1.5等腰三角形（同步练习）2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026-2027学年苏科版数学八年级上册 1.5等腰三角形 （同步练习） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 2.在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3.如图，在中，，平分，若，则（　　） A．10 B．12 C．5 D．6 4.如图，在中，，分别以点A，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．是的垂直平分线 5.如图，在中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6.如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 7.如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8.如图，与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.等腰三角形的两边长分别为、，它的周长为__________． 10.已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______． 11.在等腰三角形中，有一个角是，它的一条腰上的高与底边的夹角是__________． 12.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______． 13.如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为 ． 14.如图，，C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当的度数为______时，是等腰三角形． 15.如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接、、、，，给出下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④的度数为120°．其中正确的结论为_______． 16.如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为___________． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．判断△BCD是否为等腰三角形？请说明理由． 18.如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AEAB． 19.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 20.如图，在中，于F，于E，M为的中点， （1）求证：； （2）若，求的三内角的度数． 21.如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． （1）求的度数； （2）求证：为等边三角形． 22.如图，已知：在中，，是边上一点，． （1）求证：； （2）如图，交于且，求证：； （3）如图，过点作交于，若为等腰三角形，求的度数． 23.在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么________； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 24.问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°），设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为 　　； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 2.在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，在中，，平分，若，则（　　） A．10 B．12 C．5 D．6 【答案】A 4.如图，在中，，分别以点A，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．是的垂直平分线 【答案】D 5.如图，在中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 6.如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 7.如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 8.如图，与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.等腰三角形的两边长分别为、，它的周长为__________． 【答案】17 10.已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______． 【答案】或 11.在等腰三角形中，有一个角是，它的一条腰上的高与底边的夹角是__________． 【答案】或 12.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______． 【答案】40° 13.如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为 ． 【答案】 14.如图，，C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当的度数为______时，是等腰三角形． 【答案】或或 15.如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接、、、，，给出下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④的度数为120°．其中正确的结论为_______． 【答案】①②③ 16.如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为___________． 【答案】12 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．判断△BCD是否为等腰三角形？请说明理由． 【答案】解：△BCD是等腰三角形，理由如下： ∵在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠C）＝80°， ∵∠ABC的平分线BD交AC于点D， ∴∠DBC∠ABC80°＝40°， ∴∠DBC＝∠C＝40°， ∴DB＝DC， ∴△BCD是等腰三角形． 18.如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AEAB． 【答案】证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°． ∴△ADE是等边三角形． （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC． ∵BD平分∠ABC， ∴ADAC． ∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD． ∴AEAB． 19.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 【答案】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形． ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4． 20.如图，在中，于F，于E，M为的中点， （1）求证：； （2）若，求的三内角的度数． 【答案】（1）证明：∵于F，于E，M为的中点， ∴在和中， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，M为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的三个内角分别为． 21.如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． （1）求的度数； （2）求证：为等边三角形． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴为等腰三角形，平分， ∴， ∴为等边三角形． 22.如图，已知：在中，，是边上一点，． （1）求证：； （2）如图，交于且，求证：； （3）如图，过点作交于，若为等腰三角形，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， 由（）得，， 设，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：由（）得，，， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 当时， ∴，即， ∴无解， ∴不存在； 当时， ∴，即， ∴， ∴； 当时， ∴，即， ∴， ∴； 综上可得：为等腰三角形，的度数为或． 23.在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么________； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】（1） （2）①∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 24.问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°），设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为 　50°　； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数． 【答案】（1）解：如图， ∵AB＝AC， ∴∠BAC＝180°﹣2∠B ＝100°， ∵AD⊥BC， ∴， ＝50°， ∴α＝50°， 故答案为：50°； （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABM＝∠C， 由旋转得：∠AEN＝∠C， ∠BAM＝∠EAN＝α， AD＝AE＝AB， ∴∠ABM＝∠AEN， 在△ABM和△AEN中， ， ∴△ABM≌△AEN（ASA）， ∴AM＝AN； （3）解：①如图，当MD＝MO时， 由旋转得：∠MDO＝40°， ∴∠MOD＝40°， ∴∠AMO＝2∠MDO＝80°， ∵∠AMO＝∠ABM+∠BAM， ∴∠BAM＝80°﹣40° ＝40°， ∴α＝40°； ②如图，当DM＝DO时， 由①得：∠MDO＝40°， ∴ ＝70°， ∴∠AMO＝∠MDO+∠DOM ＝110°， ∵∠AMO＝∠ABM+∠BAM ∴∠BAM＝110°﹣40° ＝70°， ∴α＝70°； ③如图，当OD＝OM时， 由①得：∠MDO＝∠DMO＝40°， ∴∠AMO＝180°﹣∠DMO ＝140°， ∵∠AMO＝∠ABM+∠BAM ∴∠BAM＝140°﹣40° ＝100°， ∴α＝100°， ∵0°＜α＜100°， ∴α＝100°不合题意，舍去； 综上所述：旋转角α的度数为40°或70°． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $