为： ，48 47．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是C的左、右顶点，M，N是C的右支上异于点B的两点. （1）求C的方程； （2）设直线AM，BN的斜率分别为，，若，求证：直线MN恒过定点. 【答案】（1）     （2） （方法一）由题意得，MN的斜率不为0，    设MN的方程为，，. 由 ，消去，可得， 由可得， 由可得. 由韦达定理，，. 因为，，，所以. 又，即，则有， 因为，，， 故有， 整理得， 所以， 化简得，解得或2. 当时，MN的方程为，此时MN过点，不合题意， 当时，MN的方程为，此时MN过点，符合题意， 所以MN恒过定点. （方法二）① 若MN的斜率不存在，设MN为（），，. 因为，，，所以， 由对称性知，，则，解得， 所以MN的方程为，此时MN过点. ② 若MN的斜率存在，设MN的方程为，，. 由 ，得， 所以，且，. 因为，，，所以. 又，即，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或. 当时，MN为，此时MN过点，不合题意， 当时，MN为，此时MN过点，符合题意. 综上，MN恒过定点 （方法三）因为，，AM，BN的斜率分别为，， 所以AM，BN的方程分别为，. 由 ，得， 所以，又，所以， 所以，即. 由 ，得， 所以，又，所以， 又，即，所以， 所以，即. ① 若MN的斜率不存在，则，即，解得， 则，所以MN为，此时MN过点. ② 若MN的斜率存在，则， 所以MN的方程为，即， 化简得，即，此时MN过点. 综上，MN恒过定点.      【分析】 （1）根据双曲线的渐近线方程和经过的点列出关于的方程组，即得； （2）方法一：设MN的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理法，求得，结合条件可得，进而得，解方程验证后即得定点；方法二：根据MN的斜率不存在时，分析求得直线经过的定点，在MN的斜率存在时，设MN的方程为，利用韦达定理法，即得；方法三：设AM，BN的方程分别为，，分别与双曲线方程联立求得点的坐标，在MN的斜率不存在时，由推得经过的定点；在MN的斜率存在时，计算得，化简的方程即可证明其过定点. (1) 小问详解： 由题意得 ，解得 ， 所以C的方程为. (2) 小问详解： 略 48．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. （1）求的方程； （2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）     （2）①或；② 是，      【分析】 （1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）① 设，直线：，联立直线与双曲线方程，消得到，进而可得，再结合条件，即可求解；② 设直线：，联立双曲线方程，求得，， 结合① 中结果，可求直线的方程，进而判断直线恒过定点，即可求解. (1) 小问详解： 由题意知 解得，，        所以的方程为. (2) 小问详解： 由题意可知，，，设，因为直线交于另外一点（不同于点）， 所以，又双曲线的渐近线为，故，解得， 所以直线，即， 由 ，消得， 所以，解得， 所以. ① 因为，， 又，所以， 解得或，即点的坐标为或. ② 直线，即， 由 ，消得，， 即，所以，解得， 所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 令，得，解得， 所以直线恒过定点， 又，即，又点是的中点，所以， 所以是定值，且定值为. 【点睛】 关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的② 小问，设，直线的方程分别为，，通过联直线与双曲线方程，求得两点坐标，进而求出直线的方程，再判断出直线过定点，即可求解. 49．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，（，）是双曲线C上的一点，直线与y轴交于点N，若，且，则双曲线的离心率为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设点在双曲线的第一象限，设，，根据，由勾股定理，求得，在中，由余弦定理，列出方程，求得，进而得到双曲线的离心率. 【详解】 设点在双曲线的第一象限，由轴为线段的中垂线，可得， 因为，所以， 由双曲线定义，可得， 设，，代入可得， 因为，可得，所以是直角三角形，且， 由勾股定理得，即， 即，解得或（舍去）， 所以， 在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 50．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点． （1）若点在上，求的渐近线方程． （2）当四点共线时，，点． （i）求的方程； （ii）若三点共线，两点均不在轴上，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：动点在一条定直线上． 【答案】（1）     （2）（i）;（ii）动点在定直线上.      【分析】 （1）直接将点代入双曲线方程求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，求出的横坐标，再运用弦长公式即可求解； （ii）设出直线,与双曲线方程联立，设出两点，表示出直线与及其交点,再运用韦达定理化简求解. (1) 小问详解： 因为点在上，所以． 又 ,所以, 故的渐近线方程为. (2) 小问详解： （i）直线的方程为． 由 ,得． 因为,所以, 所以, 解得, 故的方程为. （ii）证明：因为两点均不在轴上，所以直线的斜率不为0，则可设直线的方程为. 由 得, 则. 设,则. 直线,直线, 由 ,得 , 解得, 故动点在定直线上． 51．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知双曲线. （1）求的取值范围. （2）已知的渐近线方程为. ①求的值； ②若过点的直线与交于两点.且为的中点，求的斜率. 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）根据双曲线标准方程，可得，解不等式即可； （2）① 由（1）整理成标准形式，由渐近线方程求m即可； ② 由点差法可得的斜率，或者联立直线与双曲线，由韦达定理以及中点求得.的斜率. (1) 小问详解： 由题意得， 得，所以的取值范围为. (2) 小问详解： ① 由，得，则， 所以的渐近线方程为，得. ② 由① 得.设，则. 由 得，得， 得，所以的斜率为. 因为在上支的上侧，的斜率，所以与必定相交于两点. 第（2）② 问还可以这样解答： 由① 得.易知的斜率必定存在，设，）. 由 得， 得，解得. 此时，所以的斜率为. 52．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的方程为， 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．     （2）① 设点，其中且， 由（1）可知的方程为， 因为，所以， 因此，三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程，得， 则， 由（1）可知， 所以 ， 所以为定值1； （法二）设，则有，解得， 同理由，解得， 所以， 所以为定值1； 由椭圆定义，得， ， 解得，同理可得， 所以 ． 因为，所以的周长为定值． ；② 存在；      【分析】 （1）设，由题意可得，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解； （2）设点，其中且. （ⅰ）由可知三点共且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，进而表示出，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由得，，进而表示出，化简计算即可；（ii）由（ⅰ）可知三点共线，且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，计算化简可得，结合由内切圆性质计算即可求解. (1) 小问详解： 设点，由题意可知， 即， 经化简，得的方程为， (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线， 根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程， 得， ，（*） 因为， 所以 ， 将（*）代入上式，化简得， （法二）设，依条件有，解得， 同理由，解得， 所以． 由双曲线的定义，得， 根据，解得， 同理根据，解得， 所以 ， 由内切圆性质可知，， 当时，（常数）． 因此，存在常数使得恒成立，且． 【点睛】 方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（       ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. 抛物线关于轴对称 C. 抛物线的准线方程为 D. 抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【分析】 依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】 因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 2．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（       ） A. 2 B. 1 C.  D.  【答案】B 【分析】 首先求出焦点坐标，即可得解. 【详解】 抛物线的焦点为，则焦点到坐标原点的距离为. 故选：B 3．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）抛物线的准线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将抛物线方程转化为标准形式，再求解即可. 【详解】 将抛物线方程转化为标准形式, 因此其准线方程为. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】B 【分析】 由抛物线定义可知，，，由题意可得，再把点代入求参即可得出抛物线方程. 【详解】 由抛物线定义可知，，， 因为，所以，解得，即， 因为在上，所以，解得. 故选：B 5．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】 抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 6．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】C 【分析】 根据抛物线的定义列方程，求得，结合点坐标求得. 【详解】 依题意，焦点， 由，根据抛物线的定义，得，所以， 则，代入，得，又，解得. 故选：C 7．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求得抛物线的焦点坐标，再根据点关于直线对称的知识求得的焦点坐标. 【详解】 由题意得的焦点为， 设关于直线的对称点为， 则 得 故的焦点坐标为. 故选：D 8．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 设，利用抛物线的定义将转化为，再由三角形的重心性质和点的坐标特征即可求得值. 【详解】 如图，作抛物线的准线，分别过点作，垂足为，， 设， 则（*）， 因点为的重心，则，即， 代入（*），可得， 因点在抛物线上，故，故， 依题，，解得. 故选：D. 9．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（       ） A. 3 B. 2 C.  D. 5 【答案】B 【分析】 求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义及点到直线的距离公式求解即得. 【详解】 抛物线的焦点，准线， 过点作于，垂直于直线于点，显然， 点到直线的距离， 则， 当且仅当点是点到直线的垂线段与抛物线的交点时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B 10．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案. 【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由 得x＝或x＝3. 由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4 又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形 点M到直线NF的距离为 故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）（多选）抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是（       ） A. 抛物线的方程为 B. 存在直线，使得A、B两点关于对称 C. 的最小值为6 D. 当直线过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切 【答案】ACD 【分析】 根据得到故,A正确，中点在抛物线上，B 错误,，C正确，计算D正确，得到答案. 【详解】 ,故，,故,A正确； 设,设中点，则 ，相减得到,即,因为A、B两点关于对称，所以,故,故,点在抛物线上，不成立，故不存在，B错误； 过作垂直于准线于,则，当共线时等号成立，故C正确； 如图所示：为中点，故,故为直径的圆与轴相切，故D正确； 故选：ACD. 12．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）已知抛物线与直线相切，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 抛物线方程与直线方程联立，令，即可得解. 【详解】 联立 可得，由相切可得，由可知，即. 故选：D. 13．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）已知双曲线，抛物线.若与在第一象限内有唯一交点，则点的轨迹是（     ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 【答案】A 【分析】 联立双曲线与抛物线方程得0，利用求出点的横坐标即可得答案. 【详解】 因为与在第一象限内存在交点，所以， 又，所以.联立 得0， 由对称性可知与在第四象限的交点的横坐标与点的横坐标相等， 故仅有一解，所以，得， 所以.将代入得， 所以点的横坐标为，纵坐标为， 则，轨迹是圆的一部分. 故选：A. 14．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（多选）已知抛物线上一点到的焦点的距离为5，则（     ） A.  B. 的坐标为 C.  D. 在上存在点，使得为正三角形 【答案】BC 【分析】 由抛物线的定义，结合题意先求得，判断选项A；由抛物线的方程求得焦点的坐标，判断选项B；将代入抛物线方程，求得，判断选项C；假设在上存在点，使得为正三角形，求出点的坐标，求得的长度，判断选项D. 【详解】 抛物线的焦点为，准线为. 对于AB，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以，解得. 所以，所以选项A错误，选项B正确； 对于C，因为，所以抛物线. 因为点在抛物线上，所以，所以，所以选项C正确； 对于D，由C知，假设在上存在点，使得为正三角形，则. 设，则，所以，所以. 因为点异于点，所以点. 此时，，不等于，所以不是正三角形. 所以假设错误，在上不存在点，使得为正三角形，所以选项D错误. 故选：BC. 15．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】 把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 16．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）（多选）记抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于A，B两点，且在第一象限.以为直径的圆与轴交于，两点，则（     ） A. 直线的方程为 B.  C.  D. 四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】 对于A：点斜式写出直线方程即可知A正确； 对于B：直线方程与抛物线方程联立求得交点坐标即可求； 对于C：由B知，从而求出即可判断； 对于D：由B可求AB的中点，写出圆的方程，令，得到， 以为底，分割法求出四边形的面积即可. 【详解】 显然，故直线AB的方程为，整理得，故A正确； 联立 解得 或 由在第一象限知， 由抛物线定义知，故B错误； 显然，故C正确； 易得AB的中点，故以AB为直径的圆的方程为， 代入知，可得，于是. 故四边形的面积，故D正确. 故选：ACD. 17．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）（多选）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，从点发出平行于轴的光线经过抛物线上的点反射后再经过抛物线上另一点，则（       ） A. 存在点使得点.都在以为圆心的圆上 B. 存在点使得点是的垂心 C. 存在点使得点是的重心 D. 点到直线的最短距离为4 【答案】BCD 【分析】 根据圆的性质，以及抛物线的对称性，即可判断A，根据光学性质，利用点的坐标表示点的坐标，再根据垂心，重心，即可判断BC，利用坐标表示点到直线的距离，即可判断D. 【详解】 A.由题意可知，三点共线，根据对称性可知，若存在点使得点.都在以为圆心的圆上，则为通径，则,，则以点为圆心的圆的半径为2，但，所以不存在点使得点.都在以为圆心的圆上，故A错误； B.由，则，，则直线，与抛物线方程联立，得， 则，所以，则，即，若存在点使得点是的垂心，则，， ，，则，① ，，则，② ，且，③ ，联立① ③ ，得， 联立① ② ，得，则，得成立，故B正确； C.若存在点使得点是的重心，则，， 得，，即，故C正确； D.点到直线的最短距离为，当时，即时等号成立，点到直线的最短距离为4，故D正确. 故选：BCD 【点睛】 关键点点睛：本题的关键是结合光学性质，利用点的坐标表示点的坐标. 18．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）抛物线上的点到其焦点的距离为　　　　　　. 【答案】5 【分析】先计算抛物线的准线，再计算点到准线的距离. 【详解】抛物线，准线为： 点到其焦点的距离为点到准线的距离为5 故答案为5 【点睛】本题考查了抛物线的性质，意在考查学生对于抛物线的理解. 19．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）抛物线的焦点坐标为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 化成标准方程即可求解. 【详解】 由可得， 所以焦点坐标为． 故答案为：. 20．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离，满足抛物线的定义，根据定义即可求解； （2）利用点差法求出直线的斜率即可. (1) 小问详解： 由题意知根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. (2) 小问详解： 设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即经检验满足题意. 21．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点，若， （1）求点的横坐标 （2）求的面积 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，结合抛物线的定义，列出方程，即可求解； （2）根据题意，将代入抛物线方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. (1) 小问详解： 解：由抛物线方程为，可得且焦点， 设点，因为，由抛物线的定义，可得， 解得，即点的横坐标为. (2) 小问详解： 解：由（1）知，代入抛物线，可得，解得， 又因为垂直于轴于点，且， 所以的面积为. 22．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 考虑和两种情况，时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，得到答案. 【详解】 动点M到定点的距离比M到轴的距离大3， 当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线， 设抛物线方程为，则，即，所以； 当时，满足条件. 综上所述：动点M的轨迹方程为：时，；时，. 故答案为：或 23．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5. （1）求抛物线的标准方程及焦点的坐标； （2）过焦点作斜率为2的直线，交抛物线于两点，若点在抛物线上，求的面积. 【答案】（1）抛物线，焦点坐标；     （2）      【分析】 (1)利用抛物线的几何性质即可得到方程和焦点坐标； (2)利用弦长公式和点到直线的距离公式，就可以求面积. (1) 小问详解： 由抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5， 则抛物线，焦点坐标； (2) 小问详解： 过焦点作斜率为2的直线方程为：， 与抛物线联立方程组，消得：， 设，则， 则， 又点到直线的距离为：， 所以的面积为. 24．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先算出点的坐标，进而求出椭圆的方程即可求得面积. 【详解】 由对称性，不妨设点在轴的上方，由题意得， ，所以，即， 代入椭圆方程解得，所以，即， 所以,. 故答案为： 25．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，方程 的曲线记为，是曲线上一动点. （1）若在抛物线上且满足，求直线的斜率； （2）是轴上一定点. 若动点在上满足的范围内运动时，恒成立，求的取值范围；        （3）是曲线上另一动点，且满足，若的面积为4 ，求线段的长. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）根据抛物线的定义求出点的坐标，然后就可以求斜率； （2）根据两点间的距离公式表达出，再根据满足最值的条件就可以求出的范围； （3）讨论所在的位置，再结合面积建立等式就可以求出. 【详解】 （1），，∴ ∴ ， 所以 . （2）由 得 ，∴ 设，则 ， 由题意最大，所以对称轴， ∴. （3）是的圆心 .设 （i）若都位于上，则，(舍)      （ii）若都位于上，则 ① ② 将① 式代入② 式，得：       或 代入① 得：或   （舍）      （iii）若分别位于与上， 则，得 ∴，∴           综上：. 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键一是抛物线定义的使用，二是恒成立时，取最值的条件，三是要分类讨论，并要做正确的取舍. 26．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. （1）求m的值以及抛物线C的方程； （2）过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 【答案】（1），     （2）8      【分析】 （1）利用抛物线的定义结合条件求得，得其解析式，代入点，计算即得m的值； （2）依题意设直线：，直线：，将其分别与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求得和，结合，表示出四边形ABCD面积的表示式，借助于基本不等式即可求出其最小值. (1) 小问详解： 因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； (2) 小问详解： 由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图：        因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得 ， 则有，∴， 又∵， 同理，联立直线与抛物线C的方程，得 ， 则有，∴， 又∵，∴， 又∵， ∴ ， 当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 27．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（在第二象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，，则　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 利用抛物线的定义可判定，则从而得出直线的斜率，设其方程与M、N坐标，联立抛物线方程结合韦达定理计算即可. 【详解】 如图，的焦点为， 由拋物线的定义，知， 又，所以是等边三角形，所以，， 直线的方程为，设，， 联立方程 得， 所以，． 由， 得，解得． 故答案为：3 28．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知点为抛物线的焦点，直线与抛物线相切． （1）求抛物线的标准方程； （2）直线，与抛物线相交于两点，若之间的距离，求． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据直线与抛物线相切，则联立后，由可求得结果； （2）设，与抛物线方程联立后可得韦达定理的结论，结合弦长公式和平行直线间距离公式可构造方程求得的值；根据抛物线定义可求得结果. (1) 小问详解： 由 得：， 直线与抛物线相切，，解得：（舍）或， 抛物线的标准方程为：. (2) 小问详解： ，可设，，， 由 得：， ，解得：，，， ，又， 由得：，， 解得：或，又，， 由抛物线定义知：. 29．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知抛物线的焦点为F，，O为坐标原点，抛物线C上存在点P，使得. （1）求抛物线C的方程； （2）已知过点F的直线交抛物线C于A，B两点，△AOB的面积为，求以线段AB为直径的圆的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设点，根据，联立方程组，求得的值，代入抛物线的方程，求得，即可求解； （2）设直线，联立方程组，得到，利用的面积为，列出方程求得，进而确定圆的圆心和半径，即可求解. (1) 小问详解： 解：设点，且， 由，可得 ，解得， 代入抛物线，可得，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： 解：由抛物线，可得其焦点，设直线， 联立方程组 ，整理得，可得， 则的面积为， 即，解得， 设的中点为，可得，则， 所以 中点坐标，半径， 所以所求圆方程为. 30．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小3，记点的轨迹为曲线． （1）求的标准方程； （2）若为上的一个动点，，点到轴的距离为，求的最小值； （3）若过点的直线与交于，两点，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 (1)根据题意，由抛物线的定义可得； (2)由抛物线的性质，当三点共线时，即最小； (3)联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理与弦长公式即可得. (1) 小问详解： 由题意得点到的距离等于点到直线的距离， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线． 故的标准方程为． (2) 小问详解： 设点到的准线的距离为，得． ． 当，，三点共线时，取得最小值，且最小值为． (3) 小问详解： 易得的斜率不为0，设，，． 由 得， 由，得． 由韦达定理得， 则， 所以的取值范围为． 31．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知抛物线的焦点为，斜率为4的直线与抛物线交于点，与轴交于点． （1）若，求直线的方程； （2）若，求． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得关于的一元二次方程，根据韦达定理，.由抛物线的定义，将，转化为，从而得到. （2）由，得，结合（1）求得点的坐标，根据两点间距离公式求得. (1) 小问详解： 设直线的方程为． 由 消去，整理得． 因为直线与抛物线有两个交点，所以，解得． ． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． (2) 小问详解： 设直线的方程为，则. 因为，所以，所以． 因为由（1）知，所以． 由 ，解得 ，所以，即． 所以． 32．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是　　　　　　　　，的最小值是　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 利用焦半径公式表示，进而利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可. 【详解】 第一空，如图，设，，，，    故，，， 而，故， 可得，，即有 ， 由，所以， 所以，所以. 第二空，，故， 而，故，即， 又， 故， 即，，故得的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】 关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是合理运用焦半径公式结合基本不等式，然后找到取等条件，得到所要求的最值即可． 33．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）已知抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，，AB的中垂线经过点. （1）若过点且垂直于轴的直线与交于M，N两点，求； （2）求的方程； （3）记，AB的中点为，外接圆上有一点，求的取值范围. 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）求出过且垂直于轴的直线，此直线与抛物线联立方程组求出的值，即可得到的值，根据题中条件求出，从而得到的值； （2）设，，易知，的斜率存在且不为0.设的方程为，则的中垂线斜率为.联立 ，消去，得到关于的一元二次方程，由判别式大于0，得到的范围，根据根与系数的关系得到和，求出，从而得到的中点坐标，利用点斜式得到的中垂线方程，将代入直线计算得到的值，利用弦长公式求出，利用已知条件得到，从而得到的方程. （3）写出，，的坐标，，得到的外接圆圆心为的中点，从而得到圆心坐标，利用两点间的距离公式求出半径和圆心到的距离，从而得到的取值范围. (1) 小问详解： 联立 ，得，，故， 而，故. (2) 小问详解：    设，，易知，的斜率存在且不为0. 设的方程为，则的中垂线斜率为. 联立 ，可得， 故，即， 且，，则， 故的中点为， 的中垂线方程为， 代入可得，即， 故， 可得，故的方程为. (3) 小问详解： 依题意，，又，则， 故的外接圆圆心为的中点，即， 其半径， 而圆心到的距离. 故的取值范围为. 34．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，射线分别与抛物线交于异于的点，且，直线垂直于，垂足为，则的取值范围为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设抛物线上异于的点，其中，根据条件可得，结合两直线垂直计算得到点的横坐标，分类讨论，进而计算得到的取值范围. 【详解】 设抛物线上异于的点，其中， 由，得， 直线的斜率，其方程， 化简得， 焦点，直线垂直于，故直线的斜率为， 方程为， 联立 ，解得， 则 当，，故，从而 因此，当时，.当时，.. 当，此时垂直与轴，点在轴上且是的中点，由， 得，解得故，所以的横坐标为， 综上，的取值范围为， 故答案为： 35．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知是抛物线的焦点，为上一个动点，且的最小值为2. （1）求； （2）若为坐标原点，.求； （3）已知直线的倾斜角与直线的倾斜角之差为均经过与交于两点，与交于两点，且，求的方程. 【答案】（1）     （2）     （3）       【分析】 （1）由抛物线的图象性质易求得的值； （2）过点作，垂足为，设可推得，利用抛物线的定义易求出即可； （3）设的倾斜角为，斜率，则的倾斜角为，利用和角的正切公式推得其斜率，联立与抛物线方程，分别求出弦长与，利用题设条件求得或，检验后即可求得的方程. (1) 小问详解： 由抛物线的性质可知，当点与点重合时，取得最小值，即，解得； (2) 小问详解： 由（1）得抛物线的准线方程为. 过点作，垂足为.设，因，则,得， 则点的纵坐标为，由抛物线定义得，解得，所以. (3) 小问详解： 设的倾斜角为，易得，斜率，则的倾斜角为， 其斜率. 设点易得. 由 消元得，则有 于是，. 以代，得. 由，可得，解得或. 当时，，又，所以不符合题意， 故的方程为，即. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）（多选）已知椭圆，则下列说法正确的是（     ） A. 是椭圆的一个顶点 B. 是椭圆的一个焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆的短轴长为 3．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知椭圆的离心率为，则（       ） A. 3 B.  C. 2 D.  4．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）椭圆的焦距为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 6．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）国家体育场（鸟巢），位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场，也是2022年北京冬季奥运会开幕式、闭幕式举办地.某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的短轴长为，则大椭圆的长轴长为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）（多选）若方程所表示的曲线为，则（     ） A. 曲线可能是圆 B. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 C. 若，则为椭圆 D. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 8．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）已知为实数，椭圆的离心率为，则（       ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（       ） A. 9 B. 18 C. 20 D. 36 12．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l交C于A、B两点，则的周长为（       ） A. 2 B. 4 C.  D.  15．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）“”是“方程表示椭圆”的（       ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 16．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知，是椭圆的两个焦点，点在上且，则的面积为（     ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 17．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为,是椭圆上一点，且，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 椭圆的焦距为2 C. 的周长为 D. 点在圆上 19．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（       ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 20．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（        ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 21．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）（多选）已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（     ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为 C. 不存在点Q，使得 D. 的最小值为 22．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）已知椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，若点，则的最大值为（     ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 23．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列说法正确的是（     ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的面积可能为2 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 24．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）（多选）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A. 存在使得 B. 的最小值为 C. ，则的面积为 D. 直线与直线斜率乘积为定值 25．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）设、是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在上，且的面积为，则（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）（多选）如图，“倒形”曲线由两部分组成，轴左侧部分曲线为轴及其右侧部分曲线为，且，若为“倒形”曲线上一动点，则下列说法正确的是（       ） A. 曲线与轴所围成区域的面积为 B. 曲线的方程为 C. 的最大值为2 D. 若直线与曲线有四个交点，则实数的取值范围为 28．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（       ） A. 面积的最大值为 B. 的最大值为8 C. 若，则 D. 若，垂足为，则 29．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，的内切圆与切于点，过点的直线与交于两点，则下列结论中 ①的最大值为；②的内切圆面积最大值为； ③为定值；④若为中点，则的方程为， 正确结论的个数有（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 30．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知是椭圆的左焦点，为坐标原点，若上存在一点，使得是以为底边的等腰三角形，则的离心率的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）动圆过点，且与圆内切，设P是动圆圆心的轨迹上一点，，则的最大值是（       ） A. 5 B.  C.  D.  33．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 34．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 35．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（       ） A. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 36．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）已知点，椭圆上两点，满足，则当点横坐标的绝对值最大，的值为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 37．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知分别是椭圆的左､右顶点，点满足，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）（多选）椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于左、右顶点的任意一点，下列说法正确的是（     ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 存在点，使得 D. 的取值范围为 41．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）斜椭圆是由焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定角度得到的图象.已知曲线的图象是如图所示的斜椭圆，点是上任意一点，点，，为坐标原点，则下列说法错误的为（       ） A. 该椭圆的焦点在直线上 B. 该椭圆的离心率为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 42．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）（多选）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A. 的最大值为 B. 若为的中点，则的离心率的最小值为 C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为 43．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（       ） A.  B. 上存在点，使得 C. 若直线与只有一个公共点，则的取值范围为 D. 上的点的纵坐标的最大值为 44．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）（多选）已知椭圆的两焦点分别为，若点在的内部，点在的外部，则的离心率可能是（     ） A.  B.  C.  D.  45．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）（多选）某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（       ） A. 椭圆的“蒙日圆”的面积为 B. 对直线上任意点，都有 C. 椭圆的标准方程为 D. 椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3 46．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）已知. （1）求AB的中垂线方程； （2）求经过A、B两点的椭圆的标准方程. 47．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______． 48．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）已知椭圆的左焦点为，点在E上． （1）求椭圆E的离心率； （2）若O为坐标原点，直线与E相交的另一个交点为B，B关于y轴对称点为C，若四边形的面积为，求． 49．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为 （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 50．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为　　　　　　． 51．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）若曲线表示椭圆，则的取值范围为　　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 53．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知椭圆C的两焦点为，P，Q为椭圆C上的动点，的周长为10，则 的最大值为　　　． 54．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且椭圆经过点 （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上任意一点，求证：到距离与到直线距离之比为定值； （3）设为椭圆上任意一点，当最大时，求的面积． 55．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点，经过点且斜率为1的直线与椭圆相交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求的中点和． 56．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为　　　　　　　. 57．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）设，两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为.设点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过原点的直线与交于，两点（与不重合），证明：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 58．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，AB是椭圆C的任意两点，四边形是平行四边形，且，则椭圆C的离心率的最大值是　　　　　　. 59．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）椭圆上的点到直线的距离的最小值为　　　　　　　　． 60．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知椭圆的离心率为，且过点（2，1），直线与交于，两点. （1）求的方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若直线的斜率不为0且经过的左焦点，点是轴上的一点，且，，求直线的斜率. 61．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知椭圆的长轴长为短轴长的倍，焦距为4. （1）求椭圆的方程； （2）若坐标原点为，平行四边形的四个顶点，，，均在椭圆上，且圆内切于四边形. （i）证明：四边形为菱形； （ii）求四边形面积的最大值. 62．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为　　　　　　　　　　　. 63．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为　　　　　　　． 64．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线交于两点． （1）若是上一动点，求的周长； （2）探究是否成立，若成立，求出的方程；若不成立，请说明理由． 65．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）椭圆的左、右顶点分别为，点为第一象限内的动点，直线，与分别交于另外的两点，已知的斜率之比为． （1）证明：直线过定点： （2）设和的面积分别为和，求的最大值． 66．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆被一条横线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为，底部的宽度为，则该镜子的高度为　　　　　　　　　　. 67．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. 已知椭圆:. （1）若椭圆:，试判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由. （2）写出与椭圆相似，且短半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程. 若在椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围. 68．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若，求点的坐标． 69．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 70．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，且点在圆上． （1）求的方程； （2）设为圆上三等分圆周的任意三点，设的延长线与分别交于点． （ⅰ）设，求关于的表达式; （ⅱ）求的值． 71．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（多选）已知椭圆的右顶点为，的两个焦点为，且. （1）求的方程. （2）设直线与相交于A，B两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线AD的斜率. （ii）试问直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 72．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知椭圆的右顶点为，离心率为. （1）求的方程. （2）设直线与相交于，两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线的斜率. （ii）试问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 73．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）． 步骤1：用圆规作一个圆：，设圆心为，在圆内异于圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕． 已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．且折痕均与椭圆相切，设点为两条折痕的交点，且过点的两条折痕与椭圆相切与、两点，为坐标原点，、分别表示直线与直线的斜率． （1）求的值； （2）若； ①求点轨迹方程； ②的取值范围． 74．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅助圆”.已知椭圆的焦距为，短轴长为2. （1）求及的辅助圆的方程. （2）已知与轴平行，且不经过原点的直线与及的辅助圆分别交于两点（均在同一个象限），过作的辅助圆的切线与轴交于点，且直线的斜率为，记的面积为，证明：. （3）已知斜率不为0，且不经过原点的直线与交于两点，判断在的辅助圆上是否存在点，使得四边形是平行四边形.若存在，求面积的最大值；若不存在，说明理由. 75．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数. （1）求点的轨迹的方程； （2）已知定点，直线的方程为，直线上有一动点，轨迹上有一动点，求的最小值； （3）若，为轨迹上不同的两点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点S，T，使为定值？若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由. 76．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）平面内有椭圆与点，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，椭圆的焦距为，且，过点M的直线交椭圆于两点，直线交轴于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求直线斜率的取值范围； （3）将平面沿轴翻折成大小为的二面角，若，求直线与平面所成角的正弦值. 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）已知动点满足，则动点的轨迹是（       ） A. 射线 B. 直线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支 3．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，是上一点，且，则（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）（多选）以为渐近线的双曲线可以是（    ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）方程的化简结果为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第一象限内一点，若直线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知直线l与双曲线交于A，B两点，且AB的中点坐标为（1，2），则直线l的斜率为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 8．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知双曲线的两个顶点为，双曲线上任意一点（与不重合）都满足，的斜率之积为，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为 （       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D.  11．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）（多选）方程，则下列说法正确的是（       ） A. 当时，方程表示椭圆 B. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C. 当时，方程表示圆 D. 当或时，方程表示双曲线 12．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（        ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）双曲线的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（     ） A.  B.  C.  D. 10 15．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为（     ） A. 9 B. 18 C. 36 D. 72 16．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）（多选）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，点在上，则下列结论正确的为（       ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C.  D. 点到的焦点的距离为5 17．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，若斜率为的直线过原点且与相交于两点，，则的离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D.  18．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）（多选）已知曲线C： ，则下列命题中为真命题的是（       ） A. 若，则C是圆 B. 若，且，则C是椭圆 C. 若，则C是双曲线，且渐近线方程为 D. 若，则C是椭圆，其离心率为 21．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，双曲线的两条渐近线分别交椭圆于A、C和B、D四点，若多边形为正六边形，则椭圆与双曲线的离心率之和为（       ） A.  B. 2 C.  D.  22．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）过点（1，2）且与双曲线没有交点的直线l斜率的取值范围是（　　） A. （2，+∞） B. [2，+∞） C. [﹣2，2] D. [﹣2，+∞） 23．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（       ） A. 28 B. 30 C. 31 D. 32 24．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 25．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为.若，则（     ） A.  B.  C. 2 D. 3 26．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 27．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）将双曲线绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数的图象（其渐近线分别为轴和轴），所以我们也称反比例函数的图象为双曲线.同样“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（       ） A.  B. 4 C.  D.  28．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）（多选）下列命题错误的是（       ） A. 两圆与的公共弦的直线方程为 B. 若双曲线焦距为6，则 C. 若动点满足，则点的轨迹是双曲线的一支 D. 若动点到直线的距离等于到定点的距离，则点的轨迹是抛物线 30．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）（多选）如图，在等腰梯形中.为线段上的一点.以，为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率可能为（       ） A.  B.  C. 2 D.  31．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，为双曲线的左焦点，延长至点，使，连接交轴于点，若，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 32．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 34．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知双曲线的左，右焦点为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若为等边三角形，则的边长为　　　　　　　　　　　　 35．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）求符合下列要求的曲线的标准方程： （1）已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为； （2）已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点. 36．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）（1）求经过和两点的椭圆标准方程； （2）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线标准方程. 37．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率是　　　　　　　　 . 38．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为，求弦长； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 39．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）设，是双曲线C：的左、右焦点，若点P在双曲线C上，且，则　　　　　　　　　　. 40．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）设，则动点P的轨迹方程为　　　　　　　　． 41．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知点在离心率为的双曲线上． （1）求的方程； （2）过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 42．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. （1）求的方程； （2）若，求的面积. 43．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）若两焦点为，的双曲线上一点满足，则称为该双曲线的“阶和谐点”.若双曲线存在“阶和谐点”，则的最小值为　　　　　. 44．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是　　　　　　　　　　　，的离心率的取值范围是　　　　　　　　　　　. 45．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为　　　　　　　　　　　　　；的取值范围为　　　　　　　　　　　　　． 46．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）已知双曲线的中心在原点，右焦点为，且经过点，则的标准方程为　　　　　　　　　；直线与轴交于点，点是右支上一动点，直线与以为直径的圆相交于另一点，若在该圆内部，则的最大值为　　　　　　　　　　. 47．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是C的左、右顶点，M，N是C的右支上异于点B的两点. （1）求C的方程； （2）设直线AM，BN的斜率分别为，，若，求证：直线MN恒过定点. 48．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. （1）求的方程； （2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 49．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，（，）是双曲线C上的一点，直线与y轴交于点N，若，且，则双曲线的离心率为　　　　　　　　　　. 50．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点． （1）若点在上，求的渐近线方程． （2）当四点共线时，，点． （i）求的方程； （ii）若三点共线，两点均不在轴上，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：动点在一条定直线上． 51．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知双曲线. （1）求的取值范围. （2）已知的渐近线方程为. ①求的值； ②若过点的直线与交于两点.且为的中点，求的斜率. 52．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（       ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. 抛物线关于轴对称 C. 抛物线的准线方程为 D. 抛物线的焦点到准线的距离为4 2．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（       ） A. 2 B. 1 C.  D.  3．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）抛物线的准线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 5．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 7．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（       ） A. 3 B. 2 C.  D. 5 10．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）（多选）抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是（       ） A. 抛物线的方程为 B. 存在直线，使得A、B两点关于对称 C. 的最小值为6 D. 当直线过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切 12．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）已知抛物线与直线相切，则（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）已知双曲线，抛物线.若与在第一象限内有唯一交点，则点的轨迹是（     ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 14．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（多选）已知抛物线上一点到的焦点的距离为5，则（     ） A.  B. 的坐标为 C.  D. 在上存在点，使得为正三角形 15．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 16．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）（多选）记抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于A，B两点，且在第一象限.以为直径的圆与轴交于，两点，则（     ） A. 直线的方程为 B.  C.  D. 四边形的面积为 17．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）（多选）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，从点发出平行于轴的光线经过抛物线上的点反射后再经过抛物线上另一点，则（       ） A. 存在点使得点.都在以为圆心的圆上 B. 存在点使得点是的垂心 C. 存在点使得点是的重心 D. 点到直线的最短距离为4 18．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）抛物线上的点到其焦点的距离为　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）抛物线的焦点坐标为　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 21．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点，若， （1）求点的横坐标 （2）求的面积 22．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5. （1）求抛物线的标准方程及焦点的坐标； （2）过焦点作斜率为2的直线，交抛物线于两点，若点在抛物线上，求的面积. 24．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是　　　　　　　　　　. 25．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，方程 的曲线记为，是曲线上一动点. （1）若在抛物线上且满足，求直线的斜率； （2）是轴上一定点. 若动点在上满足的范围内运动时，恒成立，求的取值范围；        （3）是曲线上另一动点，且满足，若的面积为4 ，求线段的长. 26．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. （1）求m的值以及抛物线C的方程； （2）过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 27．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（在第二象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，，则　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知点为抛物线的焦点，直线与抛物线相切． （1）求抛物线的标准方程； （2）直线，与抛物线相交于两点，若之间的距离，求． 29．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知抛物线的焦点为F，，O为坐标原点，抛物线C上存在点P，使得. （1）求抛物线C的方程； （2）已知过点F的直线交抛物线C于A，B两点，△AOB的面积为，求以线段AB为直径的圆的方程. 30．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小3，记点的轨迹为曲线． （1）求的标准方程； （2）若为上的一个动点，，点到轴的距离为，求的最小值； （3）若过点的直线与交于，两点，求的取值范围． 31．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知抛物线的焦点为，斜率为4的直线与抛物线交于点，与轴交于点． （1）若，求直线的方程； （2）若，求． 32．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是　　　　　　　　，的最小值是　　　　　　　　. 33．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）已知抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，，AB的中垂线经过点. （1）若过点且垂直于轴的直线与交于M，N两点，求； （2）求的方程； （3）记，AB的中点为，外接圆上有一点，求的取值范围. 34．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，射线分别与抛物线交于异于的点，且，直线垂直于，垂足为，则的取值范围为　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知是抛物线的焦点，为上一个动点，且的最小值为2. （1）求； （2）若为坐标原点，.求； （3）已知直线的倾斜角与直线的倾斜角之差为均经过与交于两点，与交于两点，且，求的方程. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线的方程 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．D 2．BCD 3．C 4．A 5．A 6．A 7．AD 8．D 9．B 10．C 11．B 12．C 13．B 14．D 15．A 16．C 17．B 18．CD 19．D 20．BD 21．CD 22．D 23．ACD 24．BC 25．A 26．C 27．BD 28．ACD 29．C 30．A 31．A 32．A 33．ABD 34．ABD 35．C 36．D 37．C 38．B 39．B 40．AB 41．D 42．ABD 43．D 44．AB 45．ACD 46．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求得的斜率，可求得中垂线的斜率，进而求得的中点，利用点斜式可求得中垂线方程； （2）设过两点的椭圆的方程为，代入坐标求解即可. (1) 小问详解： 由，可得的斜率为， 所以中垂线的斜率等于，又的中点为， 所以中垂线的直线方程为，即； (2) 小问详解： 设过两点的椭圆的方程为， 所以 ，解得 ，所以， 所以经过A、B两点的椭圆的标准方程. 47．【答案】 【详解】设正方形边长为1，则 48．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将点坐标代入椭圆方程中即可； （2）利用椭圆的对称性得出坐标，再分别求出的面积，结合即可求出的值，最后利用即可. (1) 小问详解： 因点在E上，所以，即，所以椭圆E的离心率为． (2) 小问详解： 因，结合椭圆的对称性可得，，， 因，轴， 则，， 四边形的面积为，则， 则， 由（1）可得，，则，则， 则． 49．【答案】（1）;     （2）,.      【分析】 （1）由椭圆的上顶点坐标求得由离心率及椭圆中的关系可求得，从而得椭圆的方程； （2）根据椭圆的定义得及焦距长可得，由平方及余弦定理解焦点三角形，得，再结合三角形面积公式求得. (1) 小问详解： 由题意知 ，解得，. ∴椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，∴ 又∵P为椭圆上一点，∴， ∴焦点三角形的周长. 在△中，由余弦定理，得 即 ① 由平方，得 ② ② -① ，整理得， 所以三角形的面积. 50．【答案】 【分析】 依题设椭圆方程，求出相关点坐标，设，利用求得，即得，代入椭圆方程计算即得离心率. 【详解】 不妨设椭圆方程为，如图，，设， 由可得，解得，即， 因点在椭圆上，可得，解得. 故答案为：. 51．【答案】 【分析】 由椭圆定义列出不等式组即可求解. 【详解】 曲线表示椭圆， 所以 或， 所以的取值范围为. 故答案为： 52．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）由椭圆的离心率及过点，结合，列方程求解即可. （2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，由题意，结合韦达定理利用数量积的坐标运算求解，即可得解. (1) 小问详解： 因为椭圆C的离心率为，且过点， 所以，， 又，解得，，则椭圆C的方程. (2) 小问详解： 设直线l的方程为， 联立 ，消去y并整理得，， 由韦达定理得，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，所以， 即， 整理得， 因为，， 所以， 即，解得或， 因为， 所以当或时，满足条件， 则直线的方程为或. 53．【答案】 【分析】 利用椭圆的定义得到和的关系，再结合椭圆的性质即可求出. 【详解】 椭圆C的两焦点为，P为椭圆C上的动点，的周长为10，，即， 又Q为椭圆C上的动点，到焦点距离的最大值为， 的最大值为. 故答案为：. 54．【答案】（1）     （2）证明：由（1）得，设，则， 令到直线距离为，则 ， 所以到距离与到直线距离之比为定值.      （3）.      【分析】 （1）根据给定条件，结合椭圆离心率的定义列式求出. （2）由（1）的结论，利用椭圆范围，结合两点间距离、点到直线距离公式计算得证. （3）利用椭圆定义、余弦定理及三角形面积公式求解. (1) 小问详解： 由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆经过点，得，于是， 所以所求椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知，， 在中，由余弦定理，得 ，当且仅当时取等号， 由余弦函数在上单调递减，得当时，取最大值， 此时， 所以当最大时，的面积为. 55．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）由点在椭圆上得到，再结合即可求解； （2）直线方程、椭圆方程联立，由韦达定理和弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 设椭圆方程为， 由题意，， 又椭圆上， 所以， 所以，解得：， 所以椭圆方程为， (2) 小问详解： 的方程：，联立椭圆方程 消去可得： ， 设，中点为， 则 则，， 即中点坐标为， 56．【答案】 【分析】 取AC中点O，连接BO，因为，根据勾股定理，可得，根据正弦定理角化边可得，如图建系，求得各点坐标，根据椭圆定义，可得D点轨迹为椭圆，进而可得其方程，根据两点间距离公式，可得，根据二次函数的性质，结合y的范围，即可得答案. 【详解】 取AC中点O，连接BO，因为， 所以，又，则， 所以， 因为 由正弦定理角化边得， 以O为原点，AC所在直线为x轴，BO所在直线为y轴，建系，如图所示， 则，设， 因为， 由椭圆的定义可得D点轨迹是以A、C为焦点的椭圆， 所以，解得，又， 则，所以D点轨迹方程为：， 即，且， 则， 因为，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以当时，有最大值10， 则. 故答案为： 57．【答案】（1）     （2） 当直线的斜率不存在时，交点为的上､下顶点，不妨设， 则； 当直线的斜率存在时，设，与的方程联立､化简得， 不妨设， 则， 综上所述，直线与直线的斜率之积为定值. 【分析】 （1）依题意求出与的斜率，写出并化简曲线的轨迹方程即可； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，分别写出直线与直线的斜率，化简并计算斜率之积即得结论. (1) 小问详解： 设，则，， 由题意有， 化简得点的轨迹的方程为：； (2) 小问详解： 略 58．【答案】 【分析】 四边形是平行四边形分析可得，，再根据可得，结合及运算求解. 【详解】 因为四边形是平行四边形，则且， 根据椭圆的对称性知，所以，则，若，即， 所以，即， 同除以可得：，解得， 因为，所以，即椭圆C的离心率的最大值是. 故答案为：. 59．【答案】 【分析】 方法一：切线法，将点到直线的距离的最值转化为平行线之间的距离，设与直线平行且与椭圆相切的直线为，与椭圆联立方程组，由，求得，得解；法2，利用圆锥曲线的参数方程设点，然后用点到直线的距离公式表示出所求距离，结合三角函数的值域求解 【详解】 方法一：切线法，设直线与直线的距离为， 将代入，得关于的方程， 所以，解得， 当时，，即所求最小值． 方法二：参数法 设椭圆上任意一点为，， 则点到直线的距离， 当，即时，. 故答案为：. 60．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据椭圆上过的点及离心率列出方程组，求出椭圆方程； （2）设，，利用点差法可求直线直线的斜率，进而可求直线的方程； （3）设直线，利用根与系数的关系求得点的坐标，求得，利用已知得，求解即可. (1) 小问详解： 由题意知 ， 解得，，， 所以的方程为. (2) 小问详解： 设，， 又线段的中点为，所以 ，即 ， 又，是上的点，所以 ， 所以，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即. (3) 小问详解： 由题意左焦点，直线的斜率不为0，设直线， 由 得，所以， ，，. 设的中点为，则， 点在轴上，且，，则垂直平分，且， 所以的中垂线方程为，令，得，        所以， 又， 所以， 解得，所以直线的斜率是. 61．【答案】（1）     （2）（i）证明：当直线的斜率不存在或为零时，圆内切于正方形， 四个顶点为，显然满足椭圆的方程，符合题意， 此时四边形为菱形； 当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，，， 由 得， 则， ，， 所以， 因为圆内切于平行四边形，所以到直线的距离为， 则，整理得， 所以， 则，此时平行四边形为菱形. 综上可知，四边形为菱形. （ii）      【分析】 （1）由长轴长为短轴长的倍得，由焦距为4得，进而，求得，，即可得解； （2）（i）当直线的斜率不存在或为零时，四边形为正方形，符合题意；当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，与椭圆方程联立韦达定理，根据圆内切于四边形求得，结合韦达定理，利用数量积坐标运算得，则，此时平行四边形为菱形，即可证明. （ii）当四边形为正方形时，；当四边形不为正方形，而为菱形时，先求出，再代入面积公式得，令，根据二次函数性质求得的最大值，对比即可求解菱形的面积最大值. (1) 小问详解： 由题意可知，，则， 又，则，所以，解得，， 故椭圆的方程为； (2) 小问详解： （i）略 （ii）由（i）知，当四边形为正方形时，； 当四边形不为正方形，而为菱形时， 因为， 所以的面积为， 令，则，， 所以， 当，即时，取得最大值. 因为菱形的面积等于，所以菱形的面积的最大值为， 因为，所以菱形的面积最大为. 62．【答案】 【分析】 设，则，从而得到 ，相减变形，结合和直线斜率得到，故，椭圆的焦点在轴上，利用求出离心率. 【详解】 直线的斜率为， 设，则， ， 两式相减得， 即， 所以， 由于，故， 所以，故，所以椭圆的焦点在轴上， 则的离心率为. 故答案为： 63．【答案】 【分析】 设，可得，，利用向量的坐标运算结合条件即可求解. 【详解】 设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则， 所以 若，则，即； 则点的轨迹方程为：； 故答案为： 64．【答案】（1）6     （2）结论不成立，理由如下： 假定成立，设， 由 得， 则，解得或， 且， 设的中点为，则，， 而，由得， 则，整理得， 此方程无解，所以结论不成立. 【分析】 （1）利用椭圆的定义计算出的周长； （2）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合建立方程求解. (1) 小问详解： 由题意得，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 所以的周长为. (2) 小问详解： 略 65．【答案】（1） 由题知，设 所以， 因为的斜率之比为，即， 所以，解得， 所以，点在直线上， 设，则， 代入得， 所以，即， 所以， 同理 取点，则， 又因为， 所以，，即直线过定点.     （2）      【分析】 （1）设，进而根据题意得点在直线上，设，再结合，与椭圆联立得，，再取取点，利用向量关系证明即可得答案； （2）由，得，进而得，再设，代入，结合韦达定理，基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题知，椭圆的长半轴长为，由（1）得直线过定点， 所以，， 所以，点到直线的距离为点到直线的距离的倍， 所以，， 因为， 所以 设，代入得， 所以，， 所以 所以，当时，取得最大值. 66．【答案】9 【分析】 建立平面直角坐标系，根据已知条件求得椭圆方程，进而计算出镜子的高度. 【详解】 如图，以椭圆的中心为原点，建立直角坐标系， 设椭圆的方程为，焦距为. 由 ，得 ， 所以椭圆的方程为. 当时，，得. 由图可知，镜子的高度为（）. 故答案为： 67．【答案】（1）椭圆和相似，且相似比为；     （2），.      【分析】 （1）根据给定条件，求出椭圆与的“特征三角形”的边长，再判断并求出相似比. （2）由（1）求出椭圆的方程，设出直线的方程，并与的方程联立，利用韦达定理及判别式求解即得. (1) 小问详解： 椭圆与相似. 如图，在同一平面直角坐标系中作出椭圆，， 椭圆的“特征三角形”是腰长为4，底边长为的等腰三角形， 而椭圆的“特征三角形”是腰长为2，底边长为的等腰三角形， 因此椭圆与椭圆的“特征三角形”的三边对应成比例，即两个“特征三角形”相似，且相似比为， 所以椭圆和相似，且相似比为. (2) 小问详解： 椭圆的“特征三角形”是等腰三角形，其腰长为长半轴长，底边长为焦距， 由椭圆与椭圆相似及（1）得，即，而椭圆的短半轴长为， 则，解得，， 所以椭圆的标准方程为， 设直线的方程为，，线段的中点为， 由 消去并整理得， 则，即，，， 由的中点在直线上，得，解得， 因此，而，解得， 所以实数的取值范围是. 68．【答案】（1）且，曲线是不含长轴端点的椭圆     （2）或      【分析】 （1）首先设，然后直接根据坐标表示条件，化简整理即可得到轨迹方程； （2）首先根据已知条件求解及的值，然后分别求解直线及的方程，最后根据联立方程求解点的坐标. (1) 小问详解： 设，又， 则由题意得． 化简得且， 所以曲线的方程为且，曲线是不含长轴端点的椭圆． (2) 小问详解： 由题意，得 解得 或 若 则直线的方程为① ，直线的方程为② ． 由① ② 可得 即． 若 则直线的方程为③ ，直线的方程为④ ． 由③ ④ 可得 即． 综上，点的坐标为或． 69．【答案】（1）     （2）证明：法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立 ，化简得， 因为，所以 ，即， 联立 ，化简得， 因为，所以 ，即， 则， 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过定点． 法二：设，又由（1）知， 所以， 则有， 又，则，代入上式可得. 又因为，所以. 设直线的方程为， 联立 ，得， 所以 ， 且， 所以 ， 由， 化简得且， 即，解得或（舍），所以直线过定点．      【分析】 （1）设，，，表示出，故最大值为，又，从而得到，求出，得到椭圆方程； （2）法一：设，直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆方程，求出的坐标，得到直线的方程为，所以直线过定点； 法二：设，求出，所以，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到，由得到方程，求出，所以直线过定点. (1) 小问详解： 设，则，，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 又为椭圆上顶点时，为等边三角形，故， 联立 ，解得， 因为，所以椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： 略 70．【答案】（1）     （2）(i)   (ii)      【分析】 （1）根据右顶点在圆上求出，然后求出即可得出椭圆方程； （2）（i）设直线的参数方程为：，，代入椭圆求出即的长； （ii）取特殊位置计算出，再根据对称性说明无论在什么位置都为定值. (1) 小问详解： 点满足圆的方程：，解得或(舍去)， 又，所以，因此，椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）直线的方向角为，参数方程为：，，. 代入椭圆方程得：， 整理得，， 所以该方程的正根（对应射线方向为）：， 因此，. （ii）三点为圆周的三等分点， 取标准位置：(对应角度)，（对应）(对应)， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 所以. 由于三等分点的对称性和固定位置，该值恒定为. 71．【答案】（1）     （2）（i）；（ii）直线AD过定点，且定点的坐标为      【分析】 （1）在中利用正弦定理可得：，结合椭圆的定义和右顶点坐标即可解得a，b，c，从而写出椭圆方程·； （2）（i）联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，求出A，D两点坐标，进而求直线AD的斜率； （ii）通过对称性可知，该定点必在轴上，使，结合韦达定理，去解y的具体值即可. (1) 小问详解： 因为， 所以由正弦定理得，        则，             \ 则，又因为椭圆C的右顶点为，故，        所以，所以的方程为. (2) 小问详解： 设，将代入， 得，        则恒成立，        .        （i）若，则有，解得或. 依题意得，则， 因为点关于轴的对称点为，所以， 则.        （ii）当时，重合，与条件矛盾， 直线AD的方程为，        假设直线AD过定点，根据对称性可知，定点必在轴上， 令，得               ，        所以直线AD过定点，且定点的坐标为. 72．【答案】（1）；     （2）（i）；（ii）过定点，坐标为.      【分析】 （1）根据题意列出关于的方程组，计算可得； （2）（i）联立直线和椭圆方程，用坐标表示出直线的斜率，利用韦达定理代入化简即可；（ii）利用韦达定理表示出直线的斜率，进而表示出直线的方程，令，结合韦达定理化简可得定点. (1) 小问详解： 由题知， ，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）设，则， 联立 消去整理得， 则，， 所以， 若，则， 因为的横坐标大于的横坐标，所以， 所以， 所以. （ii）过定点，证明如下： 由上可知， 所以直线的方程为， 令，得 ， 所以直线过定点. 73．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）根据给定条件，利用椭圆的定义求出椭圆方程，设出一条切线方程，与椭圆方程联立，利用判别式为0建立方程，进而求出直线的方程即可求得斜率积. （2）① 按过点的切线斜率存在与否分类讨论，在斜率存在时设出切线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理结合（1）的结论求出轨迹方程；② 将（1）中直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示建立函数关系，进而求出范围. (1) 小问详解： 如图，设为椭圆上一点，依题意，， 因此点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，虚半轴长， 椭圆方程为，设， 两条切线的斜率存在，设其中一条的斜率为，直线方程为， 由 消去有， 由， 整理得，由在椭圆上，得， ， 于是方程有两个相等的实根，即， 又，整理有， 同理点也满足方程， 因此直线方程为，即，而， 所以的值为. (2) 小问详解： ① 当两条切线中有一条斜率不存在时，即两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时， 当两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为，交点为， 则过的切线方程为， 由 消去有． ， 整理得，，是关于的一元二次方程的两个根， 则，由，得， 即，点也在圆上， 所以动点的轨迹方程为. ② 由（1）知，直线方程为：， 由 消去有， 于是 ，又，且， 则， 且满足，即，， 又，因此， 所以的取值范围为. 74．【答案】（1），     （2） 方法一：证明：设，直线与轴交于点，则. 由 得. 易证，则，得， 所以. 方法二：证明：不妨假设均在第一象限或第二象限， 设直线的方程为或0）， 由，得，得. 直线，令，得. 故. 同理可证在第三象限或第四象限时，. 故.      （3）存在，最大值为1      【分析】 （1）根据条件可求出，按照定义可得及的辅助圆的方程； （2）方法一：设，利用，用表示出来，进而计算可得答案；方法二：直线的方程为或0），可得到点坐标，进而得到切线的方程，进而得到点坐标，进而计算可得答案. （3）设直线，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，求出的坐标，假设在的辅助圆上存在点，使得四边形是平行四边形，则，得到一个方程，说明此方程有解即可证明；同样利用韦达定理把面积表示成关于的函数，根据基本不等式求最值即可. (1) 小问详解： 设的焦距为，则 得 所以的方程为， 的辅助圆的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设点. 由 得， 由，得， 得 假设在的辅助圆上存在点，使得四边形是平行四边形，则， 得. 因为在的辅助圆上，所以，得， 满足，所以在的辅助圆上存在点，使得四边形是平行四边形. 直线在轴上的截距为， 则 ， 将， 得 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故面积的最大值为1. 75．【答案】（1）；     （2）；     （3）存在两定点S，T，使为定值.      【分析】 （1）根据题意得到方程，化简后得到轨迹方程； （2）设为的左焦点，由椭圆定义和三点共线转化为直线上找到一点，使得最小，求出点关于直线的对称点为的坐标，由对称可得最小值为； （3）考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，求出点的轨迹方程为椭圆，由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或，使为定值. (1) 小问详解： 由题意得， 两边平方得， 整理得，点的轨迹的方程为； (2) 小问详解： 中，，则， 为的右焦点，设为的左焦点， 连接，则，， 则， 其中当三点共线时，取得最小值， 问题转化为在直线上找到一点，使得最小， 设点关于直线的对称点为， 则 ，解得 ， 故，连接，与直线的交点即为所求点， 使得最小，最小值为， 故的最小值为. (3) 小问详解： 存在两定点S，T，使为定值,理由如下： 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立直线与椭圆方程得， ，即， 设，则， 故 ， 故当时，取得最大值，最大值为， 此时，满足， 因为，所以， 故， 故， 令 ，两式相除得，故， 将其代入得，结合得， 化简得， 因为，所以，故，即， 当直线的斜率不存在时，设，则， 则， 不妨设点在第一象限，则当时，取得最大值， 此时的中点坐标为，满足， 故当取得最大值时，点的轨迹方程为椭圆， 两焦点坐标为， 由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或， 使为定值. 76．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）用表示面积与焦距，利用方程组求解，求得椭圆方程； （2）设直线方程，联立椭圆方程，由直线方程令，表示坐标及，代入韦达定理化简整理，再由不等式求解的范围即可； （3）由题意判断点位置，设坐标，利用已知条件求解，再利用法向量求解线面角. (1) 小问详解： 由椭圆的焦距为，得，即① ； 由，，得，即② ； 联立① ② 解得 ， 故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，在平面直角坐标系中，， 由题意知直线斜率存在，可设直线方程为，设， 联立 ，消得 ，其中. 由韦达定理得，， 则直线的方程为，令，得； 同理的方程为，令，得； ， 由，即，解得， 故直线斜率的取值范围为. (3) 小问详解： 由，得，即. 如图2，在平面直角坐标系中，设，， 则，设，则， 设直线与椭圆交于点， 联立 ，解得 ，此时， 直线与椭圆另一交点恰为， 由，可知点坐标应满足， 即直线的斜率，故直线与椭圆的另一交点在轴下方， 故与轴的交点也在轴下方，且. 同理，联立直线与椭圆方程 ， 解得，又， 则， 由（2）知，所以有， 化简得③ ， 因此，如图3，在空间直角坐标系中， 则，设， 由可得，整理得④ ； 联立③ ④ 解得 ，故， 则， 由三点共线，故平面即平面， 设平面的法向量， 则 ，令，得， 则平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则 . 故直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 关键点点睛：解决此题的关键有二，一是利用韦达定理表示；二是判断点位置，确定坐标，进而求解线面角. 考点02 双曲线 1．C 2．A 3．D 4．BD 5．B 6．A 7．C 8．B 9．A 10．C 11．BCD 12．A 13．D 14．A 15．C 16．BD 17．A 18．D 19．C 20．BC 21．C 22．B 23．B 24．A 25．C 26．D 27．D 28．C 29．ABD 30．BCD 31．C 32．【答案】 【分析】 利用圆的弦长公式，由求解. 【详解】 ∵点F到渐近线的距离为b， ∴，即， 所以． 故答案为： 33．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据直线与双曲线只有一个公共点，所以联立方程组，若相切则即可，若不相切则直线与渐近线平行即可； （2）根据双曲线的定义和余弦定理即可求得三角形的面积. (1) 小问详解： 当时，，则直线l的方程为， 当时，联立方程组 ，得， 由直线和双曲线相切的条件，可得，解得； 双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； (2) 小问详解： 由双曲线，则， 又点P在双曲线上，即，即， 在中，由余弦定理， 即，解得， 所以的面积. 34．【答案】 【分析】 根据题意，结合双曲线的定义求解即可. 【详解】 解：如图，设的边长为，， 因为为等边三角形，所以， 由双曲线的方程知， 所以由双曲线的定义得， 即，解得，. 所以的边长为. 故答案：. 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据已知条件求得的值，由此求得椭圆方程. （2）由题意，先求出，然后，设双曲线的标准方程，利用和过点，列方程求解即可 (1) 小问详解： 由已知条件可设所求的椭圆标准方程为（其中） 则，∴， 且离心率为，∴ ∴ 故所求的椭圆的标准方程为 (2) 小问详解： 由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且. 设双曲线的标准方程为， 则有，， 解得，. 故所求双曲线的标准方程为. 36．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据椭圆的焦点分别在轴或轴上设椭圆方程，代入两点列方程组求解即得所求椭圆方程； （2）设所求双曲线为（，），根据条件得出关于的方程组，求解即得所求双曲线方程. 【详解】 （1）当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为（）， 将两点坐标代入方程可得： ，解得 ，因，不合题意，舍去； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为（）， 将两点坐标代入方程可得 ，解得 ，符合题意， 此时椭圆的标准方程为. 综上，椭圆的标准方程为. （2）依题意，设所求双曲线为（，）. 因两曲线有相同的焦点，所以①. 又点在双曲线上，所以②. 由① ② 联立，解得. 故所求的双曲线方程为. 37．【答案】 【分析】 根据所给条件可得是的中点，利用中位线的性质可求出，再由双曲线定义求出，由直角三角中勾股定理建立方程可得离线率. 【详解】 设右焦点为， ， 是的中点，是的中点， 且, 由双曲线定义可知， ，， ， 即 ， 故答案为：. 38．【答案】（1）     （2）     （3）证明：依题意，设直线的方程为，，， 联立 ，即， 则， 且，，即， 而，， 所以 为定值.      【分析】 （1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可； （2）先求出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可； （3）设出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. (1) 小问详解： 由题意，双曲线的焦距为， 则，即， 由，得， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 依题意，直线的方程为， 联立 ，即， 设，， 则，， 所以弦长. (3) 小问详解： 略 39．【答案】9 【分析】 根据双曲线定义先求出的值，再根据三角形两边之和大于第三边验证，即可得解. 【详解】 由双曲线方程可知，则，所以. 因为点P在双曲线C上，所以， 又，所以，解得或. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 所以. 故答案为：9 40．【答案】 【分析】 根据双曲线的定义可得答案. 【详解】 因为，所以动点P的轨迹是焦点为A，B，实轴长为4的双曲线的上支．因为，所以，所以动点P的轨迹方程为． 故答案为：. 41．【答案】（1）；     （2）证明：显然直线的斜率存在，设其方程为，，则， 由 消去并整理得， ，解得且， ， 当直线与轴不重合时，，直线：， 令，得 ，此时直线过定点， 当直线与轴重合时，直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点，该定点坐标为. 【分析】 （1）根据给定条件，利用离心率及双曲线所过点求出即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理，求出直线与轴交点横坐标即可推理得证. (1) 小问详解： 由双曲线的离心率为，得，解得， 又点在双曲线上，则，解得， 所以的方程为. (2) 小问详解： 略 42．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，由点在上和即可求解； （2）由点在上和数量积运算即可求出点P，再由即可计算求解. (1) 小问详解： 设， 由题意可知，当时，， 由点在上可得，即， 又，所以， 所以的方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知， 则， 由题得 ， 解得， 所以的面积. 43．【答案】3 【分析】 由双曲线定义可得，再设，计算可得、，再结合的范围计算即可得. 【详解】 对于双曲线，有，，， 所以，设，则， 所以， ， 故，因为，所以， 所以，即的最小值为.    故答案为：. 44．【答案】①     ② 【分析】 由双曲线方程写出，即可表示出离心率，由双曲线与椭圆有公共点得不等式，然后解得双曲线中的范围，即得实轴长的取值范围，由不等式可以解得的取值范围，可得的离心率的取值范围. 【详解】 由，得，则，所以. 因为的上顶点的坐标为的上顶点的坐标为，则， 即，，所以的实轴长的取值范围为. 且，所以. 故答案为：；. 45．【答案】①     ② 【分析】 根据双曲线的性质和三角形内心性质得到垂足的位置，再由得到双曲线中的关系，即可得到渐近线的夹角；根据对所求式进行化简，再根据基本不等式求得范围即可. 【详解】 如图所示，设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为. 设的内心为，过点向三边作垂线，垂足分别为.    根据三角形内心的性质可知，， 又因为双曲线E以B，C为焦点，且经过点A， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以点在双曲线的左支上，所以. 而， 所以， 所以为双曲线的左顶点. 所以， 所以，即， 所以，渐近线的倾斜角为， 所以两条渐近线的夹角为. 又因为， 所以， 而， 所以. 故答案为：； 【点睛】 关键点点睛：本题考查双曲线的性质和三角形的最值.本题的关键点在于根据作出三角形的内心，从而根据内心性质和双曲线的定义进行求解. 46．【答案】①     ② 【分析】 设双曲线的方程为，由 求解；得到直线AF的方程为，令得到，易得点F为线段AB的中点，以AB为直径的圆是以点F为圆心，以为半径，且，再由求解. 【详解】 由题意可设双曲线的方程为， 则 ，解得 ， 所以双曲线的方程为：； ，则直线AF的方程为， 令，得，则， 又， 所以点F为线段AB的中点， 所以以AB为直径的圆是以点F为圆心，以为半径， 如图所示： 且， 由双曲线的几何性质得， 则，， 所以， ， ， ， 故答案为： ，48 47．【答案】（1）     （2） （方法一）由题意得，MN的斜率不为0，    设MN的方程为，，. 由 ，消去，可得， 由可得， 由可得. 由韦达定理，，. 因为，，，所以. 又，即，则有， 因为，，， 故有， 整理得， 所以， 化简得，解得或2. 当时，MN的方程为，此时MN过点，不合题意， 当时，MN的方程为，此时MN过点，符合题意， 所以MN恒过定点. （方法二）① 若MN的斜率不存在，设MN为（），，. 因为，，，所以， 由对称性知，，则，解得， 所以MN的方程为，此时MN过点. ② 若MN的斜率存在，设MN的方程为，，. 由 ，得， 所以，且，. 因为，，，所以. 又，即，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或. 当时，MN为，此时MN过点，不合题意， 当时，MN为，此时MN过点，符合题意. 综上，MN恒过定点 （方法三）因为，，AM，BN的斜率分别为，， 所以AM，BN的方程分别为，. 由 ，得， 所以，又，所以， 所以，即. 由 ，得， 所以，又，所以， 又，即，所以， 所以，即. ① 若MN的斜率不存在，则，即，解得， 则，所以MN为，此时MN过点. ② 若MN的斜率存在，则， 所以MN的方程为，即， 化简得，即，此时MN过点. 综上，MN恒过定点.      【分析】 （1）根据双曲线的渐近线方程和经过的点列出关于的方程组，即得； （2）方法一：设MN的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理法，求得，结合条件可得，进而得，解方程验证后即得定点；方法二：根据MN的斜率不存在时，分析求得直线经过的定点，在MN的斜率存在时，设MN的方程为，利用韦达定理法，即得；方法三：设AM，BN的方程分别为，，分别与双曲线方程联立求得点的坐标，在MN的斜率不存在时，由推得经过的定点；在MN的斜率存在时，计算得，化简的方程即可证明其过定点. (1) 小问详解： 由题意得 ，解得 ， 所以C的方程为. (2) 小问详解： 略 48．【答案】（1）     （2）①或；② 是，      【分析】 （1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）① 设，直线：，联立直线与双曲线方程，消得到，进而可得，再结合条件，即可求解；② 设直线：，联立双曲线方程，求得，， 结合① 中结果，可求直线的方程，进而判断直线恒过定点，即可求解. (1) 小问详解： 由题意知 解得，，        所以的方程为. (2) 小问详解： 由题意可知，，，设，因为直线交于另外一点（不同于点）， 所以，又双曲线的渐近线为，故，解得， 所以直线，即， 由 ，消得， 所以，解得， 所以. ① 因为，， 又，所以， 解得或，即点的坐标为或. ② 直线，即， 由 ，消得，， 即，所以，解得， 所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 令，得，解得， 所以直线恒过定点， 又，即，又点是的中点，所以， 所以是定值，且定值为. 【点睛】 关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的② 小问，设，直线的方程分别为，，通过联直线与双曲线方程，求得两点坐标，进而求出直线的方程，再判断出直线过定点，即可求解. 49．【答案】 【分析】 设点在双曲线的第一象限，设，，根据，由勾股定理，求得，在中，由余弦定理，列出方程，求得，进而得到双曲线的离心率. 【详解】 设点在双曲线的第一象限，由轴为线段的中垂线，可得， 因为，所以， 由双曲线定义，可得， 设，，代入可得， 因为，可得，所以是直角三角形，且， 由勾股定理得，即， 即，解得或（舍去）， 所以， 在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 50．【答案】（1）     （2）（i）;（ii）动点在定直线上.      【分析】 （1）直接将点代入双曲线方程求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，求出的横坐标，再运用弦长公式即可求解； （ii）设出直线,与双曲线方程联立，设出两点，表示出直线与及其交点,再运用韦达定理化简求解. (1) 小问详解： 因为点在上，所以． 又 ,所以, 故的渐近线方程为. (2) 小问详解： （i）直线的方程为． 由 ,得． 因为,所以, 所以, 解得, 故的方程为. （ii）证明：因为两点均不在轴上，所以直线的斜率不为0，则可设直线的方程为. 由 得, 则. 设,则. 直线,直线, 由 ,得 , 解得, 故动点在定直线上． 51．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）根据双曲线标准方程，可得，解不等式即可； （2）① 由（1）整理成标准形式，由渐近线方程求m即可； ② 由点差法可得的斜率，或者联立直线与双曲线，由韦达定理以及中点求得.的斜率. (1) 小问详解： 由题意得， 得，所以的取值范围为. (2) 小问详解： ① 由，得，则， 所以的渐近线方程为，得. ② 由① 得.设，则. 由 得，得， 得，所以的斜率为. 因为在上支的上侧，的斜率，所以与必定相交于两点. 第（2）② 问还可以这样解答： 由① 得.易知的斜率必定存在，设，）. 由 得， 得，解得. 此时，所以的斜率为. 52．【答案】（1）的方程为， 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．     （2）① 设点，其中且， 由（1）可知的方程为， 因为，所以， 因此，三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程，得， 则， 由（1）可知， 所以 ， 所以为定值1； （法二）设，则有，解得， 同理由，解得， 所以， 所以为定值1； 由椭圆定义，得， ， 解得，同理可得， 所以 ． 因为，所以的周长为定值． ；② 存在；      【分析】 （1）设，由题意可得，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解； （2）设点，其中且. （ⅰ）由可知三点共且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，进而表示出，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由得，，进而表示出，化简计算即可；（ii）由（ⅰ）可知三点共线，且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，计算化简可得，结合由内切圆性质计算即可求解. (1) 小问详解： 设点，由题意可知， 即， 经化简，得的方程为， (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线， 根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程， 得， ，（*） 因为， 所以 ， 将（*）代入上式，化简得， （法二）设，依条件有，解得， 同理由，解得， 所以． 由双曲线的定义，得， 根据，解得， 同理根据，解得， 所以 ， 由内切圆性质可知，， 当时，（常数）． 因此，存在常数使得恒成立，且． 【点睛】 方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 考点03 抛物线 1．AC 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．D 8．D 9．B 10．C 11．ACD 12．D 13．A 14．BC 15．B 16．ACD 17．BCD 18．【答案】5 【分析】先计算抛物线的准线，再计算点到准线的距离. 【详解】抛物线，准线为： 点到其焦点的距离为点到准线的距离为5 故答案为5 【点睛】本题考查了抛物线的性质，意在考查学生对于抛物线的理解. 19．【答案】 【分析】 化成标准方程即可求解. 【详解】 由可得， 所以焦点坐标为． 故答案为：. 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离，满足抛物线的定义，根据定义即可求解； （2）利用点差法求出直线的斜率即可. (1) 小问详解： 由题意知根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. (2) 小问详解： 设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即经检验满足题意. 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，结合抛物线的定义，列出方程，即可求解； （2）根据题意，将代入抛物线方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. (1) 小问详解： 解：由抛物线方程为，可得且焦点， 设点，因为，由抛物线的定义，可得， 解得，即点的横坐标为. (2) 小问详解： 解：由（1）知，代入抛物线，可得，解得， 又因为垂直于轴于点，且， 所以的面积为. 22．【答案】或 【分析】 考虑和两种情况，时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，得到答案. 【详解】 动点M到定点的距离比M到轴的距离大3， 当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线， 设抛物线方程为，则，即，所以； 当时，满足条件. 综上所述：动点M的轨迹方程为：时，；时，. 故答案为：或 23．【答案】（1）抛物线，焦点坐标；     （2）      【分析】 (1)利用抛物线的几何性质即可得到方程和焦点坐标； (2)利用弦长公式和点到直线的距离公式，就可以求面积. (1) 小问详解： 由抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5， 则抛物线，焦点坐标； (2) 小问详解： 过焦点作斜率为2的直线方程为：， 与抛物线联立方程组，消得：， 设，则， 则， 又点到直线的距离为：， 所以的面积为. 24．【答案】 【分析】 先算出点的坐标，进而求出椭圆的方程即可求得面积. 【详解】 由对称性，不妨设点在轴的上方，由题意得， ，所以，即， 代入椭圆方程解得，所以，即， 所以,. 故答案为： 25．【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）根据抛物线的定义求出点的坐标，然后就可以求斜率； （2）根据两点间的距离公式表达出，再根据满足最值的条件就可以求出的范围； （3）讨论所在的位置，再结合面积建立等式就可以求出. 【详解】 （1），，∴ ∴ ， 所以 . （2）由 得 ，∴ 设，则 ， 由题意最大，所以对称轴， ∴. （3）是的圆心 .设 （i）若都位于上，则，(舍)      （ii）若都位于上，则 ① ② 将① 式代入② 式，得：       或 代入① 得：或   （舍）      （iii）若分别位于与上， 则，得 ∴，∴           综上：. 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键一是抛物线定义的使用，二是恒成立时，取最值的条件，三是要分类讨论，并要做正确的取舍. 26．【答案】（1），     （2）8      【分析】 （1）利用抛物线的定义结合条件求得，得其解析式，代入点，计算即得m的值； （2）依题意设直线：，直线：，将其分别与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求得和，结合，表示出四边形ABCD面积的表示式，借助于基本不等式即可求出其最小值. (1) 小问详解： 因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； (2) 小问详解： 由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图：        因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得 ， 则有，∴， 又∵， 同理，联立直线与抛物线C的方程，得 ， 则有，∴， 又∵，∴， 又∵， ∴ ， 当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 27．【答案】3 【分析】 利用抛物线的定义可判定，则从而得出直线的斜率，设其方程与M、N坐标，联立抛物线方程结合韦达定理计算即可. 【详解】 如图，的焦点为， 由拋物线的定义，知， 又，所以是等边三角形，所以，， 直线的方程为，设，， 联立方程 得， 所以，． 由， 得，解得． 故答案为：3 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据直线与抛物线相切，则联立后，由可求得结果； （2）设，与抛物线方程联立后可得韦达定理的结论，结合弦长公式和平行直线间距离公式可构造方程求得的值；根据抛物线定义可求得结果. (1) 小问详解： 由 得：， 直线与抛物线相切，，解得：（舍）或， 抛物线的标准方程为：. (2) 小问详解： ，可设，，， 由 得：， ，解得：，，， ，又， 由得：，， 解得：或，又，， 由抛物线定义知：. 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设点，根据，联立方程组，求得的值，代入抛物线的方程，求得，即可求解； （2）设直线，联立方程组，得到，利用的面积为，列出方程求得，进而确定圆的圆心和半径，即可求解. (1) 小问详解： 解：设点，且， 由，可得 ，解得， 代入抛物线，可得，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： 解：由抛物线，可得其焦点，设直线， 联立方程组 ，整理得，可得， 则的面积为， 即，解得， 设的中点为，可得，则， 所以 中点坐标，半径， 所以所求圆方程为. 30．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 (1)根据题意，由抛物线的定义可得； (2)由抛物线的性质，当三点共线时，即最小； (3)联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理与弦长公式即可得. (1) 小问详解： 由题意得点到的距离等于点到直线的距离， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线． 故的标准方程为． (2) 小问详解： 设点到的准线的距离为，得． ． 当，，三点共线时，取得最小值，且最小值为． (3) 小问详解： 易得的斜率不为0，设，，． 由 得， 由，得． 由韦达定理得， 则， 所以的取值范围为． 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得关于的一元二次方程，根据韦达定理，.由抛物线的定义，将，转化为，从而得到. （2）由，得，结合（1）求得点的坐标，根据两点间距离公式求得. (1) 小问详解： 设直线的方程为． 由 消去，整理得． 因为直线与抛物线有两个交点，所以，解得． ． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． (2) 小问详解： 设直线的方程为，则. 因为，所以，所以． 因为由（1）知，所以． 由 ，解得 ，所以，即． 所以． 32．【答案】①     ② 【分析】 利用焦半径公式表示，进而利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可. 【详解】 第一空，如图，设，，，，    故，，， 而，故， 可得，，即有 ， 由，所以， 所以，所以. 第二空，，故， 而，故，即， 又， 故， 即，，故得的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】 关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是合理运用焦半径公式结合基本不等式，然后找到取等条件，得到所要求的最值即可． 33．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）求出过且垂直于轴的直线，此直线与抛物线联立方程组求出的值，即可得到的值，根据题中条件求出，从而得到的值； （2）设，，易知，的斜率存在且不为0.设的方程为，则的中垂线斜率为.联立 ，消去，得到关于的一元二次方程，由判别式大于0，得到的范围，根据根与系数的关系得到和，求出，从而得到的中点坐标，利用点斜式得到的中垂线方程，将代入直线计算得到的值，利用弦长公式求出，利用已知条件得到，从而得到的方程. （3）写出，，的坐标，，得到的外接圆圆心为的中点，从而得到圆心坐标，利用两点间的距离公式求出半径和圆心到的距离，从而得到的取值范围. (1) 小问详解： 联立 ，得，，故， 而，故. (2) 小问详解：    设，，易知，的斜率存在且不为0. 设的方程为，则的中垂线斜率为. 联立 ，可得， 故，即， 且，，则， 故的中点为， 的中垂线方程为， 代入可得，即， 故， 可得，故的方程为. (3) 小问详解： 依题意，，又，则， 故的外接圆圆心为的中点，即， 其半径， 而圆心到的距离. 故的取值范围为. 34．【答案】 【分析】 设抛物线上异于的点，其中，根据条件可得，结合两直线垂直计算得到点的横坐标，分类讨论，进而计算得到的取值范围. 【详解】 设抛物线上异于的点，其中， 由，得， 直线的斜率，其方程， 化简得， 焦点，直线垂直于，故直线的斜率为， 方程为， 联立 ，解得， 则 当，，故，从而 因此，当时，.当时，.. 当，此时垂直与轴，点在轴上且是的中点，由， 得，解得故，所以的横坐标为， 综上，的取值范围为， 故答案为： 35．【答案】（1）     （2）     （3）       【分析】 （1）由抛物线的图象性质易求得的值； （2）过点作，垂足为，设可推得，利用抛物线的定义易求出即可； （3）设的倾斜角为，斜率，则的倾斜角为，利用和角的正切公式推得其斜率，联立与抛物线方程，分别求出弦长与，利用题设条件求得或，检验后即可求得的方程. (1) 小问详解： 由抛物线的性质可知，当点与点重合时，取得最小值，即，解得； (2) 小问详解： 由（1）得抛物线的准线方程为. 过点作，垂足为.设，因，则,得， 则点的纵坐标为，由抛物线定义得，解得，所以. (3) 小问详解： 设的倾斜角为，易得，斜率，则的倾斜角为， 其斜率. 设点易得. 由 消元得，则有 于是，. 以代，得. 由，可得，解得或. 当时，，又，所以不符合题意， 故的方程为，即. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $