专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，江西专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 4大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）已知，，则在上的投影向量为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用公式计算即可. 【详解】 在上的投影向量为. 故选：D 2．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的为（       ） A. 长度相等､方向相同的两个向量是相等向量 B. 平行且模相等的两个向量是相等向量 C. 只有零向量的模等于零 D. 若，则是钝角 【答案】AC 【分析】 根据相等向量的定义判断即可；利用零向量的定义判断C；根据向量数量积的定义，结合余弦函数的图象分析即可判断. 【详解】 对于A，根据相等向量的定义即可判断，故A正确； 对于B，因一对相反向量满足平行且模相等，但不是相等向量，故B错误； 对于C，因任何非零向量的模都是正数，只有零向量的模等于零，故C正确； 对于D，由可得，结合余弦函数的图象知， 当时，满足，但是不是钝角,故D错误. 故选：AC. 3．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）在正三棱锥中，分别是的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据空间向量运算化简已知条件，求得，再根据空间向量所成角的知识求得正确答案， 【详解】 由， 所以，由于，所以 在正三棱锥中，，则三角形是等边三角形， 分别是中点，所以， 所以，所以. 故选：C 4．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知空间四点，，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据向量的三角形法则和平行四边形法则，根据起点相同的原则，首先计算，再计算，即可得出正确答案. 【详解】 ； 故选：. 5．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（       ） A. 1 B. －1 C.  D.  【答案】A 【分析】 由求解即可． 【详解】 ，所以． 故选：A． 6．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）（多选）在正四棱台中，，则（       ） A. 和是相等向量 B.  C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量在向量上的投影数量为2 【答案】BCD 【分析】 根据相等向量、空间向量垂直、投影向量、投影数量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 如图，和是相反向量，A错误. 根据正四棱台的性质可知，则，B正确. 设上底面在下底面的射影为， 延长交于点，连接. 根据正四棱台的性质可知， 平面， 平面平面，， 向量在向量上的投影向量为. ， 则向量在向量上的投影向量为，C正确. 向量在向量上的投影数量为，D正确. 故选：BCD 7．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知直三棱柱的每条棱长均为2，为棱的中点，点满足，则的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由共面定理得点在平面内，则的最小值为点到平面的距离．求得点面距后可得结论. 【详解】 ，点在平面内，的最小值为点到平面的距离． 如图，设，的中点分别为，，连接，，，． 由题意，又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为，平面，．，，又，平面． 而平面，所以，所以， 的最小值为． 故答案为：. 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用空间向量的基本定理求解. 【详解】 . 故选：B. 2．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）在四面体中，，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 ∵，∴， ∵，∴， ∴. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知是空间的一个基，则下列向量不共面的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【分析】 由题意可得不共面，只需考查选项中的一个向量是否能表示成另两个向量的数乘之和即可. 【详解】 因为， ， ， 所以，，共面， ，，共面， ，，共面， 设， 则有 ，此方程组无解， 所以，，不共面． 故选：B. 4．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）已知向量以为基底时的坐标为，则向量以为基底时的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据向量在新基底下的坐标表示形式，结合原基底下的坐标，列出方程组，求解方程组即可得到新坐标. 【详解】 因为向量以为基底时的坐标为，所以， 设， 由空间向量基本定理可得 ，解得 ． 因此，向量以为基底时的坐标为． 故选：D 5．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（多选）如图，在棱长为2的正四面体中，，，分别是，，的中点，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据已知条件，利用向量的运算可得. 【详解】 由题意得，A错误； ，，BC均正确；，D错误． 故选：BC 6．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）在三棱柱中，的外心为,则的长为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 结合三角形的外接圆性质，运用基底法解决向量模长问题. 【详解】 设,由题意知,则 ,得 ,得 , 因为, 所以 . 故答案为：. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）已知，则A，B两点间的距离为（       ） A.  B.  C. 12 D. 24 【答案】B 【分析】 由空间两点间距离公式求解. 【详解】 因为， 所以， 故选：B 2．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据空间直角坐标系中点的坐标的定义推理即得. 【详解】 点关于平面的对称点的坐标为. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知点是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设点M关于平面对称的点为，利用的中点为列式求解即可. 【详解】 设点M关于平面对称的点为，则的中点为， 从而 ，解得 ，所以. 故选：D 4．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）在空间直角坐标系中，到平面的距离为2的点的坐标可能为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间中点到平面的距离为即可求解. 【详解】 点到平面的距离为， 故只有A正确. BCD中,,到平面的距离分别为1，1，0.故错误. 故选：A 5．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为1，到平面的距离为2，到平面的距离为3.则以为直径的球的表面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先由空间直角坐标系的定义设的坐标，再由两点间的距离公式求出半径，最后代入球的表面积公式计算得到答案. 【详解】 在空间直角坐标系中，设点， 因为点到平面的距离为1，到平面的距离为2，到平面的距离为3； 所以 则以为直径的球的半径为， 所以该球的表面积为. 故选：B 6．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）已知空间向量，，则在方向上的投影向量的坐标为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用坐标计算，，最后根据公式计算. 【详解】 由题意得，， ， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为： 7．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）在空间直角坐标系中，点，，，设，． （1）求与方向相同的单位向量的坐标； （2）求与夹角的余弦值； （3）若，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由单位向量计算公式即可求解； （2）由向量夹角公式即可求解； （3）由向量垂直的坐标表示即可求解. (1) 小问详解： 由题意得， 所以与方向相同的单位向量的坐标为． (2) 小问详解： 由题意得， ． (3) 小问详解： 由题意得， 则， 得． 8．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）在空间直角坐标系中，点为整数，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】4 【分析】 结合题意利用两点之间的距离公式求解. 【详解】 ， 因为为整数，所以的最小值为4. 故答案为：4 考点04 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（       ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【分析】 利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】 对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 2．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用线面平行关系判断AC；利用线面垂直关系判断BD. 【详解】 对于A，由，得或是异面直线，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，由，得或，C错误； 对于D，由，得，而，因此，D正确. 故选：D 3．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）（多选）如图，在四棱台中，平面，上、下底面均为正方形，，，，则（       ） A. 直线平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 若该四棱台内（包括表面）的动点到顶点，的距离相等，则点形成的图形的面积为 D. 若底面内的动点到顶点的距离为2，则动点的轨迹的长度为 【答案】BCD 【分析】 结合空间点、线、面的位置关系的判断，直线与平面平行的判定，以及轨迹的求法，对各项逐一判断，即可得到本题答案. 【详解】 连接，与交于点，连接，，则可得，与不平行，是过直线的平面与平面的交线，若直线平面，则必有，从而得出矛盾，所以A项错误； 连接，则，则（或其补角）为所求， 易得， 因为，平面，所以，从而平面， 所以，则，又， 所以在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，所以B项正确； 依题意，该四棱台被对角面分成的两部分关于该对角面对称， 所以该对角面上任意一点到顶点，的距离都相等， 所以所求面积即为该对角面的面积，易得面积为，所以C项正确； 底面内的动点到顶点的距离为2，即，连接，，则，所以动点的轨迹是以为半径的圆，即正方形的内切圆，其周长为，所以D项正确． 故选：BCD 4．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知正方形的边长为，现将沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（       ） A. 平面 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 三棱锥的外接球的表面积为定值 D. 与平面所成角的范围是 【答案】D 【分析】 根据线面垂直的判定定理，证得平面，可判定A正确；当平面平面时，得到到平面的距离最大，进而求得体积的最大值，可判定B正确；由，得到三棱锥外接球的球心为，求得外接球的半径，可判定C正确；把与平面所成的角，转化为直线与平面所成的角，求得其范围，可判定D错误. 【详解】 对于A中，因为为正方形，可得， 又由，且平面，所以平面，所以A正确； 对于B中，当平面平面时，此时到平面的距离最大， 即三棱锥高的最大值为， 此时三棱锥的最大体积为，所以B正确； 对于C中，由，所以三棱锥外接球的球心为， 即外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积为（定值）， 所以C正确； 对于D中，如图所示，取的中点，分别连接， 因为分别为中点，可得且， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为，所以平面， 所以即为直线与平面所成的角， 在折叠过程中，设的长度为，则 由为的中点，所以， 在直角中，可得， 所以的取值范围为，即与平面所成的角的范围为， 所以D错误. 故选：D. 5．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的有（       ） A. 若向量与空间任意向量都不能构成基底，则； B. 已知两个向量，且，则 C. 若平面的法向量，则点到平面的距离是2 D. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 【答案】ABD 【分析】 对于A由空间向量基本定理判断；对于B，利用即可求解；对于C，根据空间中距离的向量求法即可求解；对于D，根据空间直角坐标系中点的对称知识即可判断. 【详解】 对于A由空间向量基本定理知，若向量，与空间任意向量都不能构成基底， 则与一定共线，故正确； 对于B，若，则，即， 则 ，解得：，，则，故B正确； 对于C，点到平面的距离为，所以C错误； 对于D，在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是。故D正确； 故选：ABD 6．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）（多选）在直三棱柱中，，点是棱上一点，则下列说法正确的有（     ） A.  B. 四棱锥的体积为6 C. 直三棱柱外接球的表面积为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【分析】 证明平面判断A；由于平面，进而结合等体积法求解即可判断B；将问题转化为以为邻边的长方体的外接球的表面积求解即可判断C；平面展开使得与面共面，再根据两点之间线段最短求解即可判断D. 【详解】 对于A，直三棱柱中，平面,平面,故， 由于，故，即， 因为，平面,平面, 所以平面， 因为是棱上一点，平面， 所以，故A选项正确； 对于B，在直三棱柱中，，平面，平面，故平面， 所以， 过作，垂足为，由等面积法得， 在直三棱柱中，平面,平面,故， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以，即四棱锥的体积为，故B选项错误； 对于C，由题知两两垂直， 所以直三棱柱外接球与以为邻边的长方体的外接球相同， 所以直三棱柱外接球的直径为， 所以直三棱柱外接球的表面积为，故C选项正确； 对于D，将平面展开，与平面共面，得到如下图的矩形， 所以， 所以的最小值为，故D选项正确； 故选：ACD 7．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O为球心，半径为的球面上，并且，C，D在同一平面内，点为此八面体表面上的动点，且，则点Q的轨迹长度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据八面体的性质求出其棱长，进而确定点的轨迹，最后根据圆的周长公式计算轨迹长度. 【详解】 考虑点在侧面上运动时点的轨迹长度，如下图所示： 易知，且是边长为2的等边三角形， 则三棱锥是正三棱锥， 则点在底面内的射影点为的中心， 取为的中点，连接，则， 因为， 故，则， 所以，为等腰直角三角形，且，    ， 因为为等边的中心，则， 所以，， 因为平面平面， 所以， 则， 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在内的圆弧， 如图，设圆与交于两点， 由于在中，    则，所以， 则， 所以圆在内的一段弧的长为， 则点Q的轨迹长度为. 故选：A. 8．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）（多选）在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（       ） A. 顶点到平面的最大距离为 B. 存在点，使得平面 C. 的最小值 D. 当为中点时，为锐角 【答案】BCD 【分析】 根据空间中点线面的位置关系，以及夹角和距离的向量方法，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出方向向量和法向量，根据公式逐一判断各选项的正误，求出结果. 【详解】    如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则，则， 故， 故，， 对于选项A，，设平面的法向量， 则有 ，可取， 则点到平面的距离为， 当时，点到平面的距离为0， 当时，，当且仅当时取等号， 所以点到平面的最大距离为，故A错误. 对于选项B，当平面，因为平面，所以， 则 ，解得， 故存在点，使得平面，故B正确； 对于选项C，当时，取得最小值，由B得此时， 则，， 所以，即的最小值为，故C正确； 对于选项D，当为中点时，则，， 则，， 所以，所以为锐角，故D正确； 故选：BCD. 9．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）在三棱锥中，，若点在的内部及边界上运动，且，则点的轨迹的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题知点在底面上的投影是的外心，记为，进而将问题转化为点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内及边界上的弧，再求弧长即可得答案. 【详解】 因为， 所以三棱锥为正三棱锥，底面三角形是边长为的等边三角形， 所以点在底面上的投影是的外心，记为， 所以平面， 取中点，连接，则为的三等分点靠近点的点， 所以 所以， 因为点在的内部及边界上运动，且， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内及边界上的弧，如图所示， 所以，点的轨迹的长度为的长度， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以， 所以点的轨迹的长度为的长度占以为圆心，为半径圆的周长的 所以，点的轨迹的长度 故选：B 10．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）（多选）在棱长为3的正方体中，点在侧面所在平面内运动，为的中点，则下列说法正确的是（       ） A. 当在线段上运动时，恒有 B. 当为正方形的中心时，与所成角的正弦值为 C. 若点满足，则平面截正方体所得截面的周长是 D. 若与重合，三棱锥外接球半径是 【答案】AD 【分析】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断A、B、C，由平面，求出外接圆的半径，再由勾股定理求出外接球的半径，即可判断D. 【详解】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 对于A：如下图所示： 则、、、、， 设，其中，则， 所以，， 所以，故，故A正确； 对于B：当为正方形的中心时，则、， ，， 所以， 故， 故当为正方形的中心时，直线、所成角的正弦值为，故B错误； 对于C：如下图所示： 设平面交棱于点， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 故平面截正方体所得截面为梯形， 又因为，结合等角定理可得， 因为，故为等腰直角三角形，故， 则，， 所以平面截正方体所得的周长是，故C错误； 对于D：当与重合时，平面， 又为直角三角形，斜边， 所以外接圆的半径， 设三棱锥外接球半径为，则， 即，解得（负值已舍去），故D正确. 故选：AD 11．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． （1）求证：平面平面； （2）当Q为中点时，求点B到平面的距离． 【答案】（1） 由题意证明如下， ∵四边形是正方形， ∴． ∵平面平面，所以 ∴． 平面，平面， ∴平面． ∵平面， ∴平面平面．     （2）．      【分析】 （1）通过证明和得出平面，再由直线在面内，即可得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系并表达出各点坐标，得出对应的向量和平面的法向量，即可求出点B到平面的距离. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意及（1）得， 在正方形中，, 在四棱锥中，，平面，Q为中点， 面，面，, ∴，， 建立空间直角坐标系如下图所示 ． 所以， 设平面的法向量为， 则 得 当时，则， 设点B到平面的距离为， ， 则． 12．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）如图，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的周长为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定的直观图，利用斜二测画法确定的特征，进而求出的周长. 【详解】 依题意，在中，是边的中点，，， 因此，所以的周长为， 故答案为： 13．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）在棱长为 1 的正方体中分别是B1的中点. （1）求与所成角的余弦值； （2）点到平面的距离. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解， （2）求解平面法向量，即可根据点到平面距离的向量法公式求解. (1) 小问详解： 建立如图所示的空间直角坐标系， , , 所以； ； 设与所成角为，则 故与所成角的余弦值为. (2) 小问详解： 则 设平面的法向量则且即： 令得故； ； 设点到平面的距离为， 故. 14．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）如图，在平行六面体中，，，，，设，，.    （1）用，，表示，，； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若点为线段的四等分点，且，点为线段的中点，在线段上是否存在一点，使得点与点，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），，     （2）     （3）假设在线段上存在符合题意的点，设，则， ， ，， 因为与点四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 即， 则，与矛盾，所以假设不成立， 故在线段上不存在点，使得点与点四点共面.      【分析】 （1）应用空间向量加减法运算； （2）空间向量数量积运算律结合模长公式代入余弦公式计算求解； （3）设，应用四点共面的条件得出与矛盾. (1) 小问详解： ， ， ； (2) 小问详解： 由题知，，，， 则，，，， ， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为； (3) 小问详解： 略 15．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. （1）证明：； （2）求点到平面BDE的距离； 【答案】（1） 因为底面底面ABCD，所以， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 因为，所以平面PCD， 因为平面PCD，所以. 在中，是PC的中点，则， 因为，所以平面PBC， 因为平面PBC，所以， 因为， 所以平面DEF，因为平面DEF， 所以.     （2）      【分析】 （1）利用线面垂直的性质与判定以及等腰三角形的性质，可得线线垂直，再根据线面垂直的判定，可得答案. （2）利用等体积法，根据三棱锥的体积计算，结合线面垂直的性质与判定，可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接AC交BD于点，如图所示： 则，又底面平面ABCD，得， 而，则平面PDB， 所以点到平面PDB的距离为， 因为是PC的中点，所以， ， 所以，所以， 因为，四边形ABCD为正方形， 所以， 因为，所以，则， 设点到平面BDE的距离为，则，所以，解得. 16．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）如图，垂直于梯形所在平面，为PA的中点，，四边形为矩形.    （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1） 设交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点. 在中，分别为的中点， 所以， 因为平面平面DEF， 所以平面.         （2）      【分析】 （1）设交于点，连接，可得，利用线面平行的判定定理进行证明即可. （2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系,求出相关向量，再根据向量法求线面角公式进行计算. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为垂直于梯形所在平面， ，所以两两垂直， 如图以为原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则， 所以，，. 设平面的法向量为， 则 ， 令，则. 设直线与平面的夹角为 所以. 17．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，． （1）证明：． （2）若点，，，都在半径为的球的表面上． （ⅰ）求； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为平面平面，，平面， 平面平面，所以平面， 又因为平面，所以. 故.     （2）（ⅰ）；（ⅱ）．      【分析】 （1）先利用线面垂直证明平面，从而可求解； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，设出球心，再结合可得球心坐标，从而可求得点坐标；（ⅱ）利用面面角的向量法即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴， 过点在平面内作的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，    （ⅰ）设，由， 得， 解得，，所以， 设不同时为零，由，， 得且， 解得，，所以，则. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，．        设平面的一个法向量为， 则 ，即 取，得．        设平面的一个法向量为， 则 ，即 取，得．        设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1） 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB；     （2）      【分析】 （1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ， ， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 19．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）如图，三棱锥中，是一个边长为2的正三角形，.    （1）求证：平面平面ABC； （2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，如图， ∵是一个边长为2的正三角形，∴，且， ∵，∴是直角三角形，为斜边， ∴， ∵，∴，即， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面.         （2）      【分析】 （1）取中点，连接，进而根据边长关系证明平面即可证明结论； （2）取的中点连接，进而得是异面直线与所成的角或其补角，再根据几何关系，结合余弦定理求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 取的中点连接 ∵为的中点∴，且， ∴是异面直线与所成的角或其补角， 取中点，连接， ∵在中，为中点，∴，， ∵在中，，，， ∴由余弦定理得，即， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴ ∴，即， ∴在中，， ∴异面直线与所成的角的余弦值为. 20．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 证明：取中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形，即， ∵平面，平面， ∴平面.             （2） 证明：∵平面平面， ∴ ∵，，， ∴， ∴，即， ∵，平面，平面， ∴平面.     （3）      【分析】 （1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形即可证明结论； （2）证明，即可证明结论； （3）利用等体积法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设点到平面的距离为， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴ ∵∵平面平面， ∴ ∵，，平面，平面， ∴平面， ∵，， ∴， ∴，即点到平面的距离为 21．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）如图，在三棱柱中，，分别为棱，上的点，满足，，且与的面积之比为    （1）证明：平面； （2）求点到平面与到平面的距离之比； （3）若，直线，，两两相互垂直，求平面与平面所成角余弦值的取值范围 【答案】（1） 作平行四边形与平行四边形，连接交与点，如下图所示：    显然，，所以，即； 又，可知为的中点，即， 所以， 又因为，； 所以，且，所以为平行四边形，即； 又因为，所以，可得， 故，，，四点共面， 又，平面，平面； 故平面     （2）2     （3）      【分析】 （1）作出辅助线，利用三角形相似以及线面平行判定定理可证明出结论； （2）根据等体积法以及锥体体积公式计算可得结果； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出两平面与平面的法向量，再由向量夹角的坐标表示计算即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设点到平面与到平面的距离分别为，， 由∥平面，有， 则， 易知，点到的距离为点到的距离的一半， 所以，可得， 又，， 又因为， 即得 (3) 小问详解： 如图，以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系 设，，， 则，，，，，    易知，，， 设平面的一个法向量为， 则 ，可取， 设平面的一个法向量为， 则 ，可取， 则， 由可知， 即，解得， 设平面与平面所成角为， 则 22．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，，．    （1）若． （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． （2）求三棱锥外接球的半径的最小值． 【答案】（1）（ⅰ），，，平面，平面， 平面，平面，平面平面； （ⅱ）；     （2）4.      【分析】 （1）（ⅰ）由和得到平面，平面平面；（ⅱ），过作交于，由平面平面， 得到平面，过作，以为原点，分别为轴建系，利用空间向量法求解； （2）根据题中条件找到三棱锥外接球的球心为直线和直线的交点，求出的外接圆的半径为和的外接圆的半径为， 找到为二面角的平面角，设，利用余弦定理求出，利用四点共圆，得到为四边形的外接圆的半径，利用正弦定理得到，通过换元法及基本不等式得到的最小值，三棱锥外接球的半径为，由，得到的最小值. (1) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）平面平面，过作交于，平面， 平面，过作，以为原点，分别为轴建系，如图所示.    是等腰三角形，，，， 是等腰三角形，，，， ，，， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， ， ，取，解得， ， 平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， ， 平面与平面的夹角的余弦值为； (2) 小问详解： 设的中点为，，为的外心，过作平面，    设的外接圆的外心为，过作平面的垂线， 则球心在直线上，球心在直线上， 三棱锥外接球的球心为直线和直线的交点， 的外接圆的半径为， 在中，设的外接圆的半径为，，，， ，， 设的中点为，则， 则为二面角的平面角，设， ，，， ，， ， ， ，四点共圆， 为四边形的外接圆的半径， ， 设，则，， ， 当且仅当时，即时取等号，， 三棱锥外接球的半径为，， ，. 23．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）如图，在多面体中，，，，侧面为矩形，平面，平面． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 为矩形，， 平面，平面，， 平面，平面，，平面， 平面，.     （2） ；     （3）.      【分析】 （1）由为矩形得到，由平面得到，从而得到平面，又平面，从而得到. （2）利用空间向量法求解； （3）利用空间向量法求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图所示，以为原点，分别为轴建系. 则， ， 设平面的一个法向量为， 则 ， ， 取，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， .即直线与平面所成角的正弦值为. (3) 小问详解： 设点到平面的距离，， . 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 4大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）已知，，则在上的投影向量为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的为（       ） A. 长度相等､方向相同的两个向量是相等向量 B. 平行且模相等的两个向量是相等向量 C. 只有零向量的模等于零 D. 若，则是钝角 3．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）在正三棱锥中，分别是的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知空间四点，，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（       ） A. 1 B. －1 C.  D.  6．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）（多选）在正四棱台中，，则（       ） A. 和是相等向量 B.  C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量在向量上的投影数量为2 7．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知直三棱柱的每条棱长均为2，为棱的中点，点满足，则的最小值为　　　　　　　　． 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）在四面体中，，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知是空间的一个基，则下列向量不共面的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）已知向量以为基底时的坐标为，则向量以为基底时的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（多选）如图，在棱长为2的正四面体中，，，分别是，，的中点，则（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）在三棱柱中，的外心为,则的长为　　　　　　　　　　. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）已知，则A，B两点间的距离为（       ） A.  B.  C. 12 D. 24 2．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知点是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）在空间直角坐标系中，到平面的距离为2的点的坐标可能为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为1，到平面的距离为2，到平面的距离为3.则以为直径的球的表面积为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）已知空间向量，，则在方向上的投影向量的坐标为　　　　　　　　　　. 7．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）在空间直角坐标系中，点，，，设，． （1）求与方向相同的单位向量的坐标； （2）求与夹角的余弦值； （3）若，求的值． 8．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）在空间直角坐标系中，点为整数，则的最小值为　　　　　　　　　　. 考点04 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（       ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 2．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）（多选）如图，在四棱台中，平面，上、下底面均为正方形，，，，则（       ） A. 直线平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 若该四棱台内（包括表面）的动点到顶点，的距离相等，则点形成的图形的面积为 D. 若底面内的动点到顶点的距离为2，则动点的轨迹的长度为 4．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知正方形的边长为，现将沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（       ） A. 平面 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 三棱锥的外接球的表面积为定值 D. 与平面所成角的范围是 5．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的有（       ） A. 若向量与空间任意向量都不能构成基底，则； B. 已知两个向量，且，则 C. 若平面的法向量，则点到平面的距离是2 D. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 6．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）（多选）在直三棱柱中，，点是棱上一点，则下列说法正确的有（     ） A.  B. 四棱锥的体积为6 C. 直三棱柱外接球的表面积为 D. 的最小值为 7．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O为球心，半径为的球面上，并且，C，D在同一平面内，点为此八面体表面上的动点，且，则点Q的轨迹长度为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）（多选）在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（       ） A. 顶点到平面的最大距离为 B. 存在点，使得平面 C. 的最小值 D. 当为中点时，为锐角 9．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）在三棱锥中，，若点在的内部及边界上运动，且，则点的轨迹的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）（多选）在棱长为3的正方体中，点在侧面所在平面内运动，为的中点，则下列说法正确的是（       ） A. 当在线段上运动时，恒有 B. 当为正方形的中心时，与所成角的正弦值为 C. 若点满足，则平面截正方体所得截面的周长是 D. 若与重合，三棱锥外接球半径是 11．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． （1）求证：平面平面； （2）当Q为中点时，求点B到平面的距离． 12．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）如图，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的周长为　　　　　　　　　　. 13．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）在棱长为 1 的正方体中分别是B1的中点. （1）求与所成角的余弦值； （2）点到平面的距离. 14．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）如图，在平行六面体中，，，，，设，，.    （1）用，，表示，，； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若点为线段的四等分点，且，点为线段的中点，在线段上是否存在一点，使得点与点，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. （1）证明：； （2）求点到平面BDE的距离； 16．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）如图，垂直于梯形所在平面，为PA的中点，，四边形为矩形.    （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值. 17．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，． （1）证明：． （2）若点，，，都在半径为的球的表面上． （ⅰ）求； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 19．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）如图，三棱锥中，是一个边长为2的正三角形，.    （1）求证：平面平面ABC； （2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 20．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离. 21．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）如图，在三棱柱中，，分别为棱，上的点，满足，，且与的面积之比为    （1）证明：平面； （2）求点到平面与到平面的距离之比； （3）若，直线，，两两相互垂直，求平面与平面所成角余弦值的取值范围 22．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，，．    （1）若． （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． （2）求三棱锥外接球的半径的最小值． 23．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）如图，在多面体中，，，，侧面为矩形，平面，平面． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．D 2．AC 3．C 4．A 5．A 6．BCD 7．【答案】 【分析】 由共面定理得点在平面内，则的最小值为点到平面的距离．求得点面距后可得结论. 【详解】 ，点在平面内，的最小值为点到平面的距离． 如图，设，的中点分别为，，连接，，，． 由题意，又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为，平面，．，，又，平面． 而平面，所以，所以， 的最小值为． 故答案为：. 考点02 空间向量基本定理 1．B 2．C 3．B 4．D 5．BC 6．【答案】 【分析】 结合三角形的外接圆性质，运用基底法解决向量模长问题. 【详解】 设,由题意知,则 ,得 ,得 , 因为, 所以 . 故答案为：. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．B 2．D 3．D 4．A 5．B 6．【答案】 【分析】 利用坐标计算，，最后根据公式计算. 【详解】 由题意得，， ， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为： 7．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由单位向量计算公式即可求解； （2）由向量夹角公式即可求解； （3）由向量垂直的坐标表示即可求解. (1) 小问详解： 由题意得， 所以与方向相同的单位向量的坐标为． (2) 小问详解： 由题意得， ． (3) 小问详解： 由题意得， 则， 得． 8．【答案】4 【分析】 结合题意利用两点之间的距离公式求解. 【详解】 ， 因为为整数，所以的最小值为4. 故答案为：4 考点04 空间向量的应用 1．ACD 2．D 3．BCD 4．D 5．ABD 6．ACD 7．A 8．BCD 9．B 10．AD 11．【答案】（1） 由题意证明如下， ∵四边形是正方形， ∴． ∵平面平面，所以 ∴． 平面，平面， ∴平面． ∵平面， ∴平面平面．     （2）．      【分析】 （1）通过证明和得出平面，再由直线在面内，即可得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系并表达出各点坐标，得出对应的向量和平面的法向量，即可求出点B到平面的距离. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意及（1）得， 在正方形中，, 在四棱锥中，，平面，Q为中点， 面，面，, ∴，， 建立空间直角坐标系如下图所示 ． 所以， 设平面的法向量为， 则 得 当时，则， 设点B到平面的距离为， ， 则． 12．【答案】 【分析】 根据给定的直观图，利用斜二测画法确定的特征，进而求出的周长. 【详解】 依题意，在中，是边的中点，，， 因此，所以的周长为， 故答案为： 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解， （2）求解平面法向量，即可根据点到平面距离的向量法公式求解. (1) 小问详解： 建立如图所示的空间直角坐标系， , , 所以； ； 设与所成角为，则 故与所成角的余弦值为. (2) 小问详解： 则 设平面的法向量则且即： 令得故； ； 设点到平面的距离为， 故. 14．【答案】（1），，     （2）     （3）假设在线段上存在符合题意的点，设，则， ， ，， 因为与点四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 即， 则，与矛盾，所以假设不成立， 故在线段上不存在点，使得点与点四点共面.      【分析】 （1）应用空间向量加减法运算； （2）空间向量数量积运算律结合模长公式代入余弦公式计算求解； （3）设，应用四点共面的条件得出与矛盾. (1) 小问详解： ， ， ； (2) 小问详解： 由题知，，，， 则，，，， ， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为； (3) 小问详解： 略 15．【答案】（1） 因为底面底面ABCD，所以， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 因为，所以平面PCD， 因为平面PCD，所以. 在中，是PC的中点，则， 因为，所以平面PBC， 因为平面PBC，所以， 因为， 所以平面DEF，因为平面DEF， 所以.     （2）      【分析】 （1）利用线面垂直的性质与判定以及等腰三角形的性质，可得线线垂直，再根据线面垂直的判定，可得答案. （2）利用等体积法，根据三棱锥的体积计算，结合线面垂直的性质与判定，可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接AC交BD于点，如图所示： 则，又底面平面ABCD，得， 而，则平面PDB， 所以点到平面PDB的距离为， 因为是PC的中点，所以， ， 所以，所以， 因为，四边形ABCD为正方形， 所以， 因为，所以，则， 设点到平面BDE的距离为，则，所以，解得. 16．【答案】（1） 设交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点. 在中，分别为的中点， 所以， 因为平面平面DEF， 所以平面.         （2）      【分析】 （1）设交于点，连接，可得，利用线面平行的判定定理进行证明即可. （2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系,求出相关向量，再根据向量法求线面角公式进行计算. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为垂直于梯形所在平面， ，所以两两垂直， 如图以为原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则， 所以，，. 设平面的法向量为， 则 ， 令，则. 设直线与平面的夹角为 所以. 17．【答案】（1） 因为平面平面，，平面， 平面平面，所以平面， 又因为平面，所以. 故.     （2）（ⅰ）；（ⅱ）．      【分析】 （1）先利用线面垂直证明平面，从而可求解； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，设出球心，再结合可得球心坐标，从而可求得点坐标；（ⅱ）利用面面角的向量法即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴， 过点在平面内作的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，    （ⅰ）设，由， 得， 解得，，所以， 设不同时为零，由，， 得且， 解得，，所以，则. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，．        设平面的一个法向量为， 则 ，即 取，得．        设平面的一个法向量为， 则 ，即 取，得．        设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18．【答案】（1） 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB；     （2）      【分析】 （1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ， ， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 19．【答案】（1） 取中点，连接，如图， ∵是一个边长为2的正三角形，∴，且， ∵，∴是直角三角形，为斜边， ∴， ∵，∴，即， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面.         （2）      【分析】 （1）取中点，连接，进而根据边长关系证明平面即可证明结论； （2）取的中点连接，进而得是异面直线与所成的角或其补角，再根据几何关系，结合余弦定理求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 取的中点连接 ∵为的中点∴，且， ∴是异面直线与所成的角或其补角， 取中点，连接， ∵在中，为中点，∴，， ∵在中，，，， ∴由余弦定理得，即， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴ ∴，即， ∴在中，， ∴异面直线与所成的角的余弦值为. 20．【答案】（1） 证明：取中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形，即， ∵平面，平面， ∴平面.             （2） 证明：∵平面平面， ∴ ∵，，， ∴， ∴，即， ∵，平面，平面， ∴平面.     （3）      【分析】 （1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形即可证明结论； （2）证明，即可证明结论； （3）利用等体积法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设点到平面的距离为， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴ ∵∵平面平面， ∴ ∵，，平面，平面， ∴平面， ∵，， ∴， ∴，即点到平面的距离为 21．【答案】（1） 作平行四边形与平行四边形，连接交与点，如下图所示：    显然，，所以，即； 又，可知为的中点，即， 所以， 又因为，； 所以，且，所以为平行四边形，即； 又因为，所以，可得， 故，，，四点共面， 又，平面，平面； 故平面     （2）2     （3）      【分析】 （1）作出辅助线，利用三角形相似以及线面平行判定定理可证明出结论； （2）根据等体积法以及锥体体积公式计算可得结果； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出两平面与平面的法向量，再由向量夹角的坐标表示计算即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设点到平面与到平面的距离分别为，， 由∥平面，有， 则， 易知，点到的距离为点到的距离的一半， 所以，可得， 又，， 又因为， 即得 (3) 小问详解： 如图，以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系 设，，， 则，，，，，    易知，，， 设平面的一个法向量为， 则 ，可取， 设平面的一个法向量为， 则 ，可取， 则， 由可知， 即，解得， 设平面与平面所成角为， 则 22．【答案】（1）（ⅰ），，，平面，平面， 平面，平面，平面平面； （ⅱ）；     （2）4.      【分析】 （1）（ⅰ）由和得到平面，平面平面；（ⅱ），过作交于，由平面平面， 得到平面，过作，以为原点，分别为轴建系，利用空间向量法求解； （2）根据题中条件找到三棱锥外接球的球心为直线和直线的交点，求出的外接圆的半径为和的外接圆的半径为， 找到为二面角的平面角，设，利用余弦定理求出，利用四点共圆，得到为四边形的外接圆的半径，利用正弦定理得到，通过换元法及基本不等式得到的最小值，三棱锥外接球的半径为，由，得到的最小值. (1) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）平面平面，过作交于，平面， 平面，过作，以为原点，分别为轴建系，如图所示.    是等腰三角形，，，， 是等腰三角形，，，， ，，， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， ， ，取，解得， ， 平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， ， 平面与平面的夹角的余弦值为； (2) 小问详解： 设的中点为，，为的外心，过作平面，    设的外接圆的外心为，过作平面的垂线， 则球心在直线上，球心在直线上， 三棱锥外接球的球心为直线和直线的交点， 的外接圆的半径为， 在中，设的外接圆的半径为，，，， ，， 设的中点为，则， 则为二面角的平面角，设， ，，， ，， ， ， ，四点共圆， 为四边形的外接圆的半径， ， 设，则，， ， 当且仅当时，即时取等号，， 三棱锥外接球的半径为，， ，. 23．【答案】（1） 为矩形，， 平面，平面，， 平面，平面，，平面， 平面，.     （2） ；     （3）.      【分析】 （1）由为矩形得到，由平面得到，从而得到平面，又平面，从而得到. （2）利用空间向量法求解； （3）利用空间向量法求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图所示，以为原点，分别为轴建系. 则， ， 设平面的一个法向量为， 则 ， ， 取，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， .即直线与平面所成角的正弦值为. (3) 小问详解： 设点到平面的距离，， . 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $