精品解析：宁夏石嘴山市部分学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025—2026学年石嘴山市高一·数学考试卷 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的定义域求解即可. 【详解】由，则， 则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可． 【详解】对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分析函数的单调性，并根据零点存在定理可确定函数的零点所在区间. 【详解】函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，， ，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 6. 若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二分法求解方程近似解的方法计算即可. 【详解】令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以． 故选：B. 7. 函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，即可判断的单调性，结合对数型复合函数的单调性，得到，解得即可. 【详解】设，则， 且，为减函数， 若函数在区间上是减函数， 则需是增函数且时恒成立， ，解得，即的取值范围是. 故选：D. 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由题可得为偶函数，在上单调递增， 在上单调递减，然后分类讨论与1的大小关系可解不等式. 【详解】令，则为偶函数，，则在上单调递增， 在上单调递减，对于，易得. 若， ，结合，可得； 若， ，结合，可得. 综上可得：不等式的解集是. 故选：D 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列选项中，正确的是（   ） A. 若，，则， B. 函数的图象与的图象有两个交点 C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 函数的图象恒过定点 【答案】AC 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定结构可判断A，令求出解的个数判断B，由指数函数和对数函数定点可判断CD. 【详解】对于A：命题的否定为：，，故A正确； 对于B：令，所以或， 解得，所以函数的图象与的图象有一个交点，故B错误； 对于C：令，解得，所以， 所以函数（且）的图象恒过定点，故C正确； 对于D：令，得，此时， 所以函数的图象恒过定点，故D错误； 故选：AC 10. 已知不等式的解集为，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象开口向上 B. 函数的图象开口朝下 C. 无论为何值，必有 D. 不等式的解集为或 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，根据不等式的解集得到；C选项，，代入，得到，C正确；D选项，由韦达定理得到，，不等式变形为，求出不等式解集，得到答案. 【详解】AB选项，由不等式的解集为， 则可知一元二次方程的两根为和3， 且二次函数开口向上，，故A正确，B错误； C选项，，故时有，即，故C正确； D选项，由韦达定理得，，故，， 函数， 解得或， 则不等式的解集为或，D正确. 故选：ACD. 11. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由特殊情况时可判断ACD符合；对于B可假设图象成立，推出矛盾排除. 【详解】. 当时，，定义域为R，则为偶函数， 当时，由对勾函数以及复合函数单调性可得单调递减，且，故A符合； 当时，，定义域， ，则为奇函数， 当时，由复合函数单调性可得单调递减，且，故C符合； 当时，，由指数函数性质可得D符合； 对于B选项，由于图象恒在轴上方可得恒成立， 则分母恒正，则定义域为，与图像矛盾，故B错误； 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 函数的值域是_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定，由此可得的范围，即为所求值域. 【详解】令，则，，即的值域为. 故答案为：. 13. 已知，若正实数满足，则的最小值是________ 【答案】8 【解析】 【分析】利用奇函数的性质以及单调性得出，再应用基本不等式即可计算求解. 【详解】因为的定义域为，且，所以为奇函数， 又因为，所以， 因为单调递增，所以，即， ， 当且仅当，即时，取最小值8. 故答案为：8. 14. 已知函数，且，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意知，，求值后解出不等式即可. 【详解】根据题意知， 因为， 其图象开口向下，对称轴为， 所以当时， 其最小值， 当时，，在上的最小值为， 则由得， 当时，，在上的最小值为， 则时，无解， 故实数的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 计算下列各式 （1） （2） （3）已知 求 的值； 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据实数指数幂的运算性质，化简、运算，即可求解； （2）根据对数的运算性质，化简、运算，即可求解． （3）应用指数幂及化简计算求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为，两边平方得， 所以，两边平方得， 所以，则. 16. 设函数，为常数，且. （1）求不等式的解集. （2）求在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值，最小值 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用对数函数单调性求解不等式. （2）确定函数的单调性，进而求出函数的最大值与最小值. 【小问1详解】 函数，由，得，解得，， 不等式，即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 由（1）知，由，得， 函数在上单调递减，而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，当时，，， 所以在上的最大值为，最小值为. 17. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为，环境温度为，那么经过后物体的温度（单位℃），科学家在建立实际生活中有广泛应用需求的“物体冷却模型”的过程中，通过大量的实验对比，从幂函数模型，指数函数模型和对数函数模型中，筛选出指数模型：，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数． （1）科学家最后确定了这两个系数为，请你给出合理的解释； （2）将55℃的水放在15℃的环境温度中冷却，10min以后的温度为35℃，求的值； （3）现有100℃的物体，放在25℃的环境中冷却.该物体的温度降至30℃还需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：） 【答案】（1） 当时，物体原始温度； 当时，即当物体冷却时间足够长时，物体的温度会趋近于环境温度， 又因为当时，，所以，所以， 所以． （2） （3）分钟 【解析】 【分析】（1）当时得，当时得，即可求解； （2）根据指数模型，结合指数与对数的互化运算即可求解； （3） 根据题意中的数据，代入指数模型，结合指数与对数的互化运算求出t即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，，即， 所以，所以 【小问3详解】 设该物体需要放置分钟温度降至30℃， 由题意，即 所以． 所以， 该物体的温度降至30℃还需要分钟. 18. 非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. （1）判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； （2）若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. （3）题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 【答案】（1）是“坏集”，是“好集”，理由见解析 （2）且 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“好集”和“坏集”的定义进行判断即可. （2）根据“超级好集”的定义进行解答即可. （3）根据“坏集”的定义进行证明即可. 【小问1详解】 ，当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. 【小问2详解】 当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 因为集合不可能存在同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. 【小问3详解】 假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，因为，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾， ，而，所以，有限集合是“坏集”. 19. 已知函数. （1）解方程； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）若函数在上只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）偶函数，理由见解析 （3）2或 【解析】 【分析】（1）证明即可求解； （2）求出定义域，根据奇偶性的定义判断即可； （3）把函数零点问题转化为方程根的问题，结合换元法和判别式进行求解. 【小问1详解】 由得， 所以，所以， 令，解得，所以； 【小问2详解】 定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为偶函数； 【小问3详解】 函数有唯一零点等价于方程有唯一解， 即方程有唯一解， 整理得， 令，即方程有唯一正数根， ①若，此时符合题意； ②若，则 当时，符合题意， 当时，不合题意，舍去， 当时，，方程有两相异实根，符合题意， 当且时，则， 只需， 所以(舍去)， 综上，实数的取值范围是2或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年石嘴山市高一·数学考试卷 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 6. 若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（ ） A. B. C. D. 7. 函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列选项中，正确的是（   ） A. 若，，则， B. 函数的图象与的图象有两个交点 C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 函数的图象恒过定点 10. 已知不等式的解集为，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象开口向上 B. 函数的图象开口朝下 C. 无论为何值，必有 D. 不等式的解集为或 11. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 函数的值域是_______. 13. 已知，若正实数满足，则的最小值是________ 14. 已知函数，且，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 计算下列各式 （1） （2） （3）已知 求 的值； 16. 设函数，为常数，且. （1）求不等式的解集. （2）求在区间上的最值. 17. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为，环境温度为，那么经过后物体的温度（单位℃），科学家在建立实际生活中有广泛应用需求的“物体冷却模型”的过程中，通过大量的实验对比，从幂函数模型，指数函数模型和对数函数模型中，筛选出指数模型：，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数． （1）科学家最后确定了这两个系数为，请你给出合理的解释； （2）将55℃的水放在15℃的环境温度中冷却，10min以后的温度为35℃，求的值； （3）现有100℃的物体，放在25℃的环境中冷却.该物体的温度降至30℃还需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：） 18. 非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. （1）判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； （2）若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. （3）题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 19. 已知函数. （1）解方程； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）若函数在上只有一个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $