江西省南昌中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

· 南昌中学2025-2026学年度上学期期中考试高二数学试卷 · 命题人：王明明 审题人：姜凤 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线 的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．若方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程可以是（   ） A． B． C． D． 4．已知直线n:2x-(3)/(2)y+5=0与直线4x-3y+m=0的距离为1,则m的值为 () A.-5或-15 B.-5或15 C.5或-15 D.5或15 5.“a=-1”是“直线x+ay+6=0与直线(a-2)x+3y+2a=0平行”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6．设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.若，且，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（    ） A． B． C．3 D．6 8．已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．4 D．3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．当时，直线必经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0) B．椭圆C的长轴长为 C．直线的方程为 D． 11．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ． 13．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 14．已知动直线l的方程为，，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知直线和直线的交点为. (1)求过点且与直线平行的直线方程； (2)若直线 与直线垂直，且到 的距离为，求直线的方程. 16．已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点. (1)求圆C的方程； (2)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 17．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)直线交抛物线于不同的两点，为坐标原点，且求证：直线恒过定点，并求出这个定点. 18．如图双曲线的左右顶点分别为且，已知双曲线的离心率为2． (1)求双曲线的方程． (2)直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过点． ①证明：直线过轴上一定点，请求出点的坐标； ②若都在双曲线的右支，求的面积的最小值． 19．已知椭圆的右顶点为A，离心率.定义：点关于E所对应的极线方程为，右焦点关于E所对应的极线方程为.    (1)求E的标准方程； (2)设点关于E所对应的极线为直线l，l与x轴交于点Q，过点P作直线（不与x轴重合）交E于B，C两点，直线AB，AC与l分别交于点M，N，如图. （i）连接PM，PN，证明：当时，； （ii）连接OM，试问：当t取何值时，. 试卷第16页，共17页 试卷第2页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 南昌中学2025-2026学年度上学期期中考试 · 高二数学试卷 · 命题人：王明明 审题人：姜凤 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线 的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线方程化为斜截式，求出直线斜率，由斜率公式求出直线的倾斜角. 【详解】由，得， 所以，设倾斜角为 则， 所以直线的倾斜角为， 故选:B. 2．抛物线焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】由抛物线的准线方程为，焦点， 故选：C. 3．若方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的方向向量得出斜率，设点斜式方程，再由圆心到直线距离等于半径求解. 【详解】由直线的方向向量为知，直线的斜率， 设直线方程为， 则由直线与圆相切知，圆心到直线的距离， 解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 故选：B 4．已知直线n:2x-(3)/(2)y+5=0与直线4x-3y+m=0的距离为1,则m的值为 () A.-5或-15 B.-5或15 C.5或-15 D.5或15 【答案】D 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】直线n:2x-(3)/(2)y+5=0可变为4x-3y+10=0，则两条平行直线间的距离为(|10-m|)/(sqrt(4^(2)+3^(2)))=1⇒m=5或15. 故选：D. 5.“a=-1”是“直线x+ay+6=0与直线(a-2)x+3y+2a=0平行”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由两直线平行得出a的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】 若直线x+ay+6=0与直线(a-2)x+3y+2a=0平行，则有{1×3=a⋅(a-2),,1×(2a)≠6⋅(a-2),解得a=3(舍)或a=-1.所以当a=-1时，直线x+ay+6=0与直线(a-2)x+3y+2a=0平行，当直线x+ay+6=0与直线(a-2)x+3y+2a=0平行时，a=-1. 故选：C 6．设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.若，且，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得，利用双曲线的定义以及可求得，，再利用余弦定理可得出的值，由此可求得双曲线的渐近线方程. 【详解】设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 所以，， ，， ，可得，，所以，， 由已知可得，解得， 由余弦定理可得， 即，则，即，， 因此，双曲线的渐近线方程为，即. 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路： （1）转化已知条件，得到、、中任意两个量的等量关系； （2）若得到、的等量关系，则渐近线方程可得；若已知、或、之间的等量关系，结合可求得的值，则渐近线方程可求. 7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据动直线方程求出定点的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得 ，最后由基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意，动直线过定点， 直线可化为，令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D. 8．已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．4 D．3 【答案】C 【分析】作出图形，证明出，可得出，求得的值，结合余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 因为，、分别为、的中点，则， 又因为，，故， 所以， 由题意可知，故为钝角， 所以，， 故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 解得． 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．当时，直线必经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【分析】分别求得直线在y轴上的截距和在x轴上的截距，从而可判断. 【详解】令，得直线在y轴上的截距为；令，得直线在x轴上的截距为． 因为，所以， 所以该直线过第一、二、三象限，不过第四象限． 故选：ABC 10．已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0) B．椭圆C的长轴长为 C．直线的方程为 D． 【答案】BCD 【分析】根据椭圆方程可直接判断A、B的正误，设直线为，，，且，联立椭圆方程应用韦达定理即可求k值，写出直线方程，进而应用弦长公式可求，即可判断C、D的正误. 【详解】A：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误； B：，即椭圆C的长轴长为，正确； C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则， ∴，可得，即直线为，正确； D：由C知：，，则，正确. 故选：BCD. 11．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 【答案】BCD 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D. 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ． 【答案】14 【分析】借助椭圆定义即可得. 【详解】由，则，由在椭圆上，故有, 又，所以. 故答案为：. 13．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 14．已知动直线l的方程为，，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用万能公式将直线方程化为，求出过原点与直线垂直的直线方程，进而得出点的轨迹为圆心为半径为3的圆，进而转化为点到圆的距离即可求解. 【详解】由可得， 令，由万能公式可得， ，所以直线的方程为①， 由题意可知过原点与直线垂直的直线方程为②， 可得，即表示点的轨迹为圆心为半径为3的圆， 于是线段长度的取值范围为，因为， 所以线段PQ长度的取值范围为， 故答案为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知直线和直线的交点为. (1)求过点且与直线平行的直线方程； (2)若直线 与直线垂直，且到 的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)联立求出点坐标，再根据两直线平行斜率相等即可求解;(2)根据两直线垂直斜率之积等于以及点到直线距离公式即可求解. 【详解】（1）由解得,所以， 设所求直线为, 因为直线过点，所以解得， 所以所求直线方程为. （2）直线 与直线垂直,所以可设为， 又因为到 的距离等于，解得或， 所以所求直线方程为或. 16．已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点. (1)求圆C的方程； (2)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用已知圆心特征和半径列方程组，即可求得圆的方程； （2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，结合弦心距的求解过程即可得出结果. 【详解】（1）圆的圆心在直线上且与轴切于点， 设圆心坐标为，则，解得，， 圆心，半径， 故圆的方程为. （2）点，直线过点， 当的斜率存在时，设直线的斜率为（存在）， 则方程为，又圆的圆心为，半径，弦长为， 故弦心距，故，解得， 所以直线方程为，即， 当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件， 故的方程为或. 17．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)直线交抛物线于不同的两点，为坐标原点，且求证：直线恒过定点，并求出这个定点. 【答案】(1) (2)直线过定点 【分析】（1）利用焦半径的定义可得的值，即可得到答案； （2）设，直线，根据可求得的值，即可得到答案； 【详解】（1），， 抛物线的标准方程为. （2）设，直线代入抛物线得： ， ， ，① 又，， ，①等价于， 直线恒过定点. 18．如图双曲线的左右顶点分别为且，已知双曲线的离心率为2． (1)求双曲线的方程． (2)直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过点． ①证明：直线过轴上一定点，请求出点的坐标； ②若都在双曲线的右支，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②9 【分析】（1）根据已知条件，结合双曲线的性质求出，进而得出双曲线方程； （2）①根据已知条件结合圆的性质得出，设直线方程为，联立双曲线方程，根据韦达定理得出坐标关系，结合垂直关系得出向量数量积为0，从而解出的值，求出点坐标证明结论；②利用①结论联立方程，运用韦达定理结合三角形面积公式得出三角形面积表达式，结合位于右支得出参数取值范围，构造函数求出面积最小值． 【详解】（1）双曲线的左右顶点分别为且， ，， ，， ， 双曲线：． （2）①证明：直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过双曲线左顶点， ，， 设直线的方程为，， 联立双曲线得，( )， ， ，， ，，解得或，若，则直线过，与题意矛盾舍去，故， 直线过． ②，， ， 由①知，直线：， 联立双曲线方程得( ), ， 都在双曲线的右支上，，， ， ， 令，则，代入得 ， 令，，解得， ， 求导得，在时恒成立， 在单调递增，在时取最小值，， 的最小值为9． 19．已知椭圆的右顶点为A，离心率.定义：点关于E所对应的极线方程为，右焦点关于E所对应的极线方程为.    (1)求E的标准方程； (2)设点关于E所对应的极线为直线l，l与x轴交于点Q，过点P作直线（不与x轴重合）交E于B，C两点，直线AB，AC与l分别交于点M，N，如图. （i）连接PM，PN，证明：当时，； （ii）连接OM，试问：当t取何值时，. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据已知条件即可解题 （2）利用直线与椭圆的位置关系和韦达定理即可解题 【详解】（1）根据极线方程的定义，右焦点对应的极线为， 即，又右焦点对应的极线方程为，. 又，，联立解得，，. 的标准方程为：. （2）（i）由，可得， 点P关于E所对应的极线方程为， 设，，，直线， 代入椭圆方程整理得：， 显然，则，， 则，. ，B，M三点共线，则，得，解得， 则点，同理得点. ，. （ii）解：，， 因，故，则有. 由关于E对应的极线为直线，设直线， 代入椭圆方程整理得：， 由韦达定理得：，. 则，. ，B，M三点共线，，即，解得， 则点，，， 由可得， 整理得， 即， 故， 化简得， 即， 又，则有，解得. 试卷第16页，共17页 试卷第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $