专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，陕晋青宁专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）（多选）已知，则下列不等式中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）（多选）已知，，则（） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）（多选）下列说法错误的是（     ） A. 若，则 B. 若， ，则 C. 若，，则 D. 若，则 4．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）已知，则下列不等式恒成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）已知，下列关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）若实数a，b满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）已知实数，，，满足，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·山西太原·期中）已知，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）下列不等式中成立的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）下列结论正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若，则 C.  D. 若，则 11．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）已知 ，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·陕西西安远东第一中学·期中）（多选）已知，下列选项正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）（多选）下列式子中变形正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 14．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）已知、、、，下列命题正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 15．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）若，则下列不等式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 17．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（　　） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）已知，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）（多选）下列结论中正确的是（       ） A. 若，则 B. 函数)的定义域为，则函数的定义域为 C. “成立”是“成立”的充要条件 D. 设，若且，则 20．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷德科在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首先使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 21．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）已知二次函数满足以下条件：（1）该函数图象过原点；（2）；（3），求的取值范围． 22．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）已知，，则的范围是　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）已知，，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）（多选）若，则下列不等式中，正确的不等式有（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a和b（a），其全程的平均时速为v，则 （       ） A. a B. v= C.  D. v= 4．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）（多选）已知正数a，b满足，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 5．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）已知，，且，则的最小值为（       ） A.  B.  C. 4 D. 6 6．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知实数，则函数的最小值为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）若正实数满足，则的最小值为（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）已知，则的最小值是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D.  9．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）（多选）下列结论正确的是（       ） A. 当时， B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最小值是5 D. 设，，且，则的最小值是 10．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）（多选）以下结论正确的是（       ） A. 若，则的最小值是2 B. 若且，则 C. 的最小值是2 D. 若，且，则 11．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若，函数的最小值为3 B. 若，，，则最小值为4 C. 若对，恒成立，则实数m的最大值为2 D. 若，则的最大值是1 12．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）已知，则的最小值是（       ） A. 3 B.  C.  D. 9 13．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）（多选）若，且，则在四个数中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）（多选）下列结论正确的是（     ） A.  B. 当时，的最小值是2 C. 若，，且满足，则的最大值是 D.  15．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）（多选）下列说法正确的有（     ） A. 的最小值为2 B. 设，若，则的最小值为16 C. 若正数满足，则的最小值为3 D. 若，且，则的最小值为6 16．（25-26学年高一上·陕西西安远东第一中学·期中）已知，，，则的最小值为（     ） A.  B. 6 C.  D.  17．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）（多选）下列说法正确的有（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则的最大值为4 18．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为2 C. 最小值为 D. 已知，则的最小值为9 19．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）（多选）设正实数m，n 满足，则（     ） A.  的最小值为 B.  的最小值为 C.  的最大值为 D. 的最小值为 20．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）若，且，则的最小值是　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 22．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）已知，则的最小值是　　　　　　　　． 23．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）（1）设；求函数的最大值； （2）当时，求函数的最小值． 24．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）已知，，且，则的最小值为　　　　　　. 25．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）（1）已知，且，求的最大值； （2）若正数，满足，求的最小值； （3）已知，求的最大值. 26．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）已知，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 27．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 28．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）当时，的最小值为　　　　　　　　． 29．（25-26学年高一上·山西太原·期中）将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立.利用此结论解决问题：已知，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　　　　. 30．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边．现欲建一个如图的内接矩形花园，点在斜边上（不包括端点），则花园的面积的最大值为　　　　　　　 31．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）已知函数，且，则的最小值是　　　　　　　　　　. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）若，，则以，为根的一元二次方程是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）若幂函数的图像经过点，则在定义域内（       ） A. 为增函数 B. 为减函数 C. 有最小值 D. 有最大值 3．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）（多选）若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 方程的两根是，1 C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 5．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）不等式的解集为,则函数的图像大致为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）不等式的解集为（   ） A.  B.  C. 或 D. 或 7．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）已知函数，给定两个实数，若能同时满足以下两个条件：①不等式恒成立，②方程有两个互为相反数的非零实数根.那么我们就称是一组“奇葩数”，则下列选项中符合“奇葩数”定义的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）“”是“函数在区间上是增函数”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·陕西西安远东第一中学·期中）（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）已知，关于的不等式的解集为，则（       ） A. 3 B.  C. 1 D.  14．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为．若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（       ） A.  B. 不等式的解集是 C.  D. 不等式的解集为 18．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D. 或 19．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）（多选）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 20．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）对于区间，我们将的值称为该区间的长度．若关于的不等式有解，且解集的区间长度不超过，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 不等式的解集为 C.  D. 不等式的解集为 22．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）已知在区间上单调递减，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 24．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）不等式的解集为　　　　　　. 25．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）若关于x的不等式的解集是，则的解集为　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）已知命题，命题， （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若是假命题，求实数的取值范围． 27．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）当时，函数的值域为　　　　　　　　　　. 28．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 29．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 30．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）若不等式的解集为，则实数取值范围是　　　　　　． 31．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）若“，使得”是真命题，则实数的最小值是　　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）函数在上的最大值为　　　　　　. 34．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）已知关于的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集． 35．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 36．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中） 已知函数 . （1）若， 求的最大值； （2）若的最小值为， 求的解析式. 37．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）记集合. （1）若，求集合； （2）若，求集合； 38．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 39．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）已知、且，设的最小值为． （1）求的值； （2）若关于的方程有两个正实根，求实数的取值范围． 40．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）已知是二次函数，且满足. （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式； （3）在（2）的条件下，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 41．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）已知二次函数. （1）若关于的不等式的解集为或，求； （2）在（1）的条件下，求不等式的解集； （3）设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 42．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 43．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求在上的值域； （3）求关于的不等式的解集（其中）． 44．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）设，若存在实数，使得，求的取值范围； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 45．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知函数． （1）若函数对恒成立，求实数的值； （2）若不等式的解集为，求实数的值； （3）求函数在上的最小值． 46．（25-26学年高一上·陕西西安远东第一中学·期中）如图，在中，，，，分别为，，上一点，且，，四边形为矩形.    （1）求面积的最小值； （2）若的面积大于16，求长度的取值范围. 47．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）已知定义在上的二次函数满足，且有最小值. （1）求函数的单调区间； （2）若，且在上的最小值为1，讨论在的最大值. 48．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）某农场要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为1200m3，深为3m，其底面为长方形，其中.如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元. （1）若贮水池的总造价不超过78000元，求边长的范围； （2）怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 49．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）在（1）的前提下，求不等式的解集； （3）设关于的方程有两个正实数根，且满足，求的最大值． 50．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数． （1）求的值，并写出相应的函数的解析式； （2）对于（1）中的，设． (ⅰ)是否存在实数，使得在区间上的值域是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (ⅱ)已知点是曲线上的一点，直线与曲线交于两点，若不等式的解集为，求的面积． 51．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）已知函数． （1）若函数的最大值为0，求实数的值： （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数的值：若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．AC 2．BC 3．ACD 4．D 5．D 6．D 7．A 8．D 9．B 10．C 11．D 12．BC 13．BC 14．C 15．B 16．D 17．BCD 18．C 19．ACD 20．AB 21．【答案】 【分析】 根据图象过原点得到，且有，得出关于的不等式，然后用、表示,从而求解. 【详解】 由图象过原点得， 则由得，由得， 设 ，解得 ， 所以， 又因为 ，即 ，所以， 故的取值范围为. 22．【答案】 【分析】 设，求出、的值，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】 设，其中、， 则 ，解得 ，所以，， 因为，，则，， 由不等式的基本性质可得，即. 故答案为：. 23．【答案】 【分析】 由不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】 因为，，则，， 由不等式的基本性质可得， 因此，的取值范围为. 故答案为：. 考点02 基本不等式 1．D 2．AD 3．A 4．AB 5．C 6．B 7．A 8．A 9．ABD 10．BD 11．BC 12．B 13．ABD 14．ACD 15．BCD 16．D 17．BD 18．CD 19．BD 20．【答案】3. 【分析】 利用代换1法，结合基本不等式来求最小值. 【详解】 因为，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 故答案为：3. 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由结合基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值； （2）由已知等式变形得出，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. (1) 小问详解： 因为，，所以，且，则， 又因为，所以， 当且仅当 时，即当 时，取最小值为. (2) 小问详解： 由，得. 所以， 因为，，所以，，则， 当且仅当 时，即当 时，等号成立，则， 故的最小值为. 22．【答案】 【详解】将函数的解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最小值. 【详解】当时，，， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，函数的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解函数的最小值，解答的关键就是对函数解析式进行化简变形，考查计算能力，属于基础题. 23．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）将变形为，利用均值不等式即可求出结果； （2）将变形为，利用均值不等式即可求出结果. 【详解】 （1）因为，所以， 因此，当且仅当，即时，等号成立，故函数的最大值为； （2）因为，所以，，当且仅当时，即时，等号成立，故函数的最小值为. 24．【答案】 【分析】 将已知等式化为，利用基本不等式可构造不等式求得结果. 【详解】 由得：，又，， （当且仅当时取等号）， ，解得：（舍）或， 当时，取得最小值. 故答案为：. 25．【答案】（1）；（2）5；（3） 【分析】 （1）（3）利用基本不等式计算可得； （2）利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】 （1）因为，且， 所以， 所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，故的最大值为. （2）因为， 所以， 当且仅当，即，时，取等号，故的最小值为. （3）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故当时，. 所以函数的最大值为. 26．【答案】（1）     （2）36      【详解】 解：（1）因为， 所以，得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 27．【答案】（1）米，元     （2）      【分析】 （1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. (1) 小问详解： 设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. (2) 小问详解： 由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 28．【答案】5 【分析】 构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】 因为, 则 ， 当时，的最小值为5. 故答案为：5. 29．【答案】 【分析】 利用两次基本不等式求出的最小值，再建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】 若，则恒成立， 令，则可化为， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时， 则，由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得（负根舍去）， 代入中，可得，符合题意，故两次取等条件均满足， 即，可得，解得. 故答案为： 30．【答案】 【分析】 利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】 设，，则， 因为，所以，解得， 所以花园的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以花园的面积的最大值为. 故答案为： 31．【答案】2 【分析】 首先证明从而得到，然后利用基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【详解】 因为，在上单调递增，，所以， 所以， 当且仅当，结合，即时取得. 所以的最小值为2. 故答案为：2 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．A 2．C 3．B 4．ABD 5．C 6．C 7．B 8．C 9．A 10．B 11．ABC 12．B 13．A 14．B 15．A 16．D 17．AB 18．A 19．AB 20．B 21．BCD 22．B 23．A 24．【答案】 【分析】 根据分式不等式的解法，计算即可得答案. 【详解】 不等式，等价于， 解得，则解集为. 故答案为： 25．【答案】 【分析】 由不等式的解集知方程的两个根，根据韦达定理求得的值，再解不等式即可求得解集. 【详解】 ∵不等式的解集是， ∴方程的两个根为 则. 由得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式可得答案； （2）是假命题等价于真，然后利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案. (1) 小问详解： 由真，得：， 解得： 或， 故 的取值范围为：. (2) 小问详解： 是假命题等价于真. 若真， 当时，  需满足：， 即：  解得：或， 又因为， 所以；  当  时，函数为 ，恒成立； 当 时，二次函数开口向下，因此存在  使得 ，故不成立； 综上， 为真当且仅当 . 因此，实数  的取值范围为：. 27．【答案】 【分析】 结合二次函数性质计算即可得. 【详解】 因为函数的图象开口向上，且对称轴为直线， 所以当时，函数取得最小值为； 当时，函数取得最大值为7； 故函数的值域为. 故答案为：. 28．【答案】 【分析】 利用基本不等式求得的最小值，再解关于的一元二次不等式即可. 【详解】 由，故可得，则， 当且仅当，且，时，也即时取得等号，故的最小值为； 根据题意可得，即，，解得. 故实数的取值范围为：. 故答案为：. 29．【答案】 【分析】由题意知，不等式对任意的恒成立，可得出，即可解出实数的取值范围. 【详解】由于命题“，”是假命题， 则命题“，”为真命题， ，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据特称命题的真假求参数，将问题转化为二次不等式恒成立问题是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 30．【答案】 【分析】 当时，恒成立，符合题意；当时，由 即可求解. 【详解】 当时，恒成立，所以符合题意； 当时，若不等式的解集为， 则 ，可得：， 综上所述：实数取值范围是， 故答案为：. 31．【答案】 【分析】 根据二次函数以及一次函数的单调性即可求解. 【详解】 若，则为一次函数，在单调，不符合题意， 当时，为二次函数，对称轴为， 要使在区间上不单调，则， 解得， 综上可得， 故答案为： 32．【答案】 【分析】 根据二次函数的性质求解最值即可求解. 【详解】 由于在上的最小值为， 故命题，使得是真命题，则，即， 故答案为： 33．【答案】4 【分析】 对函数解析式配方后，即可求出最大值. 【详解】 因为，， 所以时，取到最大值为4. 故答案为：4 34．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可； （2）代入参数，解一元二次不等式即可. (1) 小问详解： 关于的不等式的解集为或， ∴，且和4是方程的两实数根， 由根与系数的关系知， ，解得； (2) 小问详解： 由（1）知，时， 不等式为， ∴不等式的解集是. 35．【答案】（1），的值分别为，，或，.     （2）.      【分析】 （1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值； （2）由判别式可得． (1) 小问详解： 由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. (2) 小问详解： 当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 36．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）根据二次函数的开口方向及对称轴方程，结合自变量取值范围求最大值即可； （2）讨论三种情况，当时，当时， 当，分别根据二次函数的单调性求出最小值即可. (1) 小问详解： 当时，，对称轴为， 因为抛物线开口向上，, 所以当时，. (2) 小问详解： 当，即时，在上递增，； 当，即时，在上递减，； 当，即时，在上递减，在上递增，； 综上， 的最小值 . 37．【答案】（1）     （2） 当时，. 当时，. 当时，.      【分析】 （1）求解一元二次不等式的解集即可. （2）先将集合中的不等式左边进行因式分解，然后分三种情况讨论即可. (1) 小问详解： 因为，所以集合， 所以. (2) 小问详解： 因为集合， 所以当时，，所以. 当时，. 当时，，. 38．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先由集合的运算得到，再分和不是空集两种情况由集合的包含关系解不等式组可得； （2）先由是的必要不充分条件得到是的真子集，再由集合包含关系解不等式组可得. (1) 小问详解： ∵． ∴． 又∵，． ∴当，即时，，符合； 当，即时，只需 ，解得． 综上，的取值范围为． (2) 小问详解： ∵是的必要不充分条件． ∴是的充分不必要条件，即是的真子集，， 故只需 ，解得． 综上，的取值范围是． 39．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）分析可知方程有两个正实根，根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. (1) 小问详解： 因为、，且， 所以， 当且仅当 时，即当时，等号成立，故的最小值为，故. (2) 小问详解： 由（1）可知，方程有两个正实根，设这两个正根分别为、， 由题意可得 ，解得， 因此，实数的取值范围是. 40．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设，然后根据已知条件求出的值，进而得到函数解析式. （2）先化简的表达式，然后根据二次函数的性质和的范围求出其最小值的表达式. （3）先判断的单调性求出最大值，然后解不等式即可. (1) 小问详解： 设，由，可得. 由，得， 所以 ，解得 则. (2) 小问详解： 由题意得，则图象的对称轴为直线. 若，则在上单调递增，当时，的最小值为； 若，则当时，的最小值为； 若，则在上单调递减，当时，的最小值为. 故 . (3) 小问详解： 在上单调递减，因为， 所以，，， 解得或， 即的取值范围为. 41．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）结合题意并利用一元二次方程根与系数的关系求解即可. （2）结合题意将原不等式化为分式不等式，再求解解集即可. （3）对目标式合理变形，再结合韦达定理求解即可. (1) 小问详解： 因为不等式的解集为或， 所以，且 ，解得 ，故. (2) 小问详解： 因为， 所以不等式，可化为，即， 而，，可得，解得且， 则不等式的解集为或. (3) 小问详解： 由题意得关于的方程有两实数根， 则有两实数根， 所以，易知此式恒成立， 因为，由韦达定理，， 所以， 故. 42．【答案】当 时，的解集为；当 时，的解集为；当 时，的解集为. 【分析】 先根据已知二次不等式的解集得的两个根为，3，且，然后利用韦达定理求得，进而把不等式化为，分类讨论求解即可. 【详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以的两个根为，3，且， 所以由韦达定理有，所以， 所以不等式，即不等式，即不等式. 则，因为，所以， 当即 时，的解为； 当即 时，即，无解； 当即 时，的解为； 综上所述，当 时，的解集为； 当 时，的解集为； 当 时，的解集为. 43．【答案】（1）；     （2）；     （3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）利用换元法即可得到解析式； （2）根据二次函数单调性即可得到值域； （3）因式分解得，再对分类讨论即可. (1) 小问详解： 由题意，函数，令，所以， 则，所以. (2) 小问详解： 在上单调递减，在上单调递增， 则其值域为，即. (3) 小问详解： 由（1）知，即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 44．【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】 （1）设二次函数，利用恒等式求出可得结果； （2）求出，再解不等式即可得解； （3）将不等式恒成立转化为当，时，成立，然后分类讨论对称轴与区间的关系，求出最大值和最小值，代入，解不等式可得解. 【详解】 （1）因为，所以设二次函数， 因为，所以， 所以， 所以 ，解得， 所以. （2）因为， 所以， 所以，解得或. （3）因为对任意，都有恒成立， 所以当，时，， 因为的对称轴为， 所以当，即时，在上先递减后递增， 所以， 或， 当时，由， 得，又，所以， 当时，由， 得，又，所以， 当，即时，在上单调递减， ，， 所以，解得， 当时，在上单调递增， 所以，， 由，解得， 综上所述：实数的取值范围是. 45．【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）利用列式求解即可； （2）根据一元二次不等式的解集得方程的根，再运用韦达定理可解； （3）分类讨论，结合二次函数性质求解最值. (1) 小问详解： 因为函数对恒成立， 所以，整理得，解得； (2) 小问详解： 不等式的解集为， 所以是方程的两根，运用韦达定理，得到 ，解得； (3) 小问详解： 由于， ① 当即时，在上单调递增， 所以. ② 当即时， 则， ③ 当即时，在上单调递减， 所以 . 则 . 46．【答案】（1）12     （2）      【分析】 （1）设，则.可得三角形的面积，再利用基本不等式求出面积的取值范围； （2）的面积大于16，即，解一元二次不等式即可. (1) 小问详解： 设，则. 因为，所以， 所以， 所以的面积. 由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为12. (2) 小问详解： 由（1）得，即， 所以， 所以或， 所以长度的取值范围为. 47．【答案】（1）在递增，递减；     （2）答案见解析      【分析】 （1）先判断函数的单调性，再根据“同增异减”判断复合函数的单调性. （2）分情况讨论二次函数在给定区间的最大值. (1) 小问详解： 因为定义在上的二次函数满足，且有最小值， 所以函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为函数在上单调递减， 由“同增异减”可知，在上递增，上递减. (2) 小问详解： 设，则，则，则. 因为的区间中点为， 当，即时，； 当，即时，. 48．【答案】（1）     （2）当m，m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元.      【分析】 （1）设，利用总造价不超过78000元列不等式，由此求得的取值范围. （2）利用基本不等式求得总造价的最小值以及设计方案. (1) 小问详解： 设m，m，且， 则依题意可得，且，则，且， 则总造价， 则，即， 整理得，解得，又， 所以边长的范围是. (2) 小问详解： 结合（1）有， 且总造价， 当且仅当时，等号成立， 所以当m，m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元. 49．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据韦达定理即可求解， （2）将不等式转化为，问题等价于 ，求解， （3）根据韦达定理，将问题转化为，进而利用不等式即可求解. (1) 小问详解： 因为关于的不等式的解集为， 所以与2是方程的两个实数根，且， 由韦达定理可知 ，解得． (2) 小问详解： 由（1）知，所以不等式等价于， 即．即 ，解得且． 所以不等式的解集为． (3) 小问详解： 因为关于的方程有两个正实数根， 所以 ，又，也即，即， 结合，可得，解得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 50．【答案】（1），     （2）(ⅰ) 存在，或 ；(ⅱ)      【分析】 （1）利用偶函数的性质确定的值即可； （2）（i）先求出的表达式，然后讨论二次函数的对称轴位置再结合二次函数的单调性可得； （ii）利用一元二次不等式根与系数的关系求出的表达式，再解出点，然后过点作轴的垂线，直曲联立解出点，然后由三角形面积组合求出可得. (1) 小问详解： ∵幂函数在上是增函数． ∴，解得． 又∵．                    ∴． 当或时，，为非奇非偶函数，不符合题意； 当时，，其为偶函数，符合题意． 综上，，． (2) 小问详解： 由（1）可知，． (ⅰ)① 当，即时，在递减，此时、 ，无解． ② 当，即时，在递增，此时、，无解． ③ 当，即时，在递增、在递减，此时． 若，即时，故、，符合； 若，即时，故、，符合． 综上，或． (ⅱ) ∵的解集为． ∴和是方程的两个实数根，故，则，则． 过点作轴的垂线，设其与直线的交点为，则，故两点间的距离为． 由 可得，，解得． 不妨设，所以． 综上，的面积为． 51．【答案】（1）0或4     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）根据二次函数的性质列式求解即可； （2）根据二次函数的单调性即可求解； （3）根据根据对称轴与所给区间的关系，分类讨论函数的单调性，即可根据最值求解. (1) 小问详解： 函数的图象是抛物线，开口向下，对称轴是， 所以， 即，解得或， 的值为0或4. (2) 小问详解： 函数图象是抛物线，开口向下，对称轴是； 要使在上是单调递减的，应满足； 的取值范围是. (3) 小问详解： 当，即时，在上是减函数， 若存在实数，使在上的值域是， 则有 ，即 ，解得不存在； 当，即时，在上是增函数， 则有 ，即 ，解得； 当，即时，在上先增后减， 则在处取最大值，， 解得或6（不满足条件，舍去）； 综上，存在实数，使在上的值域恰好是. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）（多选）已知，则下列不等式中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断得解. 【详解】 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：AC 2．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）（多选）已知，，则（） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 选项A，根据指数函数的单调性即可判断；选项B，根据不等式的加法性质即可判断；选项C，根据的单调性即可判断；选项D，考虑的特殊情况即可. 【详解】 由题意， A项，∵，函数单调递增，∴，错误. B项，，两边同时加上，得，正确. C项，由，得，∵函数在上单调递减， ∴，正确. D项，当时，，不满足，错误. 故选：BC. 3．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）（多选）下列说法错误的是（     ） A. 若，则 B. 若， ，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】 举例说明判断A、C、D；作差比较大小判断B. 【详解】 对于A，取，得，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：ACD 4．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）已知，则下列不等式恒成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则，故C错误； 对于D,因为，所以，故D正确. 故选：D 5．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）已知，下列关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】运用作差法比较代数式的大小，最后运用配方法化简代数式即可得出结果. 【详解】根据题意， 选项D正确，选项ABC错误. 故选：D. 6．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）若实数a，b满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用不等式的性质，判断各选项是否正确. 【详解】 由，则，A选项错误； 由，时，不满足，B选项错误； 由，则，C选项错误； 由，则，D选项正确. 故选：D 7．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）已知实数，，，满足，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据不等式性质，结合反例法即可判断. 【详解】 对A，，则，所以，故A正确； 对B，不妨设，则，故B错误； 对C，不妨设，则，故C错误； 对D，不妨设，则，故D错误； 故选：A 8．（25-26学年高一上·山西太原·期中）已知，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 应用特殊值举反例，结合不等式的性质判断各项的正误. 【详解】 当时，，A错， 当时，无意义，B错， 当时，，C错， 由，D对. 故选：D 9．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）下列不等式中成立的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【分析】 举反例说明A错误；利用作差比较法，结合不等式性质可逐一判断选项BCD. 【详解】 A项，若，，则，故 A错误； B项，若，则， ，，故B正确； C项，若，则， ，，故C错误； D项，若，则，， ，，故D错误. 故选：B. 10．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）下列结论正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若，则 C.  D. 若，则 【答案】C 【分析】 举反例即可说明ABD；由得出，即可说明C． 【详解】 对于A选项，当，，，时，，故A错误； 对于B选项，当时，，故B错误； 对于C选项，因为， 所以，即，故C正确； 对于D选项，当，时，满足，显然不成立，故D错误． 故选：C． 11．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）已知 ，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用特殊值及指数函数的单调性逐项判断即可. 【详解】 取，则满足题意， 此时，所以A选项错误； 取，则满足题意， 此时，所以B选项错误. 取，则满足题意， 此时，所以C选项错误. 由于在上递减，而， 所以， 所以D选项正确. 故选：D 12．（25-26学年高一上·陕西西安远东第一中学·期中）（多选）已知，下列选项正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据不等式的性质，结合举反例对选项逐一分析即可. 【详解】 对于A：设，，则，故A错误； 对于B:因为，且，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，，故C正确； 对于D：设，，，则，故D错误. 故选：BC. 13．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）（多选）下列式子中变形正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】BC 【分析】 解方程可判断A，根据不等式的性质可判断BCD. 【详解】 对于A，或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，显然，两边同乘以可得，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：BC 14．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）已知、、、，下列命题正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】C 【分析】 代入特殊值，可判断ABD；根据不等式的性质可判断C. 【详解】 选项A：当时，满足， 此时，，故A错误； 选项B：当时，满足，， 此时，，故B错误； 选项C：因为，，根据不等式的基本性质，得，故C正确； 选项D：若，但，故D错误. 故选：C 15．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）若，则下列不等式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】 对A，由，所以，错误； 对B，由，，所以，正确； 对C，由，所以，错误； 对D，由，所以，错误. 故选：B. 16．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 对于A选项，当时，即可判断；对于B选项，通过不等式的性质判断即可； 对于C选项，通过特殊值法判断即可；对于D选项，通过作差法判断即可. 【详解】 对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，当，时，，故C错误； 对于D选项，，因为，所以，所以，故D正确. 故选：D. 17．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 根据不等式的性质，逐一判断即可. 【详解】 对于A，若，则，所以A错误； 对于B，若，则，所以B正确； 对于C，若，则，所以，所以C正确； 对于D，若，则，因为，所以，即.所以D正确. 故选：BCD. 18．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）已知，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据不等式的性质求解． 【详解】 因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 19．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）（多选）下列结论中正确的是（       ） A. 若，则 B. 函数)的定义域为，则函数的定义域为 C. “成立”是“成立”的充要条件 D. 设，若且，则 【答案】ACD 【分析】 由不等式的基本性质即可判断A选项；由函数定义域的定义即可求得函数的定义域，判断B选项；分别解两个不等式得到解集，即可判断C选项；设，解的值，然后由不等式的同向可加性得到的范围，判断D选项. 【详解】 ∵，∴，∴， 即，所以，A选项正确； 令，∴，∴函数的定义域为，B选项错误； ，则，，解得，C选项正确； 令，即， 即 ，解得 ，即， ∴，∴，D选项正确. 故选：ACD. 20．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷德科在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首先使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【分析】 由不等式的基本性质逐一判断即可求解． 【详解】 对于A选项：若，，则，故命题正确； 对于B选项：若，，则，故命题正确； 对于C选项：若，，则，故命题错误； 对于D选项：若，则， 当时，，即， 当时，，即，故命题错误． 故选：AB 21．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）已知二次函数满足以下条件：（1）该函数图象过原点；（2）；（3），求的取值范围． 【答案】 【分析】 根据图象过原点得到，且有，得出关于的不等式，然后用、表示,从而求解. 【详解】 由图象过原点得， 则由得，由得， 设 ，解得 ， 所以， 又因为 ，即 ，所以， 故的取值范围为. 22．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）已知，，则的范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，求出、的值，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】 设，其中、， 则 ，解得 ，所以，， 因为，，则，， 由不等式的基本性质可得，即. 故答案为：. 23．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）已知，，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】 因为，，则，， 由不等式的基本性质可得， 因此，的取值范围为. 故答案为：. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】试题分析： ，所以A错； ，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错； 或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确． 考点：不等式的性质 2．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）（多选）若，则下列不等式中，正确的不等式有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【详解】利用不等式的基本性质即可得出． 【详解】 ∵ ， ∴ ， ∴ ，故A正确，C错误. ∴， 则，故B错误. 由于，， ∴ ，故D正确. 故选：AD. 3．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a和b（a），其全程的平均时速为v，则 （       ） A. a B. v= C.  D. v= 【答案】A 【分析】设甲乙两地相距，则平均速度，结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】设甲乙两地相距，则平均速度， 又∵，∴， ∵，∴， ∴，故选A． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可， 属于基础题型. 4．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）（多选）已知正数a，b满足，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 【答案】AB 【分析】 A选项，由得到答案；B选项，由得到答案；C选项，根据基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，利用指数幂的运算和基本不等式进行求解. 【详解】 A选项，∵  a，b为正实数， ∴ ，当且仅当时等号成立，又， ∴ ，当且仅当，时等号成立， ∴ ab的最大值为，A正确； B选项，由基本不等式可得，故， 当且仅当时等号成立， 又，∴，当且仅当，时等号成立， ∴的最小值为，B正确； C选项，∵， 当且仅当，时等号成立， ∴ 的最小值为8，C错误； D选项，， 当且仅当，即时，等号成立，D错误. 故选：AB. 5．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）已知，，且，则的最小值为（       ） A.  B.  C. 4 D. 6 【答案】C 【分析】 由基本不等式得出关于的不等式，解之可得． 【详解】 因为， 所以，当且仅当时取等号． ，解得或（舍去）， 所以，即的最小值.4．此时． 故选：C． 6．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知实数，则函数的最小值为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】 配凑后，根据基本不等式即可求解. 【详解】 实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 7．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）若正实数满足，则的最小值为（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【分析】 根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由正实数满足，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 8．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）已知，则的最小值是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D.  【答案】A 【分析】 利用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】 由题设，, 当且仅当，即时取到等号. 故选：A 9．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）（多选）下列结论正确的是（       ） A. 当时， B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最小值是5 D. 设，，且，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】 利用基本不等式可判断A，B，通过系数化正结合基本不等式可判断C，利用“1”的妙用，可判断D. 【详解】 对于A，因为时，，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，时，，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，因为，，由， 因，所以，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD 10．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）（多选）以下结论正确的是（       ） A. 若，则的最小值是2 B. 若且，则 C. 的最小值是2 D. 若，且，则 【答案】BD 【分析】 使用基本不等式(均值不等式)及其取等号的条件进行判断即可. 【详解】 对于A，因为，所以当时，，当且仅当即时等号成立；当时，，当且仅当即时等号成立，所以A错误. 对于B，因为，所以，，所以，当且仅当即时等号成立，所以B正确. 对于C，，当且仅当时等号成立，但无实数解，故的最小值不是2，所以C错误. 对于D，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以D正确. 故选：BD. 11．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若，函数的最小值为3 B. 若，，，则最小值为4 C. 若对，恒成立，则实数m的最大值为2 D. 若，则的最大值是1 【答案】BC 【分析】 利用基本不等式可判断AD，根据条件等式结合基本不等式可判断B；利用基本不等式结合不等式恒成立问题判断C. 【详解】 对于A，由于，故， 则， 当且仅当，即时等号成立，但，取不到， 故函数的最小值不为3，A错误； 对于B，，，， 则， 当且仅当 ，即时取等号，即最小值为4，B正确； 对于C，对，， 故对，恒成立，则，实数m的最大值为2，C正确； 对于D，因为，故， 故， 故，当且仅当，即时取等号， 故的最大值是，D错误， 故选：BC 12．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）已知，则的最小值是（       ） A. 3 B.  C.  D. 9 【答案】B 【分析】 由已知条件代入后凑出积为定值，再由基本不等式得最小值． 【详解】 ∵，所以(2x+1)+y=4 则 当且仅当且即时取等号， 则的最小值是. 故选：B． 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 13．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）（多选）若，且，则在四个数中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 结合基本不等式，作差法比较大小等讨论求解即可. 【详解】 解：由于，则， 又，所以， 又，即. 故选：ABD 14．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）（多选）下列结论正确的是（     ） A.  B. 当时，的最小值是2 C. 若，，且满足，则的最大值是 D.  【答案】ACD 【分析】 利用基本不等式求最值的三个条件“一正、二定、三相等”逐个分析可得答案. 【详解】 对于A：， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B：函数在上单调递增， 故当时，，故B错误； 对于C：， 当且仅当等号成立，故，故C正确； 对于D：当时，， 故，故D正确. 故选：ACD. 15．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）（多选）下列说法正确的有（     ） A. 的最小值为2 B. 设，若，则的最小值为16 C. 若正数满足，则的最小值为3 D. 若，且，则的最小值为6 【答案】BCD 【分析】 对于A项，取，进行判断，利用基本不等式可判断BCD. 【详解】 对于A选项，当时，得， 则的最小值为2不成立，所以A项错误； 对于B选项，由，得， 由，得， 则 ， 当且仅当时等号成立，联立 ，得， 所以的最小值为16，所以B项正确； 对于C选项，若正数x，y满足，则， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以C正确． 对于D选项，因为，所以， 令，则，即，由， 得，即，等号成立时，，所以D正确． 故选：BCD 16．（25-26学年高一上·陕西西安远东第一中学·期中）已知，，，则的最小值为（     ） A.  B. 6 C.  D.  【答案】D 【分析】 灵活运用“1”，构造齐次式结合基本不等式计算即可. 【详解】 易知， 当且仅当时，等号成立. 故选：D 17．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）（多选）下列说法正确的有（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则的最大值为4 【答案】BD 【分析】 对于A、C选项，可以通过取特值判断选项的正误； 对于B选项，可以通过不等式的性质判断选项的正误； 对于D选项，可以通过均值不等式判断选项的正误. 【详解】 对于A选项，当，时，满足，但不满足，则A选项错误； 对于B选项，由，，得：，， 通过作差可得：，由此可得：，则B选项正确； 对于C选项，当，，，时，满足，，但不满足，则C选项错误； 对于D选项，由于，，由，得：， 当且仅当时等号成立，因此可得的最大值为，则D选项正确. 故选：BD 18．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为2 C. 最小值为 D. 已知，则的最小值为9 【答案】CD 【分析】 A由不等式的性质知恒成立，即可判断；B利用即可判断；C应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件判断；D应用“1”的代换和基本不等式求最小值，注意等号成立条件判断. 【详解】 A：由，则恒成立，故最小值不可能为2，错； B：由，则，当且仅当时取等号，错； C：由， 当且仅当，即时取等号，对； D：由题设， 当且仅当，即 时取等号，对. 故选：CD 19．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）（多选）设正实数m，n 满足，则（     ） A.  的最小值为 B.  的最小值为 C.  的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【分析】 对于A，直接利用基本不等式即可；对于B，利用“常数代换法”结合基本不等式即可求解；对于C，平方后再利用基本不等式求解，再开方即可；对于D，由平方平均数大于等于算术平均数即可求解. 【详解】 对于A，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A错误； 对于B，因为正实数，满足，所以， 当且仅当且，即时等号成立，故B正确； 对于C，，则， 当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，由，可得，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 20．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）若，且，则的最小值是　　　　　　　　　　　． 【答案】3. 【分析】 利用代换1法，结合基本不等式来求最小值. 【详解】 因为，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 故答案为：3. 21．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由结合基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值； （2）由已知等式变形得出，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. (1) 小问详解： 因为，，所以，且，则， 又因为，所以， 当且仅当 时，即当 时，取最小值为. (2) 小问详解： 由，得. 所以， 因为，，所以，，则， 当且仅当 时，即当 时，等号成立，则， 故的最小值为. 22．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）已知，则的最小值是　　　　　　　　． 【答案】 【详解】将函数的解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最小值. 【详解】当时，，， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，函数的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解函数的最小值，解答的关键就是对函数解析式进行化简变形，考查计算能力，属于基础题. 23．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）（1）设；求函数的最大值； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）将变形为，利用均值不等式即可求出结果； （2）将变形为，利用均值不等式即可求出结果. 【详解】 （1）因为，所以， 因此，当且仅当，即时，等号成立，故函数的最大值为； （2）因为，所以，，当且仅当时，即时，等号成立，故函数的最小值为. 24．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）已知，，且，则的最小值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 将已知等式化为，利用基本不等式可构造不等式求得结果. 【详解】 由得：，又，， （当且仅当时取等号）， ，解得：（舍）或， 当时，取得最小值. 故答案为：. 25．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）（1）已知，且，求的最大值； （2）若正数，满足，求的最小值； （3）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）5；（3） 【分析】 （1）（3）利用基本不等式计算可得； （2）利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】 （1）因为，且， 所以， 所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，故的最大值为. （2）因为， 所以， 当且仅当，即，时，取等号，故的最小值为. （3）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故当时，. 所以函数的最大值为. 26．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）已知，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）     （2）36      【详解】 解：（1）因为， 所以，得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 27．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）米，元     （2）      【分析】 （1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. (1) 小问详解： 设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. (2) 小问详解： 由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 28．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）当时，的最小值为　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】 因为, 则 ， 当时，的最小值为5. 故答案为：5. 29．（25-26学年高一上·山西太原·期中）将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立.利用此结论解决问题：已知，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 利用两次基本不等式求出的最小值，再建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】 若，则恒成立， 令，则可化为， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时， 则，由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得（负根舍去）， 代入中，可得，符合题意，故两次取等条件均满足， 即，可得，解得. 故答案为： 30．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边．现欲建一个如图的内接矩形花园，点在斜边上（不包括端点），则花园的面积的最大值为　　　　　　　 【答案】 【分析】 利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】 设，，则， 因为，所以，解得， 所以花园的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以花园的面积的最大值为. 故答案为： 31．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）已知函数，且，则的最小值是　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 首先证明从而得到，然后利用基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【详解】 因为，在上单调递增，，所以， 所以， 当且仅当，结合，即时取得. 所以的最小值为2. 故答案为：2 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）若，，则以，为根的一元二次方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】由，，结合完全平方公式求出，然后利用根与系数的关系可求得结果 【详解】 ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴以，为根的一元二次方程为. 故选：A. 【点睛】 此题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，属于基础题. 2．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）若幂函数的图像经过点，则在定义域内（       ） A. 为增函数 B. 为减函数 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】C 【分析】 设幂函数，由题意，解得，所以幂函数，由二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】 解：设幂函数，因为幂函数的图像经过点， 所以，解得，所以幂函数， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以在定义域内有最小值， 故选：C. 3．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出集合，利用并集的定义可求得集合. 【详解】 因为集合，， 故. 故选：B. 4．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）（多选）若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 方程的两根是，1 C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】 根据给定条件，求出，再逐项判断即可得解. 【详解】 依题意，方程的两根是，1，B正确； 显然，即，，A正确； 不等式，即的解集为或，C错误； 不等式，即的解集是，D正确. 故选：ABD 5．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）不等式的解集为,则函数的图像大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】 根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且. 则有 ，变形可得 ， 故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和. 对照四个选项，只有C符合. 故选：C． 6．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）不等式的解集为（   ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 由题意转化为求方程的根即可求解. 【详解】 由题意有，方程有两个根，即和1， 则的解集为或， 即不等式的解集为或. 故选：C. 7．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）已知函数，给定两个实数，若能同时满足以下两个条件：①不等式恒成立，②方程有两个互为相反数的非零实数根.那么我们就称是一组“奇葩数”，则下列选项中符合“奇葩数”定义的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 条件① ：转化为恒成立，利用一元二次不等式恒成立的解法可得的关系式；条件② ：利用韦达定理可得的关系式，结合可得答案. 【详解】 因为，所以① 不等式恒成立， 等价于恒成立，所以； 因为方程有两个互为相反数的非零实数根， 所以 解得 ， 又，故， 综上： . 故选：B 8．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 令判别式即可. 【详解】 因为关于的不等式恒成立，所以，即. 故选：C. 9．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）“”是“函数在区间上是增函数”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据二次函数单调性和对称轴位置依次判断充分性和必要性即可. 【详解】 为开口方向向上，对称轴为的抛物线， 当时，对称轴，在上是增函数，充分性成立； 若在上是增函数，，解得：，必要性不成立； “”是“函数在区间上是增函数”的充分不必要条件. 故选：A. 10．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】 因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 11．（25-26学年高一上·陕西西安远东第一中学·期中）（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABC 【分析】 由题意得一元二次方程的两根为－1和2，由韦达定理对选项逐一分析即可. 【详解】 依题意，，且一元二次方程的两根为－1和2. 由韦达定理得 ，则，，. 故选：ABC. 12．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先解不等式，由题意可知集合是集合的真子集，即可求得参数范围. 【详解】 解不等式，可得， 若“”是“”的必要不充分条件， 可知集合是集合的真子集， 可得，即实数的取值范围是. 故选：B. 13．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）已知，关于的不等式的解集为，则（       ） A. 3 B.  C. 1 D.  【答案】A 【分析】 由题意得出相应一元二次方程的解，结合韦达定理求解可得． 【详解】 由题意的两根为和1， 所以，即， 所以， 故选：A． 14．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系判断可得. 【详解】 解不等式得，记， 记满足的元素组成的集合为， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 15．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为．若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定条件，求出常数和，再解一元二次不等式即可. 【详解】 由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可得， 乙的常数正确，由韦达定理可得， 所以原不等式为，解得， 所以解集为，故A正确. 故选：A. 16．（25-26学年高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】 当，则，在上显然不成立， 当，则或 ，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 17．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（       ） A.  B. 不等式的解集是 C.  D. 不等式的解集为 【答案】AB 【分析】 根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项，逐一求解. 【详解】 对于A，不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得或， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AB. 18．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】A 【分析】 根据一元二次不等式的解集确定参数值，再应用一元二次不等式的解法求解集即可. 【详解】 由题设是的两个根，则 ， 所以，可得， 所以不等式的解集为. 故选：A 19．（25-26学年高一上·青海海东第二中学·期中）（多选）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AB 【分析】 不等式在区间内有解，转化为，利用二次函数求最值即可得出的取值范围. 【详解】 不等式在区间内有解，仅需即可， 令，因为的对称轴为，，， 所以，所以. 故选：AB 20．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）对于区间，我们将的值称为该区间的长度．若关于的不等式有解，且解集的区间长度不超过，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先根据关于的不等式有解，则判别式大于0，得到的取值范围，再由区间长度不超过，得出，根据韦达定理代入再确定的取值范围，最后取交集即可. 【详解】 因为关于的不等式有解， 所以，解得或， 设方程的两个根分别为和，则，， 又因为解集区间长度不超过个单位长度，所以，所以， 即，所以，解得， 综上可得实数的取值范围是. 故选：B. 21．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 不等式的解集为 C.  D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】 根据已知是方程的两个根，且，结合根与系数关系及各项的描述判断正误即可. 【详解】 由题设，是方程的两个根，且，A错， 所以 ，故，C对， 由，即解集为，B对， 由，即，可得，故解集为，D对. 故选：BCD 22．（25-26学年高一上·陕西延安实验中学·期中）已知在区间上单调递减，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次函数的对称轴与给定区间的位置关系求的取值范围. 【详解】 二次函数对称轴为：，且开口向上， 在区间上单调递减， 所以. 故选：B 23．（25-26学年高一上·宁夏吴忠盐池中学·期中）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】A 【分析】 根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】 当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 24．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）不等式的解集为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分式不等式的解法，计算即可得答案. 【详解】 不等式，等价于， 解得，则解集为. 故答案为： 25．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）若关于x的不等式的解集是，则的解集为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由不等式的解集知方程的两个根，根据韦达定理求得的值，再解不等式即可求得解集. 【详解】 ∵不等式的解集是， ∴方程的两个根为 则. 由得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 26．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）已知命题，命题， （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式可得答案； （2）是假命题等价于真，然后利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案. (1) 小问详解： 由真，得：， 解得： 或， 故 的取值范围为：. (2) 小问详解： 是假命题等价于真. 若真， 当时，  需满足：， 即：  解得：或， 又因为， 所以；  当  时，函数为 ，恒成立； 当 时，二次函数开口向下，因此存在  使得 ，故不成立； 综上， 为真当且仅当 . 因此，实数  的取值范围为：. 27．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）当时，函数的值域为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 结合二次函数性质计算即可得. 【详解】 因为函数的图象开口向上，且对称轴为直线， 所以当时，函数取得最小值为； 当时，函数取得最大值为7； 故函数的值域为. 故答案为：. 28．（25-26学年高一上·陕西山阳中学·期中）已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用基本不等式求得的最小值，再解关于的一元二次不等式即可. 【详解】 由，故可得，则， 当且仅当，且，时，也即时取得等号，故的最小值为； 根据题意可得，即，，解得. 故实数的取值范围为：. 故答案为：. 29．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】由题意知，不等式对任意的恒成立，可得出，即可解出实数的取值范围. 【详解】由于命题“，”是假命题， 则命题“，”为真命题， ，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据特称命题的真假求参数，将问题转化为二次不等式恒成立问题是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 30．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）若不等式的解集为，则实数取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 当时，恒成立，符合题意；当时，由 即可求解. 【详解】 当时，恒成立，所以符合题意； 当时，若不等式的解集为， 则 ，可得：， 综上所述：实数取值范围是， 故答案为：. 31．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次函数以及一次函数的单调性即可求解. 【详解】 若，则为一次函数，在单调，不符合题意， 当时，为二次函数，对称轴为， 要使在区间上不单调，则， 解得， 综上可得， 故答案为： 32．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）若“，使得”是真命题，则实数的最小值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次函数的性质求解最值即可求解. 【详解】 由于在上的最小值为， 故命题，使得是真命题，则，即， 故答案为： 33．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）函数在上的最大值为　　　　　　. 【答案】4 【分析】 对函数解析式配方后，即可求出最大值. 【详解】 因为，， 所以时，取到最大值为4. 故答案为：4 34．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）已知关于的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可； （2）代入参数，解一元二次不等式即可. (1) 小问详解： 关于的不等式的解集为或， ∴，且和4是方程的两实数根， 由根与系数的关系知， ，解得； (2) 小问详解： 由（1）知，时， 不等式为， ∴不等式的解集是. 35．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），的值分别为，，或，.     （2）.      【分析】 （1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值； （2）由判别式可得． (1) 小问详解： 由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. (2) 小问详解： 当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 36．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中） 已知函数 . （1）若， 求的最大值； （2）若的最小值为， 求的解析式. 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）根据二次函数的开口方向及对称轴方程，结合自变量取值范围求最大值即可； （2）讨论三种情况，当时，当时， 当，分别根据二次函数的单调性求出最小值即可. (1) 小问详解： 当时，，对称轴为， 因为抛物线开口向上，, 所以当时，. (2) 小问详解： 当，即时，在上递增，； 当，即时，在上递减，； 当，即时，在上递减，在上递增，； 综上， 的最小值 . 37．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）记集合. （1）若，求集合； （2）若，求集合； 【答案】（1）     （2） 当时，. 当时，. 当时，.      【分析】 （1）求解一元二次不等式的解集即可. （2）先将集合中的不等式左边进行因式分解，然后分三种情况讨论即可. (1) 小问详解： 因为，所以集合， 所以. (2) 小问详解： 因为集合， 所以当时，，所以. 当时，. 当时，，. 38．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先由集合的运算得到，再分和不是空集两种情况由集合的包含关系解不等式组可得； （2）先由是的必要不充分条件得到是的真子集，再由集合包含关系解不等式组可得. (1) 小问详解： ∵． ∴． 又∵，． ∴当，即时，，符合； 当，即时，只需 ，解得． 综上，的取值范围为． (2) 小问详解： ∵是的必要不充分条件． ∴是的充分不必要条件，即是的真子集，， 故只需 ，解得． 综上，的取值范围是． 39．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）已知、且，设的最小值为． （1）求的值； （2）若关于的方程有两个正实根，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）分析可知方程有两个正实根，根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. (1) 小问详解： 因为、，且， 所以， 当且仅当 时，即当时，等号成立，故的最小值为，故. (2) 小问详解： 由（1）可知，方程有两个正实根，设这两个正根分别为、， 由题意可得 ，解得， 因此，实数的取值范围是. 40．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）已知是二次函数，且满足. （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式； （3）在（2）的条件下，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设，然后根据已知条件求出的值，进而得到函数解析式. （2）先化简的表达式，然后根据二次函数的性质和的范围求出其最小值的表达式. （3）先判断的单调性求出最大值，然后解不等式即可. (1) 小问详解： 设，由，可得. 由，得， 所以 ，解得 则. (2) 小问详解： 由题意得，则图象的对称轴为直线. 若，则在上单调递增，当时，的最小值为； 若，则当时，的最小值为； 若，则在上单调递减，当时，的最小值为. 故 . (3) 小问详解： 在上单调递减，因为， 所以，，， 解得或， 即的取值范围为. 41．（25-26学年高一上·陕西神木中学·期中）已知二次函数. （1）若关于的不等式的解集为或，求； （2）在（1）的条件下，求不等式的解集； （3）设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）结合题意并利用一元二次方程根与系数的关系求解即可. （2）结合题意将原不等式化为分式不等式，再求解解集即可. （3）对目标式合理变形，再结合韦达定理求解即可. (1) 小问详解： 因为不等式的解集为或， 所以，且 ，解得 ，故. (2) 小问详解： 因为， 所以不等式，可化为，即， 而，，可得，解得且， 则不等式的解集为或. (3) 小问详解： 由题意得关于的方程有两实数根， 则有两实数根， 所以，易知此式恒成立， 因为，由韦达定理，， 所以， 故. 42．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 【答案】当 时，的解集为；当 时，的解集为；当 时，的解集为. 【分析】 先根据已知二次不等式的解集得的两个根为，3，且，然后利用韦达定理求得，进而把不等式化为，分类讨论求解即可. 【详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以的两个根为，3，且， 所以由韦达定理有，所以， 所以不等式，即不等式，即不等式. 则，因为，所以， 当即 时，的解为； 当即 时，即，无解； 当即 时，的解为； 综上所述，当 时，的解集为； 当 时，的解集为； 当 时，的解集为. 43．（25-26学年高一上·陕西宝鸡渭滨中学·期中）已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求在上的值域； （3）求关于的不等式的解集（其中）． 【答案】（1）；     （2）；     （3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）利用换元法即可得到解析式； （2）根据二次函数单调性即可得到值域； （3）因式分解得，再对分类讨论即可. (1) 小问详解： 由题意，函数，令，所以， 则，所以. (2) 小问详解： 在上单调递减，在上单调递增， 则其值域为，即. (3) 小问详解： 由（1）知，即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 44．（25-26学年高一上·陕西镇安中学·期中）已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）设，若存在实数，使得，求的取值范围； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】 （1）设二次函数，利用恒等式求出可得结果； （2）求出，再解不等式即可得解； （3）将不等式恒成立转化为当，时，成立，然后分类讨论对称轴与区间的关系，求出最大值和最小值，代入，解不等式可得解. 【详解】 （1）因为，所以设二次函数， 因为，所以， 所以， 所以 ，解得， 所以. （2）因为， 所以， 所以，解得或. （3）因为对任意，都有恒成立， 所以当，时，， 因为的对称轴为， 所以当，即时，在上先递减后递增， 所以， 或， 当时，由， 得，又，所以， 当时，由， 得，又，所以， 当，即时，在上单调递减， ，， 所以，解得， 当时，在上单调递增， 所以，， 由，解得， 综上所述：实数的取值范围是. 45．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知函数． （1）若函数对恒成立，求实数的值； （2）若不等式的解集为，求实数的值； （3）求函数在上的最小值． 【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）利用列式求解即可； （2）根据一元二次不等式的解集得方程的根，再运用韦达定理可解； （3）分类讨论，结合二次函数性质求解最值. (1) 小问详解： 因为函数对恒成立， 所以，整理得，解得； (2) 小问详解： 不等式的解集为， 所以是方程的两根，运用韦达定理，得到 ，解得； (3) 小问详解： 由于， ① 当即时，在上单调递增， 所以. ② 当即时， 则， ③ 当即时，在上单调递减， 所以 . 则 . 46．（25-26学年高一上·陕西西安远东第一中学·期中）如图，在中，，，，分别为，，上一点，且，，四边形为矩形.    （1）求面积的最小值； （2）若的面积大于16，求长度的取值范围. 【答案】（1）12     （2）      【分析】 （1）设，则.可得三角形的面积，再利用基本不等式求出面积的取值范围； （2）的面积大于16，即，解一元二次不等式即可. (1) 小问详解： 设，则. 因为，所以， 所以， 所以的面积. 由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为12. (2) 小问详解： 由（1）得，即， 所以， 所以或， 所以长度的取值范围为. 47．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）已知定义在上的二次函数满足，且有最小值. （1）求函数的单调区间； （2）若，且在上的最小值为1，讨论在的最大值. 【答案】（1）在递增，递减；     （2）答案见解析      【分析】 （1）先判断函数的单调性，再根据“同增异减”判断复合函数的单调性. （2）分情况讨论二次函数在给定区间的最大值. (1) 小问详解： 因为定义在上的二次函数满足，且有最小值， 所以函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为函数在上单调递减， 由“同增异减”可知，在上递增，上递减. (2) 小问详解： 设，则，则，则. 因为的区间中点为， 当，即时，； 当，即时，. 48．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）某农场要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为1200m3，深为3m，其底面为长方形，其中.如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元. （1）若贮水池的总造价不超过78000元，求边长的范围； （2）怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】（1）     （2）当m，m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元.      【分析】 （1）设，利用总造价不超过78000元列不等式，由此求得的取值范围. （2）利用基本不等式求得总造价的最小值以及设计方案. (1) 小问详解： 设m，m，且， 则依题意可得，且，则，且， 则总造价， 则，即， 整理得，解得，又， 所以边长的范围是. (2) 小问详解： 结合（1）有， 且总造价， 当且仅当时，等号成立， 所以当m，m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元. 49．（25-26学年高一上·陕西榆林·期中）已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）在（1）的前提下，求不等式的解集； （3）设关于的方程有两个正实数根，且满足，求的最大值． 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据韦达定理即可求解， （2）将不等式转化为，问题等价于 ，求解， （3）根据韦达定理，将问题转化为，进而利用不等式即可求解. (1) 小问详解： 因为关于的不等式的解集为， 所以与2是方程的两个实数根，且， 由韦达定理可知 ，解得． (2) 小问详解： 由（1）知，所以不等式等价于， 即．即 ，解得且． 所以不等式的解集为． (3) 小问详解： 因为关于的方程有两个正实数根， 所以 ，又，也即，即， 结合，可得，解得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 50．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数． （1）求的值，并写出相应的函数的解析式； （2）对于（1）中的，设． (ⅰ)是否存在实数，使得在区间上的值域是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (ⅱ)已知点是曲线上的一点，直线与曲线交于两点，若不等式的解集为，求的面积． 【答案】（1），     （2）(ⅰ) 存在，或 ；(ⅱ)      【分析】 （1）利用偶函数的性质确定的值即可； （2）（i）先求出的表达式，然后讨论二次函数的对称轴位置再结合二次函数的单调性可得； （ii）利用一元二次不等式根与系数的关系求出的表达式，再解出点，然后过点作轴的垂线，直曲联立解出点，然后由三角形面积组合求出可得. (1) 小问详解： ∵幂函数在上是增函数． ∴，解得． 又∵．                    ∴． 当或时，，为非奇非偶函数，不符合题意； 当时，，其为偶函数，符合题意． 综上，，． (2) 小问详解： 由（1）可知，． (ⅰ)① 当，即时，在递减，此时、 ，无解． ② 当，即时，在递增，此时、，无解． ③ 当，即时，在递增、在递减，此时． 若，即时，故、，符合； 若，即时，故、，符合． 综上，或． (ⅱ) ∵的解集为． ∴和是方程的两个实数根，故，则，则． 过点作轴的垂线，设其与直线的交点为，则，故两点间的距离为． 由 可得，，解得． 不妨设，所以． 综上，的面积为． 51．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）已知函数． （1）若函数的最大值为0，求实数的值： （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数的值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）0或4     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）根据二次函数的性质列式求解即可； （2）根据二次函数的单调性即可求解； （3）根据根据对称轴与所给区间的关系，分类讨论函数的单调性，即可根据最值求解. (1) 小问详解： 函数的图象是抛物线，开口向下，对称轴是， 所以， 即，解得或， 的值为0或4. (2) 小问详解： 函数图象是抛物线，开口向下，对称轴是； 要使在上是单调递减的，应满足； 的取值范围是. (3) 小问详解： 当，即时，在上是减函数， 若存在实数，使在上的值域是， 则有 ，即 ，解得不存在； 当，即时，在上是增函数， 则有 ，即 ，解得； 当，即时，在上先增后减， 则在处取最大值，， 解得或6（不满足条件，舍去）； 综上，存在实数，使在上的值域恰好是. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $