命题大赛 陕西2025-2026学年高一上学期期中考试数学练习（北师大版必修第一册第一章～第三章）

**基本信息** 高一第一学期期中数学试卷，覆盖预备知识、函数、指数函数，原创题占比合理，通过市场销售额建模（18题）、抽象函数性质应用（8题）等，考查数学抽象、逻辑推理与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、命题否定、充要条件|结合指数函数比较大小（7题原创）| |多选题|3/18|不等式性质、二次不等式解集|多选项设计考查逻辑严谨性（10题）| |填空题|3/15|分段函数求值、奇函数解析式|指数函数综合求和（14题原创）| |解答题|5/77|幂函数、函数建模、单调性证明|市场销售额建模（18题）与抽象函数推理（19题）|

Sheet1 高一第一学期期中考试数学双向细目表 题型 题号 考察知识点 考察知识方法 分值 难易度 简单 中等 较难 单选择题 1 集合 给出两个集合求交集、并集或补集 5 √ 2 命题的否定 给出一个命题，求该命题的否定 5 √ 3 充分必要条件 充分必要条件的判定 5 √ 4 函数的性质 给出具体函数判断函数的单调性及奇偶性 5 √ 5 函数概念 表示同一函数的判断方法 5 √ 6 基本不等式 基本不等式中的常数代换 5 √ 7 指数函数 利用指数函数的单调性比较大小 5 √ 8 抽象函数的应用、不等式恒成立 给出抽象函数的关系，并且已知不等式恒成立求参数的取值范围 5 √ 多选题 9 不等式 不等式性质的应用 6 √ 10 一元二次函数、一元二次方程、一元二次函数 三个二次的关系 6 √ 11 指数函数 已知关于分式型指数函数，求其性质 6 √ 填空题 12 分段函数 已知分段函数求值 5 √ 13 奇函数的解析式求法 已知一个奇函数一部分解析式，求其解析式 5 √ 14 分式型指数函数的性质综合 已知一分式型指数函数，求其某些函数值的和 5 √ 解答题 15 指数运算、函数解析式 （1）指数式的化简；（2）利用换元法求函数解析式 13 √ 16 幂函数及函数单调性奇偶性 （1）已知幂函数过一点求解析式；（2）利用幂函数的单调性奇偶性解不等式 15 √ 17 命题、不等式恒成立 （1）求命题为真命题时参数的取值范围；（2）若命题为假命题求参数的范围 15 √ 18 函数的实际应用 （1）由具体的生活例子建立函数关系式；（2）求建立的函数关系式在具体实际问题中的函数的最值 17 √ 19 函数的综合 （1）用定义法证明函数的单调性；（2）已知函数的奇偶性求参数的值；（3）利用函数的性质解不等式 17 √ $ 高一第一学期期中考试试题数学答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查集合的补集、两个集合的交集的定义和求法，属于基础题． 根据交集的定义求得 【解答】 解：集合  ， ，  故选B． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题的考点是命题的否定，属于基础题． 根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可得解． 【解答】 解：由题意，， 否定是，， 故选D． 3.【答案】  【解析】要判断“”是“”的条件，需分析两者的推导关系： 充分性判断：若，则必然满足，因此“”可以推出“”，充分性成立。 必要性判断：若，取，此时成立，但不满足，因此“”无法推出“”，必要性不成立。 综上，“”是“”的充分不必要条件。 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了函数定义域、单调性和函数的奇偶性，涉及指数函数，对数函数和幂函数，属于基础题． 利用相关函数的性质，求得定义域，综合依次判定其单调性和奇偶性，有一项不符合即得到排除，两项都符合的为应选项． 【解答】 解：对于，定义域， 为偶函数，所以不正确； 对于，定义域为， ，是一个偶函数，所以不正确； 对于，定义域为， ， 是奇函数， 由指数函数的单调性知，在内单调递增，在内单调递减， 在其定义域内是增函数，所以C正确； 对于，定义域为，定义域不关于原点对称， 不是奇函数，所以不正确， 故选C． 5.【答案】  【解析】要判断两个函数是否为同一个函数，需同时满足定义域相同和对应法则相同： 选项 A：的定义域为分母不能为，而的定义域为，定义域不同，不是同一个函数。 选项 B：根据立方根的性质，化简后为，定义域为；与的定义域、对应法则均相同，是同一个函数。 选项 C：的定义域为分母不能为，且当时，时；而的定义域为，定义域和对应法则均不同，不是同一个函数。 选项 D：算术平方根的结果非负，对应法则是取的绝对值；而的对应法则是线性运算，对应法则不同，不是同一个函数。 综上，只有选项B满足条件。 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题． 根据基本不等式“”的用法求解即可． 【解答】 解：因为均为正数，且， 所以，， 当且仅当时等号成立， 所以，的最小值等于． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了利用指数函数与对数函数的图象与性质进行大小比较，属于基础题． 根据指数函数和对数函数的单调性，分别确定的取值范围即可比较出大小． 【解答】 设函数，又因为底数，所以函数单调递增； 所以，即 设函数，又因为底数，所以函数单调递减； 所以， 即， 综上可知，； 故选． 8.【答案】  【解析】解：证明为奇函数： 令，代入得，故。 令，则，即，故，为奇函数。  证明为增函数： 任取且，则。由条件知。 又，故，为增函数。 求在上的最大值： 因为增函数，故在上的最大值为。 存在使得，等价于，即。 整理得，因式分解为，解得。 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查不等式的性质和应用，利用作差法比较大小，利用特殊值法是判断不等式是否成立的最常见的方法，要求熟练掌握． 根据不等式的性质及特殊值法，分别进行判断即可． 【解答】 解：：当，，时，，，这时，所以A错误； ：，，则，相加得，所以B正确； ：， 由得，， 故， 所以，所以C错误； ： ， 所以，故D正确 ． 故选BD． 10.【答案】  【解析】解：由一元二次不等式的解集为或，可知： 二次函数开口向上，故，选项A正确； 方程的根为和，根据韦达定理： 计算，代入、，得， 因，故，选项B错误； 不等式代入、，得， 因，两边除以得，即解集为，选项C正确； 分析选项D：不等式展开左边： 代入，得；右边， 不等式变为： 因，两边除以得，因式分解为， 解集为，选项D正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查判断或证明函数的奇偶性、单调性，求函数的值域，利用指数函数的单调性解不等式，属于中档题． 根据奇函数的定义判断选项B根据分离常数的方法转化成为，即可判断选项AC；根据的单调性即可求出值域，判断选项D． 【解答】 解：对于，因为，定义域为， 所以， 故为奇函数，所以B错误； 对于，又因为， 因为， 所以在上单调递增，所以C错误； 对于，因为，所以，所以， 所以，所以， 即， 即函数的值域为，所以D正确； 对于，不等式即为， 即， 即，解得，所以A正确． 故选：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查分段函数的函数值求解，属于中档题． 将代入中，得到，再把代入中计算即可． 【解答】 解：， ， ， 故答案为：． 13.【答案】        【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数解析式的计算，属于中档题． 根据题意，由奇函数的性质可得，设，有，由函数的解析式可得的解析式，结合函数的奇偶性可得，综合即可得答案． 【解答】 解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，则， 设，有，则， 又由函数为奇函数，则， 则； 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了指数的运算性质和指数函数的单调性，属于中档题先根据函数且在上的最大值与最小值之和为，求出，再根据指数的运算性质得即可解决． 【解答】 解：因为函数且在上的最大值与最小值之和为， 所以， 解得或舍． 所以， 所以 ， 设， 则， 则， 即． 故答案为． 15.【答案】解： ． 解：令，，则，， 所以， 所以．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：由题意，， 故 ； 易知为偶函数，由可将原不等式化为：，且在上单调递增， 所以，解得， 故的取值范围是．  【解析】本题考查了幂函数及其性质、利用函数单调性求解不等式问题，属于中档题  将点代入幂函数解析式，求得可得幂函数的解析式；  由函数的单调性将不等式转化为，可解得实数的取值范围． 17.【答案】解：为真命题时，，，当且仅当时取等． 故，即， 解得， 由知为假命题时，或 为假命题，则命题的否定为真命题，即，． 当时，，符合题意 当时，则，解得． 所以为假命题时，， 故命题和均为假命题时，即． 综上，实数的取值范围是  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：由题意知， 当，时，， 当，时，， 所求函数关系为； 当，时，， 函数在上的最大值元， 当，时，，其对称轴方程为， 函数在上单调递减， 故元， ， 当为时，日销售额最大，最大值为．  【解析】利用，通过的范围求出函数的解析式； 利用分段函数结合二次函数的性质求解函数的最值即可． 本题考查分段函数的应用，实际问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 19.【答案】证明；设， 则 ， 在实数集上是增函数且函数值恒大于， 故，，， 即， 在上是单调减函数． 解：由可知在上是单调减函数，且函数定义域为， 是奇函数， ， ， 当时， ， 即，为奇函数， 所以符合题意 解：由可得在上是单调减函数且是奇函数， ， 转化为， 则， 解得， 故所求不等式的解集为  【解析】本题综合考查了函数的单调性和奇偶性，在用定义证明或判断一个函数在某个区间上的单调性时，基本步骤是取点，作差或作商，变形，判断，属于拔高题． 按取点，作差，变形，判断的过程来即可， 利用奇函数定义域内有来求值； 利用单调性和奇偶性把转化为即可． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第一学期期中考试试题 数学 教材版本：北师大版 命题范围：预备知识、函数、指数运算与指数函数 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则集合(    ) A. B. C. D. 2. 已知命题，，则是    ． A. ， B. ， C. ， D. ， 3.设，则“”是“”的(    ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是(    ) A. B. C. D. 5.下列各组函数是同一个函数的是(    ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6.若均为正数，且，则的最小值等于(    ) A. B. C. D. 7.（原创）设，，，则． A. B. C. D. 8.已知函数对任意恒有，且当时，若存在，使得成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若，，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 10.已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11.已知函数，则  (    ) A. 不等式的解集为 B. ，都有 C. 是上的递减函数 D. 的值域为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数，则          ． 13.已知定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的解析式为          ． 14.（原创）已知函数且在上的最大值与最小值之和为若，则          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 化简求值： 已知，求． 16.（原创）本小题分 已知幂函数的图象经过点． 求幂函数的解析式； 试求满足的实数的取值范围． 17.本小题分 已知命题，命题， 若命题是真命题，求实数的取值范围 若命题和均为假命题，求实数的取值范围． 18.本小题分 经市场调查，某商品在近天内的销售量单位：件和价格单位：元均为时间单位：天的函数，且销售量近似地满足关系：在前天内价格为；在后天内价格为． 试写出该商品的日销售额与时间的函数关系式； 求该商品在近天内的日销售额的最大值． 19.本小题分 对于函数， 用定义证明：在上是单调减函数； 若是奇函数，求值； 在的条件下，解不等式． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $