专题05 指数函数与对数函数（期中真题汇编，江西专用）高一数学上学期

专题05 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．D 2．AD 3．【答案】 【分析】 求出，即可得解. 【详解】 因为，所以， 所以. 故答案为： 4．【答案】（1）3     （2）.      【分析】 （1）利用指数运算法则及二次根式的意义求解. （2）利用已知及指数运算法则求得，再将目标式用表示即可. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 由，得，则， 所以. 5．【答案】 【分析】 根据根式、指数的运算性质直接求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 6．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用指数幂运算计算得解. 【详解】 . 故答案为： 7．【答案】（1）5；（2）；（3） 【分析】 （1）结合根式与分数指数幂的互化，利用指数幂的运算求解即可； （2）利用指数幂的运算求解即可； （3）结合完全平方和与完全平方差公式，利用指数幂的运算求解即可. 【详解】 （1）原式.                  （2）.                  （3）由，可得， 所以. 8．【答案】（1）； （2）若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 【分析】 （1）根据指数运算性质求解即可； （2）分为和两种情况，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】 （1）原式； （2）关于的不等式， 因为， 可知方程有两个不同的根或， 若，则，解得； 若，则，解得或； 综上所述：若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 9．【答案】（1）     （2）100      【分析】 （1）应用分数指数幂与根式转化，再结合指数运算律计算求解. （2）应用指数运算律计算求值. 【详解】 （1）原式. （2）原式. 考点02 指数函数 1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．C 7．A 8．AD 9．B 10．ACD 11．【答案】 【分析】 由指数函数图象的性质令可求； 【详解】 当时，， 所以必过的定点P的坐标为. 故答案为：. 12．【答案】 【分析】 根据指数函数的性质进行求解即可. 【详解】 因为， 所以， 因此，又因为， 所以函数的值域为. 13．【答案】 【分析】 化简解析式得出，结合指数函数的值域及不等式的性质可求得函数的值域. 【详解】 ，因为，则，所以 ，即， 所以，故函数的值域为. 故答案为： 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）令，结合二次函数及指数函数性质求值域； （2）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及题设求参数值. (1) 小问详解： 当时，，. 令，因为，则， 所以，其中，根据二次函数性质可知： 当时，；时，，即， 所以的值域为. (2) 小问详解： 令，因为，则， 则，开口向上且对称轴为， 当时，在上递增，此时，解得； 当时，在上递减，在上递增， 所以，可得，不合题意舍去； 当时，在上递减，所以， 可得，不合题意； 综上，. 15．【答案】（1）     （2），在上单调递减，在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）结合指数函数的单调性不解； （2）由函数图象性质求得函数解析式，然后由复合函数单调性得结论． （3）利用函数式化简不等式，结合，可对不等式进行分离参数，转化为求新函数的最大值得参数范围． (1) 小问详解： 若，，则， ∵，单调递减，可得， ∴的值域为. (2) 小问详解： ∵该函数图像过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. ∴且.所以 ∴， 是减函数，在上递减，在上递增，， ∴在上单调递减，在上单调递增. (3) 小问详解： 若，，， ∴ 当时，即为，即. ∵， ∴对于恒成立． ∵，∴， 故m的取值范围是． 【点睛】 方法点睛：对于恒（能）成立问题，常常采用参变分离的方法，再结合最值分析求解. 16．【答案】（1） 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为．     （2）      【分析】 （1）对不等式变形得到，结合恒成立，得到，分与两种情况，求出不等式的解集； （2）根据函数单调性解不等式，得到，分与两种情况，参变分离结合基本不等式求出实数n的取值范围. (1) 小问详解： 可化为，即， 因为恒成立，故． 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． (2) 小问详解： 当时，因为，是减函数， 所以是减函数，又因为， 得，即．当时，不等式恒成立，， 当时，不等式两边同除以得：， 因为，当且仅当时等号成立，所以． 综上，实数n的取值范围是． 考点03 对数 1．A 2．【答案】（1）4     （2）      【分析】 根据对数运算与指数运算，可得答案. (1) 小问详解： 原式． (2) 小问详解： 原式 3．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用平方关系求出、的值，代入值计算可得所求代数式的值； （2）利用指数幂、对数的运算性质、对数恒等式化简可得所求代数式的值. 【详解】 （1）因为，所以，故， 所以，可得， 故； （2）原式 . 4．【答案】 【详解】 解方程，得或， 当时，方程为，成立， 当时，，舍去； 综上，. 5．【答案】（1）；（2）存在，4. 【分析】 利用对数运算法则进行计算，求出答案． 【详解】 （1）解法一： 原式． 解法二：原式． （2）由题意，， 所以． ， 当且仅当 （即）时取等号． 综上，存在正数，满足条件，且的最小值为4． 6．【答案】（1）0；     （2）1.      【分析】 （1）根据对数的运算法则、性质及换底公式化简求值即可； （2）取对数后，利用换底公式及对数运算法则化简求值. (1) 小问详解： 原式． (2) 小问详解： 依题意有， ， . 考点04 对数函数 1．A 2．【答案】（1） 是上凸函数，理由如下： 任意取 当且仅当时等号成立， 而 即，当且仅当时等号成立， 故是上凸函数.     （2） 由（1）知是上凸函数， 对任意恒有， 即 又在上增函数 （*） 当且仅当时等号成立 将不等式（*）中替换成 所以.     （3）      【分析】 （1）是上凸函数，根据对数的运算及均值不等式，结合新定义得证； （2）由（1）即对数的单调性可得，利用替换成即可得证； （3）由，利用（2）中不等式可求最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 利用不等式（*）可得, 当且仅当，即时等号成立, 所以当时，取得最小值. 【点睛】 关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 考点05 函数的应用（二） 1．D 2．【答案】（1）选择     （2）2025      【分析】 （1）描点，根据图象选择； （2）由待定系数法求得参数，列指数不等式结合对数运算求解. (1) 小问详解： 由题意得 画出散点图如下： x 1 2 3 4 … 13 y 0.5 0.8 1.2 1.5 … 80 由图易得，5个点在一条曲线上，应选择 (2) 小问详解： 由题意得， ，则 则，即年. 预计到2025年，全球产生的数据量将达到2020年的倍. 3．【答案】（1）     （2）两台机器人各工作4小时，每天安装电机的总数量最多，最多为48台      【分析】 （1）分、分别得到不等式，解得即可； （2）依题意两台机器人每天安装电机的数量之和，且，分，与、两种情况讨论，分别求出最大值. (1) 小问详解： 当时，由， 得，解得，所以.                               当时，由，满足条件.                  综上可得，的取值范围是. (2) 小问详解： 两台机器人每天安装电机的数量之和，且. 分两种情况： ① 两台机器人的工作时长都小于小时，即， 此时，           由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为台.                               ② 一台机器人的工作时长小于6小时，另一台不小于6小时，不妨取，则， 此时，           该函数图象的对称轴为，则当时，单调递增， 所以.                        因为， 所以两台机器人各工作小时时，每天安装电机的总数量最多，最多为48台. 4．【答案】（1）工厂和仓库之间的距离与运费、仓储费之间的关系式分别为，且；     （2）工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，为12万元.      【分析】 （1）根据已知，设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，则，应用待定系数法求参数，即可得； （2）根据已知及（1）有运费与仓储费之和且，应用基本不等式求其最小值，即可得结论. (1) 小问详解： 设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元， 依题意，设， 时，，则 ，解得 ， ，且； (2) 小问详解： 设运费与仓储费之和为万元，由（1）且， 因，由， 当且仅当，即时，取得最小值，最小为12万元， 所以工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，为12万元. 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，分点在上运动、点在上运动、点在上运动三种情况讨论求解即可； （2）结合（1）分类讨论易得，进而求解即可. (1) 小问详解： 当点在上运动时，， 过点作，交于点，连接．    在中，，， 而，则， 同理，当点在上运动时，， ， 当点在上运动时，， ． 故 (2) 小问详解： 当时，的图象关于直线对称， ，； 当时，的图象关于直线对称， ，； 当时，的图象关于直线对称， ，； 因为关于的方程有6个互不相等的实数根， 所以，解得，故的取值范围为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·江西赣州市25校联考·期中）（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 2．（25-26学年高一上·江西赣州市25校联考·期中）（多选）下列等式中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）已知，则的值是　　　　　　　　　　. 4．（25-26学年高一上·江西宜春中学·期中）求值： （1）计算：； （2）已知，求的值． 5．（25-26学年高一上·江西景德镇一中·期中）　　　　　　　　. 6．（25-26学年高一上·江西吉安第一中学·期中）　　　　　　． 7．（25-26学年高一上·江西部分学校·期中）（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值. 8．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）（1）计算； （2）解关于的不等式：. 9．（25-26学年高一上·江西南昌第一中学·期中）计算或化简． （1）化简：； （2）计算：； 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中），这三个数的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）函数的值域为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·江西景德镇一中·期中）已知函数（且）的定义域和值域都是，则（     ） A.  B.  C.  D. 或 4．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）已知命题p：函数为减函数，命题q：，则p是q的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（25-26学年高一上·江西南昌大学附属学校·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．（25-26学年高一上·江西南昌第一中学·期中）已知，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·江西部分学校·期中）已知，，，则，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·江西景德镇一中·期中）（多选）如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·江西景德镇一中·期中）已知函数，则（       ） A. 在上单调递增且值域为 B. 在上单调递减且值域为 C. 在上单调递增且值域为 D. 在上单调递减且值域为 10．（25-26学年高一上·江西部分学校·期中）（多选）已知函数且，则（     ） A. 的图象过定点 B. 在上单调递增 C. 为偶函数 D. 当时，函数的最小值是 11．（25-26学年高一上·江西南昌大学附属学校·期中）已知函数（且），则必过的定点P的坐标为　　　　　　　　． 12．（25-26学年高一·江西南昌第五高级中学·期中）函数的值域为　　　　　　． 13．（25-26学年高一上·江西南昌第二中学·期中）已知函数，则函数的值域为　　　　　　； 14．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）已知函数，. （1）当时，求的值域； （2）若的最小值为，求k的值. 15．（25-26学年高一上·江西南昌大学附属学校·期中）已知函数. （1）若，求函数的值域； （2）若该函数图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，求函数的解析式并写出其单调性（写出即可，不用证明）； （3）若，且对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 16．（25-26学年高一上·江西南昌第一中学·期中）已知（，且）． （1）解关于x的不等式； （2）若，且对，，求实数n的取值范围． 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·江西鹰潭部分学校·期中）设，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·江西南昌第二中学·期中）计算： （1）； （2）． 3．（25-26学年高一上·江西鹰潭部分学校·期中）（1）已知，计算：； （2）求的值. 4．（25-26学年高一·江西南昌第五高级中学·期中）已知，则　　　　　　． 5．（25-26学年高一·江西南昌第五高级中学·期中）（1）计算； （2）是否存在这样的正数，，使得？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由． 6．（25-26学年高一上·江西景德镇一中·期中）求值 （1） （2）设，求的值． 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·江西南昌第二中学·期中）已知，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·江西鹰潭部分学校·期中）若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的上凸函数；若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的下凸函数. 上述不等式可以推广到取区间的任意个点，即若是上凸函数，则对任意，恒有（当且仅当时等号成立）；若是下凸函数，则对任意恒有（当且仅当时等号成立）. 应用以上知识解决下列问题： （1）判断函数在是上凸函数还是下凸函数（说明理由）； （2）利用（1）的结果证明：对任意，都有，当且仅当时等号成立； （3）设，其中且，则当，求最小值. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·江西南昌大学附属学校·期中）已知函数 ，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（             ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·江西南昌第二中学·期中）人类已进入大数据时代. 目前，数据量已经从级别跃升到乃至EB乃至级别. 国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.5 0.8 1.2 1.5 … 80 （1）设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球产生的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，从函数和中选择一个，应选择哪一个更合适?（不用说明理由） （2）根据（1）中所选的函数模型，若选取2008年和2020年的数据量来估计该模型中的参数，预计到哪一年，全球产生的数据量将达到2020年的倍?（注：） x 1 2 3 4 … 13 y 0.5 0.8 1.2 1.5 … 80 3．（25-26学年高一上·江西部分学校·期中）某新能源汽车生产制造工厂使用智能机器人操作电机安装工序，一台机器人每天安装电机的数量（台）与工作时长（时）的关系式为 （1）若要求一台机器人每天安装电机不低于24台，求的取值范围； （2）为提高生产效率，工厂在每条生产线上安装两台机器人轮流工作，两台机器人每天工作的时长分别为小时和小时，且每天的总工作时长为8小时，如何分配这两台机器人的工作时长，才能使这两台机器人每天安装电机的总数量最多，最多为多少台？ 4．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）某厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比例，仓储费与运费与工厂和仓库之间的距离成反比例，当工厂和仓库之间的距离为6km时，运费为18万元，仓储费为2万元. （1）分别求出工厂和仓库之间的距离与运费、仓储费之间的关系式； （2）当工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元. 5．（25-26学年高一上·江西多校·期中）已知点是边长为（）的等边三角形的重心，动点从点出发，沿着三边逆时针运动回到点，记点运动的路程为（），以为半径的圆的面积为．    （1）求的解析式； （2）已知关于的方程有6个互不相等的实数根，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·江西赣州市25校联考·期中）（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】D 【分析】 根据指数运算律计算求解. 【详解】 . 故选：D 2．（25-26学年高一上·江西赣州市25校联考·期中）（多选）下列等式中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 根据指数幂的运算法则及性质计算可得. 【详解】 对于A：，故A正确； 对于B：，，所以，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：AD 3．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）已知，则的值是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出，即可得解. 【详解】 因为，所以， 所以. 故答案为： 4．（25-26学年高一上·江西宜春中学·期中）求值： （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）3     （2）.      【分析】 （1）利用指数运算法则及二次根式的意义求解. （2）利用已知及指数运算法则求得，再将目标式用表示即可. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 由，得，则， 所以. 5．（25-26学年高一上·江西景德镇一中·期中）　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据根式、指数的运算性质直接求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 6．（25-26学年高一上·江西吉安第一中学·期中）　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用指数幂运算计算得解. 【详解】 . 故答案为： 7．（25-26学年高一上·江西部分学校·期中）（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）5；（2）；（3） 【分析】 （1）结合根式与分数指数幂的互化，利用指数幂的运算求解即可； （2）利用指数幂的运算求解即可； （3）结合完全平方和与完全平方差公式，利用指数幂的运算求解即可. 【详解】 （1）原式.                  （2）.                  （3）由，可得， 所以. 8．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）（1）计算； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）； （2）若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 【分析】 （1）根据指数运算性质求解即可； （2）分为和两种情况，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】 （1）原式； （2）关于的不等式， 因为， 可知方程有两个不同的根或， 若，则，解得； 若，则，解得或； 综上所述：若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 9．（25-26学年高一上·江西南昌第一中学·期中）计算或化简． （1）化简：； （2）计算：； 【答案】（1）     （2）100      【分析】 （1）应用分数指数幂与根式转化，再结合指数运算律计算求解. （2）应用指数运算律计算求值. 【详解】 （1）原式. （2）原式. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中），这三个数的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】 ， 故选：B 2．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）函数的值域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 令，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】 依题意， 令，则， 因为单调递减，且 所以， 所以. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·江西景德镇一中·期中）已知函数（且）的定义域和值域都是，则（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】B 【分析】 根据指数函数的单调性判断值域，列方程，解方程即可. 【详解】 由已知（且）， 当时，函数单调递减， 所以 ， 解得 ，则； 当时，函数单调递增， 所以 ，方程无解； 综上所述， 故选：B. 4．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）已知命题p：函数为减函数，命题q：，则p是q的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 先求对应的参数的范围，再结合两个范围之间的关系可得两者之间的条件关系. 【详解】 因为为减函数，则即， 而为的真子集，故是的充分不必要条件， 故选：C. 5．（25-26学年高一上·江西南昌大学附属学校·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据充分必要条件的定义、幂函数的性质以及指数函数的性质判断即可. 【详解】 由可得，所以，故充分性成立； 由可得，取，则不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（25-26学年高一上·江西南昌第一中学·期中）已知，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用指数函数和幂函数的单调性，再结合条件，即可求解. 【详解】 令，易知在上单调递减，又，所以， 令，易知在区间上单调递增，又，所以，故， 故选：C. 7．（25-26学年高一上·江西部分学校·期中）已知，，，则，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用指数函数的单调性求解. 【详解】 因为，，， 所以. 故选：A 8．（25-26学年高一上·江西景德镇一中·期中）（多选）如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 首先确定点点的坐标，利用平行四边形对边平行且相等的性质 ，建立关于 的等式，利用平方差公式化简得到 ，再通过均值不等式可得 ，最后分析选项得出结论. 【详解】 依题意，当 时， 在 图象下方， 所以在 图象上， 在 图象上， 所以 ， ， ， 又因为四边形为平行四边形， 所以 ，即 ，即 ， 又因为 ，所以 ， . 故A正确， B错误. 由均值不等式 ，化简可得 ，当 时等号成立， 由于 ，故 ， D正确， C错误. 故选：AD. 9．（25-26学年高一上·江西景德镇一中·期中）已知函数，则（       ） A. 在上单调递增且值域为 B. 在上单调递减且值域为 C. 在上单调递增且值域为 D. 在上单调递减且值域为 【答案】B 【分析】 利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【详解】 令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B 10．（25-26学年高一上·江西部分学校·期中）（多选）已知函数且，则（     ） A. 的图象过定点 B. 在上单调递增 C. 为偶函数 D. 当时，函数的最小值是 【答案】ACD 【分析】 代入计算即可得A；利用指数函数单调性可得B；利用偶函数定义判断可得C；利用函数单调性可得D. 【详解】 A：，故的图象过定点，故A正确； B：当时，在上单调递减，则在上单调递减， 当时，在上单调递增，则在上单调递增， 故在上的单调性与的取值有关，故B错误； C：， 由，则，， 故为偶函数，故C正确； D：当时，，令， 则在上单调递增，故， 即当时，函数的最小值是，故D正确. 故选：ACD 11．（25-26学年高一上·江西南昌大学附属学校·期中）已知函数（且），则必过的定点P的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由指数函数图象的性质令可求； 【详解】 当时，， 所以必过的定点P的坐标为. 故答案为：. 12．（25-26学年高一·江西南昌第五高级中学·期中）函数的值域为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据指数函数的性质进行求解即可. 【详解】 因为， 所以， 因此，又因为， 所以函数的值域为. 13．（25-26学年高一上·江西南昌第二中学·期中）已知函数，则函数的值域为　　　　　　； 【答案】 【分析】 化简解析式得出，结合指数函数的值域及不等式的性质可求得函数的值域. 【详解】 ，因为，则，所以 ，即， 所以，故函数的值域为. 故答案为： 14．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）已知函数，. （1）当时，求的值域； （2）若的最小值为，求k的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）令，结合二次函数及指数函数性质求值域； （2）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及题设求参数值. (1) 小问详解： 当时，，. 令，因为，则， 所以，其中，根据二次函数性质可知： 当时，；时，，即， 所以的值域为. (2) 小问详解： 令，因为，则， 则，开口向上且对称轴为， 当时，在上递增，此时，解得； 当时，在上递减，在上递增， 所以，可得，不合题意舍去； 当时，在上递减，所以， 可得，不合题意； 综上，. 15．（25-26学年高一上·江西南昌大学附属学校·期中）已知函数. （1）若，求函数的值域； （2）若该函数图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，求函数的解析式并写出其单调性（写出即可，不用证明）； （3）若，且对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2），在上单调递减，在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）结合指数函数的单调性不解； （2）由函数图象性质求得函数解析式，然后由复合函数单调性得结论． （3）利用函数式化简不等式，结合，可对不等式进行分离参数，转化为求新函数的最大值得参数范围． (1) 小问详解： 若，，则， ∵，单调递减，可得， ∴的值域为. (2) 小问详解： ∵该函数图像过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. ∴且.所以 ∴， 是减函数，在上递减，在上递增，， ∴在上单调递减，在上单调递增. (3) 小问详解： 若，，， ∴ 当时，即为，即. ∵， ∴对于恒成立． ∵，∴， 故m的取值范围是． 【点睛】 方法点睛：对于恒（能）成立问题，常常采用参变分离的方法，再结合最值分析求解. 16．（25-26学年高一上·江西南昌第一中学·期中）已知（，且）． （1）解关于x的不等式； （2）若，且对，，求实数n的取值范围． 【答案】（1） 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为．     （2）      【分析】 （1）对不等式变形得到，结合恒成立，得到，分与两种情况，求出不等式的解集； （2）根据函数单调性解不等式，得到，分与两种情况，参变分离结合基本不等式求出实数n的取值范围. (1) 小问详解： 可化为，即， 因为恒成立，故． 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． (2) 小问详解： 当时，因为，是减函数， 所以是减函数，又因为， 得，即．当时，不等式恒成立，， 当时，不等式两边同除以得：， 因为，当且仅当时等号成立，所以． 综上，实数n的取值范围是． 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·江西鹰潭部分学校·期中）设，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据对数函数单调性计算判断，再结合基本不等式及对数运算判断. 【详解】 ，则， 因为，所以且不能取等号， 所以， 所以，所以， 所以. 故选：A. 2．（25-26学年高一上·江西南昌第二中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4     （2）      【分析】 根据对数运算与指数运算，可得答案. (1) 小问详解： 原式． (2) 小问详解： 原式 3．（25-26学年高一上·江西鹰潭部分学校·期中）（1）已知，计算：； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用平方关系求出、的值，代入值计算可得所求代数式的值； （2）利用指数幂、对数的运算性质、对数恒等式化简可得所求代数式的值. 【详解】 （1）因为，所以，故， 所以，可得， 故； （2）原式 . 4．（25-26学年高一·江西南昌第五高级中学·期中）已知，则　　　　　　． 【答案】 【详解】 解方程，得或， 当时，方程为，成立， 当时，，舍去； 综上，. 5．（25-26学年高一·江西南昌第五高级中学·期中）（1）计算； （2）是否存在这样的正数，，使得？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，4. 【分析】 利用对数运算法则进行计算，求出答案． 【详解】 （1）解法一： 原式． 解法二：原式． （2）由题意，， 所以． ， 当且仅当 （即）时取等号． 综上，存在正数，满足条件，且的最小值为4． 6．（25-26学年高一上·江西景德镇一中·期中）求值 （1） （2）设，求的值． 【答案】（1）0；     （2）1.      【分析】 （1）根据对数的运算法则、性质及换底公式化简求值即可； （2）取对数后，利用换底公式及对数运算法则化简求值. (1) 小问详解： 原式． (2) 小问详解： 依题意有， ， . 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·江西南昌第二中学·期中）已知，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小. 【详解】 由对数函数的图像与性质可得 ， ， ， 所以， 故选：A. 2．（25-26学年高一上·江西鹰潭部分学校·期中）若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的上凸函数；若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的下凸函数. 上述不等式可以推广到取区间的任意个点，即若是上凸函数，则对任意，恒有（当且仅当时等号成立）；若是下凸函数，则对任意恒有（当且仅当时等号成立）. 应用以上知识解决下列问题： （1）判断函数在是上凸函数还是下凸函数（说明理由）； （2）利用（1）的结果证明：对任意，都有，当且仅当时等号成立； （3）设，其中且，则当，求最小值. 【答案】（1） 是上凸函数，理由如下： 任意取 当且仅当时等号成立， 而 即，当且仅当时等号成立， 故是上凸函数.     （2） 由（1）知是上凸函数， 对任意恒有， 即 又在上增函数 （*） 当且仅当时等号成立 将不等式（*）中替换成 所以.     （3）      【分析】 （1）是上凸函数，根据对数的运算及均值不等式，结合新定义得证； （2）由（1）即对数的单调性可得，利用替换成即可得证； （3）由，利用（2）中不等式可求最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 利用不等式（*）可得, 当且仅当，即时等号成立, 所以当时，取得最小值. 【点睛】 关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·江西南昌大学附属学校·期中）已知函数 ，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（             ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 画出图形，得到，，，进一步将所求转换为二次函数的值域即可. 【详解】 如图所示，    ， 设，， 则，，是方程，即的两个正根，所以， 令，解得或， 所以，由题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 2．（25-26学年高一上·江西南昌第二中学·期中）人类已进入大数据时代. 目前，数据量已经从级别跃升到乃至EB乃至级别. 国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.5 0.8 1.2 1.5 … 80 （1）设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球产生的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，从函数和中选择一个，应选择哪一个更合适?（不用说明理由） （2）根据（1）中所选的函数模型，若选取2008年和2020年的数据量来估计该模型中的参数，预计到哪一年，全球产生的数据量将达到2020年的倍?（注：） 【答案】（1）选择     （2）2025      【分析】 （1）描点，根据图象选择； （2）由待定系数法求得参数，列指数不等式结合对数运算求解. (1) 小问详解： 由题意得 画出散点图如下： x 1 2 3 4 … 13 y 0.5 0.8 1.2 1.5 … 80 由图易得，5个点在一条曲线上，应选择 (2) 小问详解： 由题意得， ，则 则，即年. 预计到2025年，全球产生的数据量将达到2020年的倍. 3．（25-26学年高一上·江西部分学校·期中）某新能源汽车生产制造工厂使用智能机器人操作电机安装工序，一台机器人每天安装电机的数量（台）与工作时长（时）的关系式为 （1）若要求一台机器人每天安装电机不低于24台，求的取值范围； （2）为提高生产效率，工厂在每条生产线上安装两台机器人轮流工作，两台机器人每天工作的时长分别为小时和小时，且每天的总工作时长为8小时，如何分配这两台机器人的工作时长，才能使这两台机器人每天安装电机的总数量最多，最多为多少台？ 【答案】（1）     （2）两台机器人各工作4小时，每天安装电机的总数量最多，最多为48台      【分析】 （1）分、分别得到不等式，解得即可； （2）依题意两台机器人每天安装电机的数量之和，且，分，与、两种情况讨论，分别求出最大值. (1) 小问详解： 当时，由， 得，解得，所以.                               当时，由，满足条件.                  综上可得，的取值范围是. (2) 小问详解： 两台机器人每天安装电机的数量之和，且. 分两种情况： ① 两台机器人的工作时长都小于小时，即， 此时，           由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为台.                               ② 一台机器人的工作时长小于6小时，另一台不小于6小时，不妨取，则， 此时，           该函数图象的对称轴为，则当时，单调递增， 所以.                        因为， 所以两台机器人各工作小时时，每天安装电机的总数量最多，最多为48台. 4．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）某厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比例，仓储费与运费与工厂和仓库之间的距离成反比例，当工厂和仓库之间的距离为6km时，运费为18万元，仓储费为2万元. （1）分别求出工厂和仓库之间的距离与运费、仓储费之间的关系式； （2）当工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元. 【答案】（1）工厂和仓库之间的距离与运费、仓储费之间的关系式分别为，且；     （2）工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，为12万元.      【分析】 （1）根据已知，设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，则，应用待定系数法求参数，即可得； （2）根据已知及（1）有运费与仓储费之和且，应用基本不等式求其最小值，即可得结论. (1) 小问详解： 设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元， 依题意，设， 时，，则 ，解得 ， ，且； (2) 小问详解： 设运费与仓储费之和为万元，由（1）且， 因，由， 当且仅当，即时，取得最小值，最小为12万元， 所以工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，为12万元. 5．（25-26学年高一上·江西多校·期中）已知点是边长为（）的等边三角形的重心，动点从点出发，沿着三边逆时针运动回到点，记点运动的路程为（），以为半径的圆的面积为．    （1）求的解析式； （2）已知关于的方程有6个互不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，分点在上运动、点在上运动、点在上运动三种情况讨论求解即可； （2）结合（1）分类讨论易得，进而求解即可. (1) 小问详解： 当点在上运动时，， 过点作，交于点，连接．    在中，，， 而，则， 同理，当点在上运动时，， ， 当点在上运动时，， ． 故 (2) 小问详解： 当时，的图象关于直线对称， ，； 当时，的图象关于直线对称， ，； 当时，的图象关于直线对称， ，； 因为关于的方程有6个互不相等的实数根， 所以，解得，故的取值范围为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $