第2章 有理数及其运算 回顾与思考(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年七年级上册数学（北师大版·新教材）

初中数学 指南针•课堂优化·七年级数学BS 第二章有理数及其运算 回顾与思考 CONTENTS 景 知识回顾 典例探究 3 课后演练 知识回顾 1. 和 统称为有理数. 2.两个具有 的量，我们可以用 正数和负数表示. 3.所有的有理数都可以用数轴上的点表 示，利用数轴可以比较两个有理数的大小，右边 的数总比左边的数 4.数的绝对值是表示数轴上点到原点的 ,正数的绝对值是正数，0的绝对值是0，负 数的绝对值是 5.互为相反数的两个数，其和为；互为 倒数的两个数，其积为；乘积为一1的两个 数互为负倒数 典例探究 考点① 有理数的概念及分类 【例1】 把下列各数分别填入相应的大括 号里： -2.5,3.14,-2,+72,-0.6,0.618,2号， 0,-0.101,元. (1)正数集合：{ …}; (2)非负整数集合：{ …}; (3)整数集合：{ …} (4)负分数集合：{ 【解析】 分数都能化为小数，但小数不能 都化为分数.只有有限小数和无限循环小数才 能化为分数，因此分数包括有限小数和无限循 环小数，但不包括无限不循环小数.如π，3.212 212221…(每相邻两个1之间2的个数依次增 加1)不能化为分数. 【答案】 22 (1)正数集合：{3.14，+72,0.618，岁，元，…。 (2)非负整数集合：{十72,0，…. (3)整数集合：{-2，+72,0，…}. (4)负分数集合：{-2.5，-0.6，-0.101，…}. 跟踪试练 1.下列关于“0”的说法正确的有 ①0是正数与负数的分界； ②0℃是一个确定的温度； ③0为正数； ④不存在既不是正数也不是负数的数 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.已知下列各数：7，-9.25，号-301，号 -3.502.57-11.25,-3-3,- 7 把它们填入相应的集合内 正整数集合：{…； 正分数集合：{ …} 负整数集合：{ …} 负分数集合：{ …； 正数集合：{ …}; 负数集合：{ …}. 考点② 利用数轴比较有理数的大小 【例2】分别比较下列两组数中各数的大 小，并按照由小到大的顺序用“<”把它们连接 起来 (1)-8,12,0; (2)3,-1.5,-3202.5,-4 【解析】 利用数轴比较有理数大小的步 骤：(1)画数轴：画出数轴并描出相应各点；(2) 定顺序：确定各点在数轴上的左右顺序；(3)定 大小：根据数轴上表示的数右边的总比左边的 大确定大小关系. 【答案】(1)-8<0<12. (2)将3，-1.5，-32,0,2.5，-4表示在 数轴上，如图所示： 2.53 8-2-1 2 则由小到大的排列顺序为一4<一3)< -1.5<0<2.5<3. 跟踪试练 3.下列说法错误的是 () A.在数轴上表示的两个数，左边的数总比右 边的数大 B.正数大于负数 C.正数都大于0 D.负数都小于0 4.将有理数-5,0.4,0，-24，-4号表示在数 轴上，并用“<”连接各数. 考点3 利用绝对值比较有理数的大小 【例3】 比较下列有理数的大小 1)07与70：2)日与g: (3)-（-6)与-1-61：0-8与0. 【解析】(1)(2)根据“两个负数，绝对值大 的反而小”进行比较；(3)先化简符号，再比较大 小；(4)根据“正数大于0，负数小于0”进行比较. 【答案】(1)-0.7=0.7，-70=70， 因为0.7<70，所以-0.7>-70. 2引名·引-号 64 56 因为器←。即<号所以-8>- 8 7 (3)-(-6)=6,-|-6=-6, 因为6>-6， 所以-（-6)>--6. (④)根据“负数小于0”如一8 <0. 跟踪试练 5.下列两数比较大小，正确的是 A.-（-1)<-(+2)B.- <- 3 21 c.0>1-3 D.- 1 2 <- 3 6在数轴上表示数：-3，-1,0,1，-1.5，然 后把它们用“<”连接起来. 考点④ 有理数的加减混合运算 【例4】计算： (1)12+7-3-12-6+3-7-9+5: (2)5.4-(-10.3)+(-9.5)-(+7.4)- (-2.7)+3.5; (3)3.76-39-5号+68-4.76-2号+ 4(-24)+(-23)+(-5) 【解析】( 1)12与-12,7与-7，-3与3 分别互为相反数，可把它们分别结合在一起计 算，这样比较简便； (2)先把算式写成省略加号和括号的和的 形式，再把两数相加（或相减），和为整数的两个 数结合在一起进行计算； (3)仔细观察各个加数，可以发现两个小数 的和是一1，两个整数的和是29，三个分数的和 通分后计算也不困难，所以把整数、分数和小数 分别分为一组； (4)式子中是几个带分数的加减运算，可先 把各数的整数部分与分数部分分离，重新组合 再加减 【答案】(1)原式=(12-12)+(7-7)+ (3-3)+(-6-9)+5=0+0+0-15+5= -10. (2)原式=5.4+(+10.3)+(-9.5)+(- 7.4)+(+2.7)+3.5=5.4+10.3-9.5-7.4+ 2.7+3.5=(5.4-7.4)+(10.3+2.7)+(-9.5 +3.5)=-2+13-6=5. (3)原式=(3.76-4.76)+(-39+68)+ (-5}-26+12)-1+29-6=2. (0原式=-2-4-2-号-5 1 6 (-2 -2-5)+{-}日6）=-9-= -9 41 跟踪试练 7.计算： (1)23-17-(-7)+(-16): (2)(-26.54)-(-6.4)+18.54-6.4; (3(-0.5)-(-31)+275-(+72): (4号--12-(+2）-(-275. 解：(1)23-17-(-7)+(-16) =23-17+7一16=(23+7)+(-17-16) =30一33=-3. (2)(-26.54)-(-6.4)+18.54-6.4 =(-26.54+18.54)+(6.4-6.4) =-8+0=-8. (3)(-0.5)-(-34)+2.75-(+72) =(-0.5-72)+(3}+2.75) =-8十6=一2. (4号--1-(+24)-(-2.75) 号-1}-2}+2.75 =号+(-13-2}+2.75 9-1=- 考点⑤ 灵活运用乘法运算律简化运算 【例5】计算：1)9X(-5): 14 (2)-7×(-2号)+19×(-2号)-5 ×(-2). 【解析】 第4)小题可以充9 变形为 (10-是)，然后用分配律解答；第(2)小题是三 个积的和，如果分别求出这三个积，计算量比较 大，注意到每一个乘积中都有因数一号，于是逆 用分配律，把一号提出来可以简化运算 【答案】 1)原式=(10-)×(-5)=10×(-5) +(-)×(-5)=-50+=-481 (2)原式=(2号)×(-7+19-5) 22×7=-22. 跟踪试练 8计算：（日-+2）×(-48). 考点⑥ 涉及多个有理数除法的运算 【例6】 计算：133÷(-2号)÷(-1)： (2)(-3.5)÷8÷(-号) 【解析】(1)33÷(-2号)÷(-1） =9÷(-)÷(-)=9×(-)× (-)=+(g×8×)-1. (2)(-3.5)÷8÷(-等)-(-2)×9× (-)=+(3×9×)-3. 点拨：做含有带分数、小数的乘除运算时，一般 先把带分数化成假分数，小数化成分数再进行 乘除运算 跟踪试练 9.计算： (1)(-3)÷(-8)÷(-0.25): (2(-81):是×号÷(-16： (3)(-6.5)×(-2)÷(-号)÷(-5). 考点⑦ 有理数偶次幂的非负性的运用 【例7】 已知a、b满足(a一1)2+(b-2)4=0, 则a= ,6 【解析】 有理数的偶次幂一定是一个非负 数，所以(a一1)2和(b一2)4是非负数，由于几个 非负数的和为0，所以这几个数都为0，即a一1 =0,b-2=0,解得a=1,b=2. 【答案】1；2 跟踪试练 10.若(x-1)4+|y+2=0,则-(x+y)2的值 为 11.若|x+2|+(y-3)2=0,则x-y= 考点8 科学记数法 【例8】 把下列各数用科学记数法表示 出来 1)400320:(2)-537.46:(3)700000. 【解析】用科学记数法表示一个负数时， 先用科学记数法表示出这个负数的相反数，再 添加负号即可. 【答案】(1)400320=4.0032×105. (2)-537.46=-5.3746×102. (3)700000=7×105. 跟踪试练 12.国家会展中心（上海）位于上海虹桥商务区 核心区，总建筑面积近150万平方米，是目前 世界上面积最大的建筑单体和会展综合体. 150万用科学记数法表示为 课后演练 【基础过关】 1.下列计算正确的是 () A.-3+2=-5 B.(-3)×(-5)=-15 C.-(-2)=-4 D.-(-3)2=-9 2.下列各数：-22，一4，(-1)227，-0， 十（一3）中，负有理数有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列各对数中，不是互为相反数的是 A.一(-3)与--3B.-32与(-3)2 C.-3.2×103与3200D.(-2)3与-23 4.如图，数轴上A、B两点分别对应数a、b,则下 列结论正确的是 () A b-1 0 A.a+6>1 B.ab-0 C.a-b>0 D.a-b>0 5.计算下列各式，值最小的是 () A.2×0+1-9 B.2+0×1-9 C.2+0-1×9 D.2+0+1-9 6.我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿 的人工智能围棋赛事冠军，这得益于所建立的大 数据中心的规模和数据存储量.其中一个大数据 中心能储存580亿本书籍，数据58000000000 用科学记数法表示为 7.(1)A是数轴上一点，一只蚂蚁从A出发爬了 4个单位长度到了原点，则点A所表示的数是 (2)数轴上点A,B,M表示的数分别是a,2a, 9,点M为线段AB的中点，则a的值为 8.绝对值大于3且不大于5的整数有个，它 们的和等于 9.已知(1一m)2+n+2=0,则m+n= 若a2=9,b3=-8,则a十b= 10.现规定一种新运算：a⑧6=ab-号(a2-66),其 中a,b为有理数，则38(-合)的值为 11.(1)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各 数：-5,25，-20,32 (2)用“<”号把各数从小到大连起来； (3)请找出其中的一对相反数， 12.计算： (1)-127-(1-0.5)×号×[6-(-4)1. 2-×号片 【能力提升】 13.化简b-a+b-c+a-c= 14.四个各不相等的整数a,b,c,d,它们的积 abcd=25,那么a+b+c十d=. 15.计算：1+26+32+40+50+62+ 7瑞 16.生活中我们使用的数是十进制数，有时候也 会用到其他进制数，如计算机使用的数是二 进制数，二进制数可以转化为十进制数.如， 二进制数1101换算成十进制数是1×23+1 ×22+0×21+1×2°=13. 第十四届国际数学教 育大会(ICME-14) 在中国上海举行，会 ICME-14 兰兰誉笔 三 徽的主题图案有着丰 富的数学元素，展现了我国古代数学的文化 魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数 符号写出的八进制数3745.八进制是以8作 为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本 数字.八进制数3745换算成十进制数是3× 83+7×82+4×81+5×8°=2021，表示IC ME一14的举办年份. (1)八进制数3758换算成十进制数是 (2)小颖设计了一个m进制数156，换算成十 进制数是90，求m的值. 【核心素养】 17.已知，如图A,B分别为数轴上的两点，点A 对应的数是一20，点B对应的数为80. A B -20 80 (1)请直接写出AB的中点M对应的数. (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以 2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电 子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒 的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上 的C点相遇.请解答下面问题： ①试求出点C在数轴上所对应的数； ②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单 位长度？ 由题意得，+20=80-x 3 2 解得，x=40, 答：点C在数轴上所表示的数为40： ②分两种情况进行解答，设运动的时间为t秒， [)如图2，相遇前相距15个单位长度， D 3t 15 9 2t B -20 80 图2 则3t+2t=80一（一20）-15， 解得，t=17(秒)， Ⅱ)如图3，相遇后相距15个单位长度， B -20 80 图3 则3t+2t=80一（一20）+15， 解得，t=23(秒) 答：当两只蚂蚁运动17秒或23秒时，两只电 子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度，