专题05 指数函数与对数函数（期中真题汇编，陕晋青宁专用）高一数学上学期

专题05 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．B 2．D 3．D 4．AC 5．C 6．【答案】14 【分析】 两边平方求出答案. 【详解】 ，两边平方得， 即，解得. 故答案为：14 7．【答案】（1）84；（2）①79；② 【分析】 （1）根据指数幂运算求解即可； （2）① 根据平方关系可得，即可得结果；② 根据平方关系可得，即可得结果. 【详解】 （1）原式； （2）① 因为，， 所以； ② 因为， 且，所以. 8．【答案】（1）0；（2）；（3） 【分析】 （1）根据根式的性质计算即可； （2）根据指数幂的性质、运算法则直接求解即可； （3）利用指数幂的运算性质求解即可. 【详解】 （1）. （2）. （3），所以. 9．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据分数指数幂的运算性质及对数的运算法则运算即可． （2）根据根式与分数指数幂的关系转化，并结合指数幂的运算性质化简求值即可； 【详解】 （1）． （2）因为，所以； 10．【答案】④ 【分析】 根据幂的运算法则，结合指数函数的单调性判断它们的大小. 【详解】 因为，，，， 所以最大. 故答案为：④ 11．【答案】5 【分析】 根据根式和指数幂运算求解即可. 【详解】 由题意可得：. 故答案为：5. 12．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）（2）（3）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ， ，则， . 13．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】 （1）. （2）由，得，， 所以． 考点02 指数函数 1．A 2．BD 3．C 4．A 5．B 6．D 7．BCD 8．C 9．ACD 10．C 11．A 12．AC 13．【答案】 【分析】 利用奇函数的性质可求得的值. 【详解】 因为为定义在上的奇函数，当时，， 则，故. 故答案为：. 14．【答案】 【分析】 令即可求得. 【详解】 令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点. 故答案为： 15．【答案】 【分析】 根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】 函数且，令，解得， 所以， 所以函数且的图象必过定点. 故答案为： 16．【答案】 【分析】 利用复合函数的单调区间的求解方法，即“同增异减”，进行求解 【详解】 设，则， 因为在区间上为减函数，区间上为增函数，为减函数， 所以的增区间为. 故答案为： 17．【答案】 【分析】 由，将代入函数表达式，计算即可求解. 【详解】 对于函数， 令，得， 所以函数图象恒过定点. 故答案为： 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将函数解析式变形为，结合可求得实数的值； （2）令，，由可得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围. (1) 小问详解： 解：因为，， 当时，即当时，函数取得最小值，即，解得. (2) 小问详解： 解：令，则，由可得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，所以，，. 19．【答案】一 【分析】 利用指数函数的单调性和恒过定点，再结合图像的平移变换即可得到答案. 【详解】 函数y=ax（0＜a＜1）是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，函数f（x）=ax+b的图象由函数y=ax的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜-1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=ax+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=ax+b的图象过二、三、四象限． 故答案为:一． 【点睛】 本题考查指数函数的图象和性质，考查图象的平移变换． 20．【答案】 【分析】 根据分段函数定义，利用一次函数和指数函数单调性，限定端点处的取值列出不等式组即可解出的取值范围. 【详解】 函数 是上的增函数， 所以 ， 解得. 故答案为： 21．【答案】（1）或；     （2）.      【分析】 （1）解一元二次不等式、指数不等式求集合，再应用集合的并运算求集合； （2）由（1）得，再根据包含关系列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 或，， 或或； (2) 小问详解： 由（1）得， ，分、两种情况如下， 或， ，实数的取值范围为. 22．【答案】（1）     （2） 由（1）知，则函数是奇函数，证明如下： 显然函数定义域为全体实数，它关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数.      【分析】 （1）将代入函数解析式直接计算即可. （2）由函数奇偶性的定义判定并证明即可. (1) 小问详解： 因为，所以； (2) 小问详解： 略 23．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列式求解. 【详解】 由函数为上的减函数，得 ，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 24．【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是     （2）1     （3）0      【分析】 （1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （2）由（1）及题设知 ，即可求参数值； （3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可. (1) 小问详解： 当时，的定义域为R， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． (2) 小问详解： 令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有 ．解得，即有最大值3时，a为1． (3) 小问详解： 由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． 25．【答案】（1） 因为， 故．     （2）或．      【分析】 （1）分别将等式左右两边表示出来，化简即可证明； （2）先求出的解析式，然后根据底数的范围，分类讨论即可得出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 依题意， 当时，在区间上单调递减， 所以， 因此，解得或（舍去）； 当时，在区间上单调递增， 所以， 因此，解得或（舍去）． 故或． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据指数函数定义和单调性可解； （2）令，利用二次函数的单调性求解可得. (1) 小问详解： 是指数函数， ， 解得或， 又因为在其定义域内单调递增，所以， ； (2) 小问详解： ， ，令， ， ， ， 的值域为． 27．【答案】（1）、     （2）      【分析】 （1）由为偶函数，为奇函数列方程组后可解； （2）由指数函数的单调性求出的最小值，再由完全平方式结合真子集可得答案. (1) 小问详解： ∵为偶函数，为奇函数，① ． ∴② ． ∴由① ② 可解得，、． (2) 小问详解： ∵在上单调递增． ∴． ∴由可得，，即解得，故． 综上，集合的真子集为． 28．【答案】 【分析】 利用二次函数、指数函数的单调性，结合分段函数的单调性列不等式求参数范围. 【详解】 对于的图象开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对于在R上单调递减，而在R上为减函数， 综上， ，可得. 故答案为： 29．【答案】② ④ 【分析】 由，可求得的值，可得出，计算出萍蔓延月至月份增长的面积和月至月份增长的面积，可判断① 的正误；计算出浮萍蔓延个月后的面积和浮萍蔓延个月后的面积，可判断② 的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③ 的正误；利用指数运算可判断④ 的正误. 【详解】 由已知可得，则. 对于① ，浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米）， 浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），① 错； 对于② ，浮萍蔓延个月后的面积为（平方米）， 浮萍蔓延个月后的面积为（平方米）， 所以，浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的，② 对； 对于③ ，浮萍蔓延第至个月的增长率为， 所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③ 错； 对于④ ，浮萍蔓延到平方米所经过的时间、蔓延到平方米所经过的时间的和蔓延到平方米的时间分别为、、， 则，，，所以，， 所以，浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少，④ 对. 故答案为：② ④ . 考点03 对数 1．C 2．B 3．ACD 4．【答案】（1）6     （2）      【分析】 （1）利用指数幂的运算法则计算得解. （2）利用对数运算性质求解. (1) 小问详解： 原式. (2) 小问详解： 原式． 5．【答案】0 【分析】 利用对数及分数指数幂的运算性质即可得解. 【详解】 故答案为：0 6．【答案】8 【分析】 利用换底公式及对数的运算法则计算． 【详解】 ， 故答案为：8. 7．【答案】（1）；（2）0 【分析】 （1）利用指数幂的运算性质运算即可得解； （2）利用对数的运算性质运算即可得解. 【详解】 （1）因为， 所以； （2） . 考点04 对数函数 1．D 2．B 3．B 4．D 5．D 6．D 7．C 8．ACD 9．【答案】4 【分析】 根据给定条件，求出函数，进而求出函数值. 【详解】 函数，由函数是的反函数，得，所以. 故答案为：4 10．【答案】（1），定义域     （2）      (1) 小问详解： 的图象过点，可得： 解得： 则有： 定义域满足： 解得： 故的定义域为 (2) 小问详解： 因为 令，, 由二次函数的性质可知t在时为递减函数， 故当x=3时， 可得： 11．【答案】1. ；     2. 函数是奇函数，证明如下： ∵，， ， ∴函数是奇函数                 3. 当时，； 当时，.      【分析】 （1）根据对数的真数为正数列式可解得结果； （2）函数是奇函数，根据奇函数的定义证明即可； （3）不等式化为后，分类讨论底数，根据对数函数的单调性可解得结果. 【详解】 （1）要使函数数有意义，则必有 ，解得， 所以函数的定义域是 .      （2）略 （3）使，即 当时，有 ，解得， 当时，有 ，解得. 综上所述：当时，；当时，. 【点睛】 方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法： 1、有分式时：分母不为0； 2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0； 3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0； 4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0； 5、有指数函数形式时：底数和指数都含有，指数底数大于0且不等于1； 6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 12．【答案】且 【详解】 结合具体函数的定义域、对数型复合函数的定义域求法列出不等式求解即可. 【分析】 由题得 ， 解得且． 故答案为：且 . 考点05 函数的应用（二） 1．BD 2．D 3．B 4．D 5．【答案】（1） ；     （2）90台，1500万元.      【分析】 （1）考虑和两种情况，根据计算得到答案. （2）利用二次函数性质和均值不等式依次计算分段函数的最值，比较得到答案. (1) 小问详解： 当，时， ； 当，时，， 所以年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式是 . (2) 小问详解： 当，时，，当时，最大值为； 当，时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以当时，有最大值为. 6．【答案】22.83 【分析】 根据图象求出分段函数的解析式，根据题意列出不等式，求解相关不等式，可求出最佳时间段. 【详解】 由图可设当时，. 因为，所以，所以. 所以当时，. ，所以. 所以当时，. 所以 . 当时，由，得，所以，即. 当时，由，得，所以. 综上所述，. 所以，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有约分钟 . 故答案为：. 7．【答案】（1）18     （2），28800元     （3）      【分析】 （1）根据题意代入数值计算，即可求得答案； （2）表示出底面长，可得墙面面积的表达式，即可得的函数解析式，利用基本不等式即可求最小值； （3）由题意对任意的时，恒成立，可得对任意的时，恒成立，再结合基本不等式求出的最小值，即可得答案. (1) 小问详解： 当宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 故，解得； (2) 小问详解： 设底面长为y米，则，则墙面面积为， 故， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即报价的最小值为28800元. (3) 小问详解： 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即对任意的时，恒成立， 即对任意的时，恒成立， 而， 设，， 当且仅当，即时取等号，符合题意， 结合，可得. 8．【答案】 【分析】 画出函数的图象，利用数形结合思想，结合函数二次函数的对称性进行求解即可. 【详解】 函数 ，画出的图象如下图所示： 设，显然有， 不妨设，则，关于直线对称， ，且满足，即 ，则， 故的取值范围是. 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：本题的关键是利用数形结合思想，结合二次函数的对称性进行求解. 9．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）利用零点的定义列式求出值. （2）利用基本不等式求出最小值. （3）根据给定条件，分离参数并利用二次函数求出值域即可得解. (1) 小问详解： 由函数的一个零点是，得，所以. (2) 小问详解： 当时，，当且仅当时取等号， 所以函数的最小值为. (3) 小问详解： 对任意，， 而在上恒成立，因此， 所以实数的取值范围是. 10．【答案】 【分析】 根据分段函数性质，画出函数图像，判断函数符合题意时参数的范围，根据一元二次方程的性质，求出结果即可. 【详解】    如图所示，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为， 当时，，根据对勾函数性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上的最小值为， 因为，所以当存在四个不相等的实数，，，，使得， 即时，有四个解，分别为，，，， 可得的两个解为，，得的两个解为，， 当时，由韦达定理得， 可得的两个解为，，即的两个解为，， 当时，由韦达定理得， 可得，由，可得. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）已知，则（       ） A. 25 B. 5 C.  D.  2．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）如果为实数，且，那么一定有（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）已知，且，则的最小值是（       ）． A.  B.  C.  D. 4 4．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）（多选）下列说法中正确的有（   ） A. 命题，”则命题的否定是 B. 函数与函数表示同一个函数 C.  D. 函数在上是单调递减函数 5．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（       ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 6．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）若，则的值为　　　　　　　　　　. 7．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）（1）计算: ； （2）已知， 若，求下列各式的值： ①；② . 8．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）（1）; （2）; （3）已知， 求的值. 9．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）（1）求值：； （2）化简：． 10．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）在下列四个数：①，②，③，④中，最大的数是　　　　　　　　　　.（填写序号） 11．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）　　　　　. 12．（25-26学年高一上·山西太原·期中）计算下列各式 （1）； （2）； （3）已知，求的值. 13．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）若，则是的（     ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件 2．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）（多选）下列大小关系正确的是（） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）函数（，且）的图象恒过定点，该定点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）函数与的图象大致是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）已知函数，且对于任意的，都有，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）设，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）（多选）已知函数是定义在R上的减函数，则a的取值可以是 （       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）（多选）在科技、经济以及社会生活中经常需要用到无理数，并且在数学中也起着举足轻重的作用，它的值约等于，若命题“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）设函数且，表示不超过实数的最大整数，如，则函数的值域是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·山西太原·期中）设是定义在区间上的函数，如果满足条件，，都有，则称函数是区间上的凸函数.下列函数不是凸函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）（多选）已知是奇函数，则（       ） A.  B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 的解集为 13．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）已知为定义在上的奇函数，当时，，则　　　　　　　. 14．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为　　　　　. 15．（25-26学年高一上·山西太原·期中）函数且的图象必过定点　　　　　． 16．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）函数的增区间为　　　　　　　. 17．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）函数的图象恒过定点　　　　　. 18．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）已知函数，其中 （1）若的最小值为，求的值； （2）若存在，使成立，求的取值范围． 19．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）若0＜a＜1，b＜-1，则函数f（x）=ax+b的图象不经过第　　　象限． 20．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高一上·山西太原·期中）已知全集，，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 22．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）已知函数（），且. （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明函数的奇偶性. 23．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）已知函数，若为上的减函数，则的取值范围为　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若有最大值3，求的值； （3）若的值域是，求的值． 25．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）已知函数（，且）． （1）求证：； （2）设，若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值． 26．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）已知指数函数在其定义域内单调递增． （1）求函数的解析式； （2）设函数，当时．求函数的值域． 27．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）已知为偶函数，为奇函数，且． （1）求的解析式； （2）若集合恒成立，求集合的真子集． 28．（25-26学年高一上·山西太原·期中）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围　　　　　. 29．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积（单位：平方米）与时间（单位：月）的关系式为（且）图象如图所示. 则下列结论： ①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同； ②浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的； ③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是； ④浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少.    其中正确结论的序号是　　　　　． 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）（      ） A.  B.  C.  D. 2 2．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（     ）倍． A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）（多选）若实数满足，则的大小关系可能是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）计算： （1）； （2）． 5．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）求值：　　　　　　　　　　　. 7．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）（1）已知，求的值； （2）计算． 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）若函数，则的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）已知函数，则（     ） A. 是偶函数，且在上单调递减 B. 是奇函数，且在上单调递减 C. 是奇函数，且在上单调递增 D. 是非奇非偶函数，且在上单调递减 3．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）三个数之间的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）已知，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）函数的图像大致是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）设，则的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）（多选）在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（     ） A.      B.      C.      D.      9．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）已知函数，若函数是的反函数，则　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）已知函数（a>0且a≠1）的图象过点. （1）求a的值及的定义域； （2）求在上的最小值. 11．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）已知函数，（且） （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并予以证明； （3）求使的x取值范围. 12．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　　． 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）（多选）函数的零点为（     ） A.  B. 1 C.  D. 3 2．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（     ） A. 110 B. 112 C. 114 D. 116 3．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(利润与投资量单位：万元)；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（       ）万元 A. 5 B. 4.8 C. 4.6 D. 4 4．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）已知函数，若有三个不同的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）某科技企业决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本（万元），当年产量不足80台时，，当年产量不小于80台时，，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完. （1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式； （2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润. 6．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40分钟的远程网络学习中，注意力指数与时间之间的关系近似满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据专家研究发现，当注意力指数不低于80时，学习效率最佳．据此可以判断，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有　　　　　　　　　　　分钟．（参考数据：（结果保留小数点后两位有效数字） 7．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元，． （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求m的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求m的取值范围． 8．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）已知函数若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是　　　　　　. 9．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）已知函数 （1）若函数的一个零点是，求的值； （2）当时，求函数的最小值； （3）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围． 10．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）已知函数，若存在四个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是　　　　　 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）已知，则（       ） A. 25 B. 5 C.  D.  【答案】B 【分析】 由题知，，再根据计算求解． 【详解】 由，， 故选：B． 2．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）如果为实数，且，那么一定有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 借助指数运算法则计算可得，即得D符合；通过举反例排除A,B,C项可得. 【详解】 由，可得， 则，即， 即，故，故D符合题意； 对于A，若取，，则，故A不合题意； 对于B，若取，，则，故B不合题意； 对于C，若取，，则，故C不合题意. 故选：D. 3．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）已知，且，则的最小值是（       ）． A.  B.  C.  D. 4 【答案】D 【分析】 利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案. 【详解】 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 4．（25-26学年高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）（多选）下列说法中正确的有（   ） A. 命题，”则命题的否定是 B. 函数与函数表示同一个函数 C.  D. 函数在上是单调递减函数 【答案】AC 【分析】 由存在量词命题否定的结构可判断A，由函数定义域不同可判断B，由根式与分数指数幂的转换可判断C，举例可判断D. 【详解】 命题，”则命题的否定是，A正确， 函数的定义域为，函数的定义域为，不是同一函数，B错误； ，C正确， 取，得，取得，显然函数在上不是单调递减函数，D错误， 故选：AC 5．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（       ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】C 【分析】 设植物原来的长度为，由已知可得出，求出的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】 设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为. 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 故选：C. 6．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）若，则的值为　　　　　　　　　　. 【答案】14 【分析】 两边平方求出答案. 【详解】 ，两边平方得， 即，解得. 故答案为：14 7．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）（1）计算: ； （2）已知， 若，求下列各式的值： ①；② . 【答案】（1）84；（2）①79；② 【分析】 （1）根据指数幂运算求解即可； （2）① 根据平方关系可得，即可得结果；② 根据平方关系可得，即可得结果. 【详解】 （1）原式； （2）① 因为，， 所以； ② 因为， 且，所以. 8．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）（1）; （2）; （3）已知， 求的值. 【答案】（1）0；（2）；（3） 【分析】 （1）根据根式的性质计算即可； （2）根据指数幂的性质、运算法则直接求解即可； （3）利用指数幂的运算性质求解即可. 【详解】 （1）. （2）. （3），所以. 9．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）（1）求值：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据分数指数幂的运算性质及对数的运算法则运算即可． （2）根据根式与分数指数幂的关系转化，并结合指数幂的运算性质化简求值即可； 【详解】 （1）． （2）因为，所以； 10．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）在下列四个数：①，②，③，④中，最大的数是　　　　　　　　　　.（填写序号） 【答案】④ 【分析】 根据幂的运算法则，结合指数函数的单调性判断它们的大小. 【详解】 因为，，，， 所以最大. 故答案为：④ 11．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）　　　　　. 【答案】5 【分析】 根据根式和指数幂运算求解即可. 【详解】 由题意可得：. 故答案为：5. 12．（25-26学年高一上·山西太原·期中）计算下列各式 （1）； （2）； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）（2）（3）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ， ，则， . 13．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】 （1）. （2）由，得，， 所以． 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）若，则是的（     ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件 【答案】A 【分析】 利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即得. 【详解】 函数是R上的减函数，则. 故选：A 2．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）（多选）下列大小关系正确的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 A，C项同底，构造指数函数；B项同指数，构造幂函数；项不同底不同指，借助中间值“1”判断． 【详解】 A：函数在上单调递增，故，选项A错误； B：函数在上单调递增，故，选项B正确； C：函数在上单调递减，故，选项C错误； D：∵，∴，选项D正确． 故选：BD． 3．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）函数（，且）的图象恒过定点，该定点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据指数函数过定点的性质即可得到答案. 【详解】 当时，， 故的图象恒过定点. 故选：C. 4．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）函数与的图象大致是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由时，函数的单调性和判断. 【详解】 当时，函数单调递增，当时，， 故选：A 5．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）已知函数，且对于任意的，都有，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意可知，函数在上是增函数，则在每一段都是增函数且，由 ，即可解出实数的取值范围． 【详解】 依题可知函数 在上是增函数， ∴ ，解得． 故选：B． 6．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）设，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】 由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 7．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）（多选）已知函数是定义在R上的减函数，则a的取值可以是 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 根据减函数的性质，结合分段函数单调性的性质、指数函数的单调性、一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】 因为函数 是定义在R上的减函数， 所以 ， 因为，所以选项A不符合题意；显然选项B符合题意； 因为，所以选项，因此C符合题意； 因为，所以，因此选项D符合题意， 故选：BCD 8．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 依题意可得，再分和两种情况讨论，结合指数函数的值域，求出的值，从而得到. 【详解】 因为函数的图象过原点，所以，即， 因为， 当时，则， 此时不可能同时满足过原点且无限接近于直线，但不与该直线相交，故舍去； 当时，则， 因为函数图象无限接近于直线，但不与该直线相交，所以， 则，所以，满足题意； 综上可得， 故选：C. 9．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）（多选）在科技、经济以及社会生活中经常需要用到无理数，并且在数学中也起着举足轻重的作用，它的值约等于，若命题“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 根据原命题的否定为真命题将问题转化为恒成立问题，结合指数函数单调性和值域可求得，由此可得的取值范围，进而确定可能的取值. 【详解】 若原命题为假命题，则其否定：“，恒成立”为真命题； 当时，，，，， 则实数可能的值为，，. 故选：ACD. 10．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）设函数且，表示不超过实数的最大整数，如，则函数的值域是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由指数幂的运算性质化简得到，从而得到表达式，再利用函数新定义分与的大小讨论化简可得. 【详解】 ， 故选：C． 11．（25-26学年高一上·山西太原·期中）设是定义在区间上的函数，如果满足条件，，都有，则称函数是区间上的凸函数.下列函数不是凸函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据各函数解析式，应用作差法、基本不等式、指数的运算性质比较大小，即可判断. 【详解】 对于且，， 而， 当且仅当时取等号，故，A不是； 对于， ，当且仅当时取等号，B是， 对于， ，当且仅当时取等号，C是； 对于， ，当且仅当时取等号，D是. 故选：A 12．（25-26学年高一上·陕西西安高新第一中学·期中）（多选）已知是奇函数，则（       ） A.  B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】AC 【分析】 由恒成立即可求得；化简，由复合函数的单调性可判断出在上单调递减；利用指数函数的值域结合不等式性质可得的值域；利用函数在上单调递减可解不等式. 【详解】 因为是奇函数，定义域， 所以当时，恒成立， 即，A正确； 所以， 记， 当时，单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，B错误； 因为且， 所以且， 所以或 所以或 所以的值域为，C正确； 因为，且在上单调递减 所以等价于 又因为单调递减， 所以 所以的解集为.D错误. 故选：AC 13．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）已知为定义在上的奇函数，当时，，则　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用奇函数的性质可求得的值. 【详解】 因为为定义在上的奇函数，当时，， 则，故. 故答案为：. 14．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为　　　　　. 【答案】 【分析】 令即可求得. 【详解】 令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点. 故答案为： 15．（25-26学年高一上·山西太原·期中）函数且的图象必过定点　　　　　． 【答案】 【分析】 根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】 函数且，令，解得， 所以， 所以函数且的图象必过定点. 故答案为： 16．（25-26学年高一上·宁夏回族自治·期中）函数的增区间为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用复合函数的单调区间的求解方法，即“同增异减”，进行求解 【详解】 设，则， 因为在区间上为减函数，区间上为增函数，为减函数， 所以的增区间为. 故答案为： 17．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）函数的图象恒过定点　　　　　. 【答案】 【分析】 由，将代入函数表达式，计算即可求解. 【详解】 对于函数， 令，得， 所以函数图象恒过定点. 故答案为： 18．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）已知函数，其中 （1）若的最小值为，求的值； （2）若存在，使成立，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将函数解析式变形为，结合可求得实数的值； （2）令，，由可得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围. (1) 小问详解： 解：因为，， 当时，即当时，函数取得最小值，即，解得. (2) 小问详解： 解：令，则，由可得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，所以，，. 19．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）若0＜a＜1，b＜-1，则函数f（x）=ax+b的图象不经过第　　　象限． 【答案】一 【分析】 利用指数函数的单调性和恒过定点，再结合图像的平移变换即可得到答案. 【详解】 函数y=ax（0＜a＜1）是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，函数f（x）=ax+b的图象由函数y=ax的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜-1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=ax+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=ax+b的图象过二、三、四象限． 故答案为:一． 【点睛】 本题考查指数函数的图象和性质，考查图象的平移变换． 20．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分段函数定义，利用一次函数和指数函数单调性，限定端点处的取值列出不等式组即可解出的取值范围. 【详解】 函数 是上的增函数， 所以 ， 解得. 故答案为： 21．（25-26学年高一上·山西太原·期中）已知全集，，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；     （2）.      【分析】 （1）解一元二次不等式、指数不等式求集合，再应用集合的并运算求集合； （2）由（1）得，再根据包含关系列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 或，， 或或； (2) 小问详解： 由（1）得， ，分、两种情况如下， 或， ，实数的取值范围为. 22．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）已知函数（），且. （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明函数的奇偶性. 【答案】（1）     （2） 由（1）知，则函数是奇函数，证明如下： 显然函数定义域为全体实数，它关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数.      【分析】 （1）将代入函数解析式直接计算即可. （2）由函数奇偶性的定义判定并证明即可. (1) 小问详解： 因为，所以； (2) 小问详解： 略 23．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）已知函数，若为上的减函数，则的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列式求解. 【详解】 由函数为上的减函数，得 ，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 24．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若有最大值3，求的值； （3）若的值域是，求的值． 【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是     （2）1     （3）0      【分析】 （1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （2）由（1）及题设知 ，即可求参数值； （3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可. (1) 小问详解： 当时，的定义域为R， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． (2) 小问详解： 令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有 ．解得，即有最大值3时，a为1． (3) 小问详解： 由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． 25．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）已知函数（，且）． （1）求证：； （2）设，若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】（1） 因为， 故．     （2）或．      【分析】 （1）分别将等式左右两边表示出来，化简即可证明； （2）先求出的解析式，然后根据底数的范围，分类讨论即可得出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 依题意， 当时，在区间上单调递减， 所以， 因此，解得或（舍去）； 当时，在区间上单调递增， 所以， 因此，解得或（舍去）． 故或． 26．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）已知指数函数在其定义域内单调递增． （1）求函数的解析式； （2）设函数，当时．求函数的值域． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据指数函数定义和单调性可解； （2）令，利用二次函数的单调性求解可得. (1) 小问详解： 是指数函数， ， 解得或， 又因为在其定义域内单调递增，所以， ； (2) 小问详解： ， ，令， ， ， ， 的值域为． 27．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）已知为偶函数，为奇函数，且． （1）求的解析式； （2）若集合恒成立，求集合的真子集． 【答案】（1）、     （2）      【分析】 （1）由为偶函数，为奇函数列方程组后可解； （2）由指数函数的单调性求出的最小值，再由完全平方式结合真子集可得答案. (1) 小问详解： ∵为偶函数，为奇函数，① ． ∴② ． ∴由① ② 可解得，、． (2) 小问详解： ∵在上单调递增． ∴． ∴由可得，，即解得，故． 综上，集合的真子集为． 28．（25-26学年高一上·山西太原·期中）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围　　　　　. 【答案】 【分析】 利用二次函数、指数函数的单调性，结合分段函数的单调性列不等式求参数范围. 【详解】 对于的图象开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对于在R上单调递减，而在R上为减函数， 综上， ，可得. 故答案为： 29．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区银川第二中学·期中）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积（单位：平方米）与时间（单位：月）的关系式为（且）图象如图所示. 则下列结论： ①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同； ②浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的； ③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是； ④浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少.    其中正确结论的序号是　　　　　． 【答案】② ④ 【分析】 由，可求得的值，可得出，计算出萍蔓延月至月份增长的面积和月至月份增长的面积，可判断① 的正误；计算出浮萍蔓延个月后的面积和浮萍蔓延个月后的面积，可判断② 的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③ 的正误；利用指数运算可判断④ 的正误. 【详解】 由已知可得，则. 对于① ，浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米）， 浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），① 错； 对于② ，浮萍蔓延个月后的面积为（平方米）， 浮萍蔓延个月后的面积为（平方米）， 所以，浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的，② 对； 对于③ ，浮萍蔓延第至个月的增长率为， 所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③ 错； 对于④ ，浮萍蔓延到平方米所经过的时间、蔓延到平方米所经过的时间的和蔓延到平方米的时间分别为、、， 则，，，所以，， 所以，浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少，④ 对. 故答案为：② ④ . 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）（      ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 根据对数的运算性质即可求解． 【详解】 根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 2．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（     ）倍． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 通过里氏震级的计算公式求出不同震级对应的最大振幅，然后计算两者的倍数关系.计算时运用对数的性质和公式即可 【详解】 由里氏震级的计算公式，可得，进一步变形得到，从而得出. 当时，根据，可得地震的最大振幅为. 当时，同样根据，可得地震的最大振幅为. . 故选：B 3．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）（多选）若实数满足，则的大小关系可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 通过化简可得，，，利用数形结合思想，将题意转化为函数，，的图象与直线的交点纵坐标，由图象即可得结果. 【详解】 设，所以，， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数，，的图象， 方程的根分别是函数，，的图象与直线的交点纵坐标， 如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，， 故选：ACD． 4．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6     （2）      【分析】 （1）利用指数幂的运算法则计算得解. （2）利用对数运算性质求解. (1) 小问详解： 原式. (2) 小问详解： 原式． 5．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）　　　　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 利用对数及分数指数幂的运算性质即可得解. 【详解】 故答案为：0 6．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）求值：　　　　　　　　　　　. 【答案】8 【分析】 利用换底公式及对数的运算法则计算． 【详解】 ， 故答案为：8. 7．（25-26学年高一上·青海西宁青海师范大学附属实验中学·期中）（1）已知，求的值； （2）计算． 【答案】（1）；（2）0 【分析】 （1）利用指数幂的运算性质运算即可得解； （2）利用对数的运算性质运算即可得解. 【详解】 （1）因为， 所以； （2） . 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）若函数，则的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求出定义域. 【详解】 由函数，得 ，解得， 所以的定义域为. 故选：D 2．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）已知函数，则（     ） A. 是偶函数，且在上单调递减 B. 是奇函数，且在上单调递减 C. 是奇函数，且在上单调递增 D. 是非奇非偶函数，且在上单调递减 【答案】B 【分析】 根据给定的函数，利用奇偶性定义及单调函数的运算判断得解. 【详解】 函数的定义域为， ，因此函数是奇函数， 函数分别是上的减函数、增函数， 则函数在上单调递减. 故选：B 3．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）三个数之间的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得. 【详解】 依题意，，所以. 故选：B 4．（25-26学年高一上·陕西咸阳实验中学·期中）已知，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】 化简两个不等式，根据不等关系得出答案. 【详解】 因为，所以； 因为，所以， 当，，上式成立，此时； 当，，由可得，即； 当，，此时不满足； 当，，由可得，即； 综上可得，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）函数的图像大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由可得，即可排除BC，再由可得，即可排除A，从而得到结果. 【详解】 当时，，，则，排除选项B和C； 当时，，排除选项A，选项D符合题意. 故选：D 6．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）设，则的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】 因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 7．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，求出，再利用奇偶性及在的单调性判断即得. 【详解】 由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 8．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）（多选）在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】ACD 【分析】 利用反函数性质判断A，利用函数的单调性求解参数范围发现矛盾判断B，结合代入法判断对称性求解C，D即可. 【详解】 对于A，由反函数性质得指数函数与对数函数互为反函数， 则其图象关于直线对称，故A正确； 对于B，对于，由对数函数性质得， 对于，当时，函数变为，当时，函数变为， 由图象可得在上单调递增，在上单调递减， 得到 ，解得，产生矛盾，故B错误， 对于C，令，， 由换底公式得， 设点在上，则在上， 可得与关于轴对称，故C正确， 对于D，如图，作出的图象，    由反函数性质得函数与函数的图象关于直线对称， 而，设点在上，则在上， 得到函数与函数的图象关于轴对称，故D正确． 故选：ACD 9．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）已知函数，若函数是的反函数，则　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据给定条件，求出函数，进而求出函数值. 【详解】 函数，由函数是的反函数，得，所以. 故答案为：4 10．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）已知函数（a>0且a≠1）的图象过点. （1）求a的值及的定义域； （2）求在上的最小值. 【答案】（1），定义域     （2）      (1) 小问详解： 的图象过点，可得： 解得： 则有： 定义域满足： 解得： 故的定义域为 (2) 小问详解： 因为 令，, 由二次函数的性质可知t在时为递减函数， 故当x=3时， 可得： 11．（25-26学年高一上·山西阳泉第一中学校·期中）已知函数，（且） （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并予以证明； （3）求使的x取值范围. 【答案】1. ；     2. 函数是奇函数，证明如下： ∵，， ， ∴函数是奇函数                 3. 当时，； 当时，.      【分析】 （1）根据对数的真数为正数列式可解得结果； （2）函数是奇函数，根据奇函数的定义证明即可； （3）不等式化为后，分类讨论底数，根据对数函数的单调性可解得结果. 【详解】 （1）要使函数数有意义，则必有 ，解得， 所以函数的定义域是 .      （2）略 （3）使，即 当时，有 ，解得， 当时，有 ，解得. 综上所述：当时，；当时，. 【点睛】 方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法： 1、有分式时：分母不为0； 2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0； 3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0； 4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0； 5、有指数函数形式时：底数和指数都含有，指数底数大于0且不等于1； 6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 12．（25-26学年高一上·宁夏六盘山高级中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　　． 【答案】且 【详解】 结合具体函数的定义域、对数型复合函数的定义域求法列出不等式求解即可. 【分析】 由题得 ， 解得且． 故答案为：且 . 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·山西大同第一中学校·期中）（多选）函数的零点为（     ） A.  B. 1 C.  D. 3 【答案】BD 【分析】 由方程直接求函数零点即可. 【详解】 由，得或. 所以函数的零点为1和3. 故选：BD 2．（25-26学年高一上·宁夏灵武第一中学·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（     ） A. 110 B. 112 C. 114 D. 116 【答案】D 【分析】 根据题目函数关系结合基本不等式求解最值即可得答案. 【详解】 由题知， 当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116. 故选：D. 3．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(利润与投资量单位：万元)；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（       ）万元 A. 5 B. 4.8 C. 4.6 D. 4 【答案】B 【分析】 根据题干给出的函数模型和已知数据求出函数解析式，设产品投入万元，求出利润的表达式，然后利用换元法转化为二次函数，求其最大值. 【详解】 设，由图知当时，，所以，所以， 设，由图知当时，，所以，， 设产品投入万元，则产品投入万元， 则企业利润， 令，则， 则， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以，产品投入万元，产品投入万元，才能使公司获得最大利润，最大利润为万元. 故选：B. 4．（25-26学年高一上·陕西师范大学附属中学·期中）已知函数，若有三个不同的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将有三个不同的实数根，转化为与图像交点问题即可求得. 【详解】 因为有三个不同的实数根， 所以与图像有三个交点， 作出图像如上图，则与其有三个交点， 需. 故选：D 5．（25-26学年高一上·宁夏自治区银川唐徕中学·期中）某科技企业决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本（万元），当年产量不足80台时，，当年产量不小于80台时，，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完. （1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式； （2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润. 【答案】（1） ；     （2）90台，1500万元.      【分析】 （1）考虑和两种情况，根据计算得到答案. （2）利用二次函数性质和均值不等式依次计算分段函数的最值，比较得到答案. (1) 小问详解： 当，时， ； 当，时，， 所以年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式是 . (2) 小问详解： 当，时，，当时，最大值为； 当，时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以当时，有最大值为. 6．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40分钟的远程网络学习中，注意力指数与时间之间的关系近似满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据专家研究发现，当注意力指数不低于80时，学习效率最佳．据此可以判断，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有　　　　　　　　　　　分钟．（参考数据：（结果保留小数点后两位有效数字） 【答案】22.83 【分析】 根据图象求出分段函数的解析式，根据题意列出不等式，求解相关不等式，可求出最佳时间段. 【详解】 由图可设当时，. 因为，所以，所以. 所以当时，. ，所以. 所以当时，. 所以 . 当时，由，得，所以，即. 当时，由，得，所以. 综上所述，. 所以，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有约分钟 . 故答案为：. 7．（25-26学年高一上·陕西西安中学·期中）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元，． （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求m的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求m的取值范围． 【答案】（1）18     （2），28800元     （3）      【分析】 （1）根据题意代入数值计算，即可求得答案； （2）表示出底面长，可得墙面面积的表达式，即可得的函数解析式，利用基本不等式即可求最小值； （3）由题意对任意的时，恒成立，可得对任意的时，恒成立，再结合基本不等式求出的最小值，即可得答案. (1) 小问详解： 当宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 故，解得； (2) 小问详解： 设底面长为y米，则，则墙面面积为， 故， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即报价的最小值为28800元. (3) 小问详解： 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即对任意的时，恒成立， 即对任意的时，恒成立， 而， 设，， 当且仅当，即时取等号，符合题意， 结合，可得. 8．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）已知函数若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 画出函数的图象，利用数形结合思想，结合函数二次函数的对称性进行求解即可. 【详解】 函数 ，画出的图象如下图所示： 设，显然有， 不妨设，则，关于直线对称， ，且满足，即 ，则， 故的取值范围是. 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：本题的关键是利用数形结合思想，结合二次函数的对称性进行求解. 9．（25-26学年高一上·山西大学附属中学校·期中）已知函数 （1）若函数的一个零点是，求的值； （2）当时，求函数的最小值； （3）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）利用零点的定义列式求出值. （2）利用基本不等式求出最小值. （3）根据给定条件，分离参数并利用二次函数求出值域即可得解. (1) 小问详解： 由函数的一个零点是，得，所以. (2) 小问详解： 当时，，当且仅当时取等号， 所以函数的最小值为. (3) 小问详解： 对任意，， 而在上恒成立，因此， 所以实数的取值范围是. 10．（25-26学年高一上·宁夏回族自治区固原第一中学·期中）已知函数，若存在四个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是　　　　　 【答案】 【分析】 根据分段函数性质，画出函数图像，判断函数符合题意时参数的范围，根据一元二次方程的性质，求出结果即可. 【详解】    如图所示，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为， 当时，，根据对勾函数性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上的最小值为， 因为，所以当存在四个不相等的实数，，，，使得， 即时，有四个解，分别为，，，， 可得的两个解为，，得的两个解为，， 当时，由韦达定理得， 可得的两个解为，，即的两个解为，， 当时，由韦达定理得， 可得，由，可得. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $