专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版八年级上册

该初中数学讲义通过分类梳理双角平分线模型（双内角、一内一外、双外角）构建知识体系，以框架图呈现图形特征、结论推导及拓展应用，用“双内90°加一半”等口诀串联三类模型关系，明确内角和、外角定理等核心知识储备。 讲义亮点在于分层练习设计（A组基础求值、B组能力提升、C组综合压轴）和“内大外小”等易错点提醒，通过典例推导培养推理意识与模型观念，如解答题强调角平分线定义及角度代换步骤，助力学生分层提升，支持教师精准教学。

专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 双角平分线模型是浙教版八年级上册几何角度计算的核心必考模型，贯穿高线、角平分线、平行线、三角形内角和、外角定理两大核心模块，题型相对固定、结论性强、易混易错点集中。本讲内容主要掌握掌握三类双角平分线模型的图形特征，能快速识图分类；常见考向以基础求值、角度推导、规律探究为主。选择填空题多直接套用公式求角度或反向求顶角，题型简单分值稳定；解答题侧重模型推导、几何倒角证明，考查学生逻辑推理与步骤书写能力。中档题型常结合平行线、高线综合出题，难度小幅提升。 高频易错点为混淆三类模型公式、误判内外角平分线，只记结论不懂推导，题目变式后无法灵活解题，是几何基础失分重点。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.双角平分线模型（双内角） 2 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 8 模型3.双角平分线模型（两外角） 11 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 角平分线雏形起源于古埃及土地测绘，古希腊时期欧几里得《几何原本》严格定义单角平分线，证明尺规作图方法，帕普斯初步研究外角平分线，但未推导两条平分线相交的夹角规律。近代数学家完善内外角平分线基础理论，推出角度推导逻辑，不过未归纳标准化模型。 双角平分线三类模型并非古代经典定理，而是近现代中学几何教学提炼的解题工具。各地中考频繁出现双内角、一内一外、双外角平分线求角题型，教师整理同类考题，归纳出三组固定角度关系式，形成统一倒角模型。 该模型依托内角和、外角定理、角平分线定义推导，将繁杂倒角步骤简化为直接套用公式。它是基础几何定理与应试需求结合的产物，无单一发明者，经多年教研整合定型，如今成为初中几何高频拓展模型，用于快速解决角度计算与几何推理题。 口诀化总结：“双内90°加一半，双外90°减一半，内外直接取一半”。 1）三角形内角和等于180°；三角形外角定理：三角形的一个外角等于不相邻两内角之和； 2）角平分线定义：将一个角分为两个相等的角； 3）等式性质、角度整体代换思想（几何核心方法）。 模型1.双角平分线模型（双内角） 【模型提炼与证明】 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1（拓展1） 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2（拓展2） 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-(∠PCD+∠PDC)=180°-(∠BCD+∠CDE)=180°-(540°-∠A-∠B-∠E)=(∠A+∠B+∠E)-90即：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·浙江温州·阶段检测）如图，在中，与的平分线交于点P．若，则________． 【典例2】（25-26七年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，、 的角平分线交于点，已知，则___________ 【典例3】（25-26八年级上·浙江杭州·单元测试）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是______． （2）若，，则的长是______． 【典例4】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）【问题原型】如图①，在中，，平分，平分，求的度数． (1)对于上述问题，再结合以下部分解答内容，完成完整解答过程． 解：，且． ． 平分，平分， ，， （补全过程） (2)【问题拓展】如图②，在中，，、是的三等分线（即），、是的三等分线，则_________．（用含的代数式表示） (3)【提升应用】在【问题拓展】的条件下： ①若，的度数为_________． ②当时，的一条边的所在直线与的某一边的所在直线垂直时，_________． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 图1 图2 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）（拓展1） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则∠的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·重庆南岸·开学考试）如图，中，的平分线与外角的平分线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【典例3】（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点E，与的平分线交于点F，则______（用含的代数式表示）． 【典例4】（24-25七年级下·山西晋城·期末）综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题： （1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： （2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 模型3.双角平分线模型（两外角） 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 图1 图2 2）旁心模型 （拓展1） 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）在中，、的平分线交于点O，的平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①②③ C．①② D．①②③④ 【典例2】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图1，在中，与的平分线交于点，，则__________； （2）如图2．的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求__________（用表示）： （3）如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求__________（用表示）： （4）如图4，外角、的平分线交于点，，、的平分线交于点，则__________；延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则__________． 【典例3】（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点．若，则________． 【典例4】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则①______． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以． 因为， 所以③______． 在中，根据三角形内角和为，有④______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，则_____． 模型常见易错点 1）混淆【90°+∠A】和【90°-∠A】：记住内大外小，内角平分角度较大，外角平分角度较小； 2）一内一外模型无 90°，是唯一纯半角公式（即∠A）； 3）解答题禁止直接写结论，必须写角平分线定义、角度代换步骤，否则扣分； 4）无图题型需分类讨论（部分压轴题考点）。 解题方法总结 通用解题步骤 1）先识别模型类型：判断是共边角场景，还是三角形的“双内/双外/一内一外”场景； 2）直接套用对应结论，跳过复杂的分步角度推导； 3）大题需补充推导过程：利用角平分线性质拆分角度，结合三角形内角和/外角定理完成证明。 1．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，点B，C是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，若，的大小为（   ） A． B． C． D．随点B、C的移动而变化 3．（24-25八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，点O在内，是的平分线，是的平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北·期中）如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，则度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，的外角的平分线与平分线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，C是内一点，连接，的平分线与的平分线交于点E，延长交于点F．已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东济宁·期中）如图，在中，为的外角，与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线相交于点，当两条角平分线无交点时，则的值为_______________． 8．（25-26七年级下·四川乐山·期末）解决下列问题： (1)如图1，在中，，的平分线与外角的平分线交于点，求的度数； (2)如图2，已知四边形中，，的平分线与四边形的外角的平分线相交于点，求的度数． 9．（24-25八年级上·吉林·阶段检测）（1）如图1，在中，，分别是，的平分线，，相交于点．探究与之间的数量关系．（需要写出证明过程） （2）如图2，，分别是的外角，的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （3）如图3，在中，是的平分线，是外角的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （4）如图4，，相交于点，，分别是，的平分线，，相交于点．直接写出与，之间的数量关系．（不需写出证明过程） 10．（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 11．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点．设．则的度数为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，的平分线与的外角，的平分线，相交于点，则和的关系是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段检测）如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·全国·周测）如图，的平分线与的平分线相交于点P．若点P到的距离为3，则点P到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（25-26七年级下·江苏南京·期中）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 17．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，的周长为11，，的面积是8，则的面积是________． 18．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点，设，则___________，___________． 19．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点在上，且的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点，若，则度数是__________． 20．（25-26八年级上·安徽·期末）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是______． （2）若，，则的长是______． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为_______． 22．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）【初步认识】 （1）如图1，平分，平分外角，若，则____． 【变式探究】 （2）已知为四边形，为边延长线上一点，如图2，，，和的平分线交于点，则______． 【继续探索】 （3）已知为四边形，为边延长线上一点，如图3，，，且，和的平分线交于点，求与、之间的数量关系，并说明理由； 【终极挑战】 （4）如果将（3）中的条件改为，再分别作和的平分线，且两平分线所在的直线交于点，那么与、又有怎样的数量关系？请直接写出结论．（不用说明理由） 23．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）问题情境： 如图1，在中，和的平分线交于点． (1)探索发现： 若，则的度数为________；若，则的度数为________． (2)猜想证明： 猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)拓展应用： 如图2，在中，和的平分线交于点，和的平分线交于点，直接写出与之间的数量关系． 24．（24-25七年级下·山西临汾·阶段检测）综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在中，与的平分线相交于点，猜想与的数量关系，并说明理由． 独立思考 （1）请解答老师提出的问题． 深入探究 （2）希望小组受此问题的启发继续探究，如图2，与的一个外角的平分线交于点，判断与的数量关系，并加以证明． （3）智慧小组突发奇想提出一个问题：如图3，，分别是外角与外角的平分线，，相交于点，请直接写出与的数量关系，不需要证明． 25．（25-26七年级下·吉林长春·期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： (1)如图，在中，与的平分线交于点，，则________； (2)如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数． (3)如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示） (4)如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________． 26．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以（_______）． 因为，所以_______． 在中，根据三角形内角和为，有_______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则_______．（直接写出答案） 27．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己解决问题的经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 (1)如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 (2)如图2，在中，．延长至点，延长至点，已知，的平分线分别与的平分线及其反向延长线交于点，，求的度数． 【变式拓展】 (3)如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状，已知，．求的度数和． 28．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 双角平分线模型是浙教版八年级上册几何角度计算的核心必考模型，贯穿高线、角平分线、平行线、三角形内角和、外角定理两大核心模块，题型相对固定、结论性强、易混易错点集中。本讲内容主要掌握掌握三类双角平分线模型的图形特征，能快速识图分类；常见考向以基础求值、角度推导、规律探究为主。选择填空题多直接套用公式求角度或反向求顶角，题型简单分值稳定；解答题侧重模型推导、几何倒角证明，考查学生逻辑推理与步骤书写能力。中档题型常结合平行线、高线综合出题，难度小幅提升。 高频易错点为混淆三类模型公式、误判内外角平分线，只记结论不懂推导，题目变式后无法灵活解题，是几何基础失分重点。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.双角平分线模型（双内角） 2 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 8 模型3.双角平分线模型（两外角） 11 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 角平分线雏形起源于古埃及土地测绘，古希腊时期欧几里得《几何原本》严格定义单角平分线，证明尺规作图方法，帕普斯初步研究外角平分线，但未推导两条平分线相交的夹角规律。近代数学家完善内外角平分线基础理论，推出角度推导逻辑，不过未归纳标准化模型。 双角平分线三类模型并非古代经典定理，而是近现代中学几何教学提炼的解题工具。各地中考频繁出现双内角、一内一外、双外角平分线求角题型，教师整理同类考题，归纳出三组固定角度关系式，形成统一倒角模型。 该模型依托内角和、外角定理、角平分线定义推导，将繁杂倒角步骤简化为直接套用公式。它是基础几何定理与应试需求结合的产物，无单一发明者，经多年教研整合定型，如今成为初中几何高频拓展模型，用于快速解决角度计算与几何推理题。 口诀化总结：“双内90°加一半，双外90°减一半，内外直接取一半”。 1）三角形内角和等于180°；三角形外角定理：三角形的一个外角等于不相邻两内角之和； 2）角平分线定义：将一个角分为两个相等的角； 3）等式性质、角度整体代换思想（几何核心方法）。 模型1.双角平分线模型（双内角） 【模型提炼与证明】 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1（拓展1） 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2（拓展2） 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-(∠PCD+∠PDC)=180°-(∠BCD+∠CDE)=180°-(540°-∠A-∠B-∠E)=(∠A+∠B+∠E)-90即：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·浙江温州·阶段检测）如图，在中，与的平分线交于点P．若，则________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，则由角平分线的定义推出，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴； ∵与的平分线交于点P， ∴， ∴， ∴． 【典例2】（25-26七年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，、 的角平分线交于点，已知，则___________ 【答案】 【分析】连接，根据三角形内角和为，在和中得出，，即可求出，结合是、的角平分线，求出，在中，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵是、的角平分线， ∴， ∴， ∴在中： ， ∴． 【典例3】（25-26八年级上·浙江杭州·单元测试）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是______． （2）若，，则的长是______． 【答案】 /60度 9 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，线段的和差，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数即可利用平角的定义求出的度数； （2）利用证明，得到，同理，利用线段和差关系得到即可得到答案． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 【典例4】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）【问题原型】如图①，在中，，平分，平分，求的度数． (1)对于上述问题，再结合以下部分解答内容，完成完整解答过程． 解：，且． ． 平分，平分， ，， （补全过程） (2)【问题拓展】如图②，在中，，、是的三等分线（即），、是的三等分线，则_________．（用含的代数式表示） (3)【提升应用】在【问题拓展】的条件下： ①若，的度数为_________． ②当时，的一条边的所在直线与的某一边的所在直线垂直时，_________． 【答案】(1) ∴ ∴ (2) (3)①；②或或 【分析】（1）根据题意补全过程，即可求解； （2）根据三等分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理可得； （3）①同（2）可得，根据已知，求得，进而求得； ②分情况讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，且． ． ∵、是的三等分线，、是的三等分线， ，， ∴ ∴ （3）解：如图， 同（2）可得， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ ②如图，当时，设垂足为 ∵，、是的三等分线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：，即 如图，当时，设垂足为， ∵，、是的三等分线， ∴ ∴ 当时，如图， ∴ 综上所述，或或． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 图1 图2 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）（拓展1） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则∠的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查角平分线的定义和三角形内角与外角的性质，难度适中．利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质得到，再根据此规律计算即可． 【详解】解：∵与的平分线相交于点， ∴，， 根据三角形的外角的性质得，，， ∴， ∵， ∴， 同理：，，， 故选：A． 【典例2】（25-26八年级下·重庆南岸·开学考试）如图，中，的平分线与外角的平分线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线的定义，利用角平分线性质和外角性质推导角之间的数量关系即可． 【详解】解：的平分线与外角的平分线交于点， ，， 是的外角， ，即， 又是的外角， ， ， ，即， ． 【典例3】（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点E，与的平分线交于点F，则______（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线定义，列代数式，关键是由三角形内角和定理，角平分线定义求出，由角平分线定义求出，由三角形外角的性质得到 由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，由角平分线定义求出，由三角形外角的性质得到，于是 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 【典例4】（24-25七年级下·山西晋城·期末）综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题： （1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： （2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）①30，45； ②，理由： 由①得； （2）；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）①根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可解答；②由①即可解答； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若，则； 若，则； 故答案为：，； ②略 （2）的平分线及一个外角的平分线相交于点， ，． ， ． ， ． ， ． ． ； （3），理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 模型3.双角平分线模型（两外角） 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 图1 图2 2）旁心模型 （拓展1） 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）在中，、的平分线交于点O，的平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①②③ C．①② D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴ ，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∵平分，平分，    ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上分析可知，正确的有：①②． 故选：C． 【典例2】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图1，在中，与的平分线交于点，，则__________； （2）如图2．的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求__________（用表示）： （3）如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求__________（用表示）： （4）如图4，外角、的平分线交于点，，、的平分线交于点，则__________；延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则__________． 【答案】 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，，结合角平分线的性质可得，因此； （2）由三角形外角的性质可得，，，结合角平分线的性质可得，，，因此； （3）由三角形的内角和定理可得，，结合平角的定义可得，，由角平分线的性质可得，，因此； （4）根据前三问的结论，代入数值计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （4）同理（3）可得，， 同理（1）可得，， 同理（2）可得，． 【典例3】（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点．若，则________． 【答案】125 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平角的性质、角平分线等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 由三角形内角和定理得，，，根据角平分线定义得，，则，再根据平角的定义可得，然后根据角平分线的定义可得，则，最后根据三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵的外角平分线与的外角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：125． 【典例4】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则①______． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以． 因为， 所以③______． 在中，根据三角形内角和为，有④______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，则_____． 【答案】（1）；；；； （2）证明：∵，， ∴ ∵外角，的平分线交于点， ∴， ∴ ∴； （3）或或或． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线得出，进而求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的性质同（1）求解即可； （3）首先求出，得到，然后分4种情况分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ①当时， ∴； ②当时， ∴； ∴； ③当时， ∴ ∴； ④当时， ∴ ∴ ∴ 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练应用各性质定理． 模型常见易错点 1）混淆【90°+∠A】和【90°-∠A】：记住内大外小，内角平分角度较大，外角平分角度较小； 2）一内一外模型无 90°，是唯一纯半角公式（即∠A）； 3）解答题禁止直接写结论，必须写角平分线定义、角度代换步骤，否则扣分； 4）无图题型需分类讨论（部分压轴题考点）。 解题方法总结 通用解题步骤 1）先识别模型类型：判断是共边角场景，还是三角形的“双内/双外/一内一外”场景； 2）直接套用对应结论，跳过复杂的分步角度推导； 3）大题需补充推导过程：利用角平分线性质拆分角度，结合三角形内角和/外角定理完成证明。 1．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质．熟练掌握这两个性质是解决本题的关键． 先根据角平分线的性质求出相关角的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：因为是中的平分线，且， 所以． 因为是的外角的平分线，且， 同理可得． 在中，是的一个外角， 所以， 即． 将，代入可得：． 在中，是的一个外角， 可得． 已知，， 那么，即． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，点B，C是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，若，的大小为（   ） A． B． C． D．随点B、C的移动而变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，设，则，由角平分线的定义推出，，再由三角形内角和定理推出，则可得到，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵的平分线和的平分线所在直线相交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，点O在内，是的平分线，是的平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理， 由角平分线的定义可得出，，进而可得出，由三角形内角和定理可得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故选：A． 4．（25-26八年级上·湖北·期中）如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平线的性质和判定，三角形的外角性质，过点分别作，，，可证到，得到平分，再利用三角形外角性质即可求解，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【详解】解：过点分别作，，，垂足分别是点，    ∵平分，，， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴平分， ∵，， ∴， ∴． 故选：． 5．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，的外角的平分线与平分线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外角定义和性质以及角平分线的定义，由三角形外角性质得：，，再由角平分线定理得，，等量代换得出，根据已知条件，即可得出的度数． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵、分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：D． 6．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，C是内一点，连接，的平分线与的平分线交于点E，延长交于点F．已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先延长交于F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交于F，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， 即． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的定义和等量代换是解决问题的关键． 7．（25-26七年级下·山东济宁·期中）如图，在中，为的外角，与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线相交于点，当两条角平分线无交点时，则的值为_______________． 【答案】3 【分析】本题考查图形变化的规律，三角形内角和定理及整体思想的运用是解题的关键.利用整体思想结合三角形的内角和定理即可依次求出的度数，根据发现的规律即可解决问题. 【详解】， ， ， 又 和 分别平分和, ,, ， ， 和 分别平分 和 ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ∴无法组成三角形，即两条角平分线无交点， 故的值为. 故答案为: . 8．（25-26七年级下·四川乐山·期末）解决下列问题： (1)如图1，在中，，的平分线与外角的平分线交于点，求的度数； (2)如图2，已知四边形中，，的平分线与四边形的外角的平分线相交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线得出，再由外角的定义得出，，然后求解即可； （2）根据四边形内角和为360度推出，由平角的定义和角平分线的性质得到，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵的平分线与外角的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形中，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴． 9．（24-25八年级上·吉林·阶段检测）（1）如图1，在中，，分别是，的平分线，，相交于点．探究与之间的数量关系．（需要写出证明过程） （2）如图2，，分别是的外角，的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （3）如图3，在中，是的平分线，是外角的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （4）如图4，，相交于点，，分别是，的平分线，，相交于点．直接写出与，之间的数量关系．（不需写出证明过程） 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）由角平分线的定义可得：，，再根据三角形的内角和求解即可； （2）由角平分线的定义可得：，，根据平角的定义得到：，，推出，，最后根据三角形的内角和求解即可； （3）由角平分线的定义可得：，，根据平角的定义得到：，推出，进而得到，最后根据，即可求解； （4）由角平分线的定义可得：，，根据三角形的外角性质可得： ，，即可求解． 【详解】解：（1），证明如下： ，分别是，的平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2），证明如下： ，分别是的外角，的平分线， ，，，， ，， ， ， ， ， ， , ； （3），证明如下： 是的平分线，是外角的平分线， ，， 是的外角， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4），证明如下： ，分别是，的平分线， ，， 由题意得：，， ， 又，， ， ． 10．（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线得出，，则，根据，即可求解． （2）根据角平分线得出，，则，结合（1）中，即可求解． （3）根据角平分线得出，，则，结合，，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）知， ∴． （3）略 11．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点．设．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定与的关系，依此类推即可． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可得： 故选：C 【点睛】本题考查角平分线的有关计算．确定是解题关键． 12．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，的平分线与的外角，的平分线，相交于点，则和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键． 根据为的角平分线，为的平分线，结合三角形外角的性质得到，解得． 【详解】解：因为平分，所以； 因为平分，所以， ，， 将代入， 得：， 又因为， 因此：， 两边同时减去，得：， 综上，和的关系是． 故选：A． 13．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 先求出，进而求出，再根据角平分线定义得及，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交分线交于点， ∴， ∴． ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：． 故选：C． 14．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段检测）如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是关键． 过点F作，由得，，即可解答． 【详解】解：过点F作，如图 ∴， ∵，的平分线与的平分线交于点E ∴，，， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选B． 15．（24-25七年级下·全国·周测）如图，的平分线与的平分线相交于点P．若点P到的距离为3，则点P到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作于点，于点，于点F，根据角平分线的性质，得到，进而得到，即可．掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，于点，于点F， ∵的平分线与的平分线相交于点P， ∴， ∴， 即：点P到直线的距离为3； 故选：C． 16．（25-26七年级下·江苏南京·期中）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键； 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④； 【详解】解：，的平分线交于点， ，， ， ， 故①正确，符合题意； 平分， ， ，， ， ， 故②正确，符合题意； 如图， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ， ， ， ， 故④正确，符合题意； 综上正确的有：①②④； 故选：C 17．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，的周长为11，，的面积是8，则的面积是________． 【答案】19 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．过点O作于M，作于N，于D，连接，根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过点O作于M，作于N，于D，连接， ∵，的面积是8， ∴， ∵在中，和的平分线相交于点O， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的周长， ∴， ∴的面积． 故答案为：19． 18．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点，设，则___________，___________． 【答案】 【分析】根据三角形的外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，整理得到∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1，从而判断出后一个角是前一个角的，然后表示出∠An即可得答案． 【详解】∵是的外角，∠A1CD是△A1BC的外角， ∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC， ∵的平分线与的平分线交于点， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD， ∴∠A1=∠A， 同理可得∠A2=∠A1=∠A， ∵∠A=， ∴∠A2=， 同理：∠A3=∠A2=， ∠A4=∠A3= …… ∴∠An=． 故答案为：， 【点睛】本题考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟记性质并准确识图，求出后一个角是前一个角的是解题的关键． 19．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点在上，且的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点，若，则度数是__________． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，则可证明，进而求出，根据三角形外角的性质可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，且， ∴， 故答案为：． 20．（25-26八年级上·安徽·期末）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是______． （2）若，，则的长是______． 【答案】 /60度 9 【分析】（1）利用三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数即可利用平角的定义求出的度数； （2）利用证明，得到，同理，利用线段和差关系得到即可得到答案． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，线段的和差，灵活运用所学知识是解题的关键． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为_______． 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，根据角平分线的定义和外角的性质，得的度数，最后根据三角形的外角性质可得的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 22．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）【初步认识】 （1）如图1，平分，平分外角，若，则____． 【变式探究】 （2）已知为四边形，为边延长线上一点，如图2，，，和的平分线交于点，则______． 【继续探索】 （3）已知为四边形，为边延长线上一点，如图3，，，且，和的平分线交于点，求与、之间的数量关系，并说明理由； 【终极挑战】 （4）如果将（3）中的条件改为，再分别作和的平分线，且两平分线所在的直线交于点，那么与、又有怎样的数量关系？请直接写出结论．（不用说明理由） 【答案】（1）40；（2）25；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）利用角平分线定义和三角形外交的性质可探究出，即可求解； （2）延长、相交于G，先求出的度数，然后同（1）得出，即可求解； （3）类似（2）探究即可； （4）延长，相交于G，延长，先求出，再判断平分，平分，然后同（1）得出，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分外角， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40； （2）延长、相交于G， ∵，， ∴，， ∴， 同（1）可证， ∴， 故答案为：25； （3） 理由：延长、相交于G， ∵，， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴； （4） 理由：延长，相交于G，延长， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴平分， 同理平分， 同（1）可证， ∴． 23．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）问题情境： 如图1，在中，和的平分线交于点． (1)探索发现： 若，则的度数为________；若，则的度数为________． (2)猜想证明： 猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)拓展应用： 如图2，在中，和的平分线交于点，和的平分线交于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) ，理由如下： 分别平分， ， ，， ， ； (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点， （1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行求解即可； （2）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行推导即可； （3）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行推导即可； 熟练掌握角平分线的定义，三角形的内角和定理是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， ， ∵， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， ， 故答案为：，； （2）略 （3）平分平分， ， ， 同理可得，， ∴． 24．（24-25七年级下·山西临汾·阶段检测）综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在中，与的平分线相交于点，猜想与的数量关系，并说明理由． 独立思考 （1）请解答老师提出的问题． 深入探究 （2）希望小组受此问题的启发继续探究，如图2，与的一个外角的平分线交于点，判断与的数量关系，并加以证明． （3）智慧小组突发奇想提出一个问题：如图3，，分别是外角与外角的平分线，，相交于点，请直接写出与的数量关系，不需要证明． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的性质，解题关键是利用整体思想，结合三角形内角和关系转化为方程的形式求解． （1）根据角平分线，利用和的内角和为进行角度转化可得结论； （2）设，，根据角平分线，利用和的内角和，可得出2个关于、、、的等式：，，再进行整体代换即可； （3）设，，根据角平分线，利用和的内角和，可得出2个关于、、、的等式：，，再进行整体代换即可． 【详解】解：（1）如图， ∵、分别时和的角平分线 ∴，， 在中，，即：， 在中，，即：， 代入上式得： 即：； （2），理由如下： 如图， 设，， ∵是与外角的平分线和的交点 ∴，，， ∴在中，，即：， 在中，，即：， 代入上式得：， 即：； （3），理由如下： 设，， ∵是外角与外角的平分线和的交点， ∴，，， ∴在中，， 即：， 在中，，即：， 代入上式得：， 即：． 25．（25-26七年级下·吉林长春·期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： (1)如图，在中，与的平分线交于点，，则________； (2)如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数． (3)如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示） (4)如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到； （4）同理（1）和（2）可得，，，则． 【详解】（1）解：， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； （2）解：， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； （3）解：，，， ， 、的平分线交于点， ，， ； （4）解：，理由如下： 、的平分线交于点， 同理（1）可得， 的平分线与的平分线的延长线相交于点， 同理（2）可得， ． 26．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以（_______）． 因为，所以_______． 在中，根据三角形内角和为，有_______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则_______．（直接写出答案） 【答案】（1），， （2）证明：，，， ， 外角，的平分线交于点， ，， ， ； （3）或或或 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理． (1)根据角平分线的定义和三角形内角和定理找到角之间的关系求解； (2)根据邻补角定义可知，根据角平分线定义可得，根据三角形内角和定理可证结论成立； (3)根据角平分线定义可知，再根据一个内角等于另一个内角的倍，分情况求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：或或或， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ①当时， ， ； ②当时，， ； ； ③当时， ， ； ④当时， ， ， ； 综上所述，或或或． 27．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己解决问题的经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 (1)如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 (2)如图2，在中，．延长至点，延长至点，已知，的平分线分别与的平分线及其反向延长线交于点，，求的度数． 【变式拓展】 (3)如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状，已知，．求的度数和． 【答案】(1)证明：平分，平分 ， ， 即 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案； （2）先推导出，再推导出，进而可以求解； （3）延长，交于点M，延长、交于点N，由（1）可得，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， 由（1）可得， ∴； ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N， 如图所示， ∵、平分 由（1）可得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 【答案】（2），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角的和差等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得、，易得，然后再根据三角形内角和定理即可解答； （2）由角平分线的定义可得，易得，然后根据等量代换以及角的和差即可解答； （3）由角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到；同理可得，再根据等量代换即可解答； （4）由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理以及等量代换可得，再结合，运用等量代换即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，， ∴， ∵是∠ABC的平分线， ∴， 同理可得： ∴， ∵在中，， ∴； （2），理由如下： ∵是的角平分线， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 30 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $