专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系（期中真题汇编，江西专用）高二数学上学期

专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知圆与圆，则两圆的位置关系是（       ） A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【答案】C 【分析】 利用两圆位置关系的判定方法，即可得到选项. 【详解】 由题意知： 因为所以， 即两圆的位置关系是相交， 故选：C 2．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）（多选）点在圆：上，点在圆：上，则（       ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】 先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项； 【详解】 对于A、B选项：由题意得：，半径为1， ：，，半径为1， 圆心距为，又点在圆上，点在圆上， ，，故A错误，B正确； 对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确； 对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误； 故选：BC． 3．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）（多选）已知直线与圆相交于两点，则（       ） A. 是圆的一条对称轴 B. 圆的半径为 C. 圆心到的距离为 D. 的面积为 【答案】BD 【分析】 根据圆的方程可得圆心和半径，知A、B正误；利用点到直线距离公式和垂径定理可求得C、D正误. 【详解】 对于AB，由圆方程知：圆心，半径，B正确； 直线不过圆心，不是圆的对称轴，A错误； 对于C，圆心到直线的距离，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：BD. 4．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）圆与圆的公切线有且仅有（     ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 【答案】A 【分析】 判断两圆的位置关系，根据两圆位置关系确定公切线的条数. 【详解】 圆：，所以，. 圆：，所以，. 因为，，所以. 所以圆与圆相离.所以两圆有4条公切线. 故选：A 5．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）直线被圆截得的弦长为（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 由题可得直线到圆心距离，然后由弦长公式可得答案. 【详解】 到圆心距离为：. 又圆半径为：，则弦长为：. 故选：C 6．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）圆与圆有三条公切线，则半径 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【分析】根据公切线条数可知两圆外切，可知圆心距等于两圆半径之和，从而构造出方程求得结果. 【详解】两圆公切线有且仅有三条       两圆外切 由圆的方程可知，两圆圆心分别为：，；半径分别为：和 两圆圆心距，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据圆与圆的位置关系求解参数值，关键是能够根据公切线条数确定两圆的位置关系. 7．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. -1 【答案】C 【分析】 转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 依题意，则为直线的斜率， 结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C 8．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 将两圆方程作差可得出两圆相交弦所在直线的方程. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为，则， 所以，圆与圆相交， 将两圆方程作差得，即. 因此，两圆的相交弦所在直线的方程为. 故选：A. 9．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）已知圆与圆交于两点，且直线经过线段上靠近的三等分点，则（     ） A. 1 B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 通过两圆公共弦方程与线段三等分点的结合，求解参数的值. 【详解】 圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径. 圆心距为，由于两圆相交，所以， 将两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简为，即. 线段的长度为，靠近的三等分点的坐标为. 因为直线经过，将其代入公共弦方程得，解得. 故选：C. 10．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）直线与圆的位置关系是（       ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 利用圆心到直线距离来判断直线与圆的位置关系. 【详解】 由，得，， 圆心到的距离，即， 所以与圆的位置关系是相离. 故选：C 11．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设圆，在圆上存在点，使得为钝角，意味着点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含，利用圆与圆的位置关系，列方程可得答案. 【详解】 如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角， 所以点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含， ，得. 故选：B 12．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）（多选）已知圆，点在圆上，则下列说法正确的是（       ） A. 圆的圆心是，半径是 B. 圆的圆心是，半径是 C. 直线平分成面积相等两部分 D. 过点与圆相切的直线方程是 【答案】ACD 【分析】 将圆的方程配成标准方程，可判断AB选项，利用过点可判断C选项，将点坐标代入直线方程可得点在线上，再根据圆心到直线的距离可判断直线与圆相切，判断D. 【详解】 将圆配方成标准方程为：， 则圆心是，半径是，故选项A正确，选项B错误； 将代入直线成立，即该直线过圆心平分成面积相等两部分，C正确； 点在圆上，即， 将代入中，即， 即经过点P， 圆心到直线的距离为， 由于过圆上一点的圆的切线是唯一的，故过点与圆相切的直线方程是，故选项D正确； 故选：ACD. 13．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出点的轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出的取值范围. 【详解】 因为点为直线与直线的交点， 所以由可得，且过定点，过定点， 所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆(去除)，圆心为， 半径. 而圆的圆心为，半径为， 所以两个圆心的距离，且，所以两圆相离， 所以的最大值为：， 因为不在圆上，故， 所以的取值范围是. 故选：B . 【点睛】 关键点点睛：本题解决的关键是，根据直线垂直以及过定点得到点的轨迹是圆，从而得解. 14．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线，则（       ） A. 6 B. 4 C. 36 D. 16 【答案】D 【分析】 由圆与圆有且仅有三条公切线，得到圆与圆外切，则有，计算求解即可. 【详解】 ，圆的半径为， ，圆的半径为， 圆与圆有且仅有三条公切线， 圆与圆外切， ，，. 故选：D. 15．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）（多选）已知直线和圆，点是上的任意一点，则下列说法正确的为（       ） A. 过定点 B. 恒与相交 C. 到的距离的最大值为 D. 若上存在四个点到的距离为1，则 【答案】ACD 【分析】 将直线进行变形，求得直线l过定点，可判断A；求得圆心，半径，，可知当时，直线与圆C相离，可判断B；到的距离的最大值为，可判断C；若上存在四个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离应满足，求解可判断D． 【详解】 将直线进行变形得， 令 ，解得 ，所以直线l过定点，选项A正确； 圆，即， 可知圆心，半径，则， 可知当时，直线与圆C相离，选项B错误； 到的距离的最大值为，选项C正确； 直线过定点，且不垂直轴， 若上存在四个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离应满足， 因为， 所以，可得，即， 即，解得，选项D正确． 故选：ACD． 16．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（       ） A. 直线恒过定点 B. 当直线与圆相切时，切线方程是 C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 D. 圆上的一点到直线的最大距离是 【答案】ABD 【分析】 将直线方程整理为，由 ，可得直线恒过的定点的坐标，判断出A的对错；由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，可得参数a的值，即求出直线的方程，判断出B的对错；当时，可得直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，可得圆上有四个点到直线的距离为，判断出C的对错；直线恒过的定点，当时，则圆心C到直线l的距离最大，且最大值为，进而可得圆上的点到直线的距离的最大值为，可判断出D的对错. 【详解】 对于A，将直线转化为， 由 ，解得 ，直线恒过定点，A正确； 对于B，圆，可得圆心，半径， 由直线与圆相切，可得圆心C到直线l的距离， 即，解得， 故切线方程为，即，B正确； 对于C，当时，直线， 点到此直线距离为， 因此圆上恰有四个点到直线的距离等于，C错误； 对于D，因为直线恒过定点，可得， 当时，圆心C到直线l的距离最大，且最大值为， 所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确. 故选：ABD. 17．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程． 【详解】 圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ， 当直线时，， ，此时最小． ∴即 ，由 解得， ． 所以以为直径的圆的方程为，即 ， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 故选：D. 【点睛】 本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 18．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）（多选）已知点（），直线l：，下列结论正确的是（     ） A. l恒过定点 B. （O为坐标原点） C. P到直线l的距离有最小值，最小值为0 D. P到直线l的距离有最大值，最大值为4 【答案】ABC 【分析】 令时，得到，可判定A正确；由，可判定B正确；由，可得点P的轨迹圆，结合圆的性质，可得判定C正确、D不正确． 【详解】 对于A，由直线，当时，，所以恒过定点，所以A正确； 对于B，由点，可得，所以B正确； 对于C，由，可得点P的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，直线l过定点，当直线l与圆相切且P为切点时，点P到直线l的距离最小，最小值为0，所以C正确； 对于D,当直线l与x轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为4， 所以P到直线l的距离有最大值，最大值为5，所以D不正确． 故选：ABC. 19．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】转化为函数与函数的图象恰有两个交点，作出函数的图象，利用的斜率可求得结果. 【详解】 因为关于的方程恰有两个实数根， 所以函数与函数的图象恰有两个交点，即直线与半圆恰有两个交点， 如图： 直线经过定点， 当直线与半圆切于时， ，解得， 当直线经过点时，， 所以满足函数与函数的图象恰有两个交点的的范围为. 故选：B 【点睛】 方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求. 20．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心连线与l垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】 由题知即， 令 得 ，所以直线过定点， 而圆，圆心为，半径为， 所以，即定点在圆C内， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心的连线与垂直，此时. 故选：D. 21．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知圆与圆恰有一条公切线，则实数的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题知圆与圆内切，进而得，再结合不等式求解即可. 【详解】 将圆的一般方程化为标准方程得： 圆，即圆心为，半径为； 圆，即圆心为，半径为； ∵圆与圆恰有一条公切线， ∴圆与圆内切， ∴，即， ∴， ∴由不等式得，即，当且仅当时等号成立， ∴实数的最大值为. 故选：C 22．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（多选）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 先求得圆心到直线的距离，再由，求解即可. 【详解】 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 依题意得，即， 解得，. 故选：BCD 23．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（多选）已知圆与圆外离，则m的取值可能是（       ） A. -3 B. 1 C. 4 D. 6 【答案】BC 【分析】 分别求出两圆的圆心和半径，根据两圆外离可知圆心距大于两半径之和，解出m的取值范围，即可得到结果. 【详解】 圆的圆心为，半径； 圆的圆心为， 半径（其中，即）， 圆与圆的圆心距为， 若圆与圆外离，则，即，解得：， 故满足题目要求的为BC选项， 故选：BC. 24．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（     ） A. 8m B. 7m C. 7.5m D. 6.5m 【答案】B 【分析】 以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，求解圆的方程，再将坐标代入求解即可. 【详解】 由题意可得，，圆拱的跨度，拱高，所以， 如图，以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， 设圆心，半径为，所以圆：， ，，， 所以 ，解得，， 所以圆：， 将代入，因为，解得， 所以. 故选：B. 25．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）（多选）圆和圆的交点为，，则（     ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】 对于A选项：两圆方程作差即可求出公共弦方程；对于B选项：线段的垂直平分线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；对于C选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，利用弦长公式计算即可；对于D选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值． 【详解】 对于A选项：圆和圆， 将两圆的方程作差得，即， 所以直线的方程为，故A正确； 对于B选项：圆即，圆心，半径， 圆即，圆心， 直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即，故B正确； 对于C选项：到直线的距离， 可得弦的长为，故C错误； 对于D选项：P到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 26．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）（多选）已知点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为A，，则（       ） A. 圆心到的距离为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 直线过定点 【答案】ABD 【分析】 对于A，利用点到直线的距离公式计算即得；对于B，利用切线性质求得，结合图形判断当时最小，代入即得的最小值；对于C，利用面积相等，求出，利用上述结论即得其最小值；对于D，利用圆的切线性质，判断以为直径的圆经过点，求出该圆的方程，与圆相减，即得直线的方程，整理成关于的方程，联立方程组即可求得直线经过的定点. 【详解】 对于A，由，可知圆心为， 则点到直线的距离，故A正确； 对于B，如图，由圆的切线性质，可得， 又，则，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为，故B正确； 对于C，由圆的切线性质易得，， 所以， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，故C错误； 对于D，设，则线段的中点坐标为， 又， 则以为直径的圆的方程为， 整理得：， 将其与圆相减，可得， 整理得， 由 ，解得 ，即直线过定点，故D正确. 故选：ABD. 27．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，圆，点为直线：上一动点，则（     ） A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为2 B. 已知点，圆上动点，则的取值范围是 C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN恒过定点 【答案】AD 【分析】 对A，转化为与直线距离为的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点与圆在直线的同侧，利用对称转化为异侧，则当四点共线时取最小值和最大值，且最小值为，最大值为，对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点. 【详解】 选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，由， 如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点， 另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；    选项B，设点关于直线的对称点， 则 ，解得 ，即， 则， 当在直线无限远处时， 则，故B不正确； 选项C，由切点为，则在中，， 当最小时，取最大值，最大， 过点作，垂足为，此时最小，最小值为， 即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；    选项D，设点，切点， 可得切线方程为，由点在切线上，得， 同理可得， 故点都在直线上， 即直线的方程为， 又由点在直线上，则， 代入直线方程整理得， 由 解得 ，即直线恒过定点，故D正确.    故选：AD. 28．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）（多选）已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（       ） A. 若直线与圆相切，则 B. 若，则圆上到直线的距离等于的点恰有4个 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则可能为 【答案】AD 【分析】 根据直线与圆相切可求得A正确，再根据点的个数计算可求得B正确，利用圆与圆的公切线条数，可解得，即C错误，由可求得两圆关系可知D正确. 【详解】 易知圆的圆心的坐标为，半径为1，圆心到直线的距离， 对于A，因为直线与圆相切，所以，解得，A正确； 对于B，当时，圆心到直线的距离， 故圆上到直线的距离为的点恰有3个，B错误； 对于C，圆与圆恰有三条公切线， 则两圆外切，即，解得，C错误； 对于D，如图，   点在位置时，，此时，点在位置时，此时， 所以在圆上运动过程中，必然有位置使得，故D正确． 故选：AD 29．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知在平面直角坐标系中，圆经过点和，且圆心在直线上，直线. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)利用求圆心坐标和半径长度来写圆的标准方程； (2)利用圆心到直线的距离和勾股定理来求参数的值. (1) 小问详解： 经过点和的中垂线方程为：， 与直线联立解得： ， 所以圆心的坐标为，半径， 即圆的标准方程为：； (2) 小问详解： 由圆心到直线的距离得：， 因为直线被圆截得的弦长为，所以， 即. 30．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意可知，两圆内切，利用两圆的位置关系计算即可. 【详解】 由题意可知，两圆内切， 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，解得. 故答案为： 31．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦AB的长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出圆心到直线，即可求出圆的半径，从而得到圆的标准方程； （2）首先判断两圆相交，两圆方程相减即可得到公共弦方程，再求出弦长. (1) 小问详解： 因为圆心到直线的距离， 设圆的半径为， 又过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为， 所以，则圆的标准方程为. (2) 小问详解： 圆：的圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交， 则相交弦：， 则圆心到 距离， 所以. 32．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. (1) 小问详解： 设动点， 因为，则， 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 33．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）已知圆M过点 （1）求圆M的方程； （2）过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）利用待定系数法求圆的方程； （2）由已知求出圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在讨论，再利用点到直线的距离公式，即可求出直线的斜率，进而得到直线的方程. (1) 小问详解： 设圆， 则 ，解得 ，满足， 所以圆的方程为，即. (2) 小问详解： 由（1）知，，半径， 设圆心到直线的距离为，则，即，解得， 当直线的斜率不存在时，为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设，故，解得， 此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 34．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）已知集合，集合，若有两个元素，则实数 的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 转化为直线与半圆有两个交点求解即可. 【详解】 集合表示直线， 集合表示圆心为（0，1），半径为2的圆的下半部分． 如图所示．    ∵有两个元素， ∴直线与半圆有两个交点． 当直线与圆相切时，即图中直线， 则有，解得或（舍去）． 当直线过点（2，1）时，即图中直线， 则有，解得． 结合图形可得． ∴实数 的取值范围是． 故答案为：． 35．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）圆过点和点，且圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由题意，设圆的方程为，再由圆过点和点，代入求解； （2）分直线的斜率不存在和存在，利用圆的弦长公式求解. (1) 小问详解： 因为圆心在轴上， 所以设圆心坐标为，则圆的方程为， 因为圆过点和点， 所以 ，解得， 所以圆的方程为； (2) 小问详解： 由（1）知圆的半径，又直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离， 则弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 即， 由题意得，圆心到直线的距离为， 解得， 所以直线的方程为， 综上：直线的方程为或. 36．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）若，直线与圆相交于两点，求的面积； （3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由圆的方程确定圆心的坐标和圆的半径，求到直线的距离，根据条件直线与圆相切，列方程求； （2）求圆心到直线的距离，再由弦长公式求，利用三角形面积公式求结论； （3）设，，由可得，联立与圆方程可得，，由可得，化简并求解方程可得结论. (1) 小问详解： 圆的方程 可化为， 所以圆的圆心的坐标为   ，半径， 因为直线与圆相切， 圆心到直线的距离， 所以，解得， (2) 小问详解： 由（1）圆的圆心的坐标为   半径， 若，则直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以， 所以的面积， (3) 小问详解： 设，， 因为， 所以，故， 由 ，消得， 方程的判别式， 由已知是方程的根， 所以，， 因为，由可得，结合， 可得，故，， 所以， 所以. 37．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）若圆与圆（）有且仅有2条公切线，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，得到圆与圆相交，得到，结合，转化为代表点到直线的距离的倍，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】 由圆，可得圆心，半径， 圆，可得圆心，半径. 因为圆与圆有且仅有2条公切线，可得圆与圆相交， 又因为， 所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）， 因为， 所以代表点到直线的距离的倍， 又因为圆心到直线的距离为， 所以圆环内的点到直线的距离， 所以的取值范围为. 故答案为：. 38．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知圆C过点和点，且圆心在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若直线l过点，当直线与圆C相切时，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆心，由题意得到 ，求解即可； （2）通过直线斜率存在和不存在两类情况讨论即可. (1) 小问详解： 设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆C上， 得 ，即 ， 解得 ，即，圆C的半径， 所以圆C的方程是． (2) 小问详解： 若直线的斜率不存在，则， 圆心到直线的距离为半径，故直线为圆的切线． 若直线的斜率存在，设切线方程为， 则，解得，此时切线方程为． 综上，直线l的方程为或． 39．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知动点与两个定点，的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆； （2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程. (1) 小问详解： 设点， 动点与两个定点，的距离的比是， ，即， 则， 化简得， 所以动点的轨迹的方程为； (2) 小问详解： 由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 直线被曲线截得的弦长为， 圆心到直线的距离， ① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件； ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程是或. 40．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定信息求出点的轨迹方程，再由两圆有公共点列出不等式求解. 【详解】 设，由，得， 整理得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 又点在圆，即两圆有公共点，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 41．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知圆，过动点分别作直线、与圆相切，切点为、，设经过、两点的直线为，则动直线恒过的定点坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 求出直线的方程为，变形为，解方程组 ，可得出直线所过定点的坐标. 【详解】 设点为圆上一点，当的斜率存在且不为零时，直线的斜率为， 此时，圆在点处的切线方程为， 即， 当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足， 当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足. 综上所述，圆在其上一点处的切线方程为. 设点、，则直线的方程为， 直线的方程为， 由题意可得 ， 所以，点、的坐标满足方程， 故直线的方程为，即， 由 ，解得 ，因此，直线恒过的定点坐标为. 故答案为：. 42．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知直线经过点，圆． （1）若经过圆的圆心，求的一般式方程； （2）若被圆截得的弦长为，求的一般式方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由两点求得斜率，再结合点斜式即可求解； （2）通过的斜率不存在和存在两种情况，结合弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 由题意得圆． 因为经过圆的圆心，所以的斜率． 故的方程为，即． (2) 小问详解： 由题意得圆的圆心到的距离为． 当的斜率不存在时，圆的圆心到的距离为，符合题意． 当的斜率存在时，设，即． 由圆的圆心到的距离为，得， 此时的方程为． 综上，的一般式方程为或． 43．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知圆与圆内切，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由圆心距等于半径之差的绝对值即可求解. 【详解】 由题意圆与圆的圆心坐标分别为，，半径分别为，． 因为圆与圆内切， 所以， 所以． 故答案为： 44．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 【答案】（1）     （2）①；②或.      【分析】 （1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案. （2）① 根据弦长公式，建立方程，求出参数；② 根据切线方程的求法，可得答案. (1) 小问详解： （方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. (2) 小问详解： ① 由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. ② 当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 45．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点. （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公共弦长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设出圆的标准方程，根据已知条件求得，从而求得圆的标准方程. （2）先求得两圆公共弦所在直线方程，然后利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得公共弦长. (1) 小问详解： 设圆， 由题意得 得 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距，所以两圆相交. 由 ，两式相减得， 则圆与圆的公共弦所在直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以圆与圆的公共弦长为. 46．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知直线，圆. （1）证明：过定点. （2）若与圆相切，求的方程. （3）若点在圆上，求的取值范围. 【答案】（1） 由题意得. 由 得 所以过定点.     （2） 或     （3）       【分析】 （1）整理的方程，通过解方程组求得定点坐标. （2）结合与圆相切，利用点到直线的距离公式（或对直线的斜率进行分类讨论）来求得直线的方程. （3）将问题转化为点和圆的位置关系，由此求得的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 法一： 由题意得圆的圆心为，半径为1. 由，得或1. 故的方程为或. 法二： 由题意得圆的圆心为（0，1），半径为1. 当的斜率不存在时，直线与圆相切. 当的斜率存在时，设，即. 由，得，则. 故的方程为或. (3) 小问详解： 由题意得， 表示点到点的距离的平方. 因为， 所以1. 故， 即的取值范围为. 47．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）过点作圆的切线，则的方程为　　　　　 【答案】或 【分析】 求出圆心及半径，再按直线是否垂直于轴分类求出切线方程. 【详解】 圆的圆心，半径， 当切线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为1，则的方程可以为， 当切线斜率存在时，设其方程为，即， 则，解得，的方程为， 所以所求方程为或. 故答案为：或 48．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点．以Q为圆心，QP为半径的圆Q，与圆O相交于E，F两点，    （1）证明：点P到直线EF的距离为定值，并求出此定值． （2）若圆Q与圆恒有公共点，求r的取值范围； 【答案】（1）证明：设，圆Q的半径， 则圆Q方程为， 整理得， 又圆， 两圆方程相减，整理得相交直线EF的方程为， 所以P到直线EF的距离， 因为Q在圆O上，所以， 所以P到直线EF的距离， 即点P到直线EF的距离为定值；     （2）      【分析】 （1）利用圆与圆的相交，求相交直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可证明． （2）首先确定圆的半径的范围，再利用圆与圆恒有公共点，得，列不等式组求解出r的取值范围； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：因为，，所以圆Q的半径， 又圆Q与圆恒有公共点，且圆心之间的距离为， 所以对任意恒成立， 所以 ，解得：， 所以r的取值范围为． 49．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）已知定点，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）     （2）7      【分析】 （1）设动点坐标为，根据题意列出等量关系并化简即可求得其轨迹方程； （2）讨论直线斜率是否存在，先求出其中一条直线斜率不存在时四边形的面积.再设出两条直线的方程，求出圆心到两直线的距离，由垂径定理求得两条弦长，然后得到四边形面积的表达式.先讨论当时的面积，再当时利用基本不等式求出其最大值.然后得出四边形的最大值. (1) 小问详解： 设动点的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得，即：， 所以动点的轨迹的方程为， (2) 小问详解： 当直线与轴重合时，，，， 当直线不与轴重合，设直线的方程为， 则直线的方程为， 设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为， 则，，， 所以， ， 所以， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为7. 【点睛】 本题考查了圆的方程与直线方程，在讨论动直线的时候需要考虑直线的斜率是否存在. 50．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 （1）求曲线的方程 （2）过点作直线交曲线于两个不同的点，，且不过曲线的中心，再过点，分别作曲线的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程 （3）斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且.若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值 【答案】（1）     （2）设，，，点在圆外部， 由，可得，即， 又，可得， 同理，由可得， 所以直线所在的直线为，又点在直线上， ，即， 所以点在同一条直线上，直线方程为.      （3）设直线，，，， 由 ，得， ，， ，即， ，所以， 所以直线的方程为，即直线过定点， 因为为定值，为直角三角形，为斜边， 所以当是的中点时，， 所以存在定点，使得为定值. 【分析】 （1）利用相关点法求轨迹方程； （2）设，，，由，可得直线所在的直线方程，又点在直线上，可得证； （3）设直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解定点坐标，由几何图形可知，，再利用直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半，即可求出定点坐标. (1) 小问详解： 设线段的中点为，， ，即 ， 因为点在圆上， 所以，化简得， 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 51．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与轴正半轴的交点为，过点的直线与圆交于不同的两点A，B. （1）直线与轴交于点，且，求直线的方程； （2）设AB的中点为，若，求的面积； （3）设直线QA，QB的斜率分别为，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；     （2）或9；     （3）是定值，.      【分析】 （1）设出直线的方程，表示出点，再利用数量积的坐标表示列式求解并验证即得. （2）设出直线的方程，与圆的方程联立，利用韦达定理结合两点间距离公式求出直线的方程，进而求出三角形面积. （3）由（2）中信息，利用斜率坐标公式计算得证. (1) 小问详解： 圆的圆心为，半径，点，而， 显然直线的斜率存在，设其方程为，则， ，由，得，解得或， 当时，直线：，圆心到直线距离，符合题意； 当时，直线：，圆心到直线距离，不符合题意， 所以直线的方程为. (2) 小问详解： 设直线的方程为，由 ，得， 设，则， 点，由，得， 整理得，即， 而点在直线上，即，因此，即或， 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为； 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为， 所以的面积为或9． (3) 小问详解： 由（2）知，，而，则， 于是 ， 所以是定值. 52．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴正负半轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）． （1）若是等腰三角形，求点的坐标； （2）①设直线，的斜率为，求的值； ②求证：直线过定点，并求出定点坐标； （3）求四边形面积的最大值． 【答案】（1）或．     （2）①； ② 因为，则直线的斜率，即， 设直线，代入得：， 设，则，， 因为， 整理得， 则，而，解得， 所以直线恒过定点；      （3）      【分析】 （1）根据给定条件，求出曲线的方程，再利用等腰三角形特性求出点的坐标. （2）① 由（1）直接得到直线，的斜率，即可得解；② 结合已知探求直线的斜率关系，设出直线方程，与曲线的方程联立，利用斜率坐标公式结合韦达定理计算推理即得. （3）由（2）中信息，求出四边形面积的函数关系，再求出最大值即得. (1) 小问详解： 设点，由，得， 整理得曲线的轨迹方程为，可得， 设点，若是等腰三角形，则，解得， 所以点的坐标为或. (2) 小问详解： ① 由（1）知，， 则直线的斜率，直线的斜率，有， 又直线，的斜率为，所以； ② 略 (3) 小问详解： 由（2）得，， 则， 令，则， 而，则当时，取得最大值，即取得最大值，此时， 所以当直线方程为时，四边形面积的最大值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．C 2．BC 3．BD 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 9．C 10．C 11．B 12．ACD 13．B 14．D 15．ACD 16．ABD 17．D 18．ABC 19．B 20．D 21．C 22．BCD 23．BC 24．B 25．ABD 26．ABD 27．AD 28．AD 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)利用求圆心坐标和半径长度来写圆的标准方程； (2)利用圆心到直线的距离和勾股定理来求参数的值. (1) 小问详解： 经过点和的中垂线方程为：， 与直线联立解得： ， 所以圆心的坐标为，半径， 即圆的标准方程为：； (2) 小问详解： 由圆心到直线的距离得：， 因为直线被圆截得的弦长为，所以， 即. 30．【答案】 【分析】 由题意可知，两圆内切，利用两圆的位置关系计算即可. 【详解】 由题意可知，两圆内切， 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，解得. 故答案为： 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出圆心到直线，即可求出圆的半径，从而得到圆的标准方程； （2）首先判断两圆相交，两圆方程相减即可得到公共弦方程，再求出弦长. (1) 小问详解： 因为圆心到直线的距离， 设圆的半径为， 又过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为， 所以，则圆的标准方程为. (2) 小问详解： 圆：的圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交， 则相交弦：， 则圆心到 距离， 所以. 32．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. (1) 小问详解： 设动点， 因为，则， 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 33．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）利用待定系数法求圆的方程； （2）由已知求出圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在讨论，再利用点到直线的距离公式，即可求出直线的斜率，进而得到直线的方程. (1) 小问详解： 设圆， 则 ，解得 ，满足， 所以圆的方程为，即. (2) 小问详解： 由（1）知，，半径， 设圆心到直线的距离为，则，即，解得， 当直线的斜率不存在时，为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设，故，解得， 此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 34．【答案】 【分析】 转化为直线与半圆有两个交点求解即可. 【详解】 集合表示直线， 集合表示圆心为（0，1），半径为2的圆的下半部分． 如图所示．    ∵有两个元素， ∴直线与半圆有两个交点． 当直线与圆相切时，即图中直线， 则有，解得或（舍去）． 当直线过点（2，1）时，即图中直线， 则有，解得． 结合图形可得． ∴实数 的取值范围是． 故答案为：． 35．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由题意，设圆的方程为，再由圆过点和点，代入求解； （2）分直线的斜率不存在和存在，利用圆的弦长公式求解. (1) 小问详解： 因为圆心在轴上， 所以设圆心坐标为，则圆的方程为， 因为圆过点和点， 所以 ，解得， 所以圆的方程为； (2) 小问详解： 由（1）知圆的半径，又直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离， 则弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 即， 由题意得，圆心到直线的距离为， 解得， 所以直线的方程为， 综上：直线的方程为或. 36．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由圆的方程确定圆心的坐标和圆的半径，求到直线的距离，根据条件直线与圆相切，列方程求； （2）求圆心到直线的距离，再由弦长公式求，利用三角形面积公式求结论； （3）设，，由可得，联立与圆方程可得，，由可得，化简并求解方程可得结论. (1) 小问详解： 圆的方程 可化为， 所以圆的圆心的坐标为   ，半径， 因为直线与圆相切， 圆心到直线的距离， 所以，解得， (2) 小问详解： 由（1）圆的圆心的坐标为   半径， 若，则直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以， 所以的面积， (3) 小问详解： 设，， 因为， 所以，故， 由 ，消得， 方程的判别式， 由已知是方程的根， 所以，， 因为，由可得，结合， 可得，故，， 所以， 所以. 37．【答案】 【分析】 根据题意，得到圆与圆相交，得到，结合，转化为代表点到直线的距离的倍，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】 由圆，可得圆心，半径， 圆，可得圆心，半径. 因为圆与圆有且仅有2条公切线，可得圆与圆相交， 又因为， 所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）， 因为， 所以代表点到直线的距离的倍， 又因为圆心到直线的距离为， 所以圆环内的点到直线的距离， 所以的取值范围为. 故答案为：. 38．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆心，由题意得到 ，求解即可； （2）通过直线斜率存在和不存在两类情况讨论即可. (1) 小问详解： 设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆C上， 得 ，即 ， 解得 ，即，圆C的半径， 所以圆C的方程是． (2) 小问详解： 若直线的斜率不存在，则， 圆心到直线的距离为半径，故直线为圆的切线． 若直线的斜率存在，设切线方程为， 则，解得，此时切线方程为． 综上，直线l的方程为或． 39．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆； （2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程. (1) 小问详解： 设点， 动点与两个定点，的距离的比是， ，即， 则， 化简得， 所以动点的轨迹的方程为； (2) 小问详解： 由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 直线被曲线截得的弦长为， 圆心到直线的距离， ① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件； ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程是或. 40．【答案】 【分析】 根据给定信息求出点的轨迹方程，再由两圆有公共点列出不等式求解. 【详解】 设，由，得， 整理得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 又点在圆，即两圆有公共点，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 41．【答案】 【分析】 求出直线的方程为，变形为，解方程组 ，可得出直线所过定点的坐标. 【详解】 设点为圆上一点，当的斜率存在且不为零时，直线的斜率为， 此时，圆在点处的切线方程为， 即， 当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足， 当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足. 综上所述，圆在其上一点处的切线方程为. 设点、，则直线的方程为， 直线的方程为， 由题意可得 ， 所以，点、的坐标满足方程， 故直线的方程为，即， 由 ，解得 ，因此，直线恒过的定点坐标为. 故答案为：. 42．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由两点求得斜率，再结合点斜式即可求解； （2）通过的斜率不存在和存在两种情况，结合弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 由题意得圆． 因为经过圆的圆心，所以的斜率． 故的方程为，即． (2) 小问详解： 由题意得圆的圆心到的距离为． 当的斜率不存在时，圆的圆心到的距离为，符合题意． 当的斜率存在时，设，即． 由圆的圆心到的距离为，得， 此时的方程为． 综上，的一般式方程为或． 43．【答案】 【分析】 由圆心距等于半径之差的绝对值即可求解. 【详解】 由题意圆与圆的圆心坐标分别为，，半径分别为，． 因为圆与圆内切， 所以， 所以． 故答案为： 44．【答案】（1）     （2）①；②或.      【分析】 （1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案. （2）① 根据弦长公式，建立方程，求出参数；② 根据切线方程的求法，可得答案. (1) 小问详解： （方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. (2) 小问详解： ① 由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. ② 当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 45．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设出圆的标准方程，根据已知条件求得，从而求得圆的标准方程. （2）先求得两圆公共弦所在直线方程，然后利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得公共弦长. (1) 小问详解： 设圆， 由题意得 得 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距，所以两圆相交. 由 ，两式相减得， 则圆与圆的公共弦所在直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以圆与圆的公共弦长为. 46．【答案】（1） 由题意得. 由 得 所以过定点.     （2） 或     （3）       【分析】 （1）整理的方程，通过解方程组求得定点坐标. （2）结合与圆相切，利用点到直线的距离公式（或对直线的斜率进行分类讨论）来求得直线的方程. （3）将问题转化为点和圆的位置关系，由此求得的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 法一： 由题意得圆的圆心为，半径为1. 由，得或1. 故的方程为或. 法二： 由题意得圆的圆心为（0，1），半径为1. 当的斜率不存在时，直线与圆相切. 当的斜率存在时，设，即. 由，得，则. 故的方程为或. (3) 小问详解： 由题意得， 表示点到点的距离的平方. 因为， 所以1. 故， 即的取值范围为. 47．【答案】或 【分析】 求出圆心及半径，再按直线是否垂直于轴分类求出切线方程. 【详解】 圆的圆心，半径， 当切线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为1，则的方程可以为， 当切线斜率存在时，设其方程为，即， 则，解得，的方程为， 所以所求方程为或. 故答案为：或 48．【答案】（1）证明：设，圆Q的半径， 则圆Q方程为， 整理得， 又圆， 两圆方程相减，整理得相交直线EF的方程为， 所以P到直线EF的距离， 因为Q在圆O上，所以， 所以P到直线EF的距离， 即点P到直线EF的距离为定值；     （2）      【分析】 （1）利用圆与圆的相交，求相交直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可证明． （2）首先确定圆的半径的范围，再利用圆与圆恒有公共点，得，列不等式组求解出r的取值范围； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：因为，，所以圆Q的半径， 又圆Q与圆恒有公共点，且圆心之间的距离为， 所以对任意恒成立， 所以 ，解得：， 所以r的取值范围为． 49．【答案】（1）     （2）7      【分析】 （1）设动点坐标为，根据题意列出等量关系并化简即可求得其轨迹方程； （2）讨论直线斜率是否存在，先求出其中一条直线斜率不存在时四边形的面积.再设出两条直线的方程，求出圆心到两直线的距离，由垂径定理求得两条弦长，然后得到四边形面积的表达式.先讨论当时的面积，再当时利用基本不等式求出其最大值.然后得出四边形的最大值. (1) 小问详解： 设动点的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得，即：， 所以动点的轨迹的方程为， (2) 小问详解： 当直线与轴重合时，，，， 当直线不与轴重合，设直线的方程为， 则直线的方程为， 设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为， 则，，， 所以， ， 所以， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为7. 【点睛】 本题考查了圆的方程与直线方程，在讨论动直线的时候需要考虑直线的斜率是否存在. 50．【答案】（1）     （2）设，，，点在圆外部， 由，可得，即， 又，可得， 同理，由可得， 所以直线所在的直线为，又点在直线上， ，即， 所以点在同一条直线上，直线方程为.      （3）设直线，，，， 由 ，得， ，， ，即， ，所以， 所以直线的方程为，即直线过定点， 因为为定值，为直角三角形，为斜边， 所以当是的中点时，， 所以存在定点，使得为定值. 【分析】 （1）利用相关点法求轨迹方程； （2）设，，，由，可得直线所在的直线方程，又点在直线上，可得证； （3）设直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解定点坐标，由几何图形可知，，再利用直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半，即可求出定点坐标. (1) 小问详解： 设线段的中点为，， ，即 ， 因为点在圆上， 所以，化简得， 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 51．【答案】（1）；     （2）或9；     （3）是定值，.      【分析】 （1）设出直线的方程，表示出点，再利用数量积的坐标表示列式求解并验证即得. （2）设出直线的方程，与圆的方程联立，利用韦达定理结合两点间距离公式求出直线的方程，进而求出三角形面积. （3）由（2）中信息，利用斜率坐标公式计算得证. (1) 小问详解： 圆的圆心为，半径，点，而， 显然直线的斜率存在，设其方程为，则， ，由，得，解得或， 当时，直线：，圆心到直线距离，符合题意； 当时，直线：，圆心到直线距离，不符合题意， 所以直线的方程为. (2) 小问详解： 设直线的方程为，由 ，得， 设，则， 点，由，得， 整理得，即， 而点在直线上，即，因此，即或， 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为； 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为， 所以的面积为或9． (3) 小问详解： 由（2）知，，而，则， 于是 ， 所以是定值. 52．【答案】（1）或．     （2）①； ② 因为，则直线的斜率，即， 设直线，代入得：， 设，则，， 因为， 整理得， 则，而，解得， 所以直线恒过定点；      （3）      【分析】 （1）根据给定条件，求出曲线的方程，再利用等腰三角形特性求出点的坐标. （2）① 由（1）直接得到直线，的斜率，即可得解；② 结合已知探求直线的斜率关系，设出直线方程，与曲线的方程联立，利用斜率坐标公式结合韦达定理计算推理即得. （3）由（2）中信息，求出四边形面积的函数关系，再求出最大值即得. (1) 小问详解： 设点，由，得， 整理得曲线的轨迹方程为，可得， 设点，若是等腰三角形，则，解得， 所以点的坐标为或. (2) 小问详解： ① 由（1）知，， 则直线的斜率，直线的斜率，有， 又直线，的斜率为，所以； ② 略 (3) 小问详解： 由（2）得，， 则， 令，则， 而，则当时，取得最大值，即取得最大值，此时， 所以当直线方程为时，四边形面积的最大值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知圆与圆，则两圆的位置关系是（       ） A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 外离 2．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）（多选）点在圆：上，点在圆：上，则（       ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 3．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）（多选）已知直线与圆相交于两点，则（       ） A. 是圆的一条对称轴 B. 圆的半径为 C. 圆心到的距离为 D. 的面积为 4．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）圆与圆的公切线有且仅有（     ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 5．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）直线被圆截得的弦长为（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 3 6．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）圆与圆有三条公切线，则半径 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. -1 8．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）已知圆与圆交于两点，且直线经过线段上靠近的三等分点，则（     ） A. 1 B.  C.  D. 2 10．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）直线与圆的位置关系是（       ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 11．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）（多选）已知圆，点在圆上，则下列说法正确的是（       ） A. 圆的圆心是，半径是 B. 圆的圆心是，半径是 C. 直线平分成面积相等两部分 D. 过点与圆相切的直线方程是 13．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线，则（       ） A. 6 B. 4 C. 36 D. 16 15．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）（多选）已知直线和圆，点是上的任意一点，则下列说法正确的为（       ） A. 过定点 B. 恒与相交 C. 到的距离的最大值为 D. 若上存在四个点到的距离为1，则 16．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（       ） A. 直线恒过定点 B. 当直线与圆相切时，切线方程是 C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 D. 圆上的一点到直线的最大距离是 17．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）（多选）已知点（），直线l：，下列结论正确的是（     ） A. l恒过定点 B. （O为坐标原点） C. P到直线l的距离有最小值，最小值为0 D. P到直线l的距离有最大值，最大值为4 19．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知圆与圆恰有一条公切线，则实数的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（多选）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（多选）已知圆与圆外离，则m的取值可能是（       ） A. -3 B. 1 C. 4 D. 6 24．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（     ） A. 8m B. 7m C. 7.5m D. 6.5m 25．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）（多选）圆和圆的交点为，，则（     ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 26．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）（多选）已知点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为A，，则（       ） A. 圆心到的距离为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 直线过定点 27．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，圆，点为直线：上一动点，则（     ） A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为2 B. 已知点，圆上动点，则的取值范围是 C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN恒过定点 28．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）（多选）已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（       ） A. 若直线与圆相切，则 B. 若，则圆上到直线的距离等于的点恰有4个 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则可能为 29．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知在平面直角坐标系中，圆经过点和，且圆心在直线上，直线. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 30．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为　　　　　　　　　　. 31．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦AB的长. 32．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 33．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）已知圆M过点 （1）求圆M的方程； （2）过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程. 34．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）已知集合，集合，若有两个元素，则实数 的取值范围是　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）圆过点和点，且圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 36．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）若，直线与圆相交于两点，求的面积； （3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 37．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）若圆与圆（）有且仅有2条公切线，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 38．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知圆C过点和点，且圆心在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若直线l过点，当直线与圆C相切时，求直线的方程． 39．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知动点与两个定点，的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 40．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 41．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知圆，过动点分别作直线、与圆相切，切点为、，设经过、两点的直线为，则动直线恒过的定点坐标为　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知直线经过点，圆． （1）若经过圆的圆心，求的一般式方程； （2）若被圆截得的弦长为，求的一般式方程． 43．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知圆与圆内切，则　　　　　　　　． 44．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 45．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点. （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公共弦长. 46．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知直线，圆. （1）证明：过定点. （2）若与圆相切，求的方程. （3）若点在圆上，求的取值范围. 47．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）过点作圆的切线，则的方程为　　　　　 48．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点．以Q为圆心，QP为半径的圆Q，与圆O相交于E，F两点，    （1）证明：点P到直线EF的距离为定值，并求出此定值． （2）若圆Q与圆恒有公共点，求r的取值范围； 49．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）已知定点，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值. 50．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 （1）求曲线的方程 （2）过点作直线交曲线于两个不同的点，，且不过曲线的中心，再过点，分别作曲线的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程 （3）斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且.若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值 51．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与轴正半轴的交点为，过点的直线与圆交于不同的两点A，B. （1）直线与轴交于点，且，求直线的方程； （2）设AB的中点为，若，求的面积； （3）设直线QA，QB的斜率分别为，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 52．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴正负半轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）． （1）若是等腰三角形，求点的坐标； （2）①设直线，的斜率为，求的值； ②求证：直线过定点，并求出定点坐标； （3）求四边形面积的最大值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $