5.4用一次函数解决问题 题型分类解答题专题提升训练 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版八年级数学上册《5.4用一次函数解决问题》 题型分类解答题专题提升训练（附答案） 一、梯度计价问题 1．按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式； (2)求用电量为180度时的应付费用． 2．某视频网站对本站会员推出、两种收费方式，这两种收费方式每月所需的费用（元）与上网时间的关系如图所示： 观察图象，解决以下问题： (1)每月上网时间为时，、两种方式的费用分别是多少？ (2)每月上网费用为元时，、两种方式可上网的时间分别是多少？ (3)每月上网时间为的时候，请通过计算说明选择哪种方式更省钱． 3．为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 年用水量 收费标准 不超过部分 元 超过，不超过部分 元 超过部分 元 小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准． (1)小明同学家年用水，应交水费元．写出与之间的关系式； (2)小明家年交了元水费，求年小明家用了多少 (3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因． 4．根据《关于我省居民生活用电试行阶梯电价有关问题的通知》，考虑到广东省夏季天气较为炎热，空调用电量较大的情况，将电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，每年的5－10月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准． 阶梯电价电量分档 档数 夏季标准 （5－10月） 非夏季标准 （1－4月、11－12月） 电价 第一档 0－260度 0－200度 0.66元/度 第二档 261－600度 201－400度 0.71元/度 第三档 601度及以上 401度及以上 0.96元/度 如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，根据以上提供信息解答下列问题： (1)当执行非夏季标准时，若时，写出实付金额元与月用电量度之间的函数关系式__________； (2)若小安家在4月和5月的实际用电量都是250度，则实付金额分别为多少元？ (3)若小初家11月的实付金额为元，计算小初家11月的实际用电量． 二、行程问题 5．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为x小时，、关于的函数图像如图所示： (1)根据图像，直接写出、关于的函数关系式． (2)求两车相遇时的值． (3)两车之间的距离为千米，请写出关于的函数关系式． 6．某景区的三个景点A，B，C在同一线路上，甲，乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C，乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C，甲，乙两人离开景点A后的路程S（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．根据信息回答下列问题： (1)景点C距离A______米，景点B距离景点A______米，甲的速度是______； (2)乙出发后多长时间第一次与甲相遇？ (3)要使甲到达景点C时，乙与C的路程不超过400米，则乙从景点B步行到景点C的速度至少为多少？（结果精确到0.1米/分钟） 7．共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准（元）与骑行时间（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题： (1)甲品牌共享电动车每分钟收费 元； (2)当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车收费标准与之间的函数关系式； (3)已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，若小明需要骑共享电动车去上班，小明家到单位的距离为，那么两种品牌的共享电动车的费用相差多少元？ 8．某中学组织八年级学生前往甲城参加研学活动．学生分为两队同时从学校出发．队全程匀速行驶，队行驶1小时后车辆出故障停下维修用去1小时，之后提高速度追赶队。已知两队5小时内的行驶路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图①所示；两队行驶的路程差（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图②所示．请结合图象回答下列问题： (1)两队在2小时时路程差________千米；队在行驶中的速度是________千米／小时； (2)求图①中点的坐标； (3)求两队出发多长时间相距40千米． 三、方案选择问题 9．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出元之后，超出部分按原价折优惠；在乙超市累计购买商品超出元之后，超出部分按原价折优惠．设顾客预计累计购物元，在甲超市所付费用为元，在乙超市所付费用为元． (1)请分别求出，关于的函数解析式； (2)顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 10．3月，对广西和西南地区经济社会发展具有重大战略意义的平陆运河项目正式成立．在一航道建设中，南宁某渣土运输公司拟派出大、小两种型号的运输车运输土方．已知1辆大型运输车与3辆小型运输车共运输土方105吨，2辆大型运输车与1辆小型运输车共运输土方110吨． (1)求每辆大型运输车和每辆小型运输车各运输土方多少吨． (2)该公司决定派出大、小两种型号运输车共20辆，共运输至少510吨土方，且大型运输车不超过10辆，每辆大型运输车花费400元，每辆小型运输车花费300元，请你设计最省钱的运输方案． 11．游泳自古以来深受大家的喜爱，伟大领袖毛主席畅游长江时，写下了“才饮长沙水，又食武昌鱼．万里长江横渡，极目楚天舒．不管风吹浪打，胜似闲庭信步，今日得宽馀”的千古名篇．暑期将至，某游泳俱乐部推出暑期游泳活动，活动方案如下： 方案一：不办理会员金卡，每次按原价收费； 方案二：办理会员金卡，每次游泳按原价的五折收费． 设游泳次，按照方案一所需费用为元；按照方案二，所需费用为元，其函数图象如图所示． (1)求直线的解析式； (2)求直线的解析式及点的坐标，并说明点的实际含义； (3)小明暑假准备到该游泳俱乐部学习游泳，请你帮助小明设计一个最优惠的方案． 12．某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元） ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程（万公里） 10 10 总费用 23 28 ②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点． 结合上述调研信息，回答问题： (1)传统燃油车购车费用是___________万元； (2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低． 四、销售利润问题 13．某酒厂每天生产、两种品牌的白酒共瓶，、两种品牌的白酒每瓶的成本和利润如表： 成本元瓶 利润元瓶 设每天生产种品牌白酒瓶，每天获利元． (1)求关于的函数关系式； (2)如果该酒厂每天至少投入成本元，那么每天至少获利多少元？ 14．某花店为迎接节日，计划购进甲、乙两种鲜花．若从批发商处购进10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；若购进10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元． (1)求甲、乙两种鲜花的进价； (2)根据以往节日销售数据，为满足顾客需求，花店计划购进90束鲜花，其中甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍．甲种鲜花每束定价43元，乙种鲜花每束定价40元．请规划利润最大的进货方案，并说明理由． 15．某花卉店从种植园购进A，B两种绿植盆景进行销售．若购进1盆A种盆景和2盆B种盆景，则需要230元；若购进2盆A种盆景和3盆B种盆景，则需要390元．已知销售1盆A种盆景可获利20元，销售1盆 B种盆景可获利15 元． (1)A，B两种绿植盆景每盆的进价分别为多少元？ (2)由于绿植盆景畅销，该花卉店决定再次购进A，B两种盆景共100盆，种植园根据市场变化对两种类型的盆景进行了价格调整，A种盆景的进价比原购进时提高了，B种盆景的进价为原购进时进价的八折．花卉店通过调整售价保持销售 A种、B种盆景单盆的利润不变，若再次用于购进A，B两种盆景的总费用不超过7320元，则如何进货可使再次购进的盆景获得最大的利润？最大利润是多少？ 16．兴旺超市经营甲、乙两种商品的进价和售价如表： 商品种类 成本价（元个） 售价（元个） 甲种商品 m 乙种商品 n 在超市购买2000个甲种商品和1000个乙种商品共需5600元；购买1500个甲种商品和1500个乙种商品共需6000元． (1)求m，n的值； (2)五一期间，超市购进甲、乙两种商品共65万个，其中，甲种商品数量不低于乙种商品数量，且不超过55万个．实际销售时，由于市场因素影响，甲种商品量超过45万个的部分每个需要打八五折才能全部售完，乙种商品能按售价卖完设当天售完这两种商品获得的总利润为y万元，甲种商品量为x万个（x为整数）． ①求y（万元）关于x（万个）的函数关系式，并写出x的取值范围； ②求当天售完这两种商品获得的最大总利润； (3)为支持农村教育事业，在（2）的条件下，获得最大利润时，超市对本地100所乡镇中学进行物资捐赠：向每所中学捐出甲种商品a个，乙种商品个，若要保证捐赠后盈利率不低于，求a的最大值． 五、几何图形综合问题 17．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，B，直线分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且，直线与直线交于点． (1)求直线与的函数表达式． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①求的面积S与时间t的关系式； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 19．如图，直线与轴、轴分别交于点，．直线交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，直线与直线交于点，点为直线上的一个动点，过点作轴的平行线，交轴于点，交直线于点，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是点下方轴上的一点，且满足，求点坐标． 20．如图1，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过x轴负半轴上一点C作直线交y轴正半轴于点D，且． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点是线段上一点，连接，作交于点N，连接，求点N的坐标； (3)如图3，若点为直线上的点，点P为y轴上的点，点Q为直线上的点，且是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时Q点的坐标． 参考答案 1．(1)时；时 (2)142元 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数，即可作答． （2）直接把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设当时，， 把代入，得 解得 ∴； 设当时，， 把，分别代入， 得 解得 ∴； （2）解：依题意，由（1）得时 依题意，当时，(元) 2．(1)每月上网时间为时，方式的费用是元，方式的费用是元； (2)每月上网费用为元时，方式可上网的时间是，方式可上网的时间是． (3)每月上网时间为的时候，选择方式更省钱． 【分析】本题考查一次函数图象，求一次函数的解析式，解题的关键是正确理解函数图象中的信息． （1）观察函数图象即可； （2）通过待定系数法确定方式对应的函数解析式，代入纵坐标，即可得方式的上网时间，通过观察函数图象即可得方式的上网时间； （3）通过待定系数法确定方式对应的函数解析式，将上网时间分别代入两种方式对应的函数解析式，可得对应的费用，比较即可． 【详解】（1）解：由图可知，当时，方式的费用是元，方式的费用是元， 答：每月上网时间为时，方式的费用是元，方式的费用是元． （2）解：方式，当时，设每月所需费用， 由图可知，， 解得，， ∴方式，当时，每月所需费用， 当时，，解得：， 由图可知，当时，， 答：每月上网费用为元时，方式可上网的时间是，方式可上网的时间是． （3）解：由（2）得，方式，当时，每月所需费用， 当时，， 方式，当时，设每月所需费用， 由图可知，， 解得，， ∴方式，当时，每月所需费用， 当时，， ∵， ∴当时，， 答：每月上网时间为的时候，选择方式更省钱． 3．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯y与x之间的关系式是解题的关键． （1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯与之间的关系式，当时，求出对应的值即可； （3）适当调整各阶梯的水量标准，既能减轻居民经济负担，又能引导居民合理用水，从这方面提出合理的建议即可． 【详解】（1）解：当时，与之间的关系式为． （2）当时，与之间的关系式为， 当时，与之间的关系式为， 当时，解得舍去)， 当时，解得， 年小明家用了水． （3）建议：适当调整各阶梯的水量标准； 原因：随着生活水平提升和用水设备普及，部分家庭用水量增长较快．若阶梯水量标准过低，大量家庭易进入高收费阶梯，增加经济负担；适当调整标准可平衡居民用水成本与节水意识，既减轻负担又引导合理用水． 4．(1) (2)小安家在4月的实付金额为167.5元，在5月的实付金额为165元 (3)小初家11月的实际用电量为220度 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系． （1）当时，成一次函数关系，实付金额等于度内的用电付出金额与超出度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式； （2）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解； （3）先计算出元的用电量超出度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：当执行非夏季标准时，即当时，有 ， 故答案为：； （2） 月执行非夏季标准，且， 250度用电量在第二档， 当时，则元， 月执行夏季标准，且， 250度用电量在第一档， 当时，元， 答：小安家在4月的实付金额为元，在5月的实付金额为元； （3）∵11月执行非夏季标准， ∴200度电费，400度电费， ∴， ∴小初家11月用电量属于第二档，令，则， 解得， 答：小初家11月的实际用电量为220度． 5．(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与二元一次方程的关系． 根据函数图象中的数据，用待定系数法求一次函数的解析式即可； 因为两车相遇时，两车距离甲地的距离相等，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； 因为两车之间的距离为，又因为当时，两车相遇，此时，所以要分当和时，分别求出关于的函数关系式，当时，出租车到达目的地，不再行驶，此时两车之间的距离就是客车与甲地的距离，所以应分三段求出关于的函数关系式． 【详解】（1）解：设与的函数关系式是， 由函数图象可知：当时，，当时，， 可得：， 解得：， 与的函数关系式是；， 设与的函数关系式是， 由函数图象可知：当时，，当时，， 可得：， 解得：， ； （2）解：当两车相遇时，可得：， 解得：， 答：两车相遇时，的值为 （3）解：两车之间的距离为， 关于的函数关系式为， 由可知，当时，两车相遇，此时， 当时，， 当时，， 当时，， ． 6．(1)5400，3000，60米/分钟 (2)5分钟 (3)66.7米/分钟 【分析】（1）分别观察甲、乙的图象可得出C到A的距离和B到A的距离，再根据速度路程时间，即可求出甲的速度； （2）利用待定系数法求两个一次函数解析式进而利用两函数相等时即为相遇时，求出时间即可； （3）由图像可知，当甲到达景点C时用时90分钟，此时乙从景点B步行时间为（分钟），乙与C的路程不超过400米，则乙需要步行的距离至少为：（米），进而根据速度路程时间得出答案. 【详解】（1）解：由图象可知，景点C距离A为5400米，景点B距离景点A为3000米，甲的速度为（米/分钟）. 答案为：5400，3000，60米/分钟. （2）解：设，将代入得： 解得 ∴ 当，设，将，代入得： ，解得 ∴当， 当甲、乙在同一时间距离A路程相等时就是相遇的时候，即， ∴ 解得 ∴乙的出发时间为（分钟）. 答：乙出发5分钟第一次与甲相遇. （3）解：由题意可得出： 乙需要步行的距离为：（米） 乙所用的时间为：（分钟） ∴乙从景点B步行到景点C的速度至少为：（米/分）. 故答案为66.7米/分钟. 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、行程问题等知识，解题关键是理解题意，读懂图象信息，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考常考题型. 7．(1) (2) (3)元 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确获取图象信息． （1）由20分钟收4元即可得甲品牌共享电动车每分钟收费； （2）用待定系数法可得乙品牌共享电动车在骑行时间不低于10分钟时y与x之间的函数关系式； （3）求出骑行时间，再把分别代入两函数解析式，可得答案． 【详解】（1）解：（元），即甲品牌共享电动车每分钟收费元； 故答案为：； （2）解：设乙品牌共享电动车收费标准与之间的函数关系式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴乙品牌共享电动车收费标准与之间的函数关系式为； （3）解：时分， 由（1）可知，甲品牌的共享单车每分钟收费元， ∴小明骑甲品牌的共享电动车的费用为（元）； 由（2）可知，乙品牌共享电动车收费标准与之间的函数关系式为； ∴小明乙甲品牌的共享电动车的费用为（元）； ∵（元）， 答：两种品牌的共享电动车的费用相差元． 8．(1)80；60 (2) (3)两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米 【分析】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解题的关键是学会利用函数解决实际问题，学会转化的思想，把问题转化为方程． （1）由图②可得出千米；设队的速度为千米/小时，求出在2小时时，，根据方程求解即可； （2）分别求出A队路程函数关系式为，和当时B队路程函数关系式为，联立方程组并求解可得答案； （3）分两队相遇前和相遇后以及A队行驶5时后相距三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：由图②可知：当时，， 所以，A，B两队在2小时时路程差千米； 设队的速度为千米/小时，由图②得，A队和B队前行1小时的路程差为20，， 当时，的路程不变，， ∵， ∴， 解得， 所以，A队速度是60千米/小时； 故答案为：80；60； （2）解：当时，； 由得，， 所以，B队的速度为千米/小时， 当时，设， 当时，， 当时，， 由图②得，当时，， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴， 设A队路程函数解析式为， 把代入得， ∴， 联立方程组得， 解得， 所以，点的坐标为； （3）解：当时，无解； 当时，，解得，或（不合题意，舍去）； 当时，，解得，或（不合题意，舍去）； 当时，，解得， 综上，两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米． 9．(1)， (2)当顾客购物超过元时，到甲超市更优惠；当顾客购物元时，到两家超市购物所付费用相同；顾客购物超过元且不满元时，到乙超市更优惠，理由见解析 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可； （）分、和三种情况，解不等式求出的取值范围即可求解； 本题考查了一次函数的应用，正确列出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， 即，； （2）解：当顾客购物超过元时，到甲超市更优惠；当顾客购物元时，到两家超市购物所付费用相同；顾客购物超过元且不满元时，到乙超市更优惠，理由如下： 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，当顾客购物超过元时，到甲超市更优惠；当顾客购物元时，到两家超市购物所付费用相同；顾客购物超过元且不满元时，到乙超市更优惠． 10．(1)每辆大型运输车和每辆小型运输车分别运输土方45吨，20吨， (2)派出辆大型运输车，辆小型运输车，总费用为元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设每辆大型运输车和每辆小型运输车分别运输土方吨，吨，根据1辆大型运输车与3辆小型运输车共运输土方105吨，2辆大型运输车与1辆小型运输车共运输土方110吨，进行列方程组，再解得，即可作答． （2）先设大型运输车辆，则小型运输车辆，再列出不等式，结合大型运输车不超过10辆，得出，然后列出，运用一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设每辆大型运输车和每辆小型运输车分别运输土方吨，吨， 依题意，， 解得． 即每辆大型运输车和每辆小型运输车分别运输土方45吨，20吨， （2）解：设大型运输车辆，则小型运输车辆， 依题意， 解得， ∵大型运输车不超过10辆， ∴ ∵ 为正整数 ∴ 设总费用为元， 依题意，， ∵ ∴随的 增大而增大 ∴当时，有最小值，且， 即最省钱的运输方案为派出辆大型运输车，辆小型运输车，总费用为元． 11．(1) (2)，点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元 (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设直线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，得每次游泳的原价为（元），设直线的解析式为，故．因为点为直线的交点，则，得点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元． （3）结合（2），则当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠；当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠，即可作答． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 由图可知的图象经过． 解得 ． （2）解：由可知，金卡会员每次游泳的费用为10元． 办理会员金卡后，每次游泳按原价的五折收费， 每次游泳的原价为（元） 设直线的解析式为， ． 点为直线的交点， 此时， 即． 解得． 此时． 点的坐标为． 点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元． （3）解：由（2）得游泳20次的时候，方案一与方案二的费用相同，此时选择方案一与方案二都可以； 当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠； 当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠． 12．(1) (2)当时，选传统燃油车总费用较低；当时，两种车总费用一样；当时，选氢能源车总费用较低 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，一次函数图象的性质是关键． （1）根据两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象， （2）运用待定系数法算出各自总费用与行驶路程的函数解析式，，当两种车总费用相等时，即，得到行驶路程，结合图形判定即可求解． 【详解】（1）解：，即当时，传统燃油车的总费用为万元，氢能源车的总费用为万元， ∴传统燃油车购车费用是万元； （2）解：设传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 同理，设氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 当时，， 解得，， ∴当时，选传统燃油车总费用较低； 当时，两种车总费用一样； 当时，选氢能源车总费用较低． 13．(1) (2)元 【分析】本题考查一次函数与不等式的实际应用，解题的关键是理解题意，根据题意列得一次函数解析式与不等式． 根据“每天获利每天生产种品牌白酒的瓶数每天生产种品牌白酒的瓶数”，即可得关于的函数关系式； 根据“该酒厂每天至少投入成本元”可得不等式，即可求得的取值范围，又由一次函数的增减性，即可求得该酒厂每天至少获利多少元． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即：， ∴关于的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得：， ∵在中，一次项系数， ∴随增大而增大； ∴当时，有最小值，最小值为：， ∴每天至少获利元． 14．(1)甲种鲜花每束的进价为25元，乙种鲜花每束的进价为20元 (2)花店获利最大的进货方案为甲鲜花购进60束、乙鲜花购进30束，最大利润为1680元 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以一次函数的应用，根据已知关系得出方程以及函数解析式是解题关键． （1）设甲种鲜花的进价为x元，乙种鲜花的进价为y元，根据购进10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；若购进10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元列出方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种鲜花束，乙种鲜花束，获得利润元，根据题意列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值． 【详解】（1）解：设甲种鲜花每个的进价为x元，乙种鲜花每个的进价为y元， 则，解得：． 答：甲种鲜花每个的进价为25元，乙种鲜花每个的进价为20元． （2）解：设该花店购进甲种鲜花束，则购进乙种鲜花束， 则． 解得：． ∴的最小整数值是60． 设销售完甲、乙两种鲜花，该花店的利润为元， 则， ∵， ∴随增大而减小． ∴当时，取最大值，最大利润为1680元． 此时（个）． 答：该花店获利最大的进货方案为甲鲜花购进60束、乙鲜花购进30束，最大利润为1680元． 15．(1)每盆A 种盆景的进价为90元，每盆B种盆景的进价为70元 (2)购进 A 种盆景40盆、B种盆景60盆，可获得最大的利润，最大利润是1700元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设A种盆景的进价为a元，B种盆景的进价为b元，根据题目中的等量关系列出方程进而求解即可． （2）设再次购进A种盆景x盆，则购进B种盆景盆，此次用于购进、两种盆景的总费用不超过7320元，列出不等式，可求，设总利润为W元，则．根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每盆A 种盆景的进价为 a 元，每盆B种盆景的进价为b元． 根据题意，得 ， 解得 ． ∴每盆A 种盆景的进价为90元，每盆B种盆景的进价为70元． （2）再次购进A，B两种盆景时，每盆A种盆景的进价为（元），每盆B种盆景的进价为（元）． 设购进 A种盆景x盆， 则购进B种盆景盆． 根据题意，得． 解得． 设获得的利润为W 元， 则． ∵， ∴W 随x 的增大而增大． ∴当时，W的值最大， （元）， 此时购进B种盆景（盆）， 即购进 A 种盆景40盆、B种盆景60盆，可获得最大的利润，最大利润是1700元． 16．(1)m的值为，n的值为 (2)①；②万元 (3)4860 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据题意，列关于m和n的二元一次方程组并求解即可； （2）①根据题意，列关于x的一元一次不等式组并求其解集，再按照x的取值范围，分别写出对应的y与x的函数关系式即可； ②根据一次函数的增减性求出y的最大值即可； （3）根据盈利率列关于a的一元一次不等式并求其解集，从而求得的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：m的值为，n的值为． （2）解：①根据题意，得， 解得， 为整数， 且x为整数， 当时， ， 当时， ， y（万元）关于x（万个）的函数关系式及x的取值范围为； 当时， ， 随的增大而减小， 当时，y的值最大，最大值为； 当时， ， 随的增大而减小， 当时，y值最大，最大值为， ， 当天售完这两种商品获得的最大总利润是万元． （3）解：在（2）的条件下，获得最大利润时，销售甲商品33万个、乙商品32万个， 根据题意，得， 解得， 的最大值是4860． 17．(1)直线函数表达式为；直线函数表达式为 (2) (3)存在，点P坐标为或 【分析】（1）由点A和点E坐标可求出直线函数表达式，再求出点C坐标，根据点C和点E坐标可求出直线函数表达式； （2）分别求出点B和点D坐标，进而根据面积公式求解即可； （3）分类讨论，点P在点E上方和下方，然后表示出的面积，再根据面积公式求解即可． 本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）设表达式为，将点，代入得， ，解得， 直线函数表达式为； 由题可知， ， 设直线表达式为，将，代入得， ，解得， 直线函数表达式为； （2）令：，得， ， 令：，得， ， ， ； （3）当点P在点E上方时，如图， 此时， ， 解得， 此时， ； 当点P在点E下方时，如图， 此时， ， 解得正值舍去， 此时， ； 综上，满足题意的点P坐标为或． 18．(1)m的值是6，b的值是 (2)①；②或 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）根据点在直线上，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再根据点C在函数的图象上，可以得到b的值； （2）①根据（1）中的结果可以求得点A、点B、点C、点D的坐标，然后用含t的代数式表示出的长度，然后根据三角形的面积公式用含t的代数式表示出的面积S； ②利用分类讨论的方法分别求得当和对应的t的值即可解答本题． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴点， ∵函数的图象过点， ∴， 解得， 即m的值是6，b的值是； （2）解：①∵函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴点，点， ∵函数的图象与x轴交于点D， ∴点D的坐标为， ∴， ∵点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动），点E的运动时间为t秒， ∴，，， ∴的面积， 即当的面积S与时间t的关系式为； ②如图，分两种情况讨论： 当时，， ∵点，点，点，点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，； 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，； 综上所述，当或时，是直角三角形． 19．(1)直线的解析式为 (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）由直线可得，设直线的解析式为，然后利用待定系数法可进行求解； （2）由题意可设点，则有，然后可得，进而根据可建立方程进行求解； （3）由题意易得，连接，过点D作轴于点F，在上截取，由题意可先证，则有，，然后再证，则，设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：令时，则有，解得：； 令时，则有； ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由题意可设点， ∵过点作轴的平行线，交轴于点，交直线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：由（2）可知：直线与直线交于点， 联立得，解得：， ∴， 连接，过点D作轴于点F，在上截取，如图所示： ∴， ∵，， ∴轴，，， ∴， ∵， ∴， ∴都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴点P的坐标为． 20．（1）解：把代入得：， ∴点， ∴， 把代入得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴点，点， 设直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵直线对应的函数表达式为， 当时，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， 即， ∴， ∴， ∴，则是等腰直角三角形； 分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； （3）解：直线上存在点Q，使是以E为直角顶点的等腰三角形． ∵为直线上的点， ∴， ∴， ①当点P在点B下方时，如图，连接，过点Q作，交的延长线于M点，    ∵，， ∴轴，，点M的纵坐标为3，， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴Q点的纵坐标为， 把代入中得：， ∴点； ②当点P在点B上方时，如图，过E点作轴，过点Q作于M点，过P点作交的延长线于N点． 则， ∵，， ∴N点的横坐标为， 则， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴M点的纵坐标为， ∴Q点的纵坐标为， 把代入中得：， ∴； 综上所述，直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $