精品解析：江西南昌市南昌县莲塘第一中学2025-2026学年第一学期期中考试高一数学试卷

莲塘一中2025-2026学年第一学期期中考试高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定为命题“，”. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分数指数幂、根式先化简，再比较大小即可. 【详解】 ， 根据实数的大小关系可得，即． 故选：C 3. 设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ② 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，且定义域为，值域为，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系， 所以②正确； 对于③中，函数的定义域为集合，值域不是集合，所以③不正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：D. 4. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最小值为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性定义得到充分性，举反例得到不必要，得到答案. 【详解】若函数在上单调递增，则函数在上的最小值为，充分性； 函数在上的最小值为，则不一定有函数在上单调递增，如在上不单调，最小值为，不必要. 故选：A. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抽象函数的定义域求法计算即可. 【详解】因为的定义域为，则，即, 所以的定义域为， 又，所以函数的定义域为. 故选：B 6. 如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A. 是奇数且 B. 是偶数，且 C. 是偶数，是奇数，且 D. 是偶数，是奇数，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的图象性质判断得解. 【详解】观察图象得，函数在上单调递增，则， 当时，，则，BC错误； 函数的图象关于轴对称，则是偶数，是奇数，A错误，D正确. 故选：D 7. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性直接可得. 【详解】因为对定义域内任意实数，都有成立，所以在定义域上单调递增. 当时，，所以的图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 函数要在上单调递增，得. 当时，，函数要在上单调递增，得. 根据分段函数的单调性可得，，解得. 故选：A. 8. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，如，，，令，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 函数的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】代入具体值即可判断选项A，B；对于C选项字母的代入需要进行拆分化解，得到其周期性；对于D选项在一个周期的范围内分析出其值域即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，, 即，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由C知，为周期函数，且周期为1，不妨设， 当时，， 当时，，此时值域为， 当时，， 故当时，有，故函数的值域为，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，且，利用作差法比较大小结合不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，故，故A正确； 对于B，因为，所以，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，故，故C正确； 对于D，因为，所以，故，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的解析式是 B. 若不等式对任意的恒成立，则或 C. 若关于的不等式的解集为空集，则 D. 若存在使得不等式成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用配凑法求解；对BC，利用一元二次不等式解集的特征求解；对D，问题转化为存在，使得，利用函数单调性求出最值，得解. 【详解】对于A，由，所以，故A正确； 对于B，不等式对任意恒成立，即恒成立， 所以，得，故B错误； 对于C，不等式的解集为空集，即解集为空集， 所以，得，故C正确； 对于D，若存在使得不等式成立，即， 等价于存在，使得， 又易知在上单调递增，故， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求得，再画出函数的图象，结合图象求出的范围即可判断得解. 【详解】由，解得；由，得或， 则函数的图象（实线部分）如图，其中， 当时，由，得；由，得， 当或，由，得或；由，得， 图象中点 观察图象知，当或时，函数在上的值域为， 当时，，当时，， 因此的取值范围是，选项ABC满足题意，D不满足题意. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数是偶函数，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】由偶函数的定义知，则，定义域为， 此时，满足题设，所以. 13. 已知，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】将已知条件两边同时平方可得，将平方可求﹒ 【详解】， ，即， 所以， ，即 所以， ∴﹒ 14. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】灵活运用“1”结合两次基本不等式计算即可. 【详解】由已知 . 当且仅当时取得等号. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合，集合． （1）求 （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件得，再利用集合间的关系，分和两种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 由，即，解得， 则，所以或，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，又，都有”是真命题， 则，又， 当，即时，，满足题意， 当，即时，则，解得，所以， 综上，实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为或，求关于的不等式的解集； （2）当，时，函数在上的最小值为6，求实数的值. 【答案】（1） （2）或3． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系，可得韦达定理，即可将不等式变形为求解； （2）先由对称轴结合最值得出或，进而分类讨论这两种情况，结合二次函数的单调性得出实数的值． 【小问1详解】 由于的解集为或，故和是一元二次方程的两个根，故，解得， 故变形为， 解得， 故不等式的解为 【小问2详解】 当，时，，则对称轴方程为，由于，故或，即或， 当时，最小值，解得， 当时，最小值，解得， 综上：或3． 17. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 【解析】 【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，万元， 当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （3）记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值. 【答案】（1） （2）由（1）知，则在上单调递减， 下面用定义证明： 任取且， 则 ， 因为，故，，所以，即， 所以在上单调递减. （3）1或 【解析】 【分析】（1）根据求出的值，再代入检验即可； （2）由（1）可得，再根据单调性的定义证明即可； （3）结合（2）得在和单调递减，在单调递增，显然，再分、两种情况讨论，分别求出函数的最值，从而得到方程，解得即可. 【小问1详解】 因是上的奇函数，故， 当时，，，满足题意. 综上知，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于是上的奇函数，结合（2）得在和单调递减，在单调递增， 显然， 当时，在和上单调递减，在上单调递增， 故，， 于是有，解得，舍去； 当时，在单调递增，， ，于是有，整理得， 即，解得或或（舍去）. 综上，实数的值为或. 19. 设函数，其中. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若时，有解，求实数的取值范围； （3）若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先由得，接着根据函数在上的单调性求出函数的最值即可得解. （2）先由在上有解得，接着根据函数的单调性研究其最值情况得，从而得解. （3）先由任意的，都有得对任意有，接着分类讨论研究函数在闭区间的最值即可依据计算求解实数的取值范围. 【小问1详解】 若，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 所以函数在区间上的值域为. 【小问2详解】 因为时，有解，即在上有解， 所以在上有解，所以， 令，任取， 则 ， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减，所以， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为对任意的，，都有， 所以对任意，有， 因为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则当即时，函数在上单调递增， 所以，解得，不符； 当即时，函数在上单调递减， 所以，解得，不符； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，又， 所以，解得， 又，所以； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，又， 所以，解得， 又，所以； 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：“对任意的，都有，求实数的取值范围”问题的关键是将问题等价转化为“对任意有，求实数的取值范围”，再分类讨论研究一元二次函数在闭区间的最值即可依据计算求解实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莲塘一中2025-2026学年第一学期期中考试高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ② 4. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最小值为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A. 是奇数且 B. 是偶数，且 C. 是偶数，是奇数，且 D. 是偶数，是奇数，且 7. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，如，，，令，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 函数的值域为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的解析式是 B. 若不等式对任意的恒成立，则或 C. 若关于的不等式的解集为空集，则 D. 若存在使得不等式成立，则 11. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数是偶函数，则_____________． 13. 已知，则__________． 14. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合，集合． （1）求 （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为或，求关于的不等式的解集； （2）当，时，函数在上的最小值为6，求实数的值. 17. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （3）记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值. 19. 设函数，其中. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若时，有解，求实数的取值范围； （3）若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $