专题04 三角形中的倒角模型之8字模型、A字模型与三角板模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版八年级上册

专题04 三角形中的倒角模型之8字模型、A字模型与三角板模型 三角形8字、A字、三角板模型是初中几何倒角核心基础模型，是期中、期末及中考基础填空、选择与几何简答高频考点，核心考查角度转化与等量代换能力。8字模型核心规律为对顶三角形内角和相等，可快速推导两组对角之和相等，多用于相交线、三角形嵌套题型，简化复杂角度计算，规避繁琐内角和推导。 A字模型依托三角形外角与内角关系，聚焦图形折叠、切割衍生题型，核心考查顶角与底角和的变化规律，常结合平行线、角平分线综合出题。三角板模型以等腰直角三角板、30°/60°直角三角板为载体，依托固定角度，考查旋转、拼接后的角度求值与关系证明，题型灵活度高。三类模型均侧重模型识别与结论套用，是几何倒角解题的核心工具，多融合考查，侧重检验学生几何直观与快速运算能力。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“8”字模型 2 模型2.“A”字模型 7 模型3.三角板模型 9 易错点与方法总结 14 模型运用 15 A组（基础题） 15 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 23 8 字模型与 A 字模型均源自三角形内角和定理与三角形外角性质，是对基础几何定理图形化总结得到的常用几何模型。8 字模型由两条线段相交形成两个对顶三角形，直接由三角形内角和与对顶角相等推导而来，将复杂角度转化简化，是几何倒角最基础的衍生模型。A 字模型源于三角形的切割变形，在三角形内部作线段，形成类似字母 A 的图形，依托外角定理得到角度关系式，折叠类题目也常由此变形。 三角板模型来源于两种常用直角三角板，利用三角板自带固定角度，结合相交、旋转、拼接构造角度问题。它不产生新定理，只是借助特殊角载体，综合运用内角和、外角、角平分线等知识倒角。 这三类模型并非课本原生定理，是教研中提炼的图形结论。把常见图形规律总结成模型，方便学生快速识别图形，省去重复推导，提升角度计算效率，也是初中几何综合题的基础素材。 1）三角形内角和定理：任意三角形内角和180°； 2）三角形外角定理：外角=不相邻两内角和； 3）对顶角相等、邻补角互补； 4）两套标准三角板固定角度：45°、45°、90°；30°、60°、90°； 5）平行线同位角、内错角相等、角平分线定义。 模型1.8字模型 【模型提炼与证明】 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 【模型运用】 【典例1】（2026·山东东营·中考真题）随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，平分，交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26七年级下·山西临汾·期末）（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    【典例4】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【典例5】（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 模型2.A字模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 条件：如图1，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 【模型运用】 【典例1】（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 【典例4】（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 【典例5】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 模型3.三角板模型 【模型提炼与证明】 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·江西吉安·期末）一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级下·河北承德·期末）将一副三角板按如图的方式摆放，已知点在的延长线上，，，要使得，则的度数应该是（     ）    A． B． C． D． 【典例3】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为________． 【典例4】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当旋转一周后停止运动，记（为常数）： ①当时，的值为________； ②当时，的值为________． 【典例5】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解答下列各题： (1)【实验探究】已知：，两个三角板按如图1方式摆放，求的度数． (2)【发散思维】小佳同学通过思维发散，让三角板按如图2所示摆放，，且，求的度数 (3)【拓展探索】小明同学又结合方程的想法，按图3位置摆放，，且，求的度数 模型常见易错点 1）无法识别隐藏8字、A字（最普遍丢分点） 错误：图形复杂、线段多，找不到模型，反复硬算内角和。 解决方案：只要看到两线相交，立刻锁定8字；只要看到大三角内部凸出尖角，立刻锁定A字。做题先剥离局部模型。 2）8字模型角度等式写反 错误：乱配对角，等式混乱。 解决方案：固定口诀：八字左右平分，同侧两角相加相等，记混立刻用内角和快速推一遍。 3）A字模型和平行模型混淆 错误：无平行条件乱用同位角相等。解决方案：无平行只用外角定理；有平行才用同位角、内错角。 4）三角板旋转角度加减混乱 错误：重叠张开分不清，角度算反。解决方案：重叠取差，张开取和；旋转先画初始位置，再对比偏移量。 5）大题直接写模型结论扣分 解决方案：选填可秒杀；解答题必须简单写内角和+对顶角/外角推导，禁止直接写“由8字模型得”。 解题方法总结 8字模型解题步骤：1）识图：两线段相交，形成对顶三角形，判定8字模型；2）利用内角和+对顶角相等，得两角和相等；3）代入已知角度，列等式求解未知角。 A字模型解题步骤：1）识图：大三角形内部截线形成外凸尖角；2）利用外角定理：外尖角=顶角+两底角；3）代数计算求值。 三角板模型解题步骤：1）标出所有固定特殊角；2）判断静态拼接/重叠/旋转；3）重叠作差、张开作和；相交嵌套8字快速倒角；4）算出最终角度。 统一口诀 相交对顶出八字，两角和等不用试；A字外尖含三角，外角定理是本质；三角板角永不变，重叠加减辨虚实。 1．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，直线，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点落在的内部，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东青岛·二模）如图，直线，，，点是直线上一点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·北京·开学考试）如下图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 5．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，若，则________． 6．（25-26七年级下·河北衡水·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 7．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，中，，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 8．（2026·广东深圳·二模）图1是某款落地折叠晾衣架的实物图，图2是其示意图，，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·安徽芜湖·一模）将一块含有角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，且直角三角板有一个顶点落在直尺边上．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，的度数为__________________． 11．（2026·山西运城·二模）如图，将一副三角尺的直角顶点重合于点，，，，则的度数为________． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）按图中所给的条件，可得_________， _________， _________． 13．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）如图，已知直线与相交于点，，若，则的度数是________． 14．（25-26七年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，平分，交的延长线于点，平分，交的延长线于点，与相交于点，，． (1)求证：． (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 15．（25-26七年级下·四川南充·期末）如图，在三角形中，点D在边的延长线上，为的平分线，，与，分别交于F，G，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 16．（2026·宁夏银川·一模）一副三角板如图放置，将三角板绕点A逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（     ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 17．（25-26七年级下·广东汕头·期末）一副直角三角尺叠放如图所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则α的可能取值为（     ） A．15或45 B．45或135 C．60或105 D．以上都有可能 18．（25-26七年级下·上海闵行·期中）已知在中，射线平分，交边于点，点是射线上一点，若，，直线与的一条边垂直，则的度数为______． 19．（25-26九年级下·河南焦作·期中）如图，直线，点为直线上一点，连接，的角平分线交于点，点是射线上的一个动点，连接的角平分线交于点，当时，令，用含的式子表示为___________．    20．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，与交于点， (1)求证：； (2)如图，，，平分，，求证：； (3)如图，，平分，平分，与交于点，，，与交于点，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 21．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 22．（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）在八年级上册第十三章《三角形》的学习中，涉及到三角形角的性质和计算应用广泛，其中有内角、外角、对顶角、邻补角、角平分线，还有内角和、外角和，有的还要设未知数建立方程，或设参数建立等式解决问题，内涵丰富，方法多样． (1)如图1，分别平分和，若，求的度数． (2)如图2，直线平分的外角，平分的外角，若，求此时的度数． (3)在图3中，平分，平分的外角，猜想与，之间的数量关系，并直接写出结论． 23．（25-26八年级上·吉林四平·阶段检测）【问题背景】 （1）如图①的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图②，、分别平分、，若，求的度数； 【问题探究】 （3）如图③，直线平分的外角，平分的外角，若，请直接写出的度数． 24．（25-26七年级下·四川乐山·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 25．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）综合与实践 【探索发现】 (1)如图1，，是的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个直角三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的锐角顶点A重合，的边与共线，的顶点E在上，且，求证：． (2)如图2，，是∠的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的直角顶点重合，且点A在上，点D在上，于点A，把沿方向平移，当点C移到E点时，再把 沿方向平移，在整个平移过程中，请直接写出与的数量关系： ． 【深入探究】 (3)如图3，，和都是直角三角形，，与共线，点E在上，平分，，求证：平分． 【拓展提升】 (4)如图4，，和都是直角三角形，，且A、C、D三点共线，与共线，点A在上，平分，点F是直线上一动点（点F不与点E重合），连接，作的角平分线交于点 H，请直接写出 与的数量关系． 26．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）综合与探究 【背景】一副三角板中有如，，和等一些特殊角，利用一副三角板的叠合、旋转可以命制与角度的计算有关的问题． 【初步研究】一副三角板三角形和三角形，，，，按如图所示的方法叠合在一起，与相交于点，求的度数． 小明是这样做的：过点作······ (1)请你按小明的思路，写出完整的解答过程； 【深入探究】将图中的三角形固定，把三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图，当落在射线上时即停止运动．设三角形运动时间为． (2)（i）若，则 ； （ii）若，则 ； (3)如图，直线经过点且，所在的直线与直线交于点，连接，，若三角形中有两个内角相等，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形中的倒角模型之8字模型、A字模型与三角板模型 三角形8字、A字、三角板模型是初中几何倒角核心基础模型，是期中、期末及中考基础填空、选择与几何简答高频考点，核心考查角度转化与等量代换能力。8字模型核心规律为对顶三角形内角和相等，可快速推导两组对角之和相等，多用于相交线、三角形嵌套题型，简化复杂角度计算，规避繁琐内角和推导。 A字模型依托三角形外角与内角关系，聚焦图形折叠、切割衍生题型，核心考查顶角与底角和的变化规律，常结合平行线、角平分线综合出题。三角板模型以等腰直角三角板、30°/60°直角三角板为载体，依托固定角度，考查旋转、拼接后的角度求值与关系证明，题型灵活度高。三类模型均侧重模型识别与结论套用，是几何倒角解题的核心工具，多融合考查，侧重检验学生几何直观与快速运算能力。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“8”字模型 2 模型2.“A”字模型 7 模型3.三角板模型 9 易错点与方法总结 14 模型运用 15 A组（基础题） 15 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 23 8 字模型与 A 字模型均源自三角形内角和定理与三角形外角性质，是对基础几何定理图形化总结得到的常用几何模型。8 字模型由两条线段相交形成两个对顶三角形，直接由三角形内角和与对顶角相等推导而来，将复杂角度转化简化，是几何倒角最基础的衍生模型。A 字模型源于三角形的切割变形，在三角形内部作线段，形成类似字母 A 的图形，依托外角定理得到角度关系式，折叠类题目也常由此变形。 三角板模型来源于两种常用直角三角板，利用三角板自带固定角度，结合相交、旋转、拼接构造角度问题。它不产生新定理，只是借助特殊角载体，综合运用内角和、外角、角平分线等知识倒角。 这三类模型并非课本原生定理，是教研中提炼的图形结论。把常见图形规律总结成模型，方便学生快速识别图形，省去重复推导，提升角度计算效率，也是初中几何综合题的基础素材。 1）三角形内角和定理：任意三角形内角和180°； 2）三角形外角定理：外角=不相邻两内角和； 3）对顶角相等、邻补角互补； 4）两套标准三角板固定角度：45°、45°、90°；30°、60°、90°； 5）平行线同位角、内错角相等、角平分线定义。 模型1.8字模型 【模型提炼与证明】 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 【模型运用】 【典例1】（2026·山东东营·中考真题）随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的性质得到，再利用两直线平行，内错角相等得到，结合三角形内角和求出，进而利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【典例2】（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，平分，交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、垂线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，再利用角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，利用垂线的定义结合三角形内角和定理求出的度数，从而利用角之间的关系求解即可． 【详解】解：如图，设、交于点G， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【典例3】（25-26七年级下·山西临汾·期末）（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    【答案】（1）解：如图，   ，， ． ， ； （2）； （3）； （4） 【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证； （2）设，，解方程即可得到答案； （3）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到，再根据，得到即可求解； （4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如图.   ，分别平分，，设，， 则有， ， （3）如图.   直线平分，平分的外角， ，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 即． （4）连接   直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵， ∴ 同理得到： ∴ ∴ ∵180°， ∴， 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【典例4】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解； （2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解． 【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF=， ∵， ∴， ∴； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=42°，∠C=38°， ∴∠P=（38°+42°）=40°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 【典例5】（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1) 证明：在中，， 在中，， ， ． (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 模型2.A字模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 条件：如图1，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 【模型运用】 【典例1】（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ． 【典例2】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【典例3】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 【答案】36 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【典例4】（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 【答案】(1) (2)与不垂直，理由如下： 由（1）知：， 平分， ， ， 与不垂直． (3)当时， 【分析】（1）利用三角形内角和求出的度数，两直线平行，同位角相等,即可求出的度数； （2）判断与是否垂直，看是否为，根据（1）的答案以及角平分线的定义求出的度数，利用三角形内角和求的度数； （3）逆向思维，假设，可以用和代替，过程同第二问，代入即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）略 （3）当时，，理由如下： ∵， ， ， ， 平分， ， 在中，， ， ． 【典例5】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)16 【分析】（1）先根据同角的补角相等得到，则，利用平行线的性质得到，结合已知得到，则，然后利用平行线的性质可证得结论； （2）设，利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵D、E、F分别是、、边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 模型3.三角板模型 【模型提炼与证明】 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·江西吉安·期末）一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角板的特点得出、，根据平行线的性质求出，结合平角定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， ． 【典例2】（25-26七年级下·河北承德·期末）将一副三角板按如图的方式摆放，已知点在的延长线上，，，要使得，则的度数应该是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用的条件，根据平行线的性质，确定与的数量关系结合已知的等腰直角三角板角度，求出的度数，进而得到的度数根据含角的直角三角板的内角特征，求出的度数利用平角为的性质，结合、的度数，计算的度数． 【详解】解：在等腰直角三角板中，，， ∴。 在三角板中，，， ∴ ． ，直线截两条平行线， ∴． 四点共线， ∴． 【典例3】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为________． 【答案】 【分析】设交于点G，根据平行线的性质可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，设交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴． 【典例4】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当旋转一周后停止运动，记（为常数）： ①当时，的值为________； ②当时，的值为________． 【答案】 3 2或 【分析】①当时， 分在左侧和在右侧两种情况，分别计算出和的度数，代入计算k值； ②当，分在上方和在下方两种情况，利用平行线的性质求出的度数，即可求出与的度数，代入计算k值． 【详解】解：由题可知． ①当时， 在左侧时，如图所示 ． ． ， ，解得． 在右侧时，如图所示 ， ． ， ，解得． ②当时， 在上方时，如图 ． ，． ， ，解得． 在下方时，如图 ，， ． ， ． ， ． ， ，解得． 【典例5】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解答下列各题： (1)【实验探究】已知：，两个三角板按如图1方式摆放，求的度数． (2)【发散思维】小佳同学通过思维发散，让三角板按如图2所示摆放，，且，求的度数 (3)【拓展探索】小明同学又结合方程的想法，按图3位置摆放，，且，求的度数 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作，根据平行线的性质，求出的度数，再求出的度数，即可得答案； （2）根据平行线的性质和外角的性质，求出的度数，再求出的度数，即可得答案； （3）过点E作，平行线的性质、外角的性质、已知条件，求出的度数，再根据对顶角的性质、平行线的性质，可得答案． 【详解】（1）解：如下图，作， ， ， 由题意可得：， ， ， ， ； （2）解：如下图，作， 由（1）得：， ， ； （3）解：如下图，过点E作，与交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 模型常见易错点 1）无法识别隐藏8字、A字（最普遍丢分点） 错误：图形复杂、线段多，找不到模型，反复硬算内角和。 解决方案：只要看到两线相交，立刻锁定8字；只要看到大三角内部凸出尖角，立刻锁定A字。做题先剥离局部模型。 2）8字模型角度等式写反 错误：乱配对角，等式混乱。 解决方案：固定口诀：八字左右平分，同侧两角相加相等，记混立刻用内角和快速推一遍。 3）A字模型和平行模型混淆 错误：无平行条件乱用同位角相等。解决方案：无平行只用外角定理；有平行才用同位角、内错角。 4）三角板旋转角度加减混乱 错误：重叠张开分不清，角度算反。解决方案：重叠取差，张开取和；旋转先画初始位置，再对比偏移量。 5）大题直接写模型结论扣分 解决方案：选填可秒杀；解答题必须简单写内角和+对顶角/外角推导，禁止直接写“由8字模型得”。 解题方法总结 8字模型解题步骤：1）识图：两线段相交，形成对顶三角形，判定8字模型；2）利用内角和+对顶角相等，得两角和相等；3）代入已知角度，列等式求解未知角。 A字模型解题步骤：1）识图：大三角形内部截线形成外凸尖角；2）利用外角定理：外尖角=顶角+两底角；3）代数计算求值。 三角板模型解题步骤：1）标出所有固定特殊角；2）判断静态拼接/重叠/旋转；3）重叠作差、张开作和；相交嵌套8字快速倒角；4）算出最终角度。 统一口诀 相交对顶出八字，两角和等不用试；A字外尖含三角，外角定理是本质；三角板角永不变，重叠加减辨虚实。 1．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，直线，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线的性质得，由垂直的定义得，再求出，最后根据三角形内角和定理求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点落在的内部，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理可得，即，再说明，进而完成解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 3．（2026·山东青岛·二模）如图，直线，，，点是直线上一点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，设直线分别交于点、，在中利用内角和定理及，求出的度数，再利用平行线的性质及角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图 ，， ． 设直线分别交于点、， 在中，， ∵， ∴ ， ∴ 解得． ， ∴， ， ． 4．（26-27八年级上·北京·开学考试）如下图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】在和中，使用三角形内角和定理得到，代入数值即可求出结果． 【详解】解：由三角形内角和定理知，在中，， 在中，， ，（对顶角相等） ， ． 5．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，若，则________． 【答案】 【分析】利用三角形内角和为求得，结合推导出的数值． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵， ∴， ， ． 6．（25-26七年级下·河北衡水·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)解：，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）先根据垂直定义得出，根据平行线判定可得出，故可得出，推出，根据平行线的判定即可得出结论； （2）先根据得出，由直角三角形的性质得出的度数，故可得出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ， ， 又， ． 7．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，中，，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查平行线的性质与判定、垂线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，进而得到，从而证明； （2）根据平行线的性质求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：， ， ， 平分， ， 由（1）知，， ， ． 8．（2026·广东深圳·二模）图1是某款落地折叠晾衣架的实物图，图2是其示意图，，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据邻补角求出的度数，平行线的性质，求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 9．（2026·安徽芜湖·一模）将一块含有角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，且直角三角板有一个顶点落在直尺边上．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解． 【详解】解：∵一块含有角的直角三角板，， ∴ ∵直尺的两边互相平行， ∴ 10．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，的度数为__________________． 【答案】或 【分析】分和两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， 当时，， ； 当时，， ，， ， 综上，的度数为或． 11．（2026·山西运城·二模）如图，将一副三角尺的直角顶点重合于点，，，，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）按图中所给的条件，可得_________， _________， _________． 【答案】 【详解】解：， ， ． 13．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）如图，已知直线与相交于点，，若，则的度数是________． 【答案】 /45度 【分析】利用对顶角相等及三角形内角和定理即可求解. 【详解】解：∵， ∴， 即：． 14．（25-26七年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，平分，交的延长线于点，平分，交的延长线于点，与相交于点，，． (1)求证：． (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：平分， ， 又， ， ． (2)， 理由：，， ． ． ． 平分，平分， ，． ． ． ． 【分析】（1）根据角平分线以及平行线的判定方法证明即可； （2）先证明，然后根据平行线的性质以及角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26七年级下·四川南充·期末）如图，在三角形中，点D在边的延长线上，为的平分线，，与，分别交于F，G，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：如下图： ， ． ， ． ， ． 为的平分线， ， ， ； (2) 【分析】（1）两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；利用角平分线的定义即可进行求解； （2）根据平行线的性质得出和的关系，利用的内角和进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1），设，则， ， ， ， （由（1）可知）， ， ∵， 即， 解得， ． 16．（2026·宁夏银川·一模）一副三角板如图放置，将三角板绕点A逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（     ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】B 【分析】分情况讨论：①；②，③，由垂线的定义和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当时，则， ∴， ∴， ∴，即； ②当时，则， ∴， ∴，即； ③当时，则， ∴, ∴, ∴，即； 综上所述，的度数为或或。 17．（25-26七年级下·广东汕头·期末）一副直角三角尺叠放如图所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则α的可能取值为（     ） A．15或45 B．45或135 C．60或105 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理和三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：①当时， 如图，延长交于F， ∵， ∴， ， ∴； ②当时，如图， 此时与重合， ∴； ③当时，； ④当时，； ⑤当时，； 综上：α可能取的值为15或45或60或135和105． 18．（25-26七年级下·上海闵行·期中）已知在中，射线平分，交边于点，点是射线上一点，若，，直线与的一条边垂直，则的度数为______． 【答案】或或 【分析】分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别画出图形，即可求解． 【详解】，，射线平分， ， 当，如图所示，， ； 当，如图所示，， ， ； 当，延长交直线于点，如图所示，， ， ； 在中，， 综上所述，的度数为或或． 19．（25-26九年级下·河南焦作·期中）如图，直线，点为直线上一点，连接，的角平分线交于点，点是射线上的一个动点，连接的角平分线交于点，当时，令，用含的式子表示为___________．    【答案】 【分析】分点在内部与外部两种情况，根据三角形内角和定理以及平行线的性质，画出图形，即可求解． 【详解】如图所示，点在内部时，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴ ∵平分 ∴ 则 ， 在中，，， ∴， ∴， 如图所示，当点在的外部时，连接，作的邻补角的角平分线交于点，则      ∵，，，故此情形不存在， 综上所述， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键． 20．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，与交于点， (1)求证：； (2)如图，，，平分，，求证：； (3)如图，，平分，平分，与交于点，，，与交于点，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)∵，， 又， ∴； (2)设，设与交于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； (3)，理由如下： 设，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 由（1）的结论得，即， ∴， 在中，， ∵，， 由四边形内角和定理知， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据三角形内角和定理结合对顶角相等即可证明； （2）设，设与交于点，求得，，根据平行线的性质结合三角形内角和定理求得，据此计算即可证明； （3）设，，利用（1）的结论得到，在中，求得，利用四边形内角和定理求得，据此计算即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 21．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②．理由如下： 根据（1）可得， ，， ，， ③，④， 由③④得， ， ． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的四等分线，对顶角的性质，三角形的内角和定理及应用，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等求解即可； （2）①根据（1）中的结论得①，②，将，结合角平分线定义得出，最后将代入即可求解；②类比①中的方法求解即可． 【详解】解：（1），， （2）（i）根据（1）可得①，②， 由得， 平分，平分， ，， ， ， ． （ii）略． 22．（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）在八年级上册第十三章《三角形》的学习中，涉及到三角形角的性质和计算应用广泛，其中有内角、外角、对顶角、邻补角、角平分线，还有内角和、外角和，有的还要设未知数建立方程，或设参数建立等式解决问题，内涵丰富，方法多样． (1)如图1，分别平分和，若，求的度数． (2)如图2，直线平分的外角，平分的外角，若，求此时的度数． (3)在图3中，平分，平分的外角，猜想与，之间的数量关系，并直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质与三角形内角和定理是解决本题的关键． （1）根据“8字形”图形可得，，，再结合角平分线的性质可得，，，代入整理并求解即可． （2）根据角平分线的性质可得，，，再结合“8字形”图形求解即可． （3）根据角平分线的性质可得，，，再结合“8字形”图形求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∵分别平分和， ∴，， 则有，， 两式相减可得，， 即， ∵， ∴ （2）解： ∵直线平分的外角，平分的外角， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 整理可得，， ∵，， ∴， 将与两式作加法， ， ∵， ∴． （3）解：∵平分，平分的外角， ∴，， 又∵，， 又∵， ∵，， ∴，， ∴． 23．（25-26八年级上·吉林四平·阶段检测）【问题背景】 （1）如图①的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图②，、分别平分、，若，求的度数； 【问题探究】 （3）如图③，直线平分的外角，平分的外角，若，请直接写出的度数． 【答案】 （1）∵， ∴； （2）；（3） 【分析】本题主要考查三角形内角定理，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）结合（1）的结论得到，由角平分线的定义得到，再根据（1）的结论列式求解即可； （3）如图所示，作的角平分线交于点，交于点，在延长线上取一点，则平分，结合（1），（2）的计算即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）根据（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （3）如图所示，作的角平分线交于点，交于点，在延长线上取一点，则平分， 由（1）的计算得到，即， ∴， ∴， ∵，平分，平分， ∴，即， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴． 24．（25-26七年级下·四川乐山·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题综合考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握整体思想是解题关键． （1）求出即可求解； （2）①连接，可得，据此即可求解；②求出即可求解； （3）根据、、即可求解； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为： （2）解：①连接，如图所示：    则 ∴ 故答案为： ②∵， ∴ ∵分别平分和， ∴ ∵ ∴ ∵ 由①②可得： （3）解：∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵和的平分线和相交于点P， ∴ ∵ ∴得： ∴ 25．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）综合与实践 【探索发现】 (1)如图1，，是的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个直角三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的锐角顶点A重合，的边与共线，的顶点E在上，且，求证：． (2)如图2，，是∠的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的直角顶点重合，且点A在上，点D在上，于点A，把沿方向平移，当点C移到E点时，再把 沿方向平移，在整个平移过程中，请直接写出与的数量关系： ． 【深入探究】 (3)如图3，，和都是直角三角形，，与共线，点E在上，平分，，求证：平分． 【拓展提升】 (4)如图4，，和都是直角三角形，，且A、C、D三点共线，与共线，点A在上，平分，点F是直线上一动点（点F不与点E重合），连接，作的角平分线交于点 H，请直接写出 与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)见解析 (4)或或 【分析】（1）延长交于点，先根据平角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，即可得到，即可证明平行； （2）分两种情况讨论，当点在上，当点在上，分别作出辅助线，利用平行线的性质，结合平移的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）延长交于点，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义证明即可； （4）分三种情况讨论，当在延长线上，当点在延长线与直线的交点的左侧，当点在延长线与直线的交点的右侧，过点作平行线，结合平行线的性质以及三角形内角和定理探究即可． 【详解】（1）证明：延长交于点，如图， 在中，， 在中， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：①当点在上时，延长直线交于点，如图： ∵， ∴ 由平移可得， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∴； ②当点在上时，过点向上作，如图： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 由上可知， ∴， 综上：与的数量关系为：或； （3）证明：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分； （4）解：当在延长线上时，过点作， ∵平分，平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ， ∴， 设 ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴； 当点在延长线与直线的交点的左侧时，过点作， ∵平分，平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ 设， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴； 当点在延长线与直线的交点的右侧时，过点作， ∵平分，平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ 设 ， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ； 综上：与的数量关系为：或或． 26．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）综合与探究 【背景】一副三角板中有如，，和等一些特殊角，利用一副三角板的叠合、旋转可以命制与角度的计算有关的问题． 【初步研究】一副三角板三角形和三角形，，，，按如图所示的方法叠合在一起，与相交于点，求的度数． 小明是这样做的：过点作······ (1)请你按小明的思路，写出完整的解答过程； 【深入探究】将图中的三角形固定，把三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图，当落在射线上时即停止运动．设三角形运动时间为． (2)（i）若，则 ； （ii）若，则 ； (3)如图，直线经过点且，所在的直线与直线交于点，连接，，若三角形中有两个内角相等，求的值． 【答案】(1)解：， ，， ． (2)， (3)，， 【分析】（1）作平行线，利用两直线平行内错角相等求出，，用两角差值算出； （2）（i）由得等角，进而求出，除以每秒旋转度数得；（ii）过点作，则，算出，除以转速求出时间； （3）由平行线得，分三种等角情况分类求出，进而算出． 【详解】（1）略 （2）（i）解：如图，， ， ， ， ， 三角形运动时间为． （ii）解：如图，，过点作，则， ， ， ， ， ， ， 三角形运动时间为． （3）解：， ， 如图，当， ，， ， ， 三角形运动时间为； 如图，当， ， ， ， ， ， 三角形运动时间为; 如图，当，延长至点， ， ， ， ， ， ， ， ， 三角形运动时间为， 综上，的值为，，． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $