精品解析：江西省萍乡市高中学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

萍乡市高中学校2024—2025学年度第一学期期中联考 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第三章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的性质即可求解. 【详解】由，得，， 所以渐近线方程为，即 故选：C 3. 已知直线与.若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行列方程，从而求得的值. 【详解】由于，所以， 此时两直线方程分别为， 不重合，符合题意，所以. 故选：B 4. 已知向量，，.若，，共面，则（ ） A. 11 B. C. 9 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共面列方程，由此求得的值. 【详解】依题意，，，共面， 所以存在，使得， 即， 所以，解得. 故选：A 5. 一束光线从点射出，经轴反射后经过点，则该束光线从点到点的路径长为（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出关于轴的对称点,再根据两点间距离公式计算即可. 【详解】点关于轴对称的点为， 则该光线从点到点的路径长为． 故选：B. 6. 阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的焦距为( ). A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过，确定a的值，再通过椭圆的面积公式求出b，最后求出c，即可得到椭圆的焦距. 【详解】根据题意可得，则， 因为，所以，则， 所以椭圆C的焦距为： 故选：D. 7. 已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可求的最小值. 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算即可判断A；求出和即可判断B；假设，则存在实数使得，验证无解，即可判断C；根据投影向量的公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，假设，则存在实数使得，则，无解，所以假设错误，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 10. 已知直线过双曲线（，）的右焦点，且与双曲线的左支交于点．设双曲线的左焦点为，若为直角三角形，则双曲线的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用直角三角形的性质结合双曲线的定义可建立的关系，进而求得离心率. 【详解】由得直线的斜率为，倾斜角为 因为直线过，则, 由题意得，由双曲线定义得， 若，如下图，由直角三角形性质得，， 故，化简得， 则， 若，如下图，由直角三角形性质得， 故，则. 故选：AC. 11. “曼哈顿距离”用以标明两个点在标准坐标系上绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离．下列命题是真命题的是（ ） A. 若点，，则的值可能是3 B. 若点，，则在轴上存在点，使得 C. 若点， ，，则在线段上存在点，使得 D. 若点在曲线上，点在直线上，则的值可能为3 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意得到，并利用绝对值的性质化简得到最小值，判断A选项；设得到表达式，令，通过讨论的不同取值，去掉绝对值符号后解得，即可判断B选项；由两点坐标得到线段的直线方程，设点坐标后得到，由参数的取值范围去掉绝对值即可判断C选项；取特殊点，点即可判断D选项. 【详解】由题意可知， ∵，，∴，A选项错误； 设，则， 令，即， 当时，，即， 当时，，无解， 当时，，即， ∴在轴上存在两个不同点，使得，B选项正确； ，∴线段，令， 则，C选项错误； 取，，则，D选项正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点关于平面对称的点的坐标为__________，关于轴对称的点的坐标为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】运用空间点的对称规律可解. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为. 故答案为：. 13. 若方程表示一个圆，则的取值范围为___________． 【答案】且， 【解析】 【分析】根据圆的一般式满足的关系即可求解. 【详解】由题意可得，故方程变形为， 因此，解得且， 故答案为：且， 14. 已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值结合椭圆的定义与性质计算即可 【详解】如图，取线段的中点M，连接， 因为，， 所以，且， 所以， 设， 所以C的离心率为 ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等. （1）若直线过点，求直线的方程及倾斜角； （2）若直线与直线垂直，且直线被圆截得的弦长为2，求直线在轴上的截距． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意设出直线的截距式，将点的坐标代入到直线方程中即可求出直线方程，根据倾斜角与斜率的关系即可求出倾斜角； （2）根据垂直，设出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可求出答案. 【小问1详解】 由题意可设直线，即， 将点坐标代入，可得， 所以直线方程为， 直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，故， 所以直线的倾斜角为. 【小问2详解】 因为直线与直线垂直，所以可设， 如图，直线与圆交于两点，点为的中点，连接，，故， 圆心到直线的距离， 在直角中，，， 所以，即，解得， 则直线在轴上的截距为. 16. 已知在中，，，． （1）求的外接圆的标准方程； （2）若过点作圆的切线，求该切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出圆的一般方程，再转化为标准方程即可求解； （2）分斜率存在和斜率不存在两种情况来讨论，当斜率存在时，设斜率为，利用点斜式写出切线的方程，再根据圆心到切线的距离等于半径，列式求解即可. 【小问1详解】 设的外接圆的一般方程为，其中， 将点，，代入得， ，解得， 所以圆的一般方程为，转化为标准方程为， 所以的外接圆的标准方程. 【小问2详解】 由（1）知，圆心，圆的半径为， 当斜率不存在时，过点的直线为，圆心到直线的距离为，，此时直线与圆相离，不符合题意； 当斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为， 由题意得，圆心到切线的距离等于半径， 即，解得， 则切线方程为，即或， 所以切线方程为或. 17. 已知双曲线的实轴长为，且过点 （1）求双曲线C的方程. （2）过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求 （3）若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P，证明：点P在直线上. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，将点的坐标代入得，即可求解. （2）由（1）得，进而得直线l的方程为，联立双曲线方程，得韦达定理，进而求解. （3）利用点差法即可证明. 【小问1详解】 根据题意可得，则 将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线C的方程为 【小问2详解】 由（1）得，则， 则直线l的方程为 设， 由，得， ，，， 所以 【小问3详解】 设，，则， 两式相减得 设，则， 所以， 即，所以， 即，所以点P在直线上. 18. 如图，在几何体中，已知四边形是边长为2的正方形，平面，，． （1）试用，，表示，并求； （2）若是几何体内的一个动点，且，点满足，，求的最小值． 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用线线角的空间向量计算公式求解即可； （2）根据题意可得M在线段上，N在平面上，结合数量积的定义可得，进而求得最值. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以， 因为四边形是边长为2的正方形，则，因为，，所以， 则， 则 . 【小问2详解】 以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. ，，，， 取BD的中点为O，MN的中点为G，连接OE，OF，则， 所以，，，， 所以，，，则， 所以. ，，则，又为中点， 所以，，平面， 所以平面， 因为（）， 所以M在线段OE上. 因， 所以，故N在平面上. 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 则 ； 所以， 故， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 19. 若将任意平面向量绕其起点E沿逆时针方向旋转角，得到向量，则称点F绕点E逆时针方向旋转角得到点曲线是由椭圆在平面直角坐标系中绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆 （1）求椭圆C的标准方程. （2）已知M，N是椭圆C长轴的两个顶点，P，Q为椭圆C上异于M，N且关于y轴对称的两点.若直线MP与直线NQ交于点T，证明点T在某定曲线上，并求出该曲线的方程. （3）过椭圆C的上焦点作平行于x轴的直线m，交椭圆C于A，B两点，D是抛物线上不同于点A，B的动点.若直线DA与椭圆C的另一个交点为G，直线DB与椭圆C的另一个交点为H，试问直线HG是否过定点?若是，求该定点的坐标;若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析， （3）直线GH过定点 【解析】 【分析】（1）方法一：设椭圆C上任意一点坐标，根据新定义，旋转后求得新的点坐标，该点在斜椭圆上，代入化简即可得解；方法二：旋转后，斜椭圆的对称轴为和，对称轴与曲线的交点之间的距离分别为椭圆C的长轴长和短轴长，联立方程求出交点坐标，利用两点间距离公式，分别可以求得和从而得解. （2）不妨设，设，，则利于向量法进行求解. （3）不妨设，设，，，，得出AG及BH的方程，联立方程组，进而得出定点. 【小问1详解】 （方法一） 设为椭圆C上任意一点，则为斜椭圆上一点， 则， 化简得，故椭圆C的标准方程为 方法二 由得或, 由得或， 椭圆C的长轴长为，得， 椭圆C的短轴长为，得 故椭圆C的标准方程为 【小问2详解】 根据椭圆的对称性，不妨设，，设，，则， ，，由P，M，T三点共线，得， ，， 由Q，N，T三点共线，得，则， 因为，所以，即， 故点T在某定曲线上，该定曲线的方程为 【小问3详解】 根据椭圆的对称性，不妨设， 设，，，， 直线AG的方程为，直线BH的方程为 由得， 所以，得，则 同理可得， 由对称性知，若过定点，则定点在y轴上. 取，则，， 则直线GH的方程为，得定点为； 下面证明直线GH过定点 因为，， 所以，所以直线GH过定点. 【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键是理解旋转前后哪些量变化，哪些量没有变从而可以得解；第（2）小问的关键是借助向量和三点共线联立等式关系，从而出方程；第（3）小问的关键是巧令，然后写出直线方程，联立后借助韦达定理求出另一个交点中的坐标，写出直线HG的方程，从而求出定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萍乡市高中学校2024—2025学年度第一学期期中联考 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第三章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与.若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知向量，，.若，，共面，则（ ） A. 11 B. C. 9 D. 3 5. 一束光线从点射出，经轴反射后经过点，则该束光线从点到点的路径长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 6. 阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的焦距为( ). A. B. 2 C. D. 7. 已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 已知空间向量，，，则（ ） A B. C D. 在方向上的投影向量为 10. 已知直线过双曲线（，）的右焦点，且与双曲线的左支交于点．设双曲线的左焦点为，若为直角三角形，则双曲线的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 11. “曼哈顿距离”用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离．下列命题是真命题的是（ ） A. 若点，，则的值可能是3 B. 若点，，则在轴上存在点，使得 C. 若点， ，，则在线段上存在点，使得 D. 若点在曲线上，点在直线上，则值可能为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点关于平面对称的点的坐标为__________，关于轴对称的点的坐标为__________. 13. 若方程表示一个圆，则的取值范围为___________． 14. 已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等. （1）若直线过点，求直线的方程及倾斜角； （2）若直线与直线垂直，且直线被圆截得的弦长为2，求直线在轴上的截距． 16. 已知在中，，，． （1）求的外接圆的标准方程； （2）若过点作圆的切线，求该切线方程． 17. 已知双曲线的实轴长为，且过点 （1）求双曲线C的方程. （2）过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求 （3）若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P，证明：点P在直线上. 18. 如图，在几何体中，已知四边形是边长为2的正方形，平面，，． （1）试用，，表示，并求； （2）若是几何体内的一个动点，且，点满足，，求的最小值． 19. 若将任意平面向量绕其起点E沿逆时针方向旋转角，得到向量，则称点F绕点E逆时针方向旋转角得到点曲线是由椭圆在平面直角坐标系中绕原点O逆时针旋转所得斜椭圆 （1）求椭圆C的标准方程. （2）已知M，N是椭圆C长轴的两个顶点，P，Q为椭圆C上异于M，N且关于y轴对称的两点.若直线MP与直线NQ交于点T，证明点T在某定曲线上，并求出该曲线的方程. （3）过椭圆C的上焦点作平行于x轴的直线m，交椭圆C于A，B两点，D是抛物线上不同于点A，B的动点.若直线DA与椭圆C的另一个交点为G，直线DB与椭圆C的另一个交点为H，试问直线HG是否过定点?若是，求该定点的坐标;若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $