专题02 直线和圆的方程（期中真题汇编，江西专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知直线与直线平行，则实数的值为（       ） A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 1或-2 【答案】A 【分析】 利用直线平行的判定方法求解即可. 【详解】 由直线与直线平行, 可得，解得或， 由于还要满足，所以舍去， 故选：A 2．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）直线的倾斜角是（     ） A. 0 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】 设直线的倾斜角是. 直线斜率为， 又， 故选：D. 3．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C. 0 D. 不存在 【答案】C 【分析】 由直线方程即可求解. 【详解】 由方程，可知直线与轴平行， 倾斜角为0， 故选：C 4．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先求出直线的斜率，即可求出倾斜角. 【详解】 直线，即，所以直线的斜率. 设倾斜角为，则，且，故， 即直线的倾斜角为， 故选：D 5．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）若直线与直线平行，则（       ） A. 或 B.  C.  D. 或 【答案】B 【分析】 根据两直线平行可直接构造方程组求解. 【详解】 两直线方程可整理为：与， 两直线平行， ，解得：. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D. 不存在 【答案】B 【分析】 由直线倾斜角的定义，即可得到结果. 【详解】 ∵直线与x轴垂直，∴的倾斜角为． 故选：B 7．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知直线与平行，则m的值为（       ） A.  B. 3 C. 2 D. 或3 【答案】B 【分析】 结合两直线平行的条件列式求解，然后代入检验是否平行，即可得解. 【详解】 由题意时，由得，则或， 当时，与，两条直线恰好重合，矛盾， 而时，与平行，且不重合，符合题意. 所以m的值为3. 故选：B． 8．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）直线的倾斜角是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角. 【详解】 根据题意可知直线的斜率， 直线的倾斜角为， 则，， 所以. 故选：D 9．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）（多选）记，直线，则下列结论正确的是（       ） A. 当时，点到的距离为 B. 当在上时，的截距式方程为 C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【分析】 利根据点到直线的距离公式可判断A；根据直线截距式方程的含义判断B；根据直线垂直和平行的条件求参数，可判断CD. 【详解】 对于A，当时，，点到的距离，故A正确； 对于B，当在上时，，此时，与x轴无交点，故无截距式方程，故B错误； 对于C，由可得，解得，故C正确； 对于D，由可得，可得，故D错误. 故选：AC. 10．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）倾斜角为钝角的直线l一定经过（       ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【分析】 根据直线倾斜角的概念并结合一次函数性质判断即可. 【详解】 因为直线的倾斜角为钝角，所以斜率为负， 由一次函数性质得直线l一定经过第二、四象限. 故选：B. 11．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）若关于的方程组 无解，则（       ） A. 2 B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 由题意得方程组无解，等价于直线和直线平行，进而求解. 【详解】 可得方程组无解，等价于直线和直线平行，则， 解得. 故选：C. 12．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）（多选）已知直线，则下列判断正确的是（       ） A. 在轴上的截距为3 B. 若，则 C. 若，则 D. 若相交于一点，则 【答案】BC 【分析】 通过直线截距定义分析A；依据平行、垂直的斜率关系分析B、C；求解两直线交点并代入第三条直线分析D. 【详解】 选项A：令中，得，故在x轴上的截距为，A错误. 选项B：斜率为，斜率为，若，则，解得，B正确. 选项C：若，则，解得，C正确. 选项D：由 解得， 所以与的交点为，代入得，解得，D错误. 故选：BC 13．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）“”是“直线和直线平行”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据直线平行的等价条件求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立， 若直线和直线平行， 当时，直线分别为和，不满足条件， 当时，满足，即，解得或， 当时，两直线重合，故不满足条件，故，即必要性成立， 综上“”是“直线和直线平行”的充要条件， 故选：C． 14．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（       ） A. 3 B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 根据两条直线垂直的条件及基本不等式可得. 【详解】 因为，且， 所以，即，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 15．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）（多选）已知动直线：，动直线：，则下列结论中正确的是（       ） A. 存在，使得的倾斜角为 B. 动直线恒过定点 C. 若与垂直，则或 D. 若与平行，则或 【答案】BC 【分析】 根据直线方程的性质及直线间的位置关系，逐一分析判断选项 【详解】 因为直线的斜率恒存在，直线才会垂直于轴，故选项A错误； 已知，化简得：， 由 解得直线经过点，故选项B正确； 由题可得，，若则，解得， 当时，，，此时直线，故选项C正确； 若，则，化简得，或， 当，与的方程均为，两直线重合非平行，故D选项错误. 故选：BC 16．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）过两点的直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先由斜率公式求出斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】 ，则， 由于，则， 故选：C. 17．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则斜率的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 求出的斜率，结合图象可求得结果. 【详解】 由题意得， 因为直线与连接，两点的线段总有公共点， 所以由图可知，即， 即斜率的取值范围为， 故答案为：. 18．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知直线与直线平行，则的值为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据两直线平行列式求值. 【详解】 若即， 则：，：，两直线不平行，所以. 由，且，所以 . 故答案为： 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）在平面直角坐标系中，曲线：的周长为（       ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【分析】 利用方程可判断曲线的对称性，再研究第一象限的线段，根据对称性即可求得周长. 【详解】 在曲线的方程中，令用或用代换，曲线方程都没有变， 所以曲线关于轴，轴对称，原点对称， 当，时，曲线的方程为，表示以和为顶点的线段， 其长度为，根据对称性知，其他三条线段的长也为2， 所以曲线：的周长为. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由直线倾斜角计算直线的斜率，点斜式求直线方程. 【详解】 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率. 又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，化成一般式为. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可. 【详解】 因为直线的方向向量，所以直线的斜率为2， 又直线经过点，所以直线方程为，即. 故选：B. 4．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定的直线方程，化为直线的斜截式方程，得出直线的斜率. 【详解】 由直线方程，可得 所以直线的斜率. 故选：A. 5．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）（多选）已知直线，则下列正确的是（       ） A. 当时，直线的一个方向向量为 B. 若，则 C. 若或2，则与相互平行 D. 若，则直线不经过第三象限 【答案】ABD 【分析】 根据直线的斜率和方向向量的关系，可判定A正确；根据两直线垂直列出方程，可判定B正确；根据两直线平行，列出方程组，可判定C不正确；根据直线的斜率和在轴上的截距，可判定D正确. 【详解】 对于A，当时，直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，所以A正确； 对于B，由，可得，解得，所以B正确； 对C，若与相互平行，则 ，解得，所以C错误； 对D，当时，直线的斜率小于0，且在轴上的截距为，且过点， 直线不经过第三象限，所以D正确． 故选：ABD. 6．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由方向向量求得斜率，得到直线的方程，再比较选项即可求解. 【详解】 由直线的方向向量， 可得， 则直线的方程为：， 即， 结合选项可知只有C满足， 故选：C 7．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求边上的中点坐标，再求边上的中线的斜率与方程. 【详解】 ∵， ∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即 故选：A 8．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）已知两点，，直线为线段的中垂线，直线过点，且与直线平行. （1）求与的一般方程； （2）求，与轴围成的三角形的面积. 【答案】（1）的一般方程为，的一般方程为     （2）      【分析】 （1）求出直线的斜率，线段的中点坐标，即可求出中垂线方程，利用平行关系求得的斜率，代入点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）先求，与轴的交点，然后结合图形求得三角形的底和高，即可求解. (1) 小问详解： 由题知，直线的斜率，线段的中点坐标为， 则的斜率，直线过点， 故的一般方程为，即； 的斜率，直线过点， 故的一般方程为，即； (2) 小问详解： 如图：    令求得，与轴的交点分别为，， 联立 ，解得 ，即与的交点坐标为， 则，与轴围成的三角形为，其面积为. 9．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）在中，. （1）求的平分线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据已知点的坐标特征，判断，推得的平分线所在直线的倾斜角为，即可写出直线的斜截式方程； （2）先求出直线的斜率，利用垂直关系求出边上的高的斜率，由点斜式求得其方程，整理得直线的一般式方程. (1) 小问详解： 由，易得直线的斜率为0，故其方程为， 直线的斜率不存在，故其方程为，可得， 易知的平分线所在直线的倾斜角为，又经过点，则其方程为， 故的平分线所在直线的斜截式方程为. (2) 小问详解： 由可得直线的斜率， 故边上的高所在直线的斜率， 又所求直线经过点，故其方程为， 故边上的高所在直线的一般式方程为. 10．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）过点和点的直线方程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用截距式方程即可求解. 【详解】 过点和点的直线方程为， 化简可得：. 故答案为: 11．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）已知直线与直线的交点为P， （1）直线经过P，且与直线l：垂直，求直线的方程； （2）直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 (1)先求出两直线的交点，再根据垂直关系得到的斜率，最后用点斜式写出直线方程. (2)先确定交点，再分截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. (1) 小问详解： 联立 ，解得 ，即， 由与直线l：垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为，则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 12．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. （1）经过点，斜率为2； （2）经过两点； （3）一个方向向量的坐标为，且在轴上的截距为1. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用点斜式方程化简即可求解； （2）利用两点式方程化简即可求解； （3）利用斜截式方程化简即可求解. (1) 小问详解： 经过点，斜率为2的直线方程为，即. (2) 小问详解： 直线经过两点，则直线方程为，化为一般式方程是为； (3) 小问详解： 直线的一个方向向量的坐标为，则该直线的斜率为，因为该直线在轴上的截距为1， 所以该直线经过点，所以该直线的方程为，即. 13．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. (1) 小问详解： 由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； (2) 小问详解： 当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 14．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是　　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解. 【详解】 ①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，所以直线的方程为； ②当直线在两坐标轴上的截距均不为时， 设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为， 则直线的方程为， 又因为直线过点，所以， 解得：， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或， 故答案为：或． 15．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）在中，. （1）求边上的高的方程； （2）若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）先求直线的斜率，进而得，再根据点斜式方程求解即可； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况分别讨论求解即可; (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴边上的高的斜率为， ∴边上的高的方程为，即 (2) 小问详解： 解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时两点到直线的距离相等，且等于，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ∵到直线的距离相等， ∴，即，解得， ∴直线的方程为， 综上，直线的方程为或 16．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线在轴上的截距为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意求得直线的方程为，再求直线在轴上的截距即可. 【详解】 由直线的一个方向向量为得直线的斜率为， 由直线经过点， 所以直线的方程为，即， 令得，即直线在轴上的截距为. 故答案为： 17．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】 由于，经过的定点为，所以， 由，经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图，    因此为直角三角形，所以. 故答案为： 18．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（1）分别求直线在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程． 【答案】（1）在轴、轴上的截距分别为10，；（2）. 【分析】 （1）求得直线的截距式方程，可得在轴、轴上的截距，或根据直线方程，求得直线与轴、轴的交点，从而得到在轴、轴上的截距； （2）由与直线垂直，设所求直线的一般式方程，代入点，求出参数，得所求直线方程.或根据与直线垂直求得所求直线的斜率，写出所求直线的点斜式方程，变形得其一般式方程. 【详解】 （1）（方法一）由，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为10，． （方法二）令，得；令，得. 所以直线在轴、轴上的截距分别为10，． （2）（方法一）依题意设所求直线方程为， 将点的坐标代入得，解得， 所以所求直线的方程为． （方法二）因为直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为2， 所以所求直线的方程为，即． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）直线与直线间的距离是（       ） A.  B.  C.  D. １ 【答案】B 【分析】 利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】 直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 2．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用对称性来求最小值，通过取等号时条件求出点的坐标. 【详解】 根据题意，作出关于的对称点， 则， 当点与共线时等号成立， 则由写出直线方程：， 再令得：， 故选：A 3．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）若直线与直线之间的距离为，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 利用平行线间的距离公式求解. 【详解】 由题意知， 又， 解得， 故选：B. 4．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）已知，直线上存在点，满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得结果. 【详解】 直线方程可化为：， 令 得： ，直线恒过定点， 由得：， 当直线上存在点满足时，直线与线段有交点，如图所示， ，，由直线斜率不为， 直线的斜率， . 故选：B. 5．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知实数满足，则的最小值是（　　） A.  B.  C. 1 D.  【答案】A 【分析】 将问题转化为点到直线的距离即可求解. 【详解】 当取最小值时，即为点到直线的距离; 故选：A 6．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）（多选）下列说法正确的有（     ） A. 点关于直线的对称点为 B. 直线关于点的对称直线为 C. 经过点，且与直线平行的直线方程是 D. 当时，直线与垂直 【答案】ABD 【分析】 利用点关于直线的对称的性质求解判断A；利用直线关于点对称直线的求法求解以判断B；利用平行求出斜率，再利用点斜式求出直线方程判断C，利用直线垂直的系数关系判断D. 【详解】 对于A，设点关于直线的对称点为， 则 ，解得 ， 即点关于直线的对称点为，正确； 对于B，设直线上的点，其关于点的对称点为， 所以 ，则 ，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，正确； 对于C，直线的斜率为2，所以所求直线的斜率也是2， 则所求直线为，即，错误； 对于D，当时，， 故直线与垂直，正确； 故选：ABD. 7．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（       ） A. 4 B. 5 C.  D.  【答案】D 【分析】 先求点关于x轴的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】 由题意得关于x轴的对称点为， 所以. 故选：D. 8．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）两条平行直线之间的距离为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 9．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）新冠疫情期间，作为街道工作人员的王叔叔和李阿姨需要上门排查外来人员信息，王叔叔和李阿姨分别需走访离家不超过3百米､百米的区域，如图，､分别是经过王叔叔家点）的东西和南北走向的街道，且李阿姨家点）在王叔叔家的北偏东方向，以点为坐标原点，､为轴､轴建立平面直角坐标系，已知李阿姨负责区域中最远的两个检查点和，到南北和东西走向街道的垂直距离分别为5百米和3百米，到南北和东西走向街道的垂直距离分别为7百米和5百米． （1）求出，并写出王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程； （2）王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，从家中出发，需在龙山路（直线上碰头见面，你认为在何处最为便捷､省时间（两人所走的路程之和最短）？ 【答案】（1），王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程分别为，     （2）可选择在地点处碰面，此时距离之和最近      【分析】 （1）由题意得王叔叔家点）负责区域边界的曲线方程为，且，，设，利用，求出，即可得出，即可得出答案； （2）设王叔叔家点关于直线对称点，则，且，在直线上，即可求出，，求出直线的方程，联立直线求出交点坐标，即可得出答案． (1) 小问详解： 由题意得：王叔叔家点）负责区域边界的曲线方程为，且，， 由题意可设李阿姨家，则， 即，解得， 则百米， 则李阿姨负责区域边界的曲线方程， 故， 王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程分别为，； (2) 小问详解： 设王叔叔家点关于直线对称点， 则 ，解得，， 此时直线的方程为，即， 联立直线与直线的方程得 ，解得 ， 故王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，可选择在地点处碰面，此时距离之和最近． 10．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线在轴上的截距． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出直线的方程，然后联立直线的方程组，求出解即可得到点的坐标. （2）先求出点的坐标，然后求出直线的方程，即可求出截距. (1) 小问详解： 由题意可得边上的高线所在的直线方程为， 设直线的方程为， 将代入可得：，即， 所以直线的方程为：， 由题意可得为直线与的交点，即 ， 解得， 即. (2) 小问详解： 设，则的中点， 则 ， 解得，即， 可得， 所以直线的方程为：， 令，得 所以直线在轴上的截距为． 11．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）联立两直线方程，可得点坐标，由题意，设圆心，则，根据两点间距离公式，求出值，可得圆心和半径，即可得答案. （2）根据弦长公式，可得圆心到直线l的距离，分别讨论垂直轴和不垂直轴两种情况，根据点到直线的距离公式，分析求解，综合即可得答案. (1) 小问详解： 联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 (2) 小问详解： 因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 12．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）一条光线从射出，经y轴后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出点关于轴的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可. 【详解】 设关于轴的对称点， 则有 ，即， 反射光线所在直线为：， 整理得：. 故答案为：. 13．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知直线，点．求： （1）点关于直线的对称点的坐标； （2）直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. (1) 小问详解： 直线的斜率为， 设，又，依题意可得 ， 解得 ，所以. (2) 小问详解： 在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点， 则 ，解得 ，故. 设直线与直线的交点为，则由 ，解得 ，即. 所以直线经过点， 则，所以直线的方程为，即. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）直线平分圆C：，则（       ） A.  B. 1 C. -1 D. -3 【答案】D 【分析】 求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可. 【详解】 变形为，故圆心为， 由题意得圆心在上，故，解得. 故选：D 2．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）过点的圆的半径为（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】B 【分析】 根据几何法求出圆心，进而可求圆的半径. 【详解】 易知以为端点构成的线段的中垂线方程为， 以为端点构成的线段的中垂线方程为，如图： 设圆心坐标为，显然点为直线与直线的交点，即. 所以圆心坐标为，故圆的半径. 故选：B. 3．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（     ） A. 7.5m B. 8.5m C. 7m D. 8m 【答案】C 【分析】 利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可. 【详解】 以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设该圆弧所在圆为圆． 将，的坐标代入圆的方程，得 得 所以圆．当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7m． 故选：C 4．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】 由点在圆的外部，可列不等式组： ，解得：， 故选：C. 5．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题可先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标，再根据圆上存在无数对点关于直线对称，得出直线一定过圆心，进而得到直线定过的点. 【详解】 圆的标准方程为，圆心为． 由题意可得，直线一定过圆心． 故选：A 6．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）已知圆，当圆心到原点的距离最小时，圆的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出圆心和半径，再利用两点间距离公式求出，利用二次函数求出最小值时的值，代入半径，求出半径，利用圆的面积公式求解. 【详解】 由可知圆心为， 半径为， 设原点为，则， 设，对称轴为，开口向上， 则在处取得最小值，即在处的最小值， 此时圆的半径为， 圆的面积为. 故选：B. 7．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作图，得到光线经过的路程，然后求关于对称的点，利用对称性求得何时光线经过的路程最小，求出最小值. 【详解】 如图，设光线由点出发，经过直线上的点后反射后与圆交于点， ∴光线经过的路程为.    设是点关于直线的对称点， 则 ，即 ，∴ ，即， 由对称性可知，，即， 显然当四点共线时，最小， 此时. 故选：A. 8．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围. 【详解】 设，则，. 因为，所以， 即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以， 即，解得. 故选：C. 9．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出原点关于直线的对称点的坐标，可得出，进而可得出，再结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】 圆的圆心为，半径为，如下图所示： 设原点关于直线的对称点为， 而直线的斜率为，且线段的中点在直线上， 由题意可得 ，解得 ，即点， 由对称性可得， 所以，， 当且仅当、分别为线段与圆、直线的交点时， 上述不等式中的两个等号同时成立，故取最小值. 故选：B. 10．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）在平面直角坐标系中，存在圆，点和点，M为圆O上的动点，则下列说法中正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】C 【分析】 设点，求得，其中，结合和，即可求解. 【详解】 设点，由圆，点和点， 可得， 其中，点在圆外，点在圆内， 如图所示，可得， 当且仅当为的延长线与圆的交点时，取得等号， 所以的最大值为； 又由， 当且仅当为与圆的交点 时，取得等号， 所以的最小值为. 故选：C. 11．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）点满足方程，则的最小值为（       ） A. 17 B. 19 C. 23 D. 25 【答案】A 【分析】 根据题意将表达式转化为，求出轴上一定点使其满足，求出的最小值即可得出结论. 【详解】 易知， 设在轴上存在一定点使得点在圆上任意移动时均有， 设，则有， 整理可得，又， 因此可知，即； 当时，存在点满足； 显然点在圆内， 所以； 当且仅当三点共线时，取得最小值17，如下图所示：    故选：A 12．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）圆（其中）的周长的取值范围为　　　　　　　． 【答案】. 【分析】 本题通过将圆方程化为标准形式，求出半径的取值范围，进而得到周长的取值范围. 【详解】 将圆的方程化为标准形式：，则半径. 圆的周长. 因为，所以，即，故. 故答案为：. 13．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）在三棱锥中，，，，直线与平面所成角为60°，直线PB与平面ABC所成角为30°，则点P在所在平面内的射影的轨迹长为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 过P作平面ABC垂足为H，得，，，进而得到H点轨迹是半径为3的圆（阿波罗尼斯圆）. 【详解】 过P作平面垂足为H，则，， 因为，，所以， 如图所示，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则，， 设，因为，可得， 整理得，即， 所以H点轨迹是半径为3的圆（阿波罗尼斯圆），即轨迹长为    故答案为： 14．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由中点坐标公式求出圆心和两点距离公式求出半径即可得解. 【详解】 线段的中点为，则半径为， 则以线段为直径的圆的标准方程为. 故答案为： 15．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）已知圆过三点，直线． （1）求圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程； （3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知； （2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程； （3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值. (1) 小问详解： 设圆的方程为，代入， 则 ，解得 ， 所以圆的方程为； (2) 小问详解： 设， 由对称关系可知 ，解得 ，所以， 又因为对称圆的半径不变， 所以的方程为； (3) 小问详解： 因为， 由（2）可知关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当共线时取等号， 所以，即的最小值为. 16．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点. （1）求圆的方程； （2）若从点向圆引两条切线，切点分别为M，N，求四边形AMCN的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求得抛物线与坐标轴的三个交点为，再待定系数求解即可； （2）先求得点到圆心的距离，进而求得切线长，再根据计算面积即可. (1) 小问详解： 解：对于，令得或，令得； ∴抛物线与坐标轴的三个交点为， 设圆的方程为， ∴ ，解得，满足， ∴圆的方程为 (2) 小问详解： 解：将圆的方程化为标准方程得， ∴圆的圆心为，， ∴点到圆心的距离为， ∴切线长为， ∴四边形AMCN的面积为， 即四边形AMCN的面积为. 17．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）如图所示，已知是圆内的一点，，是圆上两动点，且满足，则矩形的顶点的轨迹方程为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】设的中点为，设的坐标为，则在中，，在中，，再由，由此得到点的轨迹方程① ，设，因为是的中点，可得，代入① 化简即得所求. 【详解】解：设的中点为，则也是的中点， 设的坐标为，则在中，. 又因为是弦的中点， 依垂径定理：在中，. 又， 所以有，即. 因此点在一个圆上，而当在此圆上运动时，点即在所求的轨迹上运动. 设，因为是的中点，所以， 代入方程， 得， 整理得：，这就是所求的点的轨迹方程. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段中点的轨迹方程.欲求的轨迹方程，应先求的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题，属于中档题. 18．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 （1）求曲线的方程． （2）过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设点和，利用中点公式，求得，代入圆的方程，即可求得曲线的方程； （2）根据题意，得到四点共圆，求得该圆的方程，再由直线是两圆公共弦所在直线，结合圆与圆的位置关系，即可求解. (1) 小问详解： 解：设点，线段的中点为， 可得 ，所以，即点， 因为点在圆上，所以， 化简得，所以曲线的方程为． (2) 小问详解： 解：如图所示，因为 所以四点共圆，且圆心为的中点，半径为， 即圆的方程为，  可得直线是两圆公共弦所在直线， 由 ，两式相减得， 所以直线所在的直线为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知直线与直线平行，则实数的值为（       ） A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 1或-2 2．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）直线的倾斜角是（     ） A. 0 B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C. 0 D. 不存在 4．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）若直线与直线平行，则（       ） A. 或 B.  C.  D. 或 6．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D. 不存在 7．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知直线与平行，则m的值为（       ） A.  B. 3 C. 2 D. 或3 8．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）直线的倾斜角是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）（多选）记，直线，则下列结论正确的是（       ） A. 当时，点到的距离为 B. 当在上时，的截距式方程为 C. 当时， D. 当时， 10．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）倾斜角为钝角的直线l一定经过（       ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、三象限 11．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）若关于的方程组 无解，则（       ） A. 2 B.  C. 1 D.  12．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）（多选）已知直线，则下列判断正确的是（       ） A. 在轴上的截距为3 B. 若，则 C. 若，则 D. 若相交于一点，则 13．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）“”是“直线和直线平行”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（       ） A. 3 B. 2 C.  D.  15．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）（多选）已知动直线：，动直线：，则下列结论中正确的是（       ） A. 存在，使得的倾斜角为 B. 动直线恒过定点 C. 若与垂直，则或 D. 若与平行，则或 16．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）过两点的直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则斜率的取值范围是　　　　　　　　． 18．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知直线与直线平行，则的值为　　　　　. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）在平面直角坐标系中，曲线：的周长为（       ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）（多选）已知直线，则下列正确的是（       ） A. 当时，直线的一个方向向量为 B. 若，则 C. 若或2，则与相互平行 D. 若，则直线不经过第三象限 6．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）已知两点，，直线为线段的中垂线，直线过点，且与直线平行. （1）求与的一般方程； （2）求，与轴围成的三角形的面积. 9．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）在中，. （1）求的平分线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的一般式方程. 10．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）过点和点的直线方程为　　　　　　　　　　. 11．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）已知直线与直线的交点为P， （1）直线经过P，且与直线l：垂直，求直线的方程； （2）直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 12．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. （1）经过点，斜率为2； （2）经过两点； （3）一个方向向量的坐标为，且在轴上的截距为1. 13．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 14．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是　　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）在中，. （1）求边上的高的方程； （2）若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 16．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线在轴上的截距为　　　　　　　　　　. 17．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）（1）分别求直线在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）直线与直线间的距离是（       ） A.  B.  C.  D. １ 2．（25-26学年高二上·江西赣州·期中）已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）若直线与直线之间的距离为，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．（25-26学年高二上·江西宜春中学·期中）已知，直线上存在点，满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·江西南昌第十中学·期中）已知实数满足，则的最小值是（　　） A.  B.  C. 1 D.  6．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）（多选）下列说法正确的有（     ） A. 点关于直线的对称点为 B. 直线关于点的对称直线为 C. 经过点，且与直线平行的直线方程是 D. 当时，直线与垂直 7．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（       ） A. 4 B. 5 C.  D.  8．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）两条平行直线之间的距离为　　　　　　　　　　　　. 9．（25-26学年高二上·江西景德镇一中·期中）新冠疫情期间，作为街道工作人员的王叔叔和李阿姨需要上门排查外来人员信息，王叔叔和李阿姨分别需走访离家不超过3百米､百米的区域，如图，､分别是经过王叔叔家点）的东西和南北走向的街道，且李阿姨家点）在王叔叔家的北偏东方向，以点为坐标原点，､为轴､轴建立平面直角坐标系，已知李阿姨负责区域中最远的两个检查点和，到南北和东西走向街道的垂直距离分别为5百米和3百米，到南北和东西走向街道的垂直距离分别为7百米和5百米． （1）求出，并写出王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程； （2）王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，从家中出发，需在龙山路（直线上碰头见面，你认为在何处最为便捷､省时间（两人所走的路程之和最短）？ 10．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线在轴上的截距． 11．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 12．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）一条光线从射出，经y轴后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为　　　　　　　　　. 13．（25-26学年高二上·江西师范大学附属中学·期中）已知直线，点．求： （1）点关于直线的对称点的坐标； （2）直线关于直线的对称直线的方程． 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·江西上高二中·期中）直线平分圆C：，则（       ） A.  B. 1 C. -1 D. -3 2．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）过点的圆的半径为（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  3．（25-26学年高二上·江西部分校·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（     ） A. 7.5m B. 8.5m C. 7m D. 8m 4．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·江西南昌第二中学·期中）已知圆，当圆心到原点的距离最小时，圆的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·江西南昌第十九中学·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）在平面直角坐标系中，存在圆，点和点，M为圆O上的动点，则下列说法中正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）点满足方程，则的最小值为（       ） A. 17 B. 19 C. 23 D. 25 12．（25-26学年高二上·江西抚州宜黄县·期中）圆（其中）的周长的取值范围为　　　　　　　． 13．（25-26学年高二上·江西临川第一中学·期中）在三棱锥中，，，，直线与平面所成角为60°，直线PB与平面ABC所成角为30°，则点P在所在平面内的射影的轨迹长为　　　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·江西萍乡·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高二上·江西南昌第一中学·期中）已知圆过三点，直线． （1）求圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程； （3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 16．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点. （1）求圆的方程； （2）若从点向圆引两条切线，切点分别为M，N，求四边形AMCN的面积. 17．（25-26学年高二上·江西南昌外国语学校·期中）如图所示，已知是圆内的一点，，是圆上两动点，且满足，则矩形的顶点的轨迹方程为　　　　　　　　　　 18．（25-26学年高二上·江西南昌东湖区南昌中学·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 （1）求曲线的方程． （2）过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．A 2．D 3．C 4．D 5．B 6．B 7．B 8．D 9．AC 10．B 11．C 12．BC 13．C 14．D 15．BC 16．C 17．【答案】 【分析】 求出的斜率，结合图象可求得结果. 【详解】 由题意得， 因为直线与连接，两点的线段总有公共点， 所以由图可知，即， 即斜率的取值范围为， 故答案为：. 18．【答案】 【分析】 根据两直线平行列式求值. 【详解】 若即， 则：，：，两直线不平行，所以. 由，且，所以 . 故答案为： 考点02 直线的方程 1．C 2．D 3．B 4．A 5．ABD 6．C 7．A 8．【答案】（1）的一般方程为，的一般方程为     （2）      【分析】 （1）求出直线的斜率，线段的中点坐标，即可求出中垂线方程，利用平行关系求得的斜率，代入点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）先求，与轴的交点，然后结合图形求得三角形的底和高，即可求解. (1) 小问详解： 由题知，直线的斜率，线段的中点坐标为， 则的斜率，直线过点， 故的一般方程为，即； 的斜率，直线过点， 故的一般方程为，即； (2) 小问详解： 如图：    令求得，与轴的交点分别为，， 联立 ，解得 ，即与的交点坐标为， 则，与轴围成的三角形为，其面积为. 9．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据已知点的坐标特征，判断，推得的平分线所在直线的倾斜角为，即可写出直线的斜截式方程； （2）先求出直线的斜率，利用垂直关系求出边上的高的斜率，由点斜式求得其方程，整理得直线的一般式方程. (1) 小问详解： 由，易得直线的斜率为0，故其方程为， 直线的斜率不存在，故其方程为，可得， 易知的平分线所在直线的倾斜角为，又经过点，则其方程为， 故的平分线所在直线的斜截式方程为. (2) 小问详解： 由可得直线的斜率， 故边上的高所在直线的斜率， 又所求直线经过点，故其方程为， 故边上的高所在直线的一般式方程为. 10．【答案】 【分析】 利用截距式方程即可求解. 【详解】 过点和点的直线方程为， 化简可得：. 故答案为: 11．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 (1)先求出两直线的交点，再根据垂直关系得到的斜率，最后用点斜式写出直线方程. (2)先确定交点，再分截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. (1) 小问详解： 联立 ，解得 ，即， 由与直线l：垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为，则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 12．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用点斜式方程化简即可求解； （2）利用两点式方程化简即可求解； （3）利用斜截式方程化简即可求解. (1) 小问详解： 经过点，斜率为2的直线方程为，即. (2) 小问详解： 直线经过两点，则直线方程为，化为一般式方程是为； (3) 小问详解： 直线的一个方向向量的坐标为，则该直线的斜率为，因为该直线在轴上的截距为1， 所以该直线经过点，所以该直线的方程为，即. 13．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. (1) 小问详解： 由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； (2) 小问详解： 当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 14．【答案】或 【分析】 当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解. 【详解】 ①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，所以直线的方程为； ②当直线在两坐标轴上的截距均不为时， 设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为， 则直线的方程为， 又因为直线过点，所以， 解得：， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或， 故答案为：或． 15．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）先求直线的斜率，进而得，再根据点斜式方程求解即可； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况分别讨论求解即可; (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴边上的高的斜率为， ∴边上的高的方程为，即 (2) 小问详解： 解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时两点到直线的距离相等，且等于，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ∵到直线的距离相等， ∴，即，解得， ∴直线的方程为， 综上，直线的方程为或 16．【答案】 【分析】 根据题意求得直线的方程为，再求直线在轴上的截距即可. 【详解】 由直线的一个方向向量为得直线的斜率为， 由直线经过点， 所以直线的方程为，即， 令得，即直线在轴上的截距为. 故答案为： 17．【答案】 【分析】 求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】 由于，经过的定点为，所以， 由，经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图，    因此为直角三角形，所以. 故答案为： 18．【答案】（1）在轴、轴上的截距分别为10，；（2）. 【分析】 （1）求得直线的截距式方程，可得在轴、轴上的截距，或根据直线方程，求得直线与轴、轴的交点，从而得到在轴、轴上的截距； （2）由与直线垂直，设所求直线的一般式方程，代入点，求出参数，得所求直线方程.或根据与直线垂直求得所求直线的斜率，写出所求直线的点斜式方程，变形得其一般式方程. 【详解】 （1）（方法一）由，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为10，． （方法二）令，得；令，得. 所以直线在轴、轴上的截距分别为10，． （2）（方法一）依题意设所求直线方程为， 将点的坐标代入得，解得， 所以所求直线的方程为． （方法二）因为直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为2， 所以所求直线的方程为，即． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．B 2．A 3．B 4．B 5．A 6．ABD 7．D 8．【答案】 【分析】 利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 9．【答案】（1），王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程分别为，     （2）可选择在地点处碰面，此时距离之和最近      【分析】 （1）由题意得王叔叔家点）负责区域边界的曲线方程为，且，，设，利用，求出，即可得出，即可得出答案； （2）设王叔叔家点关于直线对称点，则，且，在直线上，即可求出，，求出直线的方程，联立直线求出交点坐标，即可得出答案． (1) 小问详解： 由题意得：王叔叔家点）负责区域边界的曲线方程为，且，， 由题意可设李阿姨家，则， 即，解得， 则百米， 则李阿姨负责区域边界的曲线方程， 故， 王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程分别为，； (2) 小问详解： 设王叔叔家点关于直线对称点， 则 ，解得，， 此时直线的方程为，即， 联立直线与直线的方程得 ，解得 ， 故王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，可选择在地点处碰面，此时距离之和最近． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出直线的方程，然后联立直线的方程组，求出解即可得到点的坐标. （2）先求出点的坐标，然后求出直线的方程，即可求出截距. (1) 小问详解： 由题意可得边上的高线所在的直线方程为， 设直线的方程为， 将代入可得：，即， 所以直线的方程为：， 由题意可得为直线与的交点，即 ， 解得， 即. (2) 小问详解： 设，则的中点， 则 ， 解得，即， 可得， 所以直线的方程为：， 令，得 所以直线在轴上的截距为． 11．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）联立两直线方程，可得点坐标，由题意，设圆心，则，根据两点间距离公式，求出值，可得圆心和半径，即可得答案. （2）根据弦长公式，可得圆心到直线l的距离，分别讨论垂直轴和不垂直轴两种情况，根据点到直线的距离公式，分析求解，综合即可得答案. (1) 小问详解： 联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 (2) 小问详解： 因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 12．【答案】 【分析】 求出点关于轴的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可. 【详解】 设关于轴的对称点， 则有 ，即， 反射光线所在直线为：， 整理得：. 故答案为：. 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. (1) 小问详解： 直线的斜率为， 设，又，依题意可得 ， 解得 ，所以. (2) 小问详解： 在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点， 则 ，解得 ，故. 设直线与直线的交点为，则由 ，解得 ，即. 所以直线经过点， 则，所以直线的方程为，即. 考点04 圆的方程 1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．【答案】. 【分析】 本题通过将圆方程化为标准形式，求出半径的取值范围，进而得到周长的取值范围. 【详解】 将圆的方程化为标准形式：，则半径. 圆的周长. 因为，所以，即，故. 故答案为：. 13．【答案】 【分析】 过P作平面ABC垂足为H，得，，，进而得到H点轨迹是半径为3的圆（阿波罗尼斯圆）. 【详解】 过P作平面垂足为H，则，， 因为，，所以， 如图所示，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则，， 设，因为，可得， 整理得，即， 所以H点轨迹是半径为3的圆（阿波罗尼斯圆），即轨迹长为    故答案为： 14．【答案】 【分析】 由中点坐标公式求出圆心和两点距离公式求出半径即可得解. 【详解】 线段的中点为，则半径为， 则以线段为直径的圆的标准方程为. 故答案为： 15．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知； （2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程； （3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值. (1) 小问详解： 设圆的方程为，代入， 则 ，解得 ， 所以圆的方程为； (2) 小问详解： 设， 由对称关系可知 ，解得 ，所以， 又因为对称圆的半径不变， 所以的方程为； (3) 小问详解： 因为， 由（2）可知关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当共线时取等号， 所以，即的最小值为. 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求得抛物线与坐标轴的三个交点为，再待定系数求解即可； （2）先求得点到圆心的距离，进而求得切线长，再根据计算面积即可. (1) 小问详解： 解：对于，令得或，令得； ∴抛物线与坐标轴的三个交点为， 设圆的方程为， ∴ ，解得，满足， ∴圆的方程为 (2) 小问详解： 解：将圆的方程化为标准方程得， ∴圆的圆心为，， ∴点到圆心的距离为， ∴切线长为， ∴四边形AMCN的面积为， 即四边形AMCN的面积为. 17．【答案】 【分析】设的中点为，设的坐标为，则在中，，在中，，再由，由此得到点的轨迹方程① ，设，因为是的中点，可得，代入① 化简即得所求. 【详解】解：设的中点为，则也是的中点， 设的坐标为，则在中，. 又因为是弦的中点， 依垂径定理：在中，. 又， 所以有，即. 因此点在一个圆上，而当在此圆上运动时，点即在所求的轨迹上运动. 设，因为是的中点，所以， 代入方程， 得， 整理得：，这就是所求的点的轨迹方程. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段中点的轨迹方程.欲求的轨迹方程，应先求的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题，属于中档题. 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设点和，利用中点公式，求得，代入圆的方程，即可求得曲线的方程； （2）根据题意，得到四点共圆，求得该圆的方程，再由直线是两圆公共弦所在直线，结合圆与圆的位置关系，即可求解. (1) 小问详解： 解：设点，线段的中点为， 可得 ，所以，即点， 因为点在圆上，所以， 化简得，所以曲线的方程为． (2) 小问详解： 解：如图所示，因为 所以四点共圆，且圆心为的中点，半径为， 即圆的方程为，  可得直线是两圆公共弦所在直线， 由 ，两式相减得， 所以直线所在的直线为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $